数学是打开知识大门的钥匙，是整个科学的基础知识。创新教学的先行者里斯特伯先生指出：“学生学习数学就是要解决生活问题，只有极少数人才能攻关艰深的高级数学问题，我们不能只为了培养尖端人才而忽略或者牺牲大多数学生的利益，所以数学首先应该是生活概念。”在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。我们选取的都是从学生生活实践中取材，将数学知识巧妙地运用于生活之中，增加了学生对数学的兴趣，实现新课改所倡导的情感体验，培养良好的科学态度和正确价值观的目标。数学校本课程的开发要满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和培养学生新的兴趣和爱好，要要求和鼓励学生投入生活，亲身实践体验。选题要尊重学生的实际、学生的探究本能和兴趣，给与每个学生主体性发挥的广阔空间，从而更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。使学生成为学习的主人，学有兴趣，习有方法，必有成功。学生的个性在社会活动中得以健康发展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。
2017年9月
目录
第一讲：兴趣数学
第二讲：储蓄、保险与纳税
第三讲：让数学帮你理财
第四讲：导航的双曲线
第六讲：赌马中的数学问题
第七讲：对称——自然美的基础
第八讲：对数螺线与蜘蛛网
第九讲：分数维的山峰与植物
第十讲：蜂房中的数学
第十一讲：龟背上的学问
第十二讲：Music与数学
第十三讲：e和银行业
第十四讲：几何就在你的身边
第十五讲：巧用数学看现实
第十六讲：商品调价中的数学问题
第十七讲：煤商怎样进煤利润高
第十八讲：顺水推舟，克“敌”致胜——例谈反证法的应用
第十九讲：抽屉原理和六人集会问题
第二十讲：数独游戏与数学
第二十一讲：集合与生活
第二十二讲：生活中的立体几何
第二十三讲：算法妙用
第二十四讲：世界数学难题欣赏——费马大定理
第二十五讲：世界数学难题欣赏——哥德巴赫猜想
第二十六讲：中外著名数学家
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
只画一次不准重复），并且最后返回起点？
欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？
如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。
欧拉定理：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
一笔画：
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)
练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）
三、麦比乌斯带
四、奇特的墓志铭
在大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几何图形：一个圆球镶嵌在一个圆柱内。相传，它是阿基米德生前最为欣赏的一个定理。
在数学家鲁道夫的墓碑上，则镌刻着圆周率π的35位数值。这个数值被叫做。”鲁道夫数”。它是鲁道夫毕生心血的结晶。
大数学家高斯曾经表示，在他去世以后，希望人们在他的墓碑上刻上一个正17边形。因为他是在完成了正17边形的尺规作图后，才决定献身于数学研究的……
不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊数学家丢番图的。他的墓碑上刻着一道谜语般的数学题：“过路人，这座石墓里安葬着丢番图。他生命的1／6是幸福的童年，生命的1／12是青少年时期。又过了生命的1／7他才结婚。婚后5年有了一个孩子，孩子活到他父亲一半的年纪便死去了。孩子死后，丢番图在深深的悲哀中又活了4年，也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢番图的年纪吗？”
丢番图的年纪究竟有多大呢？
设他活了X岁，依题意可列出方程。这样，要知道丢番图的年纪，只要解出这个方程就行了。
这段墓志铭写得太妙了。谁想知道丢番图的年纪，谁就得解一个一元一次方程；而这又正好提醒前来瞻仰的人们，不要忘记了丢番图献身的事业。
在丢番图之前，古希腊数学家习惯用几何的观点看待遇到的所有数学问题，而丢番图则不然，他是古希腊第一个大代数学家，喜欢用代数的方法来解决问题。现代解方程的基本步骤，如移项、合并同类项、，方程两边乘以同一因子等等，丢番图都已知道了。他尤其擅长解答不定方程，发明了许多巧妙的方法，被西方数学家誉为这门数学分支的开山鼻祖。
丢番图也是古希腊最后一个大数学家。遗憾的是，关于他的生平。后人几乎一无所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何时。幸亏有了这段奇特的墓志铭，才知道他曾享有84岁的高龄。
（2）希腊十字架问题
图上那只巨大的复活节彩蛋上有一个希腊十字架，从它引发出许多切割问题，下面是其中的三个。
(a)将十字架图形分成四块，用它们拼成一个正方形;
有无限多种办法把一个希腊十字架分成四块，再把它们拼成一个正方形，下图给出了其中的一个解法。奇妙的是，任何两条切割直线，只要与图上的直线分别平行，也可取得同样的结果，分成的四块东西总是能拼出一个正方形。
(b)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个菱形;
(c)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个矩形，要求其长是宽的两倍。
储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力．
显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的．
保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业．例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等．下面举两个简单的实例．
兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约
因此，弟弟投的保险更合算些．
纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税．现行劳务报酬纳税办法有三种：
化简、整理得
所以
练习：
储蓄计划优惠年息一览表
每月存款（港币）＄1，000
存期（月）
每年复息利率
到期存款（港币）
利息（港币）
到期本息金额（港币）
9
12
15
18
24
6.625%
7.125%
7.375%
7.75%
8.00%
9,000
12,000
15,000
18,000
24,000
252
473
759
1,146
2,106
9,252
12,473
15,759
19,146
26,106
银行的宣传小册子更注明十一岁至十七岁小朋友已可开个人户口。这群“准客户”大致是接受中学教育的适龄儿童。无论有兴趣参加与否，总希望他们或早或迟懂得储蓄计划背后的数学原理。
这个储蓄计划是以每月存入定额存款来计算利息，而存款期限愈长，利率则愈高。为了更有效理解表中“到期本息金额”如何计算出来，且让我们设为每月存款的金额，而则为月息利率。月息利率是由“每年复息利率”除以12而来的。譬如说，存款期限为9个月，从表中得知每年复息利率是6.625%，因此月息利率为6.625%÷12，即约是0.5521%。
存款1个月后，到期本息金额：
存款2个月后，到期本息金额：
存款3个月后，到期本息金额：
余此类推，存款个月后，到期本息金额应为：
为了简化这数式，设。
因此，
括号内的数式在数学上称为等比数列：
首项是x，公比是x。利用公式，我们便可把的数式写成：
。
现在就让我们运用这公式找出表中第一行的“到期本息金额”：
，
代入数式，
（准确至最接近的整数）
表中其余的“到期本息金额”不如留给你算算，看看表中列的数字是否有错误吧。
我们小时侯都曾梦想，长大以后要当上船长就好了。在茫茫的大海上，惊涛骇浪，你能顺利地指挥着船队驶向前方吗好，让我们的双曲线来帮助你吧。它是大海的导航员。
先来看一看原理。假如你站在广场上，广场的东西两侧各装有一只喇叭，并且放着欢快的音乐：北京的京山上光芒照四方，毛主席就是那金色的太阳，多么温暖……
轮船航行在海上时，它就处于人的位置。岸上有两个无线电发射台，用电波代替了喇叭里传出的音乐。轮船行驶在某一位置时，就可以从接收的电波的相位差，测出轮船与电台的距离差，由此确定了一条以两个电台为焦点的双曲线。若再和另一对电台联系，可以确定出另一条双曲线，两条双曲线有一个交点，船就处于这一点上。这一切都是在一瞬间完成的，因为有很多现代化的工具来帮助我们，你明白了吗船长们就是这样来导航的。
第五讲：电冰箱温控器的调节
问题：如何正确调节电冰箱温控器，使电冰箱使用寿命更长。
电冰箱制冷是靠中温低压的液态制冷剂进入蒸发器吸收热量汽化为低温低压的气态制冷剂，达到蒸发器周围降温使冰箱内部冷却的目的。压缩机、冷凝器、干燥过滤器、毛细管则是帮助并保证在蒸发器中已使用过的制冷剂回复到中温低压的液体，能再一次送回蒸发器吸热汽化，实现单向连续循环制冷。蒸发器是电冰箱中唯一制冷的器件压缩机把蒸发器出来的低温低压的汽态制冷剂经回气管由压缩机吸入气缸，被压缩为高温高压的气态进入冷凝器，把蒸发器中吸收的热量和压缩机在压缩做功时转换的热量，利用制冷剂与周围介质之间有较大的温差，通过冷凝器全部散发到空气中。制冷剂在冷凝器中因放热而被液化。这高压中温液态制冷剂经干燥过滤器吸收其中的水分，滤除其中的杂质，进入毛细管节流降压，使高压液态制冷剂降为低压而能回到蒸发器重复使用。电冰箱就是这样由各种制冷剂作工质，在封闭系统中作单向连续循环，把冰箱内热量不断的转移到箱外而达到制冷目的。
电冰箱温控器中的感温包感受蒸发器的温度，当温度升高或降低时，感温元件中感温剂膨胀或收缩，使非刚性元件感温腔（波纹管或膜盒）推进或退缩，从而改变感温元件与弹簧片之间的作用力通过温控器中机械传力放大，使感温腔微小形变产生的微小位移放大，控制电触点，使其闭合或断开电路。温控器指向的数字，并不表示确切的温度，而是表示控制温度高低的程度趋向，数字小表示控制在较高温度，数字大则表示控制在较低温度。
在北京等中国北方城市，冬季的供暖由市区县的各供暖单位负责保证。政府规定，冬季居民室内的温度不得低于16摄氏度。北京市的供暖单位现在一般能够保证这个温度在18摄氏度左右，最高温可达20摄氏度，最低温绝不低于16摄氏度。因此，可以认为我国北方冬季家庭室内温度在18摄氏度左右。又因为，我国北方春秋季节家庭室内温度也在18摄氏度左右，偏冷的地区依然有暖汽等供暖，甚至常年不断。所以，可以认为，我国北方春秋冬三季的家庭室内温度均在18摄氏度左右。就一般家庭而言，熟食一般现吃现买，生食一般只放几个星期。电冰箱冷冻室的食品量一般占冷冻室容积的五分之三左右，且一般变化不是很大。就是说，一般家庭的食品量对冰箱的影响基本相同。
综上所述，我们理想化的实验条件是我国北方春秋冬三季一般家庭的电冰箱。在研究这个问题时可以把食品量和室内温度作为常数来考虑。由于每次开冰箱门时都会使冰箱内食品吸热升温，所以不同人的开门习惯和速度会影响到冰箱的制冷效果。比如说：老人可能手脚不是很利落，而且拿一件东西要想一下；年轻人可能一只手开门，另一只手就把东西拿出来了。为了简便计算，我们可以认为，在一个家庭中不考虑老人与青年人的分别，只考虑平均到每个家庭成员的使用效果，那么各个家庭的情况基本相同。结果是，我们在计算过程中可以忽略这一因素的影响。我们想利用家用电冰箱来进行一次实验。于是我们选用了长岭阿里斯顿——BCD208型电冰箱，在保持室温为18摄氏度且食品量始终占冷冻室有效容积五分之三不变的情况下，测定了一些数据。这种电冰箱属于中等档次的家用电器，制冷效果属于一般水平。目前许多家庭使用的电冰箱的制冷效果和保温能力都与其相差无几。这些满足了本论文前面交代的实验条件，可以作为该条件下的一个例子，来解决这个问题。于是我们开始了实验。实验进行了一个多星期，每组数据（既一个档位）间间隔二个小时，让电冰箱进行调节，以保证数据的准确性。
由数据组BCD解函数：
当x=2.574时,函数有最小值y=35.846；
所以,温控器旋钮应指在2.574的位置。
随着中国的改革开放，境外许多事物渐渐被生活在大陆的人知晓诸如赌马、六合彩等常在媒体中提及。对我们来说，了解一些原来不熟悉的东西也是必要的。其实，一些博彩游戏和古老的赌博有许多相似之处，我们可以用初等概率知识对其中的现象作一定的分析。
我们以赌马问题为例。为简便起见，假设只有两匹马参加比赛。通过对决定马匹胜负的各因素的研究以及对以往赛事胜负情况的统计分析，我们可得出两匹马各自胜出的实际概率。不失一般性，设其中一匹马胜出的实际概率为，则另一匹马胜出的实际概率为。那么，参赌者该如何下注以最大的限度确保他们能赢得钱呢？要解决这个问题必须先弄明白庄家的赔率是如何设定的。所谓赔率，是指押注一元钱于胜方所获得的总金额。举例来说，若赔率为1.65元，则如押注一元的一方恰好胜出，可得收益0.65元，加上本金，一共可得1.65元。若押注负方，则会失去所押注的1元，但不须另外再输钱。现在，我们知道了马匹胜出的实际概率，知道了庄家设定的赔率，就可以分析参赌者该如何下注。这里，设总金额为1元，并设在第一匹马上押注元，则在第二匹马上押注。至于具体押注多少，参赌者可以将总金额按该比例分配给这两匹马。于是，可得下表：
马匹
第一匹
第二匹
胜出的实际概率
庄家设定赔率（元）
押注（元）
如果第一匹马赢，参赌者可得到元，再减去付出的1元，参赌者的收益为元；同理，如果第二匹马赢，参赌者收益为元。考虑到两匹马胜出的实际概率分别为和，参赌者的期望收益为，其中。另外，若参赌者把所有钱都押注于第一匹马时期望收益为；若参赌者把所有的钱都押注于第二匹马时，期望收益为。
自然，参赌者希望收益，这样，他们才能以一个正的概率赢利。所以要求：。
1）当，且，即当且时，不论取何值，恒大于0，且当趋向1时，趋向于极大值。实际上，当，即参赌者把钱全押注于第一匹马上时，有收益，所以参赌者应当把钱全部押注于第一匹马上。
2）当且，即当且时，收益随着的变大而变小，且当趋于0时，趋于极大值。实际上，当，即参赌者把钱全押注于第二匹马上时，有收益。所以参赌者应当把钱全押在第二匹马上。
3）当，时，为使，应满足：
。又∵，∴，即。即当，且时，参赌者按分配赌注可期望赢利。且当趋向于1时，收益趋于极大值。同1）情况可知，这时，参赌者应把钱全押注于第一匹马上，有收益。
4）当，且时。
这时不论赌注如何分配，参赌者的期望收益恒为负。在这情况下，参赌者介入其中是不理智的行为。以上是参赌者在已知胜出概率及赔率时选择的策略。同样，庄家在设置赔率时，一定会对实际各匹马胜出的概率作一番认真研究，由此设定相应赔率。这样，他才有可能不赔本。由此当庄家设置一个赔率时，我们也可以反推庄家所估计的各匹马胜出的概率。例如，庄家赔率设定为15，则我们大致可以知道该马匹胜出概率大致应小于。
其实，在其它涉及赔率、押注的简单模型中，我们也可以用相应的方法进行分析。当然，这只是对实际情况的一种简化。现实生活中的赌马不会仅有两匹，并且要求出各马匹实际胜出的概率是件非常困难的事，在一般情况下，只能求得近似解。
在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子。它们引起人们的注意，令人赏心悦目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷；蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表现形式，是大自然形式的基础。
花朵具有旋转对称的性征。花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，花朵就自相重合。旋转时达到自相重合的最小角称为元角。不同的花这个角不一样。例如梅花为72°，水仙花为60°。“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫，太阳虫等）。我国最早记载了雪花是六角星形。其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）。既是中心对称，又是轴对称。
很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合。例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。这种有趣的现象叫叶序。向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式。
“晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。
曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。摆下八卦阵，只等飞来将。”动一动脑筋，这说的是什么呢原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。而且，结网是它的本能，并不需要学习。
你观察过蜘蛛网吗它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢你心中是不是有一连串的疑问，好，下面就让我来慢慢告诉你吧。在结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。为继续穿针引线搭好了脚手架。它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。从中心往边上爬的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。一般来说，不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条。同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。
到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的。现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。蜘蛛从中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。这是一条辅助的丝。然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。这样半径上就有许多小球。从外面看上去，就是许多个小点。好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。
让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。只有中心部分的辅助线一圈密似一圈，向中心绕去。小精灵所画出的曲线，在几何中称之为对数螺线。对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。大家可别小看了对数螺线:在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，抽水就均匀；在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好。
大厅的灯光暗下来，帐幕徐徐打开，银幕上出现了根据J．R．R．Tolkien的三部曲“LordoftheRings”所改编的电影。Frodo在一个开阔的峡谷里溜达着。远处，锯齿状的冰雪覆盖着的山峰耸入云端。近处有些不知是什么种类的奇花异木在阳光下闪烁。转眼，屏幕上的奇景变成了一个男巫凝视着一只水晶球，在这球体的中央出现了一个堡垒，火焰正从它的城垛里窜出来。虽然现在还很难说Frodo是否会在这样的电影里出现，但我肯定那些山峰、树木、水晶球以及火焰都会奇妙地出现在银幕上。这个成就主要将归功于Pixar公司(即从前的Lucasfilm计算机绘图实验室)所开发的软件和硬件。有家用计算机的读者都能够在计算机上作出基本类似于这些东西的图形来。由于本文篇幅所限，不能在此对水晶球和火焰作一个广泛深入的论述，但还是能够揭示产生它们的基本原理。
在上面描述的假想的电影中，我们可以把摄像机移向Frodo身后的那些山峰上。人们可能从来没有见过比这些山峰更令人生畏的大片陆地了。每一个大的山峰都由一些较小的山峰构成，而这些较小的山峰又由比它们更小的山峰组成，如此下去就形成了一种小山峰的无穷回归。即使一个有皮质脚的滴水嘴一样的海怪站在这样一个犬牙般的地方也会感到难受。
为什么这一种方法会作出那样逼真的山峰图案呢答案在于这个过程中产生了一个分数维图形，即当图案不断放大时会显露出更多的细节的图形。分数维形态在自然界似乎是随处可见。我们可以用一个关于海岸线的例子解释分数维图形的基本概念。假设我们要用一根l000米长的测量杆测量出法国海岸线的长度，那么就得沿着海滩向前一杆一杆地进行艰难的测量，同时数出有多少个l000米。然而这样会把许多小的海湾和海岬遗漏掉，所以用这种办法测出的最后得数是不那么准确的。用一根l米长的测量杆重复这一过程，会得出一个更精确、数字更大的结果。但即使如此，也有大量的小海湾和岬地被遗漏掉了。无疑，用一根l厘米长的测量杆结果就会更为精确。
一般规律是，当测量杆变小时，测出的海岸线长度会增大。测出的长度与测量杆杆长之比率为一个专门值，这个值称为分数维。分数维与通常说的维不同，它往往被表达成一个分数，而不是一个整数。例如我们讨论的海岸线的维数可能就是一个3/2的分数维。可以把这样的一种形状想象成一个介于一维形状(直线)和二维形状(平面)之间的中间形状。如果海岸线比较直，其分数维就接近于1。如果海岸线很曲折，其分数维就接近于2，此时它几乎填满一个二维平面。
主循环的作用是把当前的点与线段的集合变成大1倍的新集合。为实现这一点，它一次一行地对数组lines进行扫描，查寻其对应点的下标并从数组poinlts中检索出它们的坐标。在已知某一给定线段的两个端点坐标后，程序就可以计算出该线段的中点坐标，同时随机地改变y坐标的值。下面所列出的算法过程为程序的编制提供了充分的基础，其中变量j和k是指数组points和lines中当前正保持着再分的最新结果的那些“行”。变量pts和lns记录在进入主循环之前构成山的点和线段的数目。开始时j等于pts，k等于lns。下标i从1到lns。
MOUNTAIN程序的这一部分在很大程度上是不言自明的。当第j点的坐标计算出来后，下标j就被存贮起来作为第i条线段的第二个点和第k条线段的第一个点。第i条线段的第一个点与其原来的一样，而第k条线段的第二个点与第i条线段原来的第二个点，即带有下标b的那个点相同。当循环最终计算后，pts和lns必须分别复置为j和k的最新值。变量range是在程序的开头由用户确定各再分点在垂直方向上随机移动量的最大值。每次循环结束时，该变量就要除以2，使得这一随机移动量与线段尺寸成比例地减小。函数random(range)用于表示在0和变量range的当前值之间所选择一个随机数。
如果Frodo身后的那些山峰是令人难忘的，那么，他周围的村木和植物就更是令人难忘。它们既逼真又奇特。之所以逼真，是因为它们有与真实植物一样的分枝，而之所以奇特是因为它们不是常见的物种。大概是图形设计者有太多的参数可以任他使用，因此他禁不住要创造一些新的植物种类。这些新的植物种类被叫做“嫁接”(graftal)植物，因为它们是在图形(graph)的基础上形成的，且有内在的的分数维性质。这里所谓的“内在分数维性质”，指的是用于生成植物图案的基本拓扑特征的规规则可以(但实际上没有)应用于屏幕分辨率的极限。简言之，植物的细枝条不会无限地回归成更小的枝条。一旦作为植物的基础的图形发展起来，计算机就能用大小、颜色、厚度、质地等解释植物的图形，从而把它变换成无数的令人信服的植物种类。
某一给定植物所据以形成的图形是由L系统产生，这种系统是丹麦生物学家和数学家AristidLindenmeyer在1968年提出的一种语法类别。一个L系统实际就是一套用于从旧的字符串中推导新的字符串的规则。例如，根据下列规则，用数字0和1以及符号[和]能够生成一系列复杂的植物：
为了弄清如何应用这些规则，我们从由单个的符号0组成的字符串开始。将箭头左边的每一个符号都用与其对应的右边的符号来代替，就可以一个接一个地得到下列的字符串：
01[0]1[0]011[1[0]l[0]0]ll[1[0]1[0]0]1[0]l[0]0
把每个数字(0或1)当作一条线段，每个括号当作一个分支点，就可把这样的字符串变换成树一样的图形。0和1所代表线段的长度相等，其区别在于0线段的外端上要加一片叶子，而1线段上则什么也不加。
例如字符串1[0]1[0]0的茎是由三个不在括号内的符号组成的。最下面的是1线段，中间也是1线段，顶部则是0线段。两根枝条(每根均是一条0线段)从茎上长出来。第一根枝条长在第一条1线段上，第二根枝条则长在第二条1线段上。读者可以试画一下树茎最初几次生成的图案。为了使植物更逼真，对这个模型可以加上另外一些解释性的规则；例如，对于任何给定的茎(不管它是否主茎)，都可以使枝条轮流地从左右两侧长出。
一个叫PLANT的由两部分组成的程序产生上述序列中的第n个字符串，然后把它表示成一个线段图。在该程序的第一阶段，PLANT将它所生成的字符串保存在被称为StringA及stringB的两个符号数组中。每一代植物图形轮流地占据两个数组中的一个，即某一数组中所存贮的那一代是由另一数组中所存贮的上；代得来的。也不一定非要在数组中存贮符号。只要程序的代换过程是正确的，数字0，l，2和3也完全可以。
L系统规则在条件语句中体现出来；例如可以采用下面这段算法编码把StringA的第i位上的1个0变成stringB中的九个新的符号：
如果stringA(i)＝0，那么
stringB(j)←1
stringB(j+1)←2
stringB(j+2)←0
stringB(j+3)←3
stringB(j+4)←1
stringB(j+5)←2
stringB(j+6)←0
stringB(j+7)←3
stringB(j+8)←0
j←j+9
这里0和1代表它们自己，而2和3分别代表[和]，如果stringA的第i个符号是0，那么，程序把序列l，2，0，3，l，2，0，3，0插入数组stringB中以下标j(即数组stringB的尚未填入符号的第；个年置)开头的九个连续位置上。程序PLANT的第一阶段中的一个单循环就含有四个上述的条件语句，每个语句相应于可能遇到的一个符号。循环用下标j来指出当前这一代中正被处理的那个符号。循环执行的次数依用户的愿望而定。在每一次生成后，程序PLANT会询问用户是否希望另一个更长的字符串。
PIANT的第二个阶段(即绘图阶段)把第一个阶段产生的字符串变换成一个图形。它循环地执行这一过程：只要左括号(或2)没有出现，它就在一个给定方向上绘出一系列线段。当碰到某一对括号中的左括号时。程序就在一个新的方向(从前一个方向反时针转45°)上绘出后面的线段。当对应的右括号出现后，这一过程就终止。这时画出一片叶子，它的形状和颜色都留给读者去想象。第二个左括号的出现使该程序又重复进行。只是现在的方向是顺时针45°。其他的工作都是自动进行的。
PIANT用了一个随被绘出的植物的复杂性而定的比例因数。例如，第n代植物的高度大约为2n条线段，如果屏幕的高是200个像元，那么每根线段就必须短于200／2n雄心勃勃的读者们无疑会尝试生成语法、枝条角度及叶片形状等方面的新花样。如果具有这些新花样的图案在同一屏幕上生成，植物和树木的风景就会出现了(当然不是很逼真的)。
Pixar绘图计算机的心脏是一个有24兆字节，2000×2000像元的存贮器，其分辨率对大多数应用是足够的。此外，每个像元由48个存贮位表示，足够存贮色采和透明度方面的信息。Pixar绘图计算机的大容量存贮器由四个高速并行完全可编程序的处理机操纵。它们每秒钟能执行约4000万条指令，其速度比普通的计算机大几个数量级。显示装置与存贮器问的数据交换速度可达每秒4．8亿个字节。
Pixar绘图计算机预定用于医学成像、遥感、工程设计及动画片制作这些领域中。也许还会用来制作我在本文开头所描述的假想电影。
蜜蜂是勤劳的,它们酿造出了最甜的蜜;蜜蜂是聪明的,它们会分工合作,还会用舞蹈的形式告诉同伴:哪里有花源,数量怎么样。实际上,不仅如此,蜜蜂还是出色的建筑师。它们建筑的蜂房就是自然界诸多奇迹中的一个。
蜂房是正六棱柱的形状,它的底是由三个全等的菱形组成的。达尔文称赞蜜蜂的建筑艺术,说它是:天才的工程师。法国的学者马拉尔狄曾经观察过蜂房的结构,在1712年,他写出了一篇关于蜂房结构的论文。他测量后发现,每个蜂房的体积几乎都是0。25立方厘米。底部菱形的锐角是70度32分,钝角是109度28分,蜜蜂的工作竟然是这样的精细。物理学家列奥缪拉也曾研究了这个问题,它想推导出:底部的菱形的两个互补的角是多大时,才能使得蜂房的容量达到最大,他没有把这项工作进行下去。苏格兰的数学家马克劳林通过计算得出了与前面观察完全吻合的数据。
公元4世纪,数学家巴普士就告诉我们:正六棱柱的蜂房是一种最经济的形状,在其他条件相同的情况下,这种结构的容积最大,所用的材料最少。他给出了严格的证明。看来,我们不得不为蜜蜂的高超的建筑艺术所折服了。马克思也高度地评价它:蜜蜂建筑蜂房的本领使人间的许多建筑师感到惭愧。现在,许多建筑师开始模仿蜂房的结构,并把它们应用到建筑的实践中去。
传说大禹治水时，在一次疏通河道中，挖出了一只大龟，人们很是惊讶，争相观看，只见龟背上清晰刻着图1所示的一个数字方阵。
这个方阵，按《孙子算经》中筹算记数的纵横相间制：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。六不积算，五不单张。”可译成现代的数字，如图2所示。
方阵包括了九个数字，每一行一与列的数字和均为15，两条对角线上的数也有相同的性质。当时，人们以为是天神相助，治水有望了。后来，人们称刻在龟背上的方阵为“幻方”(国外称为“拉丁方”)，属于组合数学范畴。使用整数1—9构成的3×3阶“拉丁方”唯一可能的和数是15，这一点只要把这“拉丁方”中所有数加起来便可证明，1十2十3十4十5十6十7十8十9＝45，要把这几个数分配到三行(或列)使得每行(或列)有同样的和，那么，每行(或列)的和应为45／3＝150
组合数学是数学中的一个分支，在实际生活中应用很广泛，请看下面的例子。
5名待业青年，有7项可供他们挑选的工作，他们是否能找到自己合适的工作呢由于每个人的文化水平、兴趣爱好及性别等原因，每个人只能从七项工作中挑选某些工种，也就是说每个人都有一张志愿表，最后根据需求和志愿找到一个合适的工作。
组合数学把每一种分配方案叫一种安排。当然第一个问题是考虑安排的存在性，这就是存在问题；第二个问题是有多少种安排方法，这就是计数问题。接下去要考虑在众多的安排中选择一种最好的方案，这就是所谓的“最优化问题”。存在问题、构造问题、计数问题和最优化问题就构成了全部组合数学的内容。如果你想了解更多的组合数学问题，那就要博览有关书籍，你会得到许多非常有趣的知识，会给你许多的启发和教益。
动人的音乐常给人以美妙的感受。古人云：余音绕梁，三日不绝，这说的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成调，这就是唱得不好了。同样是唱歌，甚至是唱同样的歌，给人的感觉却是迥然不同。其重要原因在于歌唱者发声振动频率不同。
人类很早就在实践中对声音是否和谐有了感受，但对谐和音的比较深入的了解只是在弦乐器出现以后，这是因为弦振动频率和弦的长度存在着简单的比例关系。近代数学已经得出弦振动的频率公式是W，这里，P是弦的材料的线密度；T是弦的张力，也就是张紧程度；L是弦长；W是频率，通常以每秒一次即赫兹为单位。
那么，决定音乐和谐的因素又是什么呢？人类经过长期的研究，发现它决定于两音的频率之比。两音频率之比越简单，两音的感觉效果越纯净、愉快与和谐。
首先，最简单之比是２：１。例如，一个音的频率是160、7赫兹，那么，与它相邻的协和音的频率应该是2×260、7赫兹，这就是高八度音。而与频率为2×260、7赫兹的音和谐的次一个音是4×260、7赫兹。这样推导下去，我们可以得到下面一列和谐的音乐：
260、7，2×260、7，22×260、7……
我们把它简记为C0，C1，C2，……，称为音名。
由于我们讨论的是音的比较，可暂时不管音的绝对高度（频率），因此又可将音乐简写为：
C0
C1
C2
C3
……
20
21
22
23
需要说明的是，在上面的音列中，不仅相邻的音是和谐的，而且C与C2，C与C3等等也都是和谐的。一般说来这些协和音频率之比是2M。（其中M是自然数）
跟我们日常的事情有什么关系呢？事实上它在我们日常生活中，跟任何一个特定的整数一样，尽管人们并不总能察觉到它的出现。只有人知道是一个实际的数，如果问大家，可能多数人会说是英语字母表里的第5个字母。大家知道它是一个奇怪的数，这是我们通过数学课了解到的。只有少数人知道它是一个无理数和一个超越数。
在今天的银行业里，是对银行家最有帮助的一个数。人们可能会问，像这样的数是怎样又以何种方式与银行业发生关系呢？要知道后者是专门跟“元”和“分”打交道的!
的定义是作为数列的极限。我们通常写为。在利息计算中怎样借助于这个公式呢？实际的计算公式是：本利和，。
这里本金，年利率，一年之内计算利息的次数，存钱的年数。
上述公式可以变形为对于的公式。当人们投资1美元年利率为100％时，一年的本利和可达美元。开头可能会有人以为总计会是一个天文数字，但看了下面的估计后就会知道它接近于的值。
于是，我们看到：如果我们投资1美元，年利率为100％，那么收益决不会超过2.72美元。事实上的小数点后头22位数是＝2.7182818284590452353602。
下一个问题是怎样对进行工作。最好先通过尝试来确定看。比如说我们从1000美元开始以年利8％存入银行，让我们看看当按一年期计算，然后按每半年期计算，再按每三个月期计算复利时会出现什么。
初学几何时，你往往会感到这门学科枯燥乏味，有的知识似曾相识，似懂非懂；有的知识则似乎很“玄”，离我们很远!其实，日常生活中有几何，几何就在你的身边。
当你骑自行车时，想过自行车的轮子为什么是圆形的，而不能是“鸡蛋形”的呢因为“圆”形的特性可以使自行车平稳地前进；自行车的轮于有大有小，可供人们选择；两个轮子装的位置必须装得恰当，骑时会感到方便。这说明：物体的形状、大小、位置关系与日常生活有着紧密的联系，这也正是几何这门学科所要研究的。
当你把一张长方形的纸裁成一个正方形时，你想过这里面有几何知识吗
图1
图2
图3
何中叫“比较线段的大小；把阴影部分裁去，可以看成在“长”上截取一段，使它等于“宽”，这就是几何中的“线段作图”；长方形的长与宽相等时，就是正方形，这更是几何中的一个重要结论。
如果把正方形折成相等的两部分，除了图2中所示的四种折法外，你还能想到其他的折法吗不妨试试：过四条折痕相交的那个点“·”，任意地折一条线，看看这样把正方形分成的两部分也一样吗
当你走进用砖块铺地的房间时，你注意到这些砖块的形状吗？有的是等边三角形的，有的是长方形或正方形的。
其实，任意形状的四边形砖块也能把地面拼得没有缝隙，请看图3。
这又将告诉我们几何中的一个重要结论(四边形的四个角的大小之和恰好等于360度)，这个结论，与小学数学里学过的“三角形的三个角之和等于180度°又有着紧密的联系。
如果有兴趣的话，请你剪两块同样的直角三角形纸片，然后把两块纸片拼合成一个图形，你能拼出6种不同的图形吗？这里又包含了许许多多的几何知识。比如，当你拼成一个等腰三角形时，就不难知道：等腰三角形可以分成两个同样的直角三角形，中间的那条线位置很特殊，今后研究等腰三角形时常常要用到它！
若将某商品先涨价10％后再降价10％，所得的价格与原先的价格相比有无变化？不少同学会不加思索脱口而出：那还用问吗？肯定不变。果真如此吗？比如设这种商品原价为100元，则涨价10％后价格为100＋10=110元，再降价10％就是110-11=99元，可见比原先的价格便宜了。所以很多事情不能想当然贸然下结论，还是动笔算一算为好，才能做到心中有“数”。请研究下例：某商品拟作两次调价，设p＞q＞0，有下列六种方案供选择：(A)选涨价p%，再降价q%；(B)选涨价q%，再降价p%；(C)选涨价%，再降价%;(D)选涨价%，再降价%;(E)选涨价%，再降价%;
(F)选涨价%，再降价%;
若规定两次调价后该商品的价格最高的方案称为好方案。请判断其中哪一个是好方案？
分析设某商品原价为1，采用方案(A)、(B)、(C)、(D)、(E)、(F)调价后的商品价格分别为a,b,c,d,e,f，则
所以，方案（A）是好方案。
日常生活中，有许多事情可采取多种方法来完成．哪种方法最好呢？比如：哪种方法最省时，或者最省钱等．如果开办加工厂，加工某种东西，又怎样获得利润最高？这都需要精打细算．
比如开办一个煤厂吧！也就是把煤沫加工成蜂窝煤，它需要以下几个步骤：1.购买煤沫；2．掺好煤土；3．加工成品；4．销售．
虽然仅有这么简单的四步，但也要仔细计算一下，然后再决定怎样使煤厂利润更高．然而，使煤厂利润更高，会受到多种因素的影响，这里我们重点研究购买哪种煤沫利润更高，但还要注意成品的销售情况。
煤厂现在可以进购两种煤沫，一种好些，价钱当然贵了，可多掺黄土；另一种次些，价钱也就便宜，但掺黄土不能过多。煤厂进哪一种煤沫利润更高呢？这就要通过计算了，这里有三种方法。
第一种，进购好煤沫，好煤沫的进价是每吨105元，掺上占煤沫的40％，掺水占煤土的8％，加工好的蜂窝煤售价是每吨88元，我们来计算一下进购好煤沫10吨的利润是多少．首先要得出10吨煤掺黄土和水后，可加工多少吨蜂窝煤，再算出总价，减去成本，求出利润．用10吨煤沫掺上40％的黄土共是14吨煤工，再掺上占煤土的8％的水1.12吨．共是15.12吨煤，加工后可卖88××15.12=1330.56元．再来算一下成本，每吨煤沫105元，10吨共1050元，黄土每吨18元，4吨共72元，水每吨0.6元，1.12吨共0.672元，这15.12吨煤的成本为1050＋72＋0．672=1122．67元．最后算一下利润，用总价减去成本，得1330.56-1122.672=207.888元，平均每吨煤获利润13.7元，这段话用式子表示为：
｛88×「10＋10×40％1（10X40％）×8％]－（105X10＋18X4＋0.6XI.12)}
÷15.12≈13．7元．
第二种，进购次煤沫．次煤沫的进价是每吨85元，掺上占煤沫20%的土和占煤土8%的水，加工好的蜂窝煤的售价同样也是每吨88元．我们同样计算进购10吨次煤的利润是多少，方法与计算好煤利润相同．用10吨煤沫掺上占它的20％的黄土，共是12吨煤土，再掺上煤土的8％的水0.96吨，共是12.96吨煤，加工后可卖88×12.96=1140.48元．我们同样也算一下它的成本，每吨煤沫85元，10吨共850元，每吨黄土18元，2吨共36元，每吨水0.6元，0.96吨为0.576元，这12.96吨煤的成本为850+36+0。576=886.576元，它的利润为1140.48-886.576=253.904元，平均每吨煤的利润约为17.2元，这段话用武子表示为：
{88×[10+10×2O%+(10+10×20%)×8%]-（85×IO+18×2+0.6×0.96）}
÷12.96≈17．2元．
第三种，进购好次两种煤沫，为了使煤质好些，所以好煤与坏煤的混合比例为2：1．掺上占煤的百分之多少呢？掺水又占煤土的百分之多少呢？让我们来计算一下．
我们设掺次煤A吨，掺好煤2A吨，我们算出A吨次煤和2A吨好煤各掺多少土和水，算出土共是多少，占煤沫的多少；算出水共多少，又占煤土的百分之多少．好煤应掺它40％的土，所以2A吨好煤应掺2A×40％=80％A吨的土，也就是0.8A吨，这种煤土应掺它8％的水，所以（2A十0.8A）吨煤士应掺水（2a+0.8A）×8％=22.4％A吨，也就是0.224A吨．
我们算完了2A吨好煤应掺的土和水，再来算一下A吨次煤应掺多少土和水．次煤应掺的土占它的20％，所以A吨次煤应掺A×20％=20％A的土，也就是0.2A吨，这种煤土应掺的水仍占它的8％，所以（A＋20％A）吨的煤土应掺水（A+20％A)×8％=9.6％A吨，也就是0.096A吨．
我们现在可以算出好、次两种煤共应掺黄土(0.8A+0.2A)=A吨，占3A吨
煤的，
再来算一下水占煤土的百分之几，这种掺法，水和煤土的百分之比
与好次煤土所按的水一样，仍是8％．
我们知道了混合煤土所掺土和水的百分比之后，就来算一下10吨混合煤加工成煤后，它的利润又是多少．方法与求好次煤利润的方法相同．10吨混合煤应是10×吨的次煤和10×吨的好煤混合成的，混合煤掺上它的的土共是
吨，再掺上煤土8％的水吨，共是14.4吨，加工后可卖88×14.4=1267.7元，再算一下它的成本是吨好煤共700元，次煤共元，吨黄土共60元，吨水共元，这14.4吨煤的成本是元，利润为元，平均每吨煤获利润15.5元，这段话用式子表示为：
通过计算，我们很明显的可以看出，进购次煤利润会更高，但是还要注意一下销售这个问题，因为煤厂一个冬天就要卖几百上千吨的煤。所以仅看每吨煤的利润是不行的，还要看一看哪种煤卖得快、卖得多。
第十八课:顺水推舟，克“敌”致胜
——例谈反证法的应用
反证法定义：中国成语中有一个“矛盾”的故事，有一个人同时贩卖矛与盾，他向买家吹嘘他的矛是“无坚不摧”的，盾呢，是刀枪不入的。于是，有人马上提议他“以子之矛，攻子之盾”来验证一下他的宣传是否可靠，于是这人当场弄得哑口无言。
此人采用“以子之矛，攻子之盾”的方法来反驳贩卖者的说法，收到奇效，这种方法实际上就是数学上所说的反证法。
我们再来看一个例子：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍。一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动。等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”
这是很著名的“道旁苦李”的故事。实质上王戎的论述，也正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成象几何题目中的“已知、求证、证明”再和反证法的步骤进行对比，大家就明白了。
事实：树上结满了李子已知：树上有李
小朋友问：为什么李苦求证：李为苦李
王戎：假如李子不苦证明：假设李不苦
则早被路人摘光则早被路人摘光
而树上结满李子与已知树上有李矛盾
所以一定是苦的所以李为苦李
至此，反证法的思路及步骤就一目了然了。
反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
下面，我们来归纳反证法证明问题的一般步骤：
第一步是“假设命题的结论不成立”，亦可理解成假命题结论的反面成立。但此时，要考虑结论的反面可能出现的情况。如果结论的反面只有一种情况，那么只须否定这种情况就足以证明原结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能情况全部列举出来，并且一一加以否定后，才能肯定原结论是正确的；
第二步“从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾”其中的矛盾，可以是和已知矛盾，也可以和定义、公理、定理、性质等矛盾，这样都足以说明假设错误，原命题正确。
第三步由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
例1．求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角
已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角。
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角。
证明：假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A>900，o且∠B>900，则∠A+∠B+∠C>1800。这与三角形和定理矛盾。故
∠A，∠B均大于900不成立。
所以，一个三角形不可能有两个钝角。
例2、用反证法证明:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°.
已知:∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证:∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于
或等于60°.
证明:假设所求证的结论不成立，即
∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°
则∠A+∠B+∠C<180°.
这与三角形三个内角的和等于180°相矛盾.
所以假设不成立，所求证的结论成立.
试一试：用反证法证明下述命题：某班有49位学生，证明：至少有5位学生的生日在同一个月.
已知：如图，直线a,b被直线c所截，∠1≠∠2求证：a∥b
通过上节课的学习，大家对反证法定义和证明方法有了初步的了解，我们再来回顾反证法证题的具体步骤：
①反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
例1、已知a>0,b>0,且a+b>2,求证：中至少有一个小于2。
证明：假设都不小于2，即≥2且≥2
∵a>0,b>0
∴1+b≥2a,1+a≥2b
∴2+a+b≥2a+2b
∴a+b≤2这与已知a+b>2矛盾
所以，假设不成立，故中至少有一个小于2。
已知a、b、c∈R，a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证：a>0,b>0,c>0
证明：不妨设a≤0，
∵abc>0
∴a<0,bc<0
又∵ab+bc+ca>0
∴ab+ca>-bc>0
∴a(b+c)>0∵a<0∴b+c<0
∴a+b+c<0这与已知a+b+c>0矛盾，所以a>0
同理可证，b>0,c>0
反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：
①结论本身以否定形式出现；
②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式；
③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；
④直接证法比较困难的命题
例2.给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝(其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。(88年全国理)。
【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。
【证明】①设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两点，且x≠x,
假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x
∵x≠x∴a＝1，这与已知“a≠1”矛盾，
因此假设不对，即直线MM不平行于x轴。
②由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，
即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致。
由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图像。
【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。
反证法现实意义
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
现在让我们看以下例子，进一步体会反证法思想在谈话技巧上的应用。
实例1：有一天，牛头马面把一个高头大马的鬼带进阎王宝殿。
阎罗王把惊堂木一拍：“这厮好无礼，见到本王也不会下跪叩头。拉下，打一百棒。”
“大王，请原谅。我是洋鬼子，不知你们东方地狱的礼节请原谅。”
“好！就原谅你一次，你是谁？”
“我是Superman。”站在阎罗王旁边的师爷马上俯身对阎王解释：“Superman是超人。”
“好大的口气，苏本梅先生你怎么会是超人？”
Superman以傲慢的口气说：“当然是超人，我能做人类所不能做的事，我是万能，世上没有一件事我是不能做的。”
“好！那么你举一件事是你做不出的。”
Superman当场呆在那里。如果他能举出一件事，这就证明他不是万能。如果他不能举出这样的事，就证明在世上他不能做这件事——“举出他不能做的事”，因此也证明他不是万能。
“是嘛！你根本就不是超人，我就不相信存在超人的东西。你呀在人间以前还做些好事，可是现在西方的连环图把你弄成巧言令色，专门吊女人膀子的家伙，你这种行径败坏许多青年，我看不出你有什么英雄气色。好！判你进入第十八层地狱，等到你认清你的错误，再让你转世。”
这里阎王就是“以Superman之予，攻Superman之盾”了。
实例2：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。”他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。”
实际上，小牧童正是巧妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的茺唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。
这就是反证法的威力，一个原本非常复杂难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”的反证法迎刃而解了。
我来当警察：警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：
Ａ说：这里有１个人说谎．
Ｂ说：这里有２个人说谎．
Ｃ说：这里有３个人说谎．
Ｄ说：这里有４个人说谎．
Ｅ说：这里有５个人说谎
聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？
“任意367个人中，必有生日相同的人。”
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”
“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”
......
大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为：“把m个东西任意分放进n个空抽屉里（m>n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。”在上面的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，...，5的手套各有两只，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。
抽屉原理的一种更一般的表述为：“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。”利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。
如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：
“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。”
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。
1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：
“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”
这个问题可以用如下方法简单明了地证出：
在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD，CD3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。
六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。
数独是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格。在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。
数独游戏的一般方法
二.数独游戏的技巧
1、集合概述
集合论是德国数学家康托（cantor,1845~1918）在十九世纪七十年代开创的，后来，集合论的思想渗透到数学的各个分支，在现代数学中，越来越广泛而深入的用到集合的概念，它已成为数学的逻辑基础。然而，究竟什么是集合？当初康托所指的集合无非是集体的意思，他是把集合当作一个日常用语而不是一个数学用语来使用。但是，人们不久发现，他的含糊的定义引起了难以克服的混乱，于是大家试图用公理系统来代替集合的定义。这个工作可以说是自1908年策莫洛（zeremelo,1871~1953）提出第一个公理系统时开始的。公理系统显然比传统的定义精密得多，但集合论的公理系统至今还不完备。因此目前集合论还不能认为是圆满的。
2、罗素怪异与理发师悖论
一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢”理发师顿时哑口无言。
因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。
3、集合运算：
例1：：几何图形性质运算。
例2：：数轴上数的运算。
例3：解方程组：即两直线交点坐标：
例4：解不等式组：
4、差集和补集的运算:A-B=由定义显然：A-BB-A
例5：A=B=
C=D=
则有下列运算：A-B=
C-B=
D-B=
5、基数概念：设集A是一个有限集，则A里不同元素的个数叫做A的基数，记为n(A),设A和B是有限集，他们基数分别为n(A),n(B)表示，则有下面关系：
n(A=n(A)+n(B)-n(A，n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)
例6：某班学生50人，每人至少懂得一种外语（英语或日语），其中懂得英语的有40人，懂得日语的20人，问懂得英语和日语两种语言有多少人。
解：设A=｛班上懂得英语的学生｝B=｛班上懂得日语的学生｝
AB=｛班上的学生｝AB=｛班上既懂得英语又懂日语的学生｝
n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)=40+20-50=10
例7：某校组织文娱活动，参加音乐组有35人，参加舞蹈有34人，参加戏剧组有29人，其中有12人同时参加音乐组和舞蹈组，有14人同时参加舞蹈组和戏剧组，13人同时参加戏剧组和音乐组，且有5人同时参加三组，问参加文娱活动的人数有多少人？
解：A=｛参加音乐组的学生｝B=｛参加舞蹈组的学生｝
C=｛参加戏剧组的学生｝
n(A)=35n(B)=34n(C)=29
n(AB)=12n(BC)=14n(CA)=13n(ABC)=5
n(ABC)=35+34+29-12-13-14+5=64
思考：现有2000盏电灯，编号为1—2000，每个灯的开关都为乒乓键，若第一次拉一下编号为2的倍数的灯、第二次再拉一下编号为3的倍数的灯、最后拉一下编号为5的倍数的灯，问操作结束后，有几盏灯亮着，几盏灯灭着？
折叠问题巧解决:
一名纸盒制造商要求设计师设计一种适当的纸板，使得该纸板折叠以后可隔成两个立方体，且这两个正方体上方各有一个盖子。
有很多种设计可符合此要求，但是最后制造商决定采用如上图所示的“十”字形纸板。
根据设计师的说法，只要将纸板裁两刀，就可折叠出所需要的盒子，到底该从何着手？
解答与分析:顺着图中的粗线将纸盒剪开，再沿着虚线处将A与B两块粘合，形成盒子的中央分隔部位，并使两片盖子可以以此为底轴任意开关。接下来便可很轻易地折出题目所要求的盒子。
解题的关键在于两片盖子的底轴位于同一处。当这个关键问题解决之后，要找出符合要求的设计并不难。在大部分的设计中，此答案是最理想的。
辛赛的奥妙:
1982年，有一种称为“辛赛的奥妙”(ShinseiMystery)的数学玩具上市，它是由两个相同的部分组成的，每一部分又是由8个互相连接的多面体构成。它可以组合成许多奇妙的形状，其中包括立方体和12个顶点的星状体。
这个模型的基础是半个立方体(如图1)，可以把它看成是3个角锥体(6个这样的角锥体构成立方体)，向内折使其顶点会合于立方体的中心。这个半立方体的展开图见图2。展开图中有一个三角形的面出现两次，可以粘合在一起，以增加强度。
“辛赛的奥妙”每一半都有8个这样的半立方体，彼此以巧妙的方式连接在一起。它可以叠成如图3所示有12个顶点的星状体。为了说明连接的方法，我们可以把星状体水平分成两半，再把相同的两半并排在一起，用比较平面的方式表现。
图4是由上方俯视的示意图，A、B、C对应于立方体展开图(图2)的标示。将8个半立方体的底面DEF按图所示置于平面上，并用胶带纸粘贴。现在你也拥有一个奇妙的模型了，任何把玩它的人都会觉得趣味盎然。用不同颜色的纸板再做一个相同的模型，你会发现它们可以组合在一起，而且可以使其中一个消失在另一个之中。
三维立体问题:我们通常都可以从二维的图画中看出所要表现的三维物体，识图与绘图的训练，可以培养我们的空间观念。然而，就像这里所示的一些图画，二维的图画也可以在视觉上创造出不可能的事物。在第一张图中，到底是2根还是3根木栓？阶梯是否可以自己相连？你是否能用3根木条做出图上的三角形？关于视觉的认知，可能心理学家要比数学家研究得更多一些，但数学家也经常使用二维图形作为思考空间问题的参考，因此必须对二维图形的缺点有所了解。荷兰艺术家埃舍尔(M.C.Escher)在绘画上运用视错觉的原理，创造出许多不可能的世界。你可以参阅《埃舍尔绘画作品》(TheGraphicWorkofM.C.Escher)一书中的一些图画。注意并收集那些会欺骗你眼睛的图画。
一．爱因斯坦编的问题:
很多科学家都喜欢用一些有趣的数学问题来考察别人的机敏和逻辑推理能力。这里有一道著名物理学家爱因斯坦编的问题：
在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨2阶，那么最后剩下1阶；如果你每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果你每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果你每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。
请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？
分析与解:分析能力较强的同学可以看出，所求的阶梯数应比2、3、5、6的公倍数（即30的倍数）小1，并且是7的倍数。因此只需从29、59、89、119、……中找7的倍数就可以了。很快可以得到答案为119阶。
二．丢番图的趣题:
今有四数，取其每三个而相加，则其和分别为22、24、27和20。求这四个数各是多少？
分析与解：如果设其中某个数为x，则其他三个数很难用x的式子表示出来。丢番图的作法十分巧妙，他设四个数之和为x，则这四个数分别为x-22，x-24，x-27，x-20。列方程
（x-22）+（x-24）+（x-27）+（x-20）=x
解得x=31
31-22=9，31-24=7，
31-27=4，31-20=11，
即这四个数分别为9、7、4、11。
三．一本书的页数:
我们知道印刷厂的排版工人在排版时，一个数字要用一个铅字。例如15，就要用2个铅字；158，就要用3个铅字。现在知道有一本书在排版时，光是排出所有的页数就用了6869个铅字，你知道这本书共有多少页吗？（封面、封底、扉页不算在内）
分析与解:仔细分析一下，页数可分为一位数、两位数、三位数、……。
一位数有9个，使用1×9=9个铅字；
两位数有（99-9）个，使用2×90=180个铅字；
三位数有（999-90-9）个，使用3×900=2700个铅字；
依此类推。
我们再判断一下这本书的页数用到了几位数。因为从1到999共需用9＋2×90+3×900=2889个铅字，从1到9999共需用9＋2×90＋3×900＋4×9000=38889个铅字，而2889＜6869＜38889，所以这本书的页数用到四位数。
排满三位数的页数共用了2889个铅字，排四位数使用的铅字应有6869-2889=3980（个），那么四位数的页数共有3980÷4=995（页）。因此这本书共有999+995=1994（页）。
四、苏步青教授解过的题
我国著名数学家苏步青教授，有一次到德国去，遇到一位有名的数学家，在电车上出了一道题目让苏教授做。这道题目是：
甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是50千米。甲每小时走3米，乙每小时走2千米，甲带着一只狗，狗每小时跑5千米，这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑，碰到甲时又往乙这边跑，碰到乙时再往甲这边跑……，直到甲、乙二人相遇为止。问这只狗一共跑了多少路？
苏步青教授略加思索，未等下电车，就把正确答案告诉了这位德国数学家。
请你也来解答这道数学题，题目虽不太难，但要认真思考，才能找到解题的“窍门”。
分析与解：这个问题看起来很复杂，其实却是出人意料的简便。因为每小时甲走3千米，乙走2千米，所以甲乙二人相遇共走了10小时，这表明狗也跑了10小时，因此狗一共跑了50千米。
费马大定理简介：
当整数n>2时，关于x,y,z的不定方程x^n+y^n=z^n.（(x,y)
=(x,z)=(y,z)=1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0）无整数解。
这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁怀尔斯和他的学生理查泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁怀尔斯(AndrewWiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文:"Cuiusreidemonstrationemmirabilemsanedetexi.Hancmarginisexiguitasnoncaperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。
1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。
1983年，en:GerdFaltings证明了Mordell猜测，从而得出当n>2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得a^n+b^n=c*n。
1986年，GerhardFrey提出了“ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n+b^n=c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2=x(x-a^n)(x+b^n)会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被KennethRibet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。
1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。
1：欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。
2：费马自己证明了n=4的情形。
3：1825年，狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。
4：1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形；于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。
5：库默尔在1844年提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。
6：勒贝格提交了一个证明，但因有漏洞，被否决。
7：希尔伯特也研究过，但没进展。
8：1983年，德国数学家法尔廷斯证明了一条重要的猜想——莫代尔猜想x的平方+y的平方=1这样的方程至多有有限个有理数解，他由于这一贡献，获得了菲尔兹奖。
9：1955年，日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系；谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山——志村猜想”，这个猜想说明了：有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜想使一些学者搞不明白，但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。
10：1985年，德国数学家弗雷指出了“谷山——志村猜想”和“费马大定理”之间的关系；他提出了一个命题：假定“费马大定理”不成立，即存在一组非零整数A,B,C,使得A的n次方+B的n次方=C的n次方（n>2),那么用这组数构造出的形如y的平方=x(x+A的n次方）乘以（x-B的n次方）的椭圆曲线，不可能是模曲线。尽管他努力了，但他的命题和“谷山——志村猜想”矛盾，如果能同时证明这两个命题，根据反证法就可以知道“费马大定理”不成立，这一假定是错误的，从而就证明了“费马大定理”。但当时他没有严格证明他的命题。
11：1986年，美国数学家里贝特证明了弗雷命题，于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。
12：1993年6月，英国数学家维尔斯证明了：对有理数域上的一大类椭圆曲线，“谷山——志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线，也就表明了他最终证明了“费马大定理”；但专家对他的证明审察发现有漏洞，于是，维尔斯又经过了一年多的拼搏，于1994年9月彻底圆满证明了“费马大定理”。
13：1991年对费马大定理指数n<1,000,000费马大定理已被证明,n="">1,000,000没有被证明.已成为世界数学难题。
今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：
任一大于7的奇数都可写成三个质数之和
的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。
若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”，数学家认为弱哥德巴赫猜想已基本解决。
研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径。这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理以及几乎哥德巴赫问题。
1、殆素数
殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然现在不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。现在用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成"1+1"。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的[1]。
“a+b”问题的推进
1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。
1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。
1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一很大的自然数。
1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1+3”。
1966年，中国的陈景润证明了“1+2”。
2、例外集合
维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。
业余搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人声称“证明”了哥德巴赫猜想在概率意义下是对的。实际上他们就是“证明”了例外偶数是零密度。这个结论华老早在60年前就真正证明出来了。
3、三素数定理
4、几乎哥德巴赫问题
1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过logx的k次方。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。1999年，作者与廖明哲及王天泽两位教授合作，首次定出k的可容许值54000。这第一个可容许值后来被不断改进。其中有两个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到k=2000。目前最好的结果k=13是英国数学家希思-布朗(D.R.Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破。
1、韦达（1540-1603），法国数学家。
年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》
2、帕斯卡（1623──1662年）是法国数学家、物理学家和哲学家．
16岁的时候就发现了著名的“帕斯卡定理”，即“圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线”，对射影几何学作出了重要贡献．19岁时，发明了一种能做加法和减法运算的计算器，这是世界上第一台机械式计算机．他对连续不可分量、微分三角形、面积和重心等问题的深入研究，对微积分学的建立起到了积极的作用．帕斯卡对数学的最大贡献是创立概率论，为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡广泛应用了算术三角形（即二项式定理系数表，西方称帕斯卡三角，我国称贾宪三角或杨辉三角），并深入研究了二项展开式的系数规律以及这个三角形的构造及其许多有趣的性质。帕斯卡在物理学方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想录》和《致乡人书》对法国散文的发展产生了重要的影响。
3、在数学史上，很难再找到如此年轻而如此有创见的数学家。他就是出生在法国的伽罗华（1811——1832）
伽罗华才华横溢，思维敏捷，十七岁时就写了一篇关于《五次方程代数解法》这个世界数学难题的论文，最先提出了近代数学的一个基本概念——“群”。可是这篇论文被法国科学院一位目空一切的数学家丢失了。次年，他又写了几篇数学论文送交法国科学院，不料主审人因车祸去世，论文也不知所踪。再过两年，他被近把自己的研究再次写成简述，寄往法国科学，他去信尖锐地提醒权威们：“第一，不要因为我叫伽罗化，第二，不要因为我是大学生，”而“预先决定我对这个问题无能为力。”在这封咄咄逼人的书信面前，有两位数学家不得不宣读了他的研究简述，但随即又以“完全不能理解”予以否定，其实，他们并没有读懂伽罗华的论文。
伽罗华二十一岁那年死于决斗。临死前他对守在旁边的弟弟说：“不要忘了我，因为命运不让我活到祖国知道我的名字的时候。”在决斗前夜，他给友人写了著名的“科学遗嘱”，其中充满自信地说：“我一行中不只一次敢于提出我没有把握的命题，我期待着将来总会有人认识到：解开这个谜对雅可比和高斯是有好处的。”
他的预言成为现实，那是在三十八年他的六十页厚的论文终于出版的时候，从此，他被认为“群论”的奠基人。
4、刘徽
刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作．
《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．
刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．
刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富．
5、贾宪
贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。曾撰写的《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：数导）均已失传。
他的主要贡献是创造了"贾宪三角"和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性，这个方法的提出要比欧洲数学家霍纳的结论早七百多年。
6、秦九韶
秦九韶（约1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类。其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术"(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。
7、李冶
李冶(1192----1279)，原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居治学，被元世祖忽必烈聘为翰林学士，仅一年，便辞官回乡。1248年撰成《测圆海镜》，其主要目的是说明用天元术列方程的方法。“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某“，可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一步数学著作《益古演段》（1259）也是讲解天元术的。
8、朱世杰
朱世杰（1300前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》后序）。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）．
9、祖冲之
祖冲之（公元429～500年）祖籍是现今河北省涞源县，他是南北朝时代的一位杰出科学家。他不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐等领域，并且是一位天文学家。
祖冲之在数学方面的主要成就是关于圆周率的计算，他算出的圆周率为3.1415926<π<3.1415927，这一结果的重要意义在于指出误差的范围，是当时世界最杰出的成就。祖冲之确定了两个形式的π值，约率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，这两个数都是π的渐近分数。
10、祖暅
祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。现行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世纪可谓祖暅对世界杰出的贡献。
11、杨辉
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。
他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。
杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。
他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。
12、赵爽
赵爽，三国时期东吴的数学家。曾注《周髀算经》，他所作的《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》全文五百余字，并附有云幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。
赵爽还在《勾股圆方图注》中推导出二次方程(其中a>0,A>0)的求根公式
在《日高图注》中利用几何图形面积关系，给出了"重差术"的证明。（汉代天文学家测量太阳高、远的方法称为重差术）。
13、华罗庚
14、陈景润
数学家，中国科学院院士。1933年5月22日生于福建福州。1953年毕业于厦门大学数学系。1957年进入中国科学院数学研究所并在华罗庚教授指导下从事数论方面的研究。历任中国科学院数学研究所研究员、所学术委员会委员兼贵阳民族学院、河南大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校教授，国家科委数学学科组成员，《数学季刊》主编等职。主要从事解析数论方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得国际领先的成果。这一成果国际上誉为“陈氏定理”，受到广泛引用。这项工作，使之与王元教授、潘承洞教授共同获得1978年国家自然科学奖一等奖。其后对上述定理又作了改进，并于1979年初完成论文《算术级数中的最小素数》，将最小素数从原有的80推进到16，受到国际数学界好评。对组合数学与现代经济管理、科学实验、尖端技术、人类生活密切关系等问题也作了研究。发表研究论文70余篇，并有《数学趣味谈》、《组合数学》等著作。
15、我们的希望是在21世纪看见中国成为数学大国。”——陈省身
陈省身先后担任我国西南联大教授，美国普林斯顿高等研究所研究员，芝加哥大学、伯克利加州大学终身教授等，是美国国家数学研究所、南开大学数学研究所的创始所长．陈省身的数学工作范围极广，包括微分几何、拓扑学、微分方程、代数、几何、李群和几何学等多方面．他是创立现代微分几何学的大师．早在40年代，他结合微分几何与拓扑学的方法，完成了黎曼流形的高斯—博内一般形式和埃尔米特流形的示性类论．他首次应用纤维丛概念于微分几何的研究，引进了后来通称的陈氏示性类．为大范围微分几何提供了不可缺少的工具．他引近的一些概念、方法和工具，已远远超过微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学中的重要组成部分．陈省身还是一位杰出的教育家，他培养了大批优秀的博士生．他本人也获得了许多荣誉和奖励，例如1975年获美国总统颁发的美国国家科学奖，1983年获美国数学会“全体成就”靳蒂尔奖，1984年获沃尔夫奖．中国数学会在1985年通过决议．设立陈省身数学奖．他是有史以来惟一获得数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的华人，被称为“当代最伟大的数学家”．被国际数学界尊为“微分几何之父”．韦伊曾说，“我相信未来的微分几何学史一定会认为他是嘉当的继承人”．
菲尔兹奖得主、华人数学家丘成桐这样评价他的老师：“陈省身是世界上领先的数学家……没有什么障碍可以阻止一个中国人成为世界级的数学家．”
2004年11月2日，经国际天文学联合会下属的小天体命名委员会讨论通过，国际小行星中心正式发布第52733号《小行星公报》通知国际社会，将一颗永久编号为1998CS2号的小行星命名为“陈省身星”，以表彰他对全人类的贡献．
16、江泽涵
江泽涵,中国人。1902年10月6日生于安徽省知旌县。1922年至1926年在南开大学学习,毕业后在厦门大学工作了一年。1927年赴美国哈佛大学博士学位。接着在普林斯顿大学工作了一年。1931年回国,受聘在北京大学数学系任教授,1934年起任系主任。1936年至1937年再次赴美。1947年至1949年赴瑞士做研究工作。1949年回国,并任北京大学数学系教授兼系主任。1952年院系调整后,改任几何代数教研室主任。中国数学会成立后,他任副理事长。1962年起任北京市数学会理事长。1982年改任名誉理事长。1955年江泽涵被选为中国科学院学部委员。他还是中国国家科学技术委员会数学学科组成员。
江泽涵在数学上的贡献主要在拓扑学方面。
江泽涵最先将拓扑学的临界点理论直接用到分析中去,得到了关于调函数的重要结果:在三维欧几里得空间中总质量不为零的S个质点(每个质点的质量可正、可负)所产生的牛顿位势函数,若无退化临界点,则至少(S-1)个临界点且超额的个数一定是偶数.江泽涵就各种分布类型(体分布、面分布、点分布),总质量为正、负、零的情况,系统地研究了区域的拓扑特征与牛顿位势的临界点的型的关系。证明了存在一个内胚于球体的区域,它的以一个内点为极点的格林函数在它内部确有临界点。他还证明了：在平面上，如果单连通区域Ｒ是一个具有光滑边界的m重连通的区域，Ｒ的以任一内点为极点的格林函数在Ｒ内恰有（m－1）个临界点。
江泽涵在复迭空间和纤维丛方面进行了深入的研究，并证明了不可定向流形Ｍ的任一可定向复迭必是Ｍ可定向二叶复迭形Ｍ的复迭形，且Ｍ有一个周期为2的、无不动点的、反定向的自同胚。他计算了n维球面的有线素流形的同调群。
江泽涵对不动点理论进行了长期的研究，并利用曲面基本群的既约母元叙列，成功地定义了曲面万有复迭形用圆周紧化，还证明它与非欧几何得紧化是同胚的。从1961年起，他与他的学生姜伯驹出了自映射的伦型的概念，证明了尼尔生数的伦型不变性以及尼尔生数等于具有相同伦型的自映射的最少不动点数。不动点理论方面的成果集中写入了其专著《不动点类理论》（科学出版社，1979年）中。
江泽涵已发表学术论文15篇，专著有《不动点理论》、《拓扑学引论》（上海科学出版社，1964、1978）等，还有普及读物《多面体的欧拉定理和闭曲面的拓扑分类》（人民教育出版社，19640）等。另外还有译著8部。
江泽涵是一位数学教育家，培养了一大批数学家，如姜伯驹等。