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2022.04.28
悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
这是芝诺悖论中最著名的一个悖论，一个善跑健将永远都追不上一只近在咫尺的乌龟。阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。当阿基里斯追到100米，乌龟的出发点时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了。
阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟!
一个人从A点走到B点，必先走完路程的1/2，然后走完剩下的1/2时，必须走完剩下总路程的1/2，以此类推，再走完剩下的1/2，又可以分出一个1/2……”如此循环下去，由于1/2总可以不停的分解下去，则一个人永远不能到终点B。当A，B无限接近的时候，也就是说人无法运动，只能静止!
芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的”
“那还用说，当然是动的。”
“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗”
“有的，老师。”
“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗”
“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。”
“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的”
“不动的，老师”
“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢”
“也是不动的，老师”
“所以，射出去的箭是不动的”
诺贝尔奖获得者物理学家费米曾经问过一个问题：如果有地外文明早在我们之前数百万数千万年前就已经能够星际旅行，那么为什么我们至今为止没有发现它们存在过的迹象如果真有外星人，它们在哪呢这就是费米悖论的核心论点，它们在哪儿!
当然那些民间传说是不可信的。地球又到底是一个什么样的存在呢!会不会是高等生命的动物园又会不会我们就是外星人，是被高等文明放入地球的又或者我们就是现在最先进的文明又或者等地球文明成长到一个地步之后，就会被抹杀又或者地球如同黑客帝国一样只是一堆数据...
费米悖论让人细思极恐，因为这个悖论所探究的事情，很可能下一秒就会发生在我们的头上。费米悖论的核心就是“他们在哪里”，这里的他们指的是地外文明，也就是外星人。这和三体中的黑暗森林法则很相似，地球的存在到底是什么样子的!
乌鸦悖论也叫做亨佩尔悖论，是德国逻辑学家亨佩尔为了说明归纳法违反直觉而提出的悖论。亨佩尔举了一个例子：“所有乌鸦都是黑色的”论断。我们可以出去观察成千上万只乌鸦，然后发现他们都是黑的。在每一次观察之后，我们对“所有乌鸦都是黑的”的信任度会逐渐提高。归纳法原理在这里看起来合理的。
现在问题出现了。“所有乌鸦都是黑的”的论断在逻辑上和“所有不是黑的东西不是乌鸦”等价。如果我们观察到一只红苹果，它不是黑的，也不是乌鸦，那么这次观察必会增加我们对“所有不是黑的东西不是乌鸦”的信任度，因此更加确信“所有的乌鸦都是黑的”!
原命题：所有乌鸦都是黑色的。
即：若一物为乌鸦，则其是黑色的。
逆命题：若一物是黑色的，则其为乌鸦。
否命题：若一物非乌鸦，则其非黑色。
逆否命题：若一物非黑色，则其非乌鸦。
即：所有不是黑色的东西都不是乌鸦。
根据原命题与其逆否命题等价，我们可以得出：每发现有满足其逆否命题的情况，就增加了原命题正确的概率。这样说来，当我们发现了一只红苹果，它的确既“不是黑色的东西”，也“不是乌鸦”，的确满足上述逆否命题。类似的，黄香蕉，绿柚子、紫葡萄......它们的出现，果真都可以增加“所有乌鸦都是黑色的”正确的概率同理而言，它们同样亦可增加“所有乌鸦都是白色的”正确的概率这就是乌鸦悖论最为让人头痛的逻辑所在。
乌鸦悖论可以算是最为诡异的悖论了，理解起来是非常难得，会颠覆你的逻辑思维。乌鸦悖论的核心就是天下的乌鸦都是黑的，而打破这个悖论的方法就是找到一只不是黑色的乌鸦。
所谓黄油猫悖论，就是一种理想中的永动机。
实验材料：一只猫、一片吐司、黄油、胶带或绳子。
实验步骤：当你把黄油面包没有涂上黄油的一面黏在猫的背部，让猫从半空中跳下。
实验猜想：
1、猫在半空中跳下，永远用脚着陆。
2、把黄油吐司抛到半空中，永远是涂上黄油的一面落地。
3、依照以上定律，猫无法用脚着陆，因为黄油面包永远是涂上黄油的一面落地;但同样的，黄油面包涂上黄油的一面也无法落地，因为猫永远用脚着陆。这样就形成了一个无限循环，也就是上面动图中猫咪的样子了，成为了一只永远不停旋转的永动机。
【实验结果】
永远是猫先着地，因为黄油面包是不会动的，而猫会动，从而改变自己的落地方向。
是一个错误的理论，把黄油面包没有涂上黄油的一面黏在猫的背部时，这个组合体已不是原来单纯的猫或黄油面包了。因此也就不一定具备单纯的猫或黄油吐司的特性，之前的定理也就不再适用。这是简单的组合引起质变的道理。
有意思的是，有人表示，黄油猫实验将导致一个反地心引力的情况。他们猜测，黄油猫在半空落地之时，将会渐渐减速和转动，最终到达一种恒稳状态，在地面上方高速转动，使得面包没有涂上黄油的一面和猫背无法接触地面。
这种解释十分诙谐，我们假设两种定律都正确，那什么事情都能发生。然而，依照以上解释，必须有某一种能量维持黄油猫的恒稳状态，否则它会违反能量守恒定律。所以永动猫不成立，而且永远是猫先着陆。
霍金认为黑洞会保留被吞噬物体的痕迹，且将释放出少量被撕碎的物质。1975年，霍金创立了闻名世界的理论体系，让黑洞的概念家喻户晓。这一理论主要是说，黑洞不可能吐出东西，所有那些被它吞噬的东西将永远置身于我们的宇宙之外。这一论断被一些人称为“霍金悖论”。
为了解决“悖论”从而引发了平行宇宙的概念，因为它与量子理论向抵触。量子理论在原子的水平上对宇宙加以描述，推断出信息时从来不会丢失的。如今，霍金已修改了黑洞理论，认为黑洞是可以“从新开放”的，所吞噬的信息可以以另一种形式释放出来，就像生活中的燃烧一样，只是信息的转化而已。也就是说黑洞在这个宇宙吸收东西，在另一个宇宙吐出来，很可能黑洞就是宇宙的虫洞。
黑洞长久以来一直是滋生悖论的肥沃温床。早在1974年，史蒂芬·霍金和和其他科学家证明，黑洞不是全黑的。相反，它们会辐射出能量，被称为霍金辐射，由光子和其他量子粒子构成——这个过程极其缓慢，但最终会导致黑洞完全蒸发。霍金发现，这个理论存在一个问题。这种辐射看上去相当随机，因此霍金推测它不可能携带任何与掉入黑洞的物质有关的信息。随着这个黑洞蒸发殆尽，它拥有的信息最终必定会消失。然而，这与量子物理的核心宗旨直接冲突，因为量子物理认为信息不可能被消灭。黑洞信息悖论就此诞生。
几十年来，物理学家一直在努力解决这个悖论。霍金曾认为是黑洞摧毁了信息，向量子力学提出了质疑。其他人并不赞同这一观点。毕竟，霍金的想法源自于他本人对融合广义相对论和量子力学所做的尝试——这一数学壮举本身的艰深迫使霍金必须要作一些近似才行。
如果信息无法逃逸，也无法被摧毁，就会有越来越多的信息被储存在越来越小的体积之中。但是，如果是这样的话，量子理论预言，无论在哪里，只要物质之间发生碰撞，产生一个微型黑洞的概率就会从几乎为零提高到无穷大。你应该会在大型强子对撞机里看到黑洞，也应该会在费米实验室里看到黑洞，还应该在上世纪30年代那些房间那么大的粒子加速器里看到黑洞，理论学家唐·马罗夫说，甚至当你在草地上跳来跳去时，你也应该看到黑洞才对。
显然，这些并没有发生。而另一种可能性，即物质和它携带的信息能够从黑洞中泄漏出来，则是不太可能的。任何落入黑洞的物质都必须要以超光速运动才能逃脱黑洞可怕的引力。最终在2004年，霍金改变了主意，他承认，黑洞最终没有摧毁信息。因为它们都很重，而且从中获取信息都要颇费一番功夫。霍金有许多的预言，有人说霍金预言可能正在慢慢实现，这也是有可能的。
理发师悖论是罗素悖论中的一个典型，甚至引发了第三次数学危机。而这个悖论探究的终极问题是，这个理发师该不该给自己刮脸，就这样一个简单地故事，却将数学家康托尔的集合论搅和的一团糟。
理发师悖论的解决方法
这个“悖论”的问题就出在这里了：“不给自己刮脸的人”的界定标准是什么
1、界定标准是：如果村里的任一村民x，从出生到死亡都从来没有自己给自己刮过脸，即一生中都没有“自己给自己刮脸”的“劣迹”，那么，x是“不给自己刮脸的人”。
2、界定标准是：如果村里的任一村民x，在接受该理发师刮脸服务之前从无自己给自己刮过脸，即在接受该理发师刮脸服务之前没有“自己给自己刮脸”的“劣迹”，那么，x是“不给自己刮脸的人”。
很明显，界定标准1是不可能的，因为这个标准是不允许给活人刮脸的。唯一合理的界定标准为2。由界定标准2可知，理发师或者符合他制定的规则，或者不符合，二者必居其一，不存在悖论。通过上面的分析表明，“理发师悖论”是由于混淆概念引起的，是与罗素悖论完全不同的。“理发师悖论”是罗素的一个败笔和浑着，是与罗素悖论毫无类似之处的。罗素悖论是深刻的，属于无穷引起的悖论，与芝诺悖论相似，而“理发师悖论”什么也不是。
十九世纪下半叶，德国数学家康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的。这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。
德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展。
所谓的外祖母悖论，其内容是说，假如你可以通过虫洞回到过去杀死怀有你母亲的外祖母那么你的母亲就不会出生，因此你也不可能出现在这个世界上，那么又是谁回到过去杀死了你的外祖母呢
由这个外祖母悖论，物理界就产生了平等历史(也叫“平行宇宙”)的说法。这一理论中，世界不是只有一个，而是有许多平行的世界存在，按照如今的历史过程：罗马帝国时代、大英帝国时代、工业时代、第一次世界大战、第二次世界大战、电脑网络……
如果将整个工业时代去掉，那至此以后的历史轨迹将会得到巨大的改变，或者两次世界大战都不会出现，又或者世界大战将会在我们的另外一个平行的世界里存在，也就是说另外一个世界如今的我们可能正在遭受着战争的阴影。这个时候“外祖母悖论”就有了合理的解释：一个人可以穿越时空回到过去杀死自己的外祖母，但这将导致世界进入两个不同的轨道，一条中有那个人(原先的轨道)，而另一条中没有那个人。
关于外祖母悖论的解释，有三种
1、平行宇宙
2、观察者
3、因果
这个理论认为时空会造成什么结果必然有其原因，那么时空中既然有某人的存在，那么某人的外祖母必然不会死，也就是说即便某人穿越回到过去，某人也一定杀不死自己的外祖母，时空自身会以各种“机缘巧合”修正妄图改变时空的人。
所谓上帝悖论，其实是用来嘲讽那些信仰上帝的宗教的，流传至今有着两个版本。但核心内容是都一样的，“上帝能否创造出一个自己也搬不动的石头”。
如果信仰上帝的人说能，那上帝不能搬动他创造的那块石头，所以上帝不是万能的。如果说不能，那么上帝不能创造出一块他搬不动的石头，所以上帝也不是无所不能的。由此论证了上帝并不是万能的。
但事实上，上帝悖论这个问题本身就是有这问题的。首先要论证是上帝是不是万能的，就必须要承认上帝是存在的，而很明显的是上帝是绝对高于人类文明层次的，也就是说，我们讨论上帝就如同蚂蚁在讨论人类一样，不同层次的生命如何谈论呢!
据《圣经》的启示，《圣经》中描述的上帝是有性格、有目的的、有情感的，具有情感性与目的性导致上帝自身必然存在“喜好”，也就是说有些事情是他不会去做的。比如：《圣经》指出上帝无法撒谎、上帝是公义的、上帝是爱。如果按照这样的解释，那么上帝当然有权利原则永远不做某些事情。
其次，我们对于“悖论”的理解，是在自己的知识范围内。试想蚂蚁能理解莫比乌斯环是立体的吗所以要真正的提出一个本质意义上的“上帝悖论”，提问者本身必须先具备上帝层面的属性与可能，不然这样的问题就好像小学生问大学生问题，但如果听不懂就论断说大学生学识没自己丰富一样。
有人认为造出自己举不起来的石头这要求本身已抵触全能上帝的前提，等同上帝做出装满水的空杯、圆的方形等要求，因而命题可以作废。亦有人认为这命题跟本不自己矛盾--先是上帝做出一块石头，然后自己限制自己的能力使之举不起来,或相反:按定义，上帝创造了一切，所以上帝创造了万有引力。上帝既然能创造万有引力，当然他也能使万有引力消失。所以上帝能够搬动任何石头。
在元前6世纪时，古希腊克里特岛人埃匹门尼德说了一句著名的话:“所有的克里特岛人都说谎。”看似一句平常的话，但是你好好的想想，他究竟是说了一句真话还是假话
如果他说的是真话，由于他也是克里特岛人之一，他也说谎，因此他说的是假话;如果他说的是假话，则有的克里特岛人不说谎，他也可能是这些不说谎的克里特岛人之一，因此他说的可能是真话。这被叫做“说谎者悖论”。公元前4世纪，麦加拉派的欧布里德斯把该悖论改述为：一个人说，我正在说的这句话是假话。
说谎者悖论是真还是假
说谎者悖论是至今都绕不过来的一个精彩悖论，只是简单的一句话，却让无数学者沦陷其中。“我正在说的这句话是假的”，这就是说谎者悖论的核心论点，你细细的思索一番之后，压根就搞不清楚这句话到底是真还是假了。
这句话究竟是真的还是假的如果这句话是真的，则它说的是真实的情形，而它说它本身是假的，因此它是假的;如果这句话是假的，则它说的不是真实的情形，而它说它本身是假的，因此它说的是真话，于是，这句话是真的当且仅当这句话是假的。
这种由它的真可以推出它的假并且由它的假可以推出它的真的句子一般被叫做“悖论”。不太严谨的说法是:如果从明显合理的前提出发，通过看起来正确有效的逻辑推导，得出了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式，则称得出了悖论。这里的要点在于：推理的前提明显合理，推理过程看起来合乎逻辑，推理的结果却是自相矛盾的命题或者是这样的命题的等价式。
伊壁鸠鲁悖论
如果是上帝想阻止“恶”而阻止不了，那么上帝就是无能的；
如果是上帝能阻止“恶”而不愿阻止，那么上帝就是坏的；
如果是上帝既不想阻止也阻止不了“恶”，那么上帝就是既无能又坏；
如果是上帝既想阻止又能阻止“恶”，那为什么我们的世界充满了“恶”呢？
假设在所有人都在睡觉的时候，宇宙中的所有东西尺寸都膨胀了一倍，那么当我们睡醒之后是否会发现这个变化，比如说你的手机长宽高都是以前的2倍，但是你的长宽高也是之前的两倍，所以手机握在你手里还是原来那个感觉，所有的一切都翻了一倍，种种因素下相互抵消，貌似确实没有任何办法发现这个问题，提出这个问题的是法国科学哲学家亨利庞加莱，虽然这是他提出的问题，但是他认为这个问题毫无意义。很多人都会认为假设有有一个上帝的存在，或者有一个宇宙之外的概念的存在，它可以观察到这样一个变化，但是这其实是一种误解，命题里说的宇宙并不是说我们的可观测宇宙，而是代指一切存在的物体，也就是说包括上帝在内，一切物体都会增大两倍。
亨利庞加莱认为这是一个看上去在描述一种变化，但事实上所谓的变化只是一种幻象，而讨论这个问题就没有意义。比如说你好奇孙悟空的血型是什么，一个虚拟出来的东西它就不存在未知。但是并不是所有人都和庞加莱一个想法，原命题是世界上所有物体的尺寸都增加一倍对吧？但是并没有说质量也随之增加，因此这样一个背景下，地球的半径将会是原来的两倍，而重力跟半径的重力跟半径的半径的平方成反比，半径变成两倍，那么重力就会变成原来的1/4，那么在这种情况下，重力的变化我们可以测量得知和之前的区别吗？可以。普通的方法是测量出来，比方说你用天平确实是测不出来，因为天平靠的是物体和标准，砝码之间对物体和方法在这个时候也都发生了变化，相互抵消了，但是温度计就可以测出来。
悖论是一种因为自己描述自己而导致的矛盾，而真实世界中是不存在矛盾的，矛盾只存在于命题与命题之间，而不存在于事物之间（无矛盾原理），例如无坚不摧的矛和坚不可摧的盾事实上不可能同时存在，因此真实世界中不存在悖论。矛盾之所以会困扰人类在于人类能够思考那些不存在的事物，换句话说矛盾只存在于人类的思维层次中，只有当人类有目的地看待世界时才会发现矛盾，而对于漫无目的的真实世界而言，事物有矛盾就让它不存在，不需要去思考。因此人类思维和真实世界本身是存在矛盾的，悖论使人类困惑在于不仅它导致人类思维内部出现矛盾，而且使人类发现人类思维和真实世界存在矛盾。
举例来说，我们认为排中律是正确的，即一个事物非真即假、非假即真，但是真实世界中并非如此，“真”和“假”本身没有明确的界限。赝品虽然是假的，但是在一定程度上能够起到和真品同样的效果；假话虽然是假的，却是真的假话；“不可描述”本身就是一个描述……“真”和“假”是混合在一起的，例如“这句话是假的”，这句话一半真一半假，如果认为它非真即假那么必然导致矛盾。宇宙中不存在完全对立的事物，因为事物不管怎么对立都是宇宙的一部分，至少这一点是相同的。“对立事物”甚至还是互相依存的，“真”以“假”为自身存在的前提，如果不存在“假”也就不需要产生“真”这个概念。
我们还可以反过来思考，如果“真”和“假”有明确界限的话，那么这个界限本身属于“真”还是“假”？虽然我们能够想象出一条没有宽度的界限，但是事实上界限不可能没有宽度，而且即使真的没有宽度，在界限附近的事物有本质区别吗？从更大尺度看，用一条足够粗的界限能够将我们认为的“真”和“假”都包含在内，此时“真”和“假”都处在模棱两可的状态。当然可以把界限归为“假”然后划分出“真”和“非真”，但是这时又出现了“真”和“非真”的界限，界限是无法消除的。
除了人类思维和真实世界对“真”和“假”的认识差异外，还有对“无限”和“有限”的认识差异，在有限的世界中思考无限是矛盾的根源。很多悖论都和无限有着密切联系，从古希腊的芝诺悖论（阿基里斯追不上乌龟、飞矢不动等），到第二次数学危机（无穷小量是不是零），都是和无限有关。真实世界是有限的，而如果考虑无限，虽然在人类思维中可能不存在矛盾，但是仍会出现和真实世界不一样的情况，从而导致悖论。