在研究命题逻辑中，原子命题是命题演算中最基本的单位，不再对原子命题进行分解，这样会产生两大缺点：
（1）不能研究命题内部的结构，成分和内部逻辑的特征；
（2）也不可能表达两个原子命题所具有的共同特征，甚至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过程。
例如著名的“苏格拉底三段论”：凡人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。
显然，该论证是正确的，但不能用命题逻辑的推理规则推导出来。
我们可将原子命题分解成两部分：个体（名词，代词）+谓词（动词）。
例如：人总是要死的
小王比小明高。
在命题的研究中，基于谓词分析的逻辑，称为谓词逻辑。谓词逻辑是命题逻辑的扩充和发展。
谓词逻辑(对原子命题分割)
简单命题中表示主体或客体的词，称为个体。通常用a，b，c，…表示。
用以刻画客体的性质或关系的模式，称为谓词。通常用大写字母F，G，H，…表示。
例如张华是大学生。李明是大学生。
若G：表示“是学生”，a：表示“张华”，b：表示“李明”.
则上述两个命题可符号化为：G(a)与G(b).
例如小王比小明高。
若H：表示“…比…高”；a：表示“小王”，b：表示“小明”.
则上述命题可符号化为：H(a,b).绝不可以写为：H(b,a).
1′谓词填式：谓词字母后填以客体所得的式子。例如：G(a)、G(b)、H(a,b)
2′若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词;
若谓词字母联系着二个客体，则称作二元谓词;
若谓词字母联系着n个客体，则称作n元谓词。
一元谓词表示一个个体所具有的性质；
n元谓词表示n个个体之间的关系。
3′客体的次序必须是有规定的。
例如F:“总是要死的。”
a:“张华”;a:“老虎”;c:“桌子”;
则F(a)，F(b)，F(c)均为命题。
在上例中，若令x表示个体变元，x{a,b,c}，则F(x)：x总是要死的.称F(x)为命题函数。(变化的命题)
定义：由一个谓词字母F和一个非空的个体变元集合D所组成的表达式，称为简单命题函数。
分析：
a）当简单命题函数仅有一个个体变元时，称为一元简单命题函数；
当命题函数含有两个个体变元时，则称为二元简单命题函数。
b）用任何个体去取代客体变元之后，则命题函数就变为命题；
c）命题函数中个体变元的取值范围称为个体域（论述域）。
例如：F(x)：x是质数。（一元命题函数）G(x,y)：x生于y。（二元命题函数）
其值取决于个体域。
个体域的给定形式有二种：
①具体给定。eg：{a,b,c}
②全总个体域：宇宙间的一切事物组成的个体域。所有的个体都从该域中取得。
将命题函数化为命题，通常有两种方法：
1）将x取定一个值。如：F(4)，F(5).
2）将谓词量化。如：xF(x)，xF(x).
例如：任何正整数都大于零。——命题可表示为xF(x).
谓词与函数的比较
代数
自变量
函数
函数值
定义域
逻辑
个体变元
谓词
命题
个体域
对个体变元数量限制的词，称为量词。
例如“这里所有的东西都是苹果”可写成：xA(x)或(x)A(x).
“”几种表达式的读法：xP(x)：“对所有的x，x是…”；xP(x)：“对所有x，x不是…”；xP(x)：“并不是对所有的x，x是…”；xP(x)：“并不是所有的x，x不是…”。
例如：将“对于所有的x和任何的y，如果x高于y，那么y不高于x”写成命题表达形式。
解：xy(G(x,y)→G(y,x))G(x,y)：x高于y.
“”几种表达式的读法：xP(x)：“存在一个x，使x是…”；xP(x)：“存在一个x，使x不是…”；xP(x)：“不存在一个x，使x是…”；xP(x)：“不存在一个x，使x不是…”。
例如：（a）存在一个人；（b）某个人很聪明；（c）某些实数是有理数将（a）,（b）,（c）写成命题。
解：规定：M(x)：x是人；C(x)：x是很聪明；R1(x)：x是实数(特性谓词)；R2(x)：x是有理数；则（a）xM(x)；（b）x(M(x)∧C(x))；（c）x(R1(x)∧R2(x))。
量化命题的真值：决定于给定的个体域.
例如给定个体域：{a1，…，an}。
以{a1，…，an}中的每一个个体代入
量词与否定联结词“”之间的关系：例：设P(x)表示x今天来校上课，比较可以得到：（x)P(x)(x)P(x)（x)P(x)(x)P(x)
不出现命题联结词和量词的谓词命名式称为原子谓词公式，并用P(x1，…，xn)来表示。
（P为n元谓词，x1，…，xn为个体变元），当n=0时称为零元谓词公式。
谓词公式的归纳法定义：⑴原子谓词公式是谓词公式；⑵若A是谓词公式，则A也是谓词公式；⑶若A,B都是谓词公式，则(A∧B），(A∨B)，(A→B)和(AB)都是谓词公式；⑷若A是谓词公式，x是任何变元，则xA，xA也都是谓词公式；⑸只有按⑴—⑷所生成得的那些公式才是谓词公式（谓词公式又简称“公式”）。
例如将下列命题翻译成谓词公式。
(1)凡偶数均能被2整除。
(2)存在着偶素数。
(3)没有不犯错误的人。
(4)在北京工作的人未必是北京人。
(5)尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。
(6)每列火车都比某些汽车快。
某些汽车比所有的火车慢。
使用量词时，应注意以下5点：
(1)在不同个体域中，命题符号化的形式可能不一样;
(2)一般,除非有特别说明，均以全总个体域为个体域;
(3)n元谓词化为命题至少需要n个量词，
(4)多个命题变元出现时，不能随意颠倒顺序，否则命题的含义完全改变。
(5)在引入特性谓词M(x)时，M(x)以蕴含前件加在“”后，以合取项加在“”后。即，对全称量词“”，用“M(x)→”加入；对存在量词“”，用“M(x)∧”加入。
例1：将下面命题符号化。
(1)所有的有理数均可表成分数。(2)有的有理数是整数。
例2：任何整数或是正的，或是负的。
例3：试将苏格拉底论证符号化：“所有的人总是要死的。因为苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。”
辖域：紧接在量词后面括号内的谓词公式。
例如xP(x)，x(P(x)∧Q(x))。
若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。自由变元：当且仅当不受量词的约束。
例如：xP(x,y),x(P(x)→y(P(x,y))。
在谓词公式中，约束变元的符号是可以更改的。
例如：
下面介绍约束变元的改名规则：
（a）若要改名，则该变元在量词及其辖域内的所有出现均需一起更改；
（b）改名时所用的变元符号必须是量词辖域内未曾出现的符号。
例如：公式xP(x)→yP(x,y)可改写成xP(x)→zP(x,z)，但不能改成：xP(x)→xP(x,x)，xP(x,x)中前面的x原为自由变元，现在变为约束变元了。
（a）若在谓词公式中出现有自由变元，则该公式为命题函数；
（b）若在谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为命题。
例如：xP(x,y,z)是二元谓词，yxP(x,y,z)是一元谓词，xP(x)是命题即谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一个命题。
例1：“没有不犯错的人。”解：设F(x)为“x犯错误”，M(x)为“x是人”（特性谓词）。可把此命题写成：
例2：“x是z的父亲且z是y的母亲”。解：设P(z)：z是人；F(x,z)：x是z的父亲；M(z,y)：z是y的母亲。则谓词公式可写成：
且该命题函数表示“x是y的外祖父”。
(1)个体域不同，则表示同一命题的谓词公式的形式不同。
例如：“所有的人都是要死的。”令D(x)：x是要死的。下面给出不同的个体域来讨论：(ⅰ)个体域为：{人类}，则可写成xD(x)；
(ⅱ)个体域为任意域（全总个体域），则人必须首先从任意域中分离出来.设M(x)：x是人，（M(x)为特性谓词）。命题可写成x(M(x)→D(x)).
(2)个体域不同，则表示同一命题的值不同。
设Q(x):x<5
{-1,0,3}
{-3,6,2}
{15,30}
xQ(x)
T
F
(3)对于同一个体域，用不同的量词时，特性谓词加入的方法不同。
对于全称量词，其特性谓词以前件的方式加入;
对于存在量词，其特性谓词以与的形式加入。
(4)量词对变元的约束，往往与量词的次序有关。
例如：yx(x A，B为两个谓词公式，E为它们的共同个体域， 若对A和B的任一组变元进行赋值，都有A和B的值相同， 则称A和B遍及E是互为等价的，记为AB. 给定谓词公式A，E是A的个体域。 若给A中个体变元指派E中的每一个个体所得命题的值均为真， 则称A在E中是永真的。 若E为任意域则称A是永真的。 若给A中个体变元指派E中每一个个体，在E中存在一些个体名称，使得指派后的真值为“T”，则A称是可满足的。 若给A中个体变元指派个体域中的任一个体，命题的值均为“F”，则称A是永假的。 只要用原子谓词公式去替换命题公式的永真式中的原子命题变元，则在第一章中永真蕴含式和等价公式均可变成谓词演算中的永真式： 证明：设个体域为：S={a1，a2，…，an}.xP(x)（P(a1)∨P(a2)∨…∨P(an)）P(a1)∧P(a2)∧…∧P(an)xP(x)下面举例说明量化命题和非量化命题的差别：否定形式不同例如：否定下列命题：(a)上海是一个小城镇A(s)(b)每一个自然数都是偶数x(N(x)→E(x))上述二命题的否定为：(a)上海不是一个小城镇A(s)(b)有一些自然数不是偶数x(N(x)→E(x))(b)有一些自然数不是偶数x(N(x)→E(x))x(N(x)→E(x))x(N(x)∨E(x))x(N(x)∧E(x))结论：对于非量化命题的否定只需将动词否定，而对于量化命题的否定不但对动词进行否定，而且对量词同时进行否定，其方法是：x的否定变为x，x的否定变为x。 定义：一个公式，如果量词均非否定地在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公式的末尾，则称此公式叫前束范式 例如：xyz(Q(x,y)∨R(z))(前束范式)定理：任何一个谓词公式均和一个前束范式等价。 设A(x)是一个谓词公式，x是其中的自由变元， 若把y代入到A(x)里而不会产生变元新的约束出现，则称A(x)对于y是自由的。例如：①下面A(x)对于y是自由的：A(x)zP(z)∧Q(x,z)，这里x为自由变元，若用y去取代A(x)中的x，A(y)zP(z)∧Q(y,z)，这里y也为自由变元.例如：②下面A(x)对于y不是自由的：A(x)y（S(x)→S(y)），这里x为自由变元，若用y去取代A(x)中的x，A(y)y（S(y)→S(y)），这里y变为约束变元了，产生了新的约束出现.如果必须要代入y，则应先将A(x)中的约束变元y改名，即A(x)z（S(x)→S(z)），然后用y去取代A(x)中的x，得z（S(y)→S(z)），y仍为自由变元.总结：判定A(x)对于y是自由的，只要看公式A(x)中y，y的辖域内有没有x的自由出现就行： 若有x的自由出现，则A(x)对于y不是自由的，若无x的自由出现，则一定可以肯定A(x)对于y是自由的。 命题逻辑中的P规则，T规则，CP规则和间接证明法，都可以引用到谓词逻辑的推理规则中来， 不过要注意对量词做适当处理其方法是：可用US，ES在推导中去掉量词；可用UG，EG使结论量化。 注意：在使用US，ES，UG，EG这四条规则时，要严格按照它们的规定去使用。