帝国主义者的逻辑和人民的逻辑是这样的不同。捣乱，失败，再捣乱，再失败，直至灭亡————这就是帝国主义和世界上一切反动派对待人民事业的逻辑，他们决不会违背这个逻辑的。....斗争，失败，再斗争，再失败，再斗争，直至胜利一这就是人民的逻辑，他们也是决不会违背这个逻辑的。————(毛泽东:《丢掉幻想准备斗争》)
上面的逻辑与逻辑学中的逻辑相差甚远，上面更多的是客观规律，行为方式。
“逻辑”一词的另多种用法:
上面的逻辑与逻辑学中的逻辑比较接近，但仍然不是逻辑学中研究对象。
逻辑(logic)一词的语源
“逻辑”一词的不同含义:
逻辑学：以推理形式为主要研究对象的学科（要与日常中逻辑区分开来）
推理：从已知条件(前提)得出结论的过程
例如，侦破案件步骤:
侦破案件是一个推理过程
又例如，法庭审案根据案卷（关于案件的材料、已知条件），作出判罚，这也是推理过程。
又例如，数学上证明定理：用公理、定理推出新定理，这也是推理过程。
我们日常生活中，不经意都会推理（例如，父母回到家，摸电视背后，感觉有没有发烫，判断小孩在自己进门前是否在观看电视）
推理形式:推理的结构
同类的不同具体推理具有共同的结构，即推理形式。
有效推理形式
逻辑：研究推理、推理形式
所有的科学在某种意义上都是某一方面的抽象
数理逻辑的公理系统中：符号只是符号本身，具有非常高的抽象性（也就是具有广泛应用性）
逻辑是一门高度抽象的学科，应用范围广。
欧姆定理U=IR，通过实验得出。之后可用数学求出，可不再用实验求其中某一值。
数学是物理学和很多学科的工具。逻辑学也一样。
显然它们是正确，但“显然”不靠谱。在逻辑学上，若两对象关系是对称的，则位置可互换，否则，不行。
显然这是正确。在逻辑学上，等于号=具有传递的关系
逻辑学研究对象范围很小：推理以及与推理有关的问题。
逻辑学的基本准则：
矛盾论：A和A的否定不能同时成立，但是日常生活中，常常描述某事物同时是好是坏，如这事物指下雪。
正确的解读：
A与A1是不同的
同一律，（不）矛盾论普遍适用
而排中律的适用范围是没有中间状态的，而二者互补的
例子：
日常生活中，符不符合逻辑，往往就逻辑学的基本准则几方面而言的。
逻辑学与以下学科的关系密切
逻辑学最早是作为哲学的一部分存在的。
哲学，狭义理解，主要解决世界本原问题，物质的，还是精神的，是主观的，还是客观的。
本体论和认识论是哲学的核心。
广义理解，包括逻辑学，伦理学，美学
数理逻辑：用数学的方法、数学的语言、数学的工具研究推理。数理逻辑的成果为数学基础的研究服务。
语言是逻辑的外壳
语文老师会认为“整个大楼片漆黑，只有那个窗户灯火通明。”是不对的，因为这两个子句互为矛盾
同样，“中国有着世界上任何国家都没有的万里长城”也是不对的。
计算机科学离散数学
最早的逻辑系统：二值，是与不是
推理：演绎和归纳
计算机为未做到归纳，但能做到演绎
归纳逻辑它的一个任务是要把我们所做的具体的归纳，要给出归纳的有效推理形式。
传统逻辑还是数理逻辑？
课程内容：数理逻辑的基础部分和传统逻辑的常用部分。
数理逻辑：不涉及任何一门高等数学的具体内容。
通过具体的推理了解:逻辑的精神、逻辑的方法、逻辑的思路。
逻辑学的产生和发展
了解逻辑学的思路、精神、方法
世界三大逻辑传统：
中国先秦时代的逻辑思想：春秋战国，百家争鸣
中国古代逻辑思想不像希腊那样单纯研究推理，而是渗透在，贯穿在对于其他许多问题的研究与论述当中。
孔子为主要代表
子日：觚不觚，觚哉!觚哉!————《论语.雍也篇》（觚：用来喝酒的青铜具）
子日：必也正名乎!....名不正则言不顺，言不顺则事不成，事不成则礼乐不兴，礼乐不兴则刑罚不中，刑罚不中则民无所措手足。故君子名之必可言也，言之必可行也。————《论语.子路篇》（推理）
白马非马
日：“马非马，可乎”
日：“可。”
日：“何哉”
日:“马者所以命形也。白者所以命色也。命色者非命形也，故日白马非马。”...
日：“求马，黄、黑马皆可致。求白马，黄、黑马不可致。”
————公孙龙子《白马论》
例如日常语言的“是”有多种含义（“白马非马”的例子），需要更精准语言进行描述
庄子与惠子游于濠梁之上。庄子日：“鲦鱼出游从容，是鱼之乐也。”
惠子日：“子非鱼，安知鱼之乐？”（安：哪里？怎么？惠子的“安”是指“怎么”）
庄子日：“子非我，安知我不知鱼之乐？”
惠子日：“我非子，固不知子矣;子固非鱼也，子之不知鱼之乐，全矣。”
庄子日：“请循其本。子日‘汝安知鱼乐’云者，既已知吾知之而问我，我知之濠上也。”（庄子以“安”作为“哪里”进行回答，违反逻辑学的基本准则的同一律）————《庄子.外篇.秋水第十七》
楚人有鬻盾与矛者，誉之日:“吾盾之坚，物莫能陷也。”又誉其矛日：“吾矛之利，于物无不陷也。”或日，“以子之矛陷，子之盾何如？”其人弗能应也。
不可陷之盾与无不陷之矛，不可同世而立。（说明矛盾律的原理）————《韩非子.难一》
类比（濠梁之辩），递推（孔子的正名）作为推理手段
墨家
前期墨家:墨家创始人墨翟(墨子，约公元前476-前390)本人在世时所组成的学派。
后期墨家:墨翟去世后由其弟子所组成的学派。
《墨子》：《墨经》(《墨辩》)
《墨经》：经上、经下、经说上、经说下、大取、小取。
知识的内容:名知（如知道梧桐树的名字），实知（如知道梧桐树的具体事物），合知（如知道梧桐树的名字和它具体事物），为知（实践，如怎么保护它）。
提出比较完整的逻辑体系，但不是逻辑学的名著。
夫辩者，将以明是非之分，审治乱之纪，明同异之处，察名实之理，处利害，决嫌疑焉。（推理很重要）
以名举实，以辞抒意，以说出故。————《墨经.小取》
为什么逻辑学主要在先秦时期发展？百家争鸣
后秦时期主要以儒家思想为主（怎么修身齐家治国平天下，也就是社会科学和人文科学方面比较看重），逻辑学没有太大的成就。
古代论辩术(公元前5世纪一前3世纪)
正理论
因明
佛教逻辑:因明
佛教有五明：
因明的三支论式
古五支论式：宗、因、喻、合、结
因明的东传
代表：苏格拉底、帕拉图、亚里士多德
亚里士多德Aristoteles(公元前384-前322)古希腊逻辑集大成者，逻辑学之父
《工具论》:范畴篇、解释篇、前分析篇、后分析篇、论辩篇、辨谬篇
三段论理论等
三段论
如：所有的金属是导体，铜是金属->铜是导体
麦加拉——斯多阿学派逻辑：构造了命题逻辑系统、构造公理系统
命题逻辑：如果铜是金属，那么铜是导体
继承发展古希腊和阿拉伯的逻辑思想，建立经院逻辑体系
归纳逻辑
培根FrancisBacon(1561-1626):
《新工具》：发现(归纳)，思想(演绎)，记忆，传递（授）
归纳方法:三表法一一出现表(具有表)，不出现表(缺乏表)，程度表(比较表)
三段论：所有人固有一死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。
有效推理形式：只要前提对，结论就一定对
他认为三段论是演绎（从一般到个别），不能从中得到新东西，但归纳可以。
你怎么知道所有人固有一死，但你得知苏格拉底、柏拉图等人都死了，可推出人固有一死，这个过程称为归纳。
密尔(穆勒)JohnStuartMill(1806-1873):求因果五法
辩证逻辑
康德I.Kant(1724--1804)《纯粹理性批判》先验逻辑
黑格尔G.W.F.Hegel(1770-1831)《逻辑学》思想范畴的辩证发展
莱布尼茨Leibniz(1646-1716):《论组合术》
数理逻辑：数学逻辑mathematicallogic（不是数学与物理）
布尔G.Boole(1815-1864):《逻辑的数学分析》、《思维规律的研究》创立逻辑代数，实现逻辑演算(命题演算)
布尔代数无法解决三段论（布尔代数不含量词（全部，有些））部分实现逻辑的演算。
德.摩根DeMorgan(1806-1871):
关系逻辑：
两个东西的关系，用自然语言是说得清的，但两类东西之间的关系，加上量词的话，就可能会说不清楚。
比如锅比盆大，是所有锅比所有盆大，还是有些锅比所有盆大，还是...
再比如，盆大小在碗和盆的之间，是所有...好累（我笑了）
弗雷格G.Frege(1848-1925):《概念文字》引入量词，实现谓词演算
罗素B.Russell(1872--1970):
希尔伯特Hilbert(1862-1943)、哥德尔Godel(1906-1978)、图灵Turing(1912-1954)、塔尔斯基Tarski(1902-1983)等人的贡献
逻辑演算：命题演算，谓词演算两个演算
四论：证明论、集合论、递归论、模型论
数理逻辑内容：两个演算，四论
非经典逻辑(非标准逻辑)的出现：
经典逻辑(标准逻辑)：以罗素、怀特海《数学原理》为代表
非经典逻辑(非标准逻辑)：多值逻辑（不止有真假值），模糊逻辑，模态逻辑（一定，不一定），广义模态逻辑（有时，永远），弗协调逻辑（例外，动摇经典逻辑，可另建其他系统）
经典逻辑的系统是非经典逻辑系统的子系统。
推理：从前提(已知条件)得出结论的过程。
推理的前提和结论都是命题。
命题：对事物及其情况(性质、关系)的陈述。
命题的真值：命题的真假情况。
每一个命题都有真值，这是命题的基本性质
命题是一种陈述，命题是一种句子。句子不一定是命题。命题一定是用句子的形式表达。
命题：今天这里下雨。命题一定是说，什么东西，怎么样。
一个句子，只要客观上有真假，那么这就是一个命题。（命题如：火星上有生物）
有效推理形式:真前提通过有效推理形式只能得到真结论。
即:通过有效推理形式，真前提不会得到假结论。
基本命题：本身不再包含其他命题的命题。
复合命题：由一个或多个基本命题加上命题联结词所构成的命题。
基本命题：
复合命题：
基本命题和复合命题其真值的确定:
互相否定的两个命题是不能同时成立的。（矛盾律）
复合命题的真值判定的例子：
今天下雨。假
今天刮大风。真
今天下雨，并且今天刮大风。假
逻辑不能确定基本命题的真假。
逻辑参与确定复合命题的真假。
对于某些有特定结构的复合命题，逻辑可以独立地确定它的真和假。
逻辑学研究的不是具体的命题，而是同类的具体俞题所共同具有的命题形式，即命题结构。
命题形式用一定的符号表示。如：以特定符号表示不同的命题连接词，而以p表示基本命题。（命题：proposition)
这里将给出各命题联结词的名称、符号、真值表、基本推理形式。
真值表：显示命题形式在各种可能情况下的真值。
在真值表中，通常以P1,P2,P3,..或p,q,r,..表示基本命题，以T表示真(true)，以F表示假(false)。
常用命题联结词：
（1）否定：
真值表：
基本推理形式：双重否定式(p)->p
自然语言的否定往往带有其他感情色彩，而逻辑学的否定是纯粹的，所以，它们不完全对等。
如：我们不得不学习英语。
（2）合取：∧
自然语言中的“而且”有递进的意思。我毕了业，而且考上研究生。若换成，我考上研究生，而且毕了业。
虽然...但是...也是类似道理，逻辑学的合取意思纯粹。
基本推理形式：
p：他数学成绩不错，q：他英语成绩也不错。p∧q：他的数学和英语不错
p∧q->p,p∧q->q
p∧q<->q∧p
合取的推广
（3）析取∨
例如，李四和张三同为嫌疑犯，后确定不是李四干的，所以张三是法外狂徒。
析取的推广
（4）不相容析取：
(pq)与(p∨q)∧((p∧q))真值相同。
（5）蕴涵：
蕴涵相当于充分条件，但不等于
例如，如果2+2=4，那么雪是白的。（在自然语言中它们没有内在联系，通常是不允许的。而在逻辑学上可以）
“蕴涵怪论”：
看起来很怪
举个例子：
（6）反蕴涵
反蕴涵在汉语里面常用的说法比较少，典型的只有一个：只有...才...，表示相当于必要条件。
在汉语中，命题连接词是没有出现，而且有的看起来是相同的情况，但它所对应的这个命题连接词有时候不一样的，比如：
（pq）与（qp）真值相同。
（7）等值：
等值的在日常的说法为当且仅当，它相当于充分必要条件（注意，它们不完全一样，用可以是一样）
pq
(pq)与((pq)∧(qp))真值相同
常用命题连接词的真值表
,,可被∧,∨,q取代
与上表可以精简成为：
根据可能的真值情况，命题形式可分为:
重言式(tautology)(永真式)(同义反复)在任何情况下，其真值永远为真。如：p∨(q)，pp
今天下雨或今天不下雨。
可用真值表判定。
矛盾式(contradiction)(永假式)在任何情况下，其真值永远为假。
可满足式(satisfaction)在某些情况下，其真值为真，而在某些情况下，其真值为假。
任何孤立的命题都是可满足式。
并非今天不是节日->今天是节日
(p)->p
复合命题推理
具体推理转换为推理形式:
用逻辑符号(命题变元即基本命题符号、命题联结词符号及括号)把自然语言推理中的前提和结论写成命题形式，从而形成推理形式。
（前提）(p)->（结论）p
推理形式转换为命题形式：用蕴涵、合取符号及括号把推理形式转换为复合命题形式。
有效推理形式所对应的复合命题形式当且仅当是重言式。
因此，对一个复合命题推理形式是否有效的判定，转化为对一个复合命题形式是否为重言式的判定。
推理形式：(p)->p，复合命题形式：(p)p，用真值表进行判定推理形式有效性。
再比如
推理形式：pq,q->p，复合命题形式：((pq)∧(q))(p)
((pq)∧(q))(p)的真值表：
最后一列全T，所以它是有效推理形式
推理形式：pq,p->q，复合命题形式：((pq)∧(p))(q)
最后一列有一F（反例），所以它不是有效推理形式
真值表法:
判定重言式的真值表法是能行的方法，即:用机械的方法，在有限的步骤内，一定可以得到结果。
如果初始命题变元个数过多，会造成真值表行数过多。譬如，有10个初始命题变元，则真值表有2^10=1024行。于是，尝试寻找更简便判定方法。
反证
例如，((pq)∧(p))(q)为F（假设((pq)∧(p))(q)不是重言式）
则(pq)∧(p)为T，q为F
则(pq)为T，(p)为T，q为T
则p为F，q为T,符合(pq)为T
故((pq)∧(p))(q)不是有效的推理形式。
例如，((pq)∧(q))(p)为F（假设((pq)∧(q))(p)不是重言式）
则(pq)∧(q)为T，p为F
则a.(pq)为T，b.q为F,p为T
若b.q为F,p为T，则(pq)为F，与a.(pq)为T矛盾
所以((pq)∧(q))(p)不能不是重言式
归谬赋值法:
例如，((pq)∧(qr)∧(rs))((s)(p))为F（假设((pq)∧(qr)∧(rs))((s)(p))不是重言式）
（日常例子（小孩一考试就紧张，一紧张就考砸，一考砸就被双亲混合双打->小孩没挨打，最近没考试））
则(pq)∧(qr)∧(rs)为T，(s)(p)为F
则pq为T，qr为T，a.rs为T，b.s为F，p为T
则q为T，r为T，s为T，与b互相矛盾
故((pq)∧(qr)∧(rs))((s)(p))是重言式（有效推理形式）
归谬赋值法的局限
例如，(p∨q)(p∧q)为F（假设(p∨q)(p∧q)不是重言式）
则p∨q为T（有三种情况），p∧q为F（有三种情况）
假设p为T，q为F
假设p为F，q为T
解决：用回真值表法
小技巧：变元数量较少，用真值表法；变元数量较多，用归谬赋值法。
有效推理形式的判定:
从归谬赋值法看逻辑学的基本准则（同一律，矛盾律，排中律）（逻辑学中不言而喻，显然的基本准则）：
假设pp为F
则前p为T，后p为F，这违反同一律，矛盾律。
证明它不能不是重言式，也就是它是重言式，也就是排中律天线（非重言式和重言式没有中间状态度）
函数是一种映射
每个命题联结词相当于从真值集合{T,F}到自身{T,F}的一个函数，称为真值函数。
运用真值表，可以确定任一复合命题形式所对应的真值函数(即，可知在命题变元的各种真值组合下该真值函数的值)。
与此相对，如何为确定的真值函数找出相对应的命题形式（下一节有解答）
命题联结词、∨、∧分别与同数字电路中的非门，或门，与门对应。
一场比赛上，三个裁判有两个及以上通过，才算真正的通过
真正通过的情况：(P1∧P2∧P3)∨(P1∧P2∧(P3))∨(P1∧(P2)∧P3)∨((P1)∧P2∧P3)
基本合取式:n个(n=1,2,3,...)命题变元或其否定用合取(∧)联结而成的命题形式；
析取范式:n个(n=1，2，3，..)有相同命题变元的基本合取式用析取(∨)联接而成的命题形式。
对应于某个真值函数的析取范式的作法:
如何为确定的真值函数找出相对应的命题形式（回答上一节问题）
运用真值表，列出相应的范式。
范式(normalform)：满足某种规范、能显示某种逻辑性质的命题形式。
除了个别特殊情况，对于复合命题形式，都可以作出与之等值的析取范式。
pq与(p∧q)∨((p)∧(q))等值，用真值表验证。
例如，(pq)与p∧(q)（p∧(q)也是析取范式）
例如，(((pq)∧p)q)
除矛盾式以外，对于复合命题形式，都可以作出与之等值的析取范式。
为什么矛盾式不行？请回顾对应于某个真值函数的析取范式的作法:
由于矛盾式总是假，于是在上述的第2步该真值函数为真的命题变元为0，所以矛盾式不能作出析取范式。
基本析取式：n个(n=1，2，3，...)命题变元或其否定用析取(∨)联结而成的命题形式;
合取范式：n个(n=1,2,3，...)有相同命题变元的基本析取式用合取(∧)联接而成的命题形式。
对应于某个真值函数的合取范式的作法：
得出pq的合取范式
反复运用德摩根律和双重否定律加以整理
德摩根律：
双重否定：
然后用真值表进行验证：
除重言式以外，对于复合命题形式，都可以作出与之等值的合取范式。
为什么重言式不能作出合取范式？回顾对应于某个真值函数的合取范式的作法：
重言式加以否定成矛盾式，再回顾对应于某个真值函数的析取范式的作法:
所以重言式不能作出合取范式。
与pq等值的
由范式作法可知：
范式存在定理:
存在多少个不同的n元真值函数(命题联结词)
答：2^(2^n)个
例如有两个命题变元：
命题联结词的充足(adequate)集：若干个命题联结词的集合，用这些命题联结词(同命题变元一起)经过有限次的重复和组合，可表示任意的真值函数。
根据范式存在定理，{,∧,∨}是命题联结词的充足集。
更进一步精简
因此，{,∧}和{,∨}也是命题连接词充足集。
再如，
因此，{,}也是命题连接词充足集。
小结
{,∧,∨}是命题联结词的充足集
{,∧},{,∨},{,}也分别是命题连接词充足集
一进制理论上可行，但它不实用，不能表示0
或非(nor)↓
已证{,∧,∨}是命题联结词的充足集
因此，{↓}是命题联结词的充足集。这是很奇妙的结果。
与非与或非也能独当一面
与非(nand)|
真值表检验过程略
因此，{|}是命题联结词的充足集。这是很奇妙的结果。
↓和|称为谢弗尔竖(Shefferstroke或Shefferbar)。
{↓}和{|}是命题联结词的单元素(独元)充足集。（这是一个非常奇妙的结果）
↓，|对应于数字电路中的或非门，与非门。
判定有效推理形式的方法：真值表法、归谬赋值法。
生成有效推理形式的方法：公理系统、自然推演系统。
公理系统的构成：（数学，物理，逻辑等都有自己公理系统。）
自然语言的歧义性、模糊性，不能使用在公理系统
例如：这里展示的是三个学生的作品。（有两种解释，应避免歧义的发生）
又例如：《围城》中的老科学家
更精准的人工语言：数学，计算机编程语言
语言的三要素：语音、词汇、语法（盲文，计算机编程语言没有语音）
例子说明公理系统的构成：
更详细公理系统L的信息可查阅A.G.Hamilton的Logicformathematicians。
命题演算的公理系统L：
合式公式(well-formedformula)(wf.)：合于形成规则的式子(相当于合乎语法的句子)。（这里公式是表达式，不是数学的公式）
L中的证明:
L的合式公式序列，其中每个合式公式满足下列条件之一:
这一序列中的最后一个合式公式称为L中的定理。
这章内容在语形的角度上，而第四章在语意的角度上
例，证(P1P1)
上述定理需要更专业知识证明，我们浅尝辄止则可。
例证((P1)(P1P2))
上述证明无效，因L系统没有蕴涵连锁，所以任何直观、显然的东西，在这里是不允许的。必须按照3条公理模式和一个推演规则来进行。
正确的证明：
证((P1)(P1P2))
L中的推演：
设Γ（伽玛γ的大写）是L中的合式公式（不必是L中的公理）的集合。Γ中的合式公式作为临时公理参与L中的证明，称为L中从Γ的推演，得到的结果A称为L中Γ的推论。
记为Γ┝(下标L符)A
(P1P2)┝(下标L符)(P1(P1P2))
例
假设:
{((P1)(P2)),P2}┝(下标L符)P1
L中的定理A可记为┝(下标L)A，或┝(下标L)A（逻辑内的东西）
公理系统的构成：
延伸：
1.可用定义引入其他符号。可用初始符号定义其他符号及其形成规则
如：(设A,B,C是任意合式公式，下同)
已由定义引入的符号可用于定义更多符号。
由定义引入的新符号可与初始符号同等使用。
2.已证定理可与公理同等使用
如：
已证定理（模式）(AA)编为T1，则可有如下证明：（T，Theory缩写）
证(P1P1)
3.已证新的推演规则可与原有推演规则同等使用
如：已证：(AB)和(BC)可得(AC)(假言三段论，HS),（这定理的证明过程可查阅A.G.Hamilton的Logicformathematicians）
则可有以下证明：
公理系统出发点的延伸:
L系统的性质
L系统的可靠性和完全性使得：L的定理当且仅当是第四讲中的重言式，
即:
L的定理集与第四讲中的重言式集完全相同。
公理系统例子：
L系统为什么要用这个3条公理模式和那个分离规则来作为它的出发点？
答：因为这几条，它可以用最简洁的方法，最大限度地覆盖所有的这个定理。你靠这个三条公理模式，加上那个分离规则，它刚好把所有定理都覆盖了，而且并没有超出它的范围，没有把这个非重言式也拿进来，就是它的定理刚好，正好是重言式，不比重言式少，也不比重言式多，而且它本身的公理还互相独立，它还一条都不多余。三条公理模式，加上那个分离规则构造成一个巧妙的系统。
公理系统能运用在数学、物理、逻辑等成熟的学科上。
公理系统在文科作整理尝试：
凡是想在学识方面超群绝伦的人都一致认为:在研究和传授学问时，数学方法，即从定义、公设和公理推出结论的方法，乃是发现和传授真理最好的和最可靠的方法。这是千真万确的。————路德维希●梅耶尔:斯宾诺莎《笛卡儿哲学原理(依几何学方式证明)》序(1663年)
公理：各个数学分支都通用的一些最基本的东西，如等量代换
公设：用于某一门具体的数学分支一些最基本的东西
对于日常生活参照的意义：
公理系统的弱点：不够直观。自然演绎系统应运而生。
通过自然演绎系统进行证明和推演的步骤:
命题演算的自然演绎系统C
上面1.2.与公理系统L的一致
例证(P1P1)
例证(P1(P2P1))
例证((P1(P2P3))((P1P2)(P1P3)))
例证(((P1)(P2))(P2P1))
命题演算的自然演绎系统C具有可靠性、完全性。
命题演算的自然演绎系统C与命题演算的公理系统L等价。即：二者的定理集完全相同。
基本命题的组成部分：
主词和谓词都是词项。
内涵：某一词项的含义，即该词项所指对象共同具有的特有属性。（什么是金属？具有导电，导热等性质的物质）
外延：某一词项所指的对象。（金属的外延是金银铜铁等）
内涵和外延之间有反变关系。
词项的限制：增加词项的内涵以缩小外延;
词项的扩大：减少词项的内涵以扩大外延。
例如，学校的外延：小学，中学，大学等。
学校的内涵：专门进行教育的机构
现在为学校加点内涵：专门进行高等教育的机构。
学校的外延缩小至：大学
根据词项外延的数量情况，词项分为
词项间的关系：指词项外延之间的关系。
欧拉图解
1.全同（同一）关系
如，本学期选修逻辑学的50名学生，与今天逻辑学课上现场50名学生。（不管内涵是否一样）
如，中国的首都，与华北最大的城市。（内涵不一样，但外延指的是北京）
如，中国最大的城市，长江流域最大的城市。（内涵不一样，但外延指的是上海）
2.包含关系
如，S:中国的学校，P:中国的大学
3.包含于关系
如，S:中国的大学，P:中国的学校
4.交叉关系
如，S：北京人，P：学生。
5.全异关系
如，S：幼儿园学生，P：大学生
小结：
词项间的关系：
定义：描述词项的内涵
定义的结构：被定义项，定义项
偶数是能被2整除的数。（被定义项）（定义项）
同一个词项可有不同的定义
定义的主要规则：
划分：分类列举词项的外延。
划分的结构：母项，子项。
生物分为动物、植物、微生物、（母项）（子项）
句子分为陈述句，疑问句，祈使句，感叹句。（母项）（子项）
句子分为主语、谓语、宾语、补语、定语。（这不是划分，而是组成部分）
同一个词项可按不同标准作不同的划分。
划分可连续进行，即：子项可作为母项再次进行划分。（学校分为大学，中学，小学。大学划分为中国大学、美国大学等）
划分的主要规则：
谓词是什么东西什么样，说明事物情况，说明一种性质，说明一种关系。
一元谓词：每次需要一个主词与之配合，通常表示主词的某种性质;多元（如二元，三元，...）谓词：每次需要多个（如两个，三个，...）主词与之配合，通常表示多个主词之间的某种关系。
三元的例子：福州在广州与上海之间。
“所有”，“有些”为量词，限定外延
量词：
特称(存在)量词的含义：至少存在一个(不排斥全部)。
单称量词通常处理为全称。（独一无二的为单称，如北京大学）
全称量词可省略。（如，金属是导体。特称量词不能省略，“有些人会游泳”省略成“人会游泳”）。
传统逻辑中，往往把“否定”分析为在性质命题内部与“肯定”相对的成分。
“肯定”和“否定”称为联词，表明主词和谓词之间具有肯定的联系或否定的联系。
复合命题的推理：以复合命题为前提或结论，以命题联接词的性质为推理依据。
基本命题的推理：以基本命题为前提和结论，以基本命题的内部成分和结构为推理依据。
传统逻辑对性质命题的分析
根据量词(全称、特称)、联词(肯定、否定)的组合
性质命题分为:
AEIO源于拉丁字母，请记住其含义。
周延：词项作为主词、谓词出现在性质命题中时，是否涉及到其全部外延，称为是否周延。（下面加下划线为周延）
关于词项周延的一般规则:
推理中，在前提中出现时不周延的词项，在结论中出现时也不得周延。
1.换位法：
错例：
2.换质法：
逻辑方阵
三段论:
由包含一个共同词项的两个性质命题作为前提，推出一个性质命题作为结论的推理形式。
三段论的结构:
（先看结论）作为结论之主词的词项称为小词(S)，作为结论之谓词的词项称为大词(P)，（再到前提）只出现在前提中的词项称为中词(M)。
含有大词的前提称为大前提，含有小词的前提称为小前提。
式：由作为大前提、小前提、结论的性质命题的种类而确定。
AAA...OOO，共4*4*4=64种
格：由中词、大词、小词在前提中的位置而确定。
共有4个格：
1.写成三段论的标准形式。
2.若结论为肯定命题，则两个前提必定均为肯定命题；若结论为否定命题，则两个前提必定一为肯定命题、一为否定命题。
3.中词在前提中至少周延一次（中词是用来作媒介）
周延：词项作为主词、谓词出现在性质命题中时，是否涉及到其全部外延，称为是否周延。
4.小词、大词在结论中若周延，则其在前提中必须周延。
有效三段论的判定四条方法
三段论有效格式的特征
三段论的有效格式
弱称（上图带括号的）：本来可以得到全称的，但是你现在给出是特称，它的有效性是由条件的。
不推荐背诵这三段论的有效格式，但推荐背诵有效三段论的判定四条方法
基本命题的组成部分:
一元谓词：每次需要一个主词与之配合，通常表示主词的某种性质；
多元(如二元，三元，...)谓词：每次需要多个(如两个，三个，...)主词与之配合，通常表示多个主词之间的某种关系。
性质命题：含有一元谓词的基本命题；
关系命题：含有多元谓词的基本命题。
量词和之间可以互相替换表达：
性质命题在数理逻辑中的表述
SAP与SOP，SEP与SIP的矛盾关系
预设：预先的假设（说话人和听话人不言自明的东西）
全称命题推出存在命题时，须预设：前提中主词(S)不为空词项。
若前提中主词为空词项，则从全称命题到存在命题的推理不成立。
空词项：外延为空。（美国女总统，数学纯黄金）
例，美国外交官说“我不能竞选美国总统。”，在美国出生的人才有资格竞选总统，且他不是出生在美国。
不能直接从(x)(S(x)→P(x))（即A命题），推出(x)(S(x)∧P(x))（即I命题）
例，S(x)：这人是美国女总统，P(X)：这人是在美国出生的。
若从A命题推出I命题，须增加前提(x)(S(x))，即从(x)(S(X)→P(x))∧(x)(S(x))，推出(x)(S(x)∧P(x))
例。对于上例，(x)(S(x))：至少有一个美国女总统。
上图中5个带括号的格式，在传统逻辑是可以的，但在严格地说，它们有条件。
三段论中，若小词为空词项，那么弱式将不成立。
关系命题：含有多元谓词的基本命题，如二元关系命题：
R(x,y)：x对于y，有关系RR：谓词变元x,y：个体变元量词：，
例如：
R：害怕x：老鼠y：猫
(x)(y)R(x,y)(y)(x)R(x,y)(x)(y)R(x,y)(y)(x)R(x,y)(x)(y)R(x,y)(y)(x)R(x,y)(x)(y)R(x,y)(y)(x)R(x,y)10.5关系命题根据谓词性质的推理方法1.自返性
2.对称性
3.传递性
请注意:
“关系命题根据谓词性质的推理方法”只是给出了一种方法，不是纯形式的逻辑推理。
用于谓词演算的一阶语言
符号库：
合式公式：合于形成规则的式子(相当于合乎语法的句子)。（这里公式是表达式，不是数学的公式）
源于亚里士多德
如三值逻辑，命题的真值可取：
卢卡西维茨(1878-1956)：1920年《论三值逻辑》，首次提出多值逻辑的系统
卢卡西维茨的卢卡西维茨的真值表
即无穷多连续值逻辑：扎德(1921年生)于1965年提出模糊集合概念
模糊逻辑将模糊的东西变得精确
命题真值取值为“隶属度”，在[0，1]之间连续取值
含有必然、可能等模态(modal)词的命题及其推理
亚里士多德的模态三段论
刘易斯(1883-1964)于1914年构造模态命题演算系统
基本模态词：
根据模态命题之间的矛盾关系:
不包含模态词的命题可视为模态的特例：实然
含有必须、允许等规范词的规范命题及其推理，亦称道义逻辑、义务逻辑等。
冯、赖特(1916-2003)于1951年发表《规范逻辑》，并创立规范逻辑系统。
基本规范词:
Op:必须p，Pp:允许p，Fp:禁止p
根据规范命题之间的矛盾关系:
含有过去、现在、将来、永远等时态词的时态命题及其推理
普莱尔(1914-)于1957年建立时态逻辑的两个系统
时态命题中可引入模态命题，构成时态模态命题，将来可能等
规范逻辑、时态逻辑等都属于广义模态逻辑
亦称次协调逻辑、超协调逻辑、亚相容逻辑等
雅斯可夫斯基于1940年代末构造第一个次协调逻辑系统
达科斯塔(1929年生)建立更完善的次协调逻辑理论
协调(相容)：不存在合式公式A使得A和(A)都是定理。
不足道(平庸)：所有合式公式都是定理。
经典逻辑系统是协调而非不足道的。
若非协调则必定不足道(从相互矛盾的两个前提可以推出一切)。
弗协调：既非协调亦非不足道，即：存在合式公式A使得A和(A)都是定理，但并非所有合式公式都是定理。
在弗协调逻辑中：不矛盾律((A∧A))并非普遍有效；从相互矛盾的两个前提不能推出一切。
完全归纳推理
归纳疑难又称休谟(1711-1776)问题：
1.求同法（契合法）
2.求异法（差异法）
3.求同求异并用法（契合差异并用法）
4.共变法
5.剩余法
论证:
根据已知为真的命题，通过推理确定某一命题的真实性。
推理：
论证：
论据必须是真
间接论证:
反驳：论证某一命题虚假，或确定某一论证不能成立。
归谬法：若A真，则引出矛盾：可见A假。
谬误
悖论：
由其真可推出其假、由其假可推出其真的命题。
A与其自身的否定非A等值。
说谎者悖论：
“我正在说谎。”“这句话是假的。”
解决：“不自指。”
理发师悖论：
“某村理发师规定给并且只给任何不给自己刮胡子的村民刮胡子。”