三段论有许多不同种类，其中最著名的例子:
逻辑学还是以自然语言来表述，可能会因为自然语言的模糊性损害其准确和权威。用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑(也叫做符号逻辑)。
1847年，英国数学家布尔G.Boole发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”。布尔创造了一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。还建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础
1884年，德国数学家弗雷格Frege出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。美国人皮尔斯Peirce，他也在著作中引入了更多逻辑符号。从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。
我们课程中介绍的是数理逻辑各个分支的共同基础部分:命题演算与谓词演算
什么样的语句是命题
三个识别要点:
再来看看几个语句
反证法与排中律
反证法的著名范例
1，N有另外的素数真因子
2，N本身就是一个素数显然，N比所有的ai都要大，无论哪种情况，我们都发现了ai之外的素数。这跟假设矛盾，根据排中律，命题就是真的!
直觉主义对排中律的质疑
我们回来再看看刚才的一个命题:
这样，我们有了三个新概念:
逻辑联结词有哪些呢我们来看看更多的复合命题:
接下来，我们要回到数理逻辑创立的初衷:对逻辑和思维过程进行形式化，使之象算术那样简单明了，确切无误。
p的逻辑关系为p不成立如果p表示命题“雪是白的”，那么“雪不是白的”应该表示为p
注意在包含多个对象判断的命题否定时，其意义的变化:
p∧q的逻辑关系为:p和q同时成立
张三虽然不太聪明，但他很用功:p∧q张三不是不聪明，而是不用功:p∧q
我们看到形式化确实通过抽象，抛弃了原语句的很多内容:
p∨q的逻辑关系为p和q中至少一个成立
自然语言中的“或”可以符号化为∨，但有时要注意原命题中的“或”可能表示排斥性选择:
p→q的逻辑关系是，p是q的充分条件，或者说q是p的必要条件
p→q中的p称作蕴涵前件，q称作蕴涵后件
pq的逻辑关系是p与q互为充分必要条件，在p，q真值相同的情况下，pq为真
两个组合的例子如果3是合数，则4是素数，并且如果4是素数，则它不能被2整除:
〉p:3是合数〉q:4是素数〉r:4能被2整除〉(p→q)∧(q→r)如果2+3>5当且仅当5是合数，则2和3都是有理数
〉p:2+3>5〉q:5是合数〉r:2是有理数〉s:3是有理数〉(pq)→(r∧s)符号组合的规则〉把符号组合起来，看起来开始象一个算式了〉算式的组合不是随意的;〉那么逻辑符号组合的规则是什么〉逻辑符号组合成的算式具有什么意义六、命题公式命题公式(propositionformula)的组成成分
命题公式简称做公式，采用大写A,B,C等表示
注意大小写符号的差别(A、B、C和p、q、r、s、t、f)命题公式的这种定义方法称作归纳定义，在集合论中将会详细讨论归纳定义
根据定义:
((p→(q∧r)))是命题公式
以下式子都不是命题公式:
(qp)(p1∧(p2∧…p→r∧s
严格按照定义的命题公式太繁琐，简化约定
p∨q等同于((p)∨q)
p→q∧r→s并不是((p→q)∧(r→s)),其实是((p→(q∧r))→s)
对任意给定的p1,p2,…pn的一种取值状况组合，称为指派或者赋值(assignments)