悖论及其意义一、悖论的举例及其注释为了便于理解悖论的特征和意义，我们不妨先从实例讲起。
由于悖论的起源和发展几乎与科学史同步，所以悖论已经历了几千年漫长的发展和演变过程，因而种类繁多，无法一一列举，下面仅举几个典型例子。
b5E2RGbCAP1．说谎者悖论公元前六世纪，克里特人构造了这样一个语句，一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话，”试问这句话是真是假？这里给出这句活是真是假的逻辑论证：假设它是真的，即所有克里特人说的每一句话都是谎话，由于这句话正是克里特人所说，故根据此话的论断可推出这句话是假的。
由此可见，由这句话的真可推出它是假的。
显然，这是一个逻辑矛盾。
产生矛盾的原因是，命题的论断中包含了前提。
反之，假设这句话是假的，也就是说并非每一个克里特人的每一句话都是假话，从而既不能导致逻辑矛盾，也推不出它的真。
p1EanqFDPw此悖论的特征是，由它的真可以推出它的假，但反之，由它的假却推不出它的真。
现将此悖论略加修改，可以构造一个强化的说谎者悖论：“我说这句话时正在说谎”，试问这句话是真是假？下面给出这句话真假性的逻辑论证。
DXDiTa9E3d假设这句话是真的，即肯定了这句话的论断，但由此话的论断推出这句话是假。
反之，假设这句话是假，则应否定这句话的论断，即肯定其反面，从而又推出这句话是真。
RTCrpUDGiT以上矛盾产生的原因是，由于语言结构层次的混乱，具体地讲，这是一句话套话的句子，且被套的话就是套它的话自身，或者说被断定的话与断定的话混而为一。
5PCzVD7HxA2.康托悖论这个悖论是康托1899年发现的，现叙述如下。
设集合是所有集合的集合，试问集合的基数与集合的幂集的基数，哪个大。
一方面，根据康托定理，任何集合的基数小于其幂集，即<，可推得<(i>另一方面，由是的幂集，可知集中的任一个元素，即都是的子集，所以必是一个集合。
而又因是所有集合的集合，从而又有。
于是有，即是的子集，故又有jLBHrnAILg(ii>显然，(i>式与(ii>式矛盾，产生这种悖论的原因是，在承认康托定理的前提下，根据概括原则所确定的集合是不存在的。
xHAQX74J0X3.罗素傅论此悖论是罗素的1902年提出的，叙述如下。
将集合分为两种，一种是集合亦是它的元素，即，例如，所有集合的集合就属于这一种。
人们称这种集合为本身分子集。
另一种集合不是它的元素，即，例如，自然数集就属于这一种集合。
人们称这种集合为非本身分子集。
观将所有集合按此标准分为两类，一类是所有本身分子集，另一类是所有非本身分子集。
现在问，所有非本身分子集组成的集是哪一种集合。
为了陈述简明清晰，不妨设所有非本身分子集构成的集为，即。
LDAYtRyKfE如果是本身分子集，即，由的组成可推出；反之，如果是非本身分子集，即，由的构成又可推出。
综合以上可得如下逻辑推理表达式这是一个两边互相矛盾的等价式(注意这和康托悖论中的两个互相矛盾的命题有些微妙的差异。
因为两个互相矛盾的等价命题，当然首先是两个互相矛盾的命题；但反之，两个互相矛盾的命题未必都能化归为两个互相矛盾的等价命题>。
产生这个悖论的根源是，这种所有非本身分子集是不存在的。
Zzz6ZB2Ltk4.理发师悖论下面我们介绍罗素1919年仿他构造的集合论悖论改写而成的理发师悖论。
将李家村上有刮胡子习惯的所有人分成两类，一类是自己给自己刮胡子，另一类是自己不给自己刮胡子。
该村有一个有刮胡子习惯的理发师给自己规定：给而且只给那些不能自己刮胡子的人刮胡子。
试问这个理发师属于上述两类人中的哪一类或者这个理发师自己给自己刮不刮胡子？如果说他是属于自己给自己刮胡子的一类，但按照他自己的规定，他不能给自己刮胡子，从而推得他只能属于自己不给自己刮胡子的一类，反之，如果说他是属于自己不给自己刮胡子的一类，但按照他的规定，他必须给自己刮胡子，因而他只能属于自己给自己刮胡子的一类。
综合以上可推出如下的两个互相矛盾的等价命题dvzfvkwMI1理发师自己给自己刮胡子理发师自己不给自己刮胡子。
5.理查德悖论这个悖论是1905年提出的，现已有很多不同的表达形式，这里仅就其中的一种陈述如下。
将自然数的所有性质编成号码如果序数具有所表示的性质，则称是非理查德自然数域，简称非理查德数。
例如，若令表示素数集或素数定义，因为3是素数，于是3就是非理查德数。
如果素数与所表示的性质不符，则称为理查德数。
例如，令表示偶数，因为5不是偶数，所以5是理查德数。
根据以上概念构造理查德悖论如下rqyn14ZNXI理查德数是与编号所表示的性质不符的序数的自然数显然，这句话也表示自然数的一个性质，因而也有一个号码，试问序号是理查德数还是非理查德数？下面给出简要论证。
EmxvxOtOco如果是非理查德数，根据定义具有这句话所表达的性质，即，是一个理查德数；反之，如果是理查德数，根据定义与这句话意思不符，即不满足理查德数的定义，所以必是非理查德数。
从而有SixE2yXPq5是非理查德数是理查德数故上述那句话是一个悖论。
其内容如下。
一个球在框中停一分钟，传到框中停分钟，再传回到框中停分钟，又传回到框中停分钟，如此往复作下去，试问球最后在框中还是在方框中？显然，在框中不对，在框中也不对。
因为，数列6ewMyirQFL不存在最后一个。
二、悖论的特征及其根源综述1.悖论的逻辑结构分析以上六个悖论从逻辑结构上大体可分为四类，概述如下。
<1），但。
即由可以推出非；但反之，由非却不能推出。
譬如说谎者悖论。
<2），即由可以推出非和。
譬如康托集合论悖论。
<3），即与非可以互为因果关系，或者与非同假同真。
譬如罗素悖论。
<4），这表示由前提推不出什么结果。
譬如抛球悖论。
2.悖论的严格定义在历史上人们把导致逻辑矛盾的命题形式或语句通称悖论，守旧派甚至把为冲破旧传统观念的局限性和束缚而引入的新概念和新方法也诬蔑为悖论。
例如，远在古希腊时期，由于人们发观了不可通约或不可公度线段的存在，从而导致了无理数的产生，这个新概念的提出就冲破了有理数的局限和束缚，当时的守旧派就诬蔑无理数是数学中的悖论。
由此可见，从历史上看，悖论这个概念的外廷比较大，因而涉及的面就广。
kavU42VRUs目前对悖论也有几种不同的定义，有的对条件要求太严，因而它的外廷太小，有的却对条件要求太松，从而导致它的外延太大。
我们认为这两个极端都不太好，所以赞同其中这样的如下一种定义y6v3ALoS89如果在某一个理论系统中，能够推出两个互相矛盾的命题或语句，或者该系统中能证明两个互相矛盾的等价命题或语句，则称该理论系统中包含有悖论。
如果这个悖论能陈述为一种命题的形式或语句(注意有的悖论往往要在一个推演过程中才能表观出来>，又称这个命题形式或语句是该系统中的一个悖论。
M2ub6vSTnP由上述定义可知，悖论是一个相对概念，即悖论是对一个理论系统而言的。
另外，悖论是一个系统中的逻辑矛盾，但并非所事有逻辑矛盾都是悖论，譬如，“说谎者悖论”，虽然是一个逻辑矛盾，但在上述定义中却构不成一个悖论，即悖论集是逻辑矛盾集的一个真子集。
0YujCfmUCw3.悖论的根源(1>逻辑方面的因素悖论实质上是一种特定的逻辑矛盾。
产生这种逻辑矛盾的根源之一是构成悖论的命题形式或语句中隐藏有一个利用恶性循环定义(被定义的对象已包含在借以定义它的对象之中>的概念。
正是这种恶性循环圈的存在导致了悖论的产生。
例如，在康托悖论中就包含了一个这样的概念：集合是所有集合的集合。
在这里集合被定义为所有集合的集合，显然，所有集合中当然已包含了集合。
eUts8ZQVRd下面我们再引伸一步，为什么能出观恶性循环定义呢？从语义学的角度讲，在语句结构中话套活，因果交叉，层次混乱，从数学的角度讲，主要原因有，一是运用了与之类作为条件；二是利用康托朴素集合论的概括原则构造集合，即将满足某一性质的元素的总体确定一个集合，记作sQsAEJkW5T或三是无限概念的参与，可以说它是数学矛盾的主要根源之一。
2.认识论与方法论方面的因素从认识论和方法论的角度看，产生逻辑矛盾或悖论的根本原困，无非是人们认识客观世界的方法与客观规律的矛盾。
例如，在康托悖论中，首先利用概括原则构造了一个作为论题出发点的集合，即所有集合的集合。
然而，客观世界中就根本没有这样的集合。
这种由概括原则构造集合的任意性(注意在前面提到的ZFC公理系统中的子集公理的提出，就是为了限制这种任意性与客观世界中生成集合的非任意性的矛盾>是导致康托悖论的根本原因。
再如，贝克莱悖论(当牛顿—莱布尼兹微积分诞生以后，一方面在科学和生产实践中得到了广泛的应用，但另一方面，无穷小方法包含有逻辑矛盾，这个逻辑矛盾当初被称为贝克莱悖论>，在十八世纪人们认为从逻辑上讲确已构成悖论，但是，当今这个悖论已不存在了。
这就是说，随着人类对客观世界认识的发展和深化，以前是悖论现在有可能被消除，现在是悖论将来也许就不是了或者被消除。
GMsIasNXkA三、解决悖论的方法悖论形式多样(一般大体可分为逻辑悖论和语义学悖论两类>，因而解决悖论的方法也不唯一。
用的较多的有罗素的分支类型论、塔尔斯基的语言层次论、策墨罗—弗兰克的公理化方法。
这里我们着重介绍策墨罗—弗兰克的公理化方法，即在前面己介绍过的ZFC集合论公理系统。
TIrRGchYzg由于人们普遍认为集合论应该是整个数学的基础，因此悖论在集合论中的出现就动摇了整个数学的基础，所以在数学界、逻辑界引起了很大的震动。
为捍卫数学理论基础的科学性和逻辑严密性，当时很多著名的数学家、逻辑学家和哲学家都积极地投入了一场解决集合论中悖论的大会战。
这就是策墨罗—弗兰克公理集合产生的客观背景，也正是我们着重介绍它的主要原因。
7EqZcWLZNX然而，集合论包含悖论的主要根源是，在康托朴素集合论中一个构集的原则，即概括原则有问题，而概括原则出问题就在于它在构造集中用了任意性原则(如“所有集的集”>。
于是，策墨罗等人就根据这个产生悸论的关键因素建立了一个公理系统。
在这个公理系统中，一方面保留了康托朴素集合论中概括原则的合lzq7IGf02E理因素，另一方面对它构造集的任意性的不合理因素加以适当限制，这样就形成了一个包括改造了的概括原则，即分离公理或子集公理在内的集合论公理系统。
在该系统中只承认由它的公理组所允许范围内构造的集合才算集合，凡是超出本系统所控制的范围所构造的集合统统不予以承认，即都不是集合。
下面我们来证明康托悖论与罗素悖论在ZFC集合论公理系统中的确已被排除。
zvpgeqJ1hk要证康托悖论与罗素悖论在ZFC公理系统中被排除，只要能证明“所有集合组成的集合”与“所有非本身分子集所组成的集合”都在ZFC公理系统中不是集合即可。
为此，首先根据ZFC公理系统中的分离公理出发，在该系统中证明如下的一个定理NrpoJac3v1定理任何一个非空集合必有一个子集，但它不是的元素。
用形式符号表示为证明首先从出发，根据分离公理构造集’为即集’是由中满足条件的元素所组成。
其次证明’确实满足定理的要求.由于’是由中分离出来的，所以’是的子集是显然的。
因此，只要能证明’不是的元素，即，定理就证明了。
下面我们用反证法来证明这一事实。
1nowfTG4KI反设，那么根据排中律，关系或当且仅当只有一个成立。
不妨先设关系成立，因为’中的每一个元素都有关系，所以作为’中一个元素’，也必有关系。
于是由假设就导致了这样一个逻辑矛盾表达式fjnFLDa5Zo(i>同样，若设关系成立，这就是说’不是’的元素；又由组成’的附加条件可推出。
从而由假设可导致如下的一个逻辑表达式tfnNhnE6e5(ii>综合(i>式与(ii>式可知，原先假设关系不成立，再根据排中律必有，从而定理得证。
推论1在ZFC系统中不存在一个所有集的集。
证明反设在ZFC系统中，存在所有集合组成的集合，不妨设这个集合为。
于是，根据上述定理，必有一个子集’，不是的元素，即HbmVN777sL(iii>(iii>式表明，存在不属于的集合，从而也就证明了所有集组成的集不存在。
故在ZFC公理系统中康托悖论可排除。
V7l4jRB8Hs推论2在ZFC公理系统中，不存在所有非本身分子集组成的集。
证明不妨设所有非本身分子集组成的集合为，现在来证明这个根本不存在。
反设是一个集，于是由上述定理知，必有一个不属于它自己的子集’，即83lcPA59W9因为’是一个集合,故’不是非本身分子集就是本身分子集，即关系与，当且仅当有一个成立。
由于，且又是所有非本身分子集的集，所以’不可能是非本身分子集，即关系不成立。
于是只能有关系成立的可能性。
但如果，又因，从而有，即。
因此矛盾。
故不是集合。
得证。
由于在ZFC系统中不是集合，所以在ZFC系统中罗素悖论被排除。
mZkklkzaaP最后，我们还要强调指出，以上论证是在ZFC集合论公理系统中进行的。
如果承认该公理系统是正确的，那么，这些证明和获得的结论就是正确的。
AVktR43bpw四、悖论的意义1.悖论在数学方法论方面的意义我们这里着重通过本世纪三十年代震动整个数学与逻辑学界、且被誉为数学与逻辑学发展史上的一个里程碑的哥德尔不完全定理的证明思路与悖论的密切联系，看看悖论在数学方法论方面的意义。
ORjBnOwcEd《数学思想方法》教材中我们曾简要地介绍过哥德尔不完全定理，其内容是包括算术在内的任何一个协调公理系统都是不完全的。
具体地讲，包括算术在内的任何一个形式系统，如果是协调的，那么在内总存在不能判定的逻辑命题，即中存在逻辑公式与非，在中不能证明它们的真假。
下面将概括地介绍定理证明的方法特征及其结构层次。
2MiJTy0dTT不完全性定理证明的关键是，哥德尔以超人的天才创造了一个非常独特的映射，即将形式系统中的符号、公式、公式序列、证明等与自然数建立对应关系。
这样，就有可能用自然数及其有关性质来研究形式系统的有关性质。
在此基础上，哥德尔又通过递归函数证明了所有元数学中有关命题的性质及其形式结构皆可在算术系统中得到表示。
从而形式系统中的有关命题、性质及其形式结构都可映射为算术系统中的有关命题、性质及其形式结构。
这样就可借助箅术系统中有关性质研究原形式系统的有关性质。
gIiSpiue7A2.悖论与数学基础悖论就是一种特殊的矛盾，人们通过对数学中这种内在矛盾的揭示、研究和消除，推动了数学的发展，特别是对数学基础理论、逻辑学的完善和发展有其更重要的意义。
譬如，上面我们曾提到的，由于罗素悖论的发现导致了公理集合论的诞生。
哥德尔在悖论思想的启发下，成功地证明了不完全性定理，由不完全性定理的证明，又促进了《递归函数论》、《证明论》等现代数理逻辑的大发展。
这些就足以说明悖论对数学基础的重要意义。
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