在平日的学习中，是不是听到知识点，就立刻清醒了？知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。为了帮助大家更高效的学习，下面是小编收集整理的高中不等式知识点总结，希望能够帮助到大家。
一、知识点
1.不等式性质
比较大小方法：
(1)作差比较法
(2)作商比较法
不等式的基本性质
①对称性：a>bb>a
②传递性:a>b,b>ca>c
③可加性:a>ba+c>b+c
④可积性:a>b,c>0ac>bc;
a>b,c<0ac ⑤加法法则:a>b,c>da+c>b+d ⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0ac>bd ⑦乘方法则：a>b>0,an>bn(n∈N) ⑧开方法则：a>b>0, 2.算术平均数与几何平均数定理： (1)如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号) (2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则 重要结论 1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2; (2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。 3.证明不等式的常用方法： 比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。 综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。 分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。 4.不等式的解法 (1)不等式的有关概念 同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。 同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。 提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形 去分母、去括号、移项、合并同类项 (2)不等式ax>b的解法 ①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a}; ②当a<0时不等式的解集是{x|x ③当a=0时,b<0,其解集是R;b0,其解集是ф。 (3)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系 (4)绝对值不等式 |x|0)的解集是{x|-a oo -a0a |x|>a(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a｝，几何表示为： 小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路： (1)定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号; (2)公式法：|f(x)|>af(x)>a或f(x)<-a;|f(x)| (3)平方法：|f(x)|>a(a>0)f2(x)>a2;|f(x)| (5)分式不等式的解法 (6)一元高次不等式的解法 数轴标根法 把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。 (7)含有绝对值的不等式 定理：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| |a|-|b|≤|a+b| 中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立 |a+b|≤|a|+|b| 中当且仅当ab≥0等号成立 推论1：|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3| 推广：|a1+a2+...+an|≤|a1|+|a2|+...+|an| 推论2：|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| 二、常见题型专题总结： 专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立 1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是(C) A、若a>b，则|a|>|b|B、若a>b，则1/a<1/b C、若a>b，则a3>b3D、若a>b，则a/b>1 2、已知a<0.-1 A、a>ab>ab2B、ab2>ab>a C、ab>a>ab2D、ab>ab2>a 3、当0 A、(1a)1/b>(1a)bB、(1+a)a>(1+b)b C、(1a)b>(1a)b/2D、(1a)a>(1b)b 4、若loga3>logb3>0，则a、b的关系是(B) A、0a>1 C、0 5、若a>b>0，则下列不等式①1/a<1a2="">b2;③lg(a2+1)>lg(b2+1);④2a>2b中成立的是(A) A、①②③④B、①②③C、①②D、③④ (二)比较大小 1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，则(A) A、abC、ab<1ab="">2 2、a、b为不等的正数，n∈N，则(anb+abn)-(an-1+bn-1)的符号是(C) A、恒正B、恒负 C、与a、b的大小有关D、与n是奇数或偶数有关 3、设1lg2x>lg(lgx) 4、设a>0,a≠1,比较logat/2与loga(t+1)/2的大小。 分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法(作差)即可。 (三)利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件 1、设x、y∈R,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系 ⑴命题甲：x>0且y>0，命题乙：x+y>0且xy>0充要条件 ⑵命题甲：x>2且y>2，命题乙：x+y>4且xy>4充分不必要条件 2、已知四个命题，其中a、b∈R ①a2 3、"a+b>2c"的一个充分条件是(C) A、a>c或b>cB、a>c或bc且b>cD、a>c且b (四)范围问题 1、设60 2、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(1)≤2,3≤f(1)≤3，求f(2)的范围。 (五)均值不等式变形问题 1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是(D) A、a2+b2≥2|a||b|B、(a/2+b/2)2≥ab C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a||b|) 2、x、y∈(0,+∞)，则下列不等式中等号不成立的是(A) C、(x+y)(1/x+1/y)≥4D、(lgx/2+lgy/2)2≤lg2x/2+lg2y/2 3、已知a>0,b>0,a+b=1，则(1/a21)(1/b21)的最小值为(D) A、6B、7C、8D、9 4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c≥9 5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证： (六)求函数最值 1、若x>4,函数 5、大、-6 2、设x、y∈R,x+y=5，则3x+3y的最小值是()D A、10B、C、D、 3、下列各式中最小值等于2的是()D A、x/y+y/xB、C、tanα+cotαD、2x+2-x 4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。 5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。 (七)实际问题 1、98(高考)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)。 解一：设流出的水中杂质的质量分数为y， 由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0) 据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0) 由a>0,b>0可得0 令t=2+a，则a=t-2从而当且仅当t=64/t，即t=8,a=6时等号成立。∴y=k/ab≥k/18 当a=6时,b=3， 综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。 解二：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0) 要求y的最小值，即要求ab的最大值。 据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30 即a=6,b=3时，ab有最大值，从而y取最小值。 2、某工厂有旧墙一面长14米,现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126米2的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元;②修1米旧墙的费用为a/4元;③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：⑴利用旧墙的一段x(x<14)米为矩形厂房的一面边长;⑵矩形厂房的一面长为x(x≥14).问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省⑴⑵两种方案哪种方案最好 解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，则另一边长为126/x米。 ⑴若利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为xa/4元，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x)a/2元，其余的建新墙的费用为(2x+2126/x-14)a元，故总费用当且仅当x=12时等号成立，∴x=12时ymin=7a(6-1)=35a。 ⑵若利用旧墙的一段x米(x≥14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为xa/4元，建新墙的费用为(2x+2126/x-14)a元，故总费用 设f(x)=x+126/x,x2>x1≥14，则f(x2)-f(x1)=x2+126/x2-(x1+126/x1) =(x2x1)(1126/x1x2)>0∴f(x)=x+126/x在[14，+∞)上递增，∴f(x)≥f(14) ∴x=14时ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a 综上所述，采用方案⑴，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。 (八)比较法证明不等式 1、已知a、b、m、n∈R+,证明：am+n+bm+n≥ambn+anbm 变：已知a、b∈R+,证明：a3/b+b3/a≥a2+b2 2、已知a、b∈R+,f(x)=2x2+1,a+b=1,证明：对任意实数p、q恒有af(p)+bf(q)≥f(ap+bq) (九)综合法证明不等式 1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证： 2、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3 3、已知a、b、c为不全相等的正数，且abc=1,求证： 4、已知a、b∈R+，a+b=1,求证： (十)分析法证明不等式 1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c 2、已知函数f(x)=lg(1/x-1),x1、x2∈(0,1/2)，且x1≠x2，求证： 3、设实数x,y满足y+x2=0,0 (十一)反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式 1、设f(x)=x2+ax+b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。 2、若x2+y2≤1,求证|x2+2xy-y2|≤. 3、已知a>b>c,求证： 4、已知a、b、c∈R+，且a+b>c求证：. 5、已知a、b、c∈R，证明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等号何时成立。 分析：整理成关于a的二次函数f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2 ∵Δ=(c+3b)2-4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)≤0 ∴f(a)≥0 6、已知：x2-2xy+y2+x+y+1=0，求证：1/3≤y/x≤3 7、在直角三角形ABC中，角C为直角，n≥2且n∈N，求证：cn≥an+bn (十二)解不等式 1、解不等式： 2、解关于x的不等式： 拓展 高中数学不等式的基本性质知识点 1.不等式的定义：a-bb,a-b=0a=b,a-b0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)abb (2)acac(传递性) (3)ab+c(cR) (4)c0时，abc c0时，abac 运算性质有： (1)ada+cb+d。 (2)a0,c0acbd。 (3)a0anbn(nN,n1)。 (4)a0isin;N,n1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 高中数学关于集合不等式和简易逻辑知识点 重点知识归纳、总结 (1)集合的分类 (2)集合的运算 ①子集，真子集，非空子集; ②A∩B={xx∈A且x∈B} ③A∪B={xx∈A或x∈B} ④A={xx∈S且xA}，其中AS. 2、不等式的解法 (1)含有绝对值的不等式的解法 ①x0)-a x>a(a>0)x>a，或x<-a. ②f(x) f(x)>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x). ③f(x) ④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值.如解不等式：x+3-2x-1<3x+2. 3、简易逻辑知识 逻辑联结词“或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据;真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助;掌握好反证法证明问题的步骤。