2024年乌海市高三数学(文)4月模拟考试卷
全卷满分150分.考试用时120分钟2024.4
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上
的非答题区域均无效.
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答
题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效.
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第1卷
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合4={工￡2卜2+2%一30},8=卜￡1^k<3},则()
A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}
-4
2.已知z满足2z+；―；=z+i,则2=()
l+i
A.-2-iB.2-iC.-2+iD.2+i
3.已知向量a=(l,T),〃=(O"),若d_L,+刈，则忖=()
A.旦B.1C.y/2D.2
2
4.下图是甲、乙两个新能源汽车4s店2023年前10个月每个月汽车销量(单位：辆)的茎叶图，则()
A.甲店汽车的平均月销量高于乙店汽车的平均月销量
B,甲店汽车月销量的极差比乙店汽车月销量的极差大
C,甲店与乙店的汽车月销量中位数相等
D.甲店汽车月销量的方差小于乙店汽车月销量的方差
x-2y>2
5.已知实数x，>满足<2x-”2,则z=3x-y的最大值为（）
x>0
48
c4
A.B.3-3-D.
6.已知抛物线。：/=12），的焦点为F,顶点为0,。上一点户位于第二象限，若|O耳+|叩=18,则直
线Pb的斜率为（）
3
A.2BcD.
--44
7.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）
/输出s/
A.史99L100101
BD.---c.八D.
99101101K)2
8.已知函数/"）的部分图像如图所示，则/（1）的解析式可能为（)
c小）*D./3=时
9.在正方体"CO-AaGA中，M,M￡￡G分别为棱42超。，4综网,。3的中点，则（）
A.MN〃平面EFGB.平面AFN
C.AC；，平面ER7D.平面仃'G_L平面A”N
10.己知数列｛〃”｝的前〃项和为S…且24=5-2,若S,“+2024v0,则正整数机的最小值是（）
A.9B.10C.11D.12
11.函数/(x)=sinx-(x+2)c("-l在区间［0,2可上的最小值、最大值分别为()
A.—2花一3,兀+1B.—2兀一3,—3C.-3,冗+1D.—3,2
12.已知四面体A-3c。的各顶点均在球。的球面上，平面ABC工平面8CO,
AB=BC=AC=CD=ZBClCDt则球。的表面积为()
287t
A.B.14KC.28兀D.32兀
第n卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考
题，考生根据要求作答.
二、填空题:本题共4小题，每小题5分.
13.已知等差数列｛〃“｝的前〃项和为S.，若%+4=14,a2=-3,则&=.
k.现从3男2女共5名志愿者中选出3人前去A镇开展防电信诈骗宣传活动，向村民普及防诈骗、反
诈骗的知识，则女志愿者至少选中1人的概率为.(用数字作答)
15.将斜边长为2的等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，且使其中一个顶点与原点重合.一条边落
在x轴的正半轴上，则该三角板外接圆的一个标准方程可以为一.
16.已知定义在R上的函数"6满足对任意实数x都有/(x+3)=/(x+2)/(x+l),/(x)=/(2r)成
立，若/⑵=i,则￡/出=.
hl
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.2023年9月23日至10月8日,第19届亚洲运动会在中国杭州举行,这是我国继北京、广州亚运
一次“亚运会”网络知识竞赛，满分100分，并规定成绩不低于80分的市民获得优秀奖，成绩不低于70
分的市民则认为成绩达标，现从参加了竞赛的男、女市民中各抽取了100名市民的竞赛成绩作为样本进
行数据分析，对男市民的竞赛成绩进行统计后，得到如下图所示的成绩频率分布直方图.
⑴试分别估计男市民成绩达标以及获得优秀奖的概率:
⑵己知样本中女市民获得优秀奖的人数占比为5%,则是否有99.9%的把握认为该市市民在这次知识竞
赛中获得优秀奖与性别有关？
n(ad-be)2
附：六=其中〃=a+Z+c+d.
(a+/>)((+
P(K*k。)0.10.050.010.0050.001
2.7063.8416.6357.87910.828
18.在锐角ABC中，内角在的对边分别是用0,c,且2sinBsinC+cos2c=1+COS2A-COS2B.
⑴求证：8+C=2A：
⑵求j的取值范围.
a
19.如图，在四棱锥P-A8C力中，底面四边形A8CQ为矩形，PA=PD,PA1PD,AB=2AD=4,
PB=PC=3>H，
⑴求证：平面B4O_L平面A8CD；
⑵若点E为。。的中点，求三棱锥七-。3。的体积.
20.已知函数/(x)=at(Inx+1)+1(。>。).
⑴求/(%)的最小值;
⑵若/(x)有两个零点，求。的取值范围.
y1
21.一知椭圆C：—+=l(4>b>0)的左、右焦点分别为耳忑，上、下顶点分别为A8,且
aF
八优人的面积为白.
-A^|=V3|AF2|,
⑴求。的方程；
⑵已知“为直线产-2上任一点，设直线与。的另一个公共点分别为P,Q.问：直线PQ是否
过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由.
4
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
选修44:坐标系与参数方程
22.在平面直角坐标系xQy中，曲线。的参数方程为卜"？（/为参数），以坐标原点。为极点，x轴
止半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为psine-Zpcos6=l.
（1）求。的普通方程和/的直角坐标方程；
⑵若/与。只有1个公共点，求上的值.
选修45:不等式选讲
23.己知函数f（x）=|2x+l|+3|K-l|.
⑴解不等式〃x）44；
7Q
⑵记（I）中不等式的解集为M.M中的最大整数值为若正实数满足〃+〃=，求=7+二的最
〃+16+2
小值.
1.B
【分析】先利用不等式与常用数集化简集合A3,再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】由工2+2%—34。，W-3 所以4=卜￡2,2+2工-3<0}={-3,-2,-1,0,1}, 而4=卜€用工<3}={0,1,2}, 所以AnB={。4}. 故选：B. 2.A 【分析】假设z=a+〃，利用复数的除法运算与共扰复数的定，结合复数相等的性质得到关于外人的方 程组，解之即可得解. 【详解】依题意，设工="历（GGR）,则口叱步， 44（l-i） 因为一=/、/、=2-2i, 一4 所以由2z+^^=z+i,可得2（。一加）+2—2i=a+〃i+i, 贝|.(2〃+2)-(3+2)i=〃+(b+l)i, 5 2a+2=aa=-2 所以-(2力+2)=力+1'解得’ b=-\ 所以Z=-2-i. 故选:A. 3.B 【分析】根据给定条件，利用垂宜关系的向量表示求出a小，再利用数量积与模的坐标表示求解即得. 【详解】由题意知，abr 由a_L(a+2Z/),a-(a+2b)=a'+2a-b=2+2a-b=0,解得a〃=-l， 氏此T=—1,解得/=1,即b=(0,1) 所以|b|=l. 故选：B 4.D 【分析】分别求出甲、乙店汽车月销量的平均数、中位数、极差、方差，由此可得结果. 82+83+85+92+94+95+96+98+101+104八、 【详解】甲店汽车月销量的平均数为:-----------------------------------=93， 10 81+82+84+87+91+96+99+102+103+105八4 乙店汽车月销量的平均数为:------------------------77------------------------=93, 所以甲店汽车的平均月销量等于乙店汽车的平均月销量，A错误: 甲店汽车月销量的极差为：104-82=22,乙店汽车月销量的极差为：105-81=24, 所以甲店汽车月俏量的极差比乙店汽车月销量的极差小，B错误: 94+9518991+96187 中店汽车月销量的中位数为：—乙店汽车月销量的中位数为: 22 所以甲店销量中位数大于乙店的汽车月销量中位数，C错误; 甲店汽车月销量的方差为 222222222： 51=lx[(82-93)+(83-93)+(85-93r+(92-93)+(94-93)+(95-93)+|96-93)+(98-93)+(101-93)+(104-93)]=51, 乙店汽车月销量的方差为 22：2： $$X〔(81-93)2+(82-93)2+(84_93^+(87-93)+(91-93)'+(96-93)+(99-93)+(102-93)+(103-93)+(1C5-93):J=75.6 所以甲店汽车月销量的方差小于乙店汽车月销量的方差,D正确. 故选:D 6 5.C 【分析】作出不等式组表示的可行域，根据目标函数z=3x-）「可知须使直线y=3x-z的纵截距最小, 由图易得. 如图，作出可行域，由z=3x-『可得y=3x-z,要求2皿，即要求若干平行直线），=3x-z的纵截距的 最小值， X=- 由图知，当且仅当直线/经过点A时，直线的纵截距最小，由可得③即义务-与， 3一）'=2233 I3 山12/2、8 故z=3x（—）=一. i333 故选：C. 6.D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，结合焦半径公式与斜率公式计算即可得. 【详解】设尸（尤力，则有V=12），，尸（0,3）, 则有|。尸|+|/尸|=3+丁+g=18,即y=12, 故x=-Vi^=—12,故％===一； 【分析］从S=0次=1时进入循环结构，不断累加得s和3直至左二101退出循环，输出 7 s=3+3+3+22 +好西+威而'最后运用裂项相消法求和即得. Ix33x55x7 222 【详解】当—附进入笫-次循环，得S=^A3；进入第二次循环‘得$1; 222222 进入第三次循环，得5=诟+后+LS=—+—+—++—^^=99； 1x33x55x797x99 S—+J322 +------+-------,女=101此时因k=101>100,退出循环，输出 1x33x55x797x9999x101 s=3+2+3+H-------F------ 而s-+W_+_^=1_1+1-1+1-1++±-±+±-_L=i-L=122 1x33x55x797x9999x10133557979999101101101 8.A 【分析】利用，（力在（1,河）上的值排除B,利用奇偶性排除排除C,利用/（力在（1,+oo）上的单调性排 除D,从而得解. 【详解】对于B,当x>l时，/(x)=e"e",易知e'—er>。，3-4.v<0, 3—4x 贝"。）<0,不满足图象，故B错误; ev+e~x定义域为卜凡-沙33 对于C,/(x)= 4k|-34,4U加), 又/（T）=谪三=律1=八用，则/（力的图象关于y轴对称，故c错误； 对于D,当时，""）=时=k=1+；^， 由反比例函数的性质可知，"X）在（l,y）上单调递减，故D错误； 检验选项A,/（外二片―满足图中性质，故A正确. 4因-3 故选：A. 9.AC 【分析】对于A,只需证明MN//所即得MN〃平面瓦6；对于B,运用反证法思路说明其不成立即可; 对于C,分别证明斯1平面AMG得E产，AG；证明H；"L平面4CG得尸G1AG，由线线垂直即可推 得AG_L平面以七；对于D,通过建系，分别求出两个平面的法向量，计算两个法向量的数量积是否为 8 0即可判断两平面是否垂直. 【详解】 对于A,如图A因MME尸分别为棱AP，BC,A综阴的中点,AA/用G//8C,且AA=B1G=8C, 易得AMNB, 处有MN//A1,又EF//AB、故MN//EF,MNa平面EFG,EFu平面EFG,故MN〃平面EFG,即 A项正确； 对丁B,如图2,假设￡尸工平面AFN,因A尸u平面AFN,则所_LA尸，而易得 即ZiAEE是等腰三角形，即E尸与质必不垂直，故假设不成立，B项错误； 对于C,如图3,由正方体可得81GJ平面88片4,因bu平面A8MA，则BC，E厂, 又EFH%B,\B1.AB{JliJEFLAB.,又B￡HA4=凡则平面Mg,因AQu平面AB6,故 EF1AC,； 易得FG//3。,同上可得8Q14U8QJ_CG,又ACr|CG=C,故得也)上平面ACg,则尸G_L平面 4CC, 因AGu平面48G，则rG_LAG.因.cR7=尸，故AG,平面以七，故C项正确； 对于D,不妨设正方体的棱长为2,如图4,建立空间直角坐标系.则 42,0,0),N(l,2,0),F(2,2,l),E(2J,2),G(0,0,l), 9 AN-m=-x+2y=0 于是，47=(-120),4户=(0,2,1),设平面4硒的法向量为机=(尤乃2),则｛，故可取 AF6=2y+z=0 旭=(2,1,-2), 七户.〃=)，'—z'=0 又EF=(0,1,-1),EG=(-1),设平面EFG的法向量为〃=(x',y',z')，则〈，故 EG-n=-2x-y'-z=0 可取〃=(一1,1,1). Emw=(2,l,-2)(-l,l,l)=-2+l-2=-3#0,故平面AEV与平面EFG不垂直,即D项错误. 故选：AC. 10.B 【分析】根据S“,a”的关系式判断得｛q｝是等比数列，从而利用等比数列的求和公式求得黑，再解不等 式即可得解. 【详解】因为2〃“二'-2, 当〃=1时，2q=a,-2,得q=-2, 兰让2时，2%=S”「2, 所以勿“一勿小=S"一2-(S,i-2)=an,则an=2_,, 贝！｛〃”｝是以-2为首项，2为公比的等比数列, -2(1-2W) 所以黑 1-2 故由S,“+2024<0,得2-2"向+2024<0，即2"向>2026， 因为*=1024,21=2048,又〃eN*，所以.+1N11,即10, 期正整数，〃的最小值是10. 11.A 【分析】利用导数求得“力的邑调区间，从而判断出/(力在区间［0,2兀］上的最小值和最大值. 【详解】/,(x)=cosx-cosx+(x+2)sinx=(x+2)sinx, 1() 所以/⑺在区间（0㈤上制冷>0,即/（X）单调递增； 在区间（71,2兀）上广㈤ X/（0）=-3J（27i）=-2n-3,/（兀）=兀+1, 所以/（x）在区间［0,2可上的最小值为-2兀-3,最大值为几+1. 故选：A 12.A 【分析】本题首先可根据题意将四面体A-88看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出 直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果. 【详解】因为平面A3C/平面8CQ,,AB=BC=AC=8=2,BC工8, 所以可将四面体A-8c。看作底面是等边三角形的直三楂柱的一部分，如图所示： 如四面体A3CZ）的外接球即直三棱柱的外接球， 因为底面三角形ABC的外心到三角形ABC的顶点的长度为幺后方二述， 33 所以直三棱柱的外接球的半径r=Jr+（竽、=g, 贝!球0的表面积S=4兀/=4x=~阮 V33 13.16 【分析】利用等差数列的通项公式列式求得q，d,再利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】设等差数列4的公差为"， 皿右/4+4"+4+8"=14pi=-5 则有4,,，解得：41c， %+“=-3d=2 Q7 所以Z=8x(-5)+—x—x2=16. 乙 II 故答案为：16 U.—##0.9 【分析】3名男志愿者分别为“Ac,2名女志愿者分别为4e，列出所有基本事件，再找出女志愿者至 少选中1人包括的基本事件个数，根据概率公式即可求得结果. 【详解】记3名男志愿者分别为2名女志愿者分别为则从5人中选出3人的情况有 （〃,。,4）,（4,。,6），3乩6）,（力,。,4）,（仇。,6）,0,4,6）,（（&6）,共10种, 其中女志愿者至少选中1人的情况有色力上）,卜，,反6）, （4,Gd）,（a,c,e）,（a,d,e）,（b,c,d）0，c，e），（b，d，e），（c&e），共9种， 故所求概率为正 故答案为：— 15.（.1『+），2=1（答案不唯一） 【分析】对重合的顶点与边分类讨论，分别求出圆心坐标，即可得到圆的方程. 【详解】因为等腰直角三角形的斜边为2,则直角边为血， 又等腰直角三角外接圆的圆心为斜边的中点，外接圆的半径等于斜边的一半， ①若非直角顶点与原点重合，斜边与x轴重合，如下图所示： 贝!08的中点（1,0）为圆心，外接圆的半径r=1, 所以外接圆的方程为（x-l）2+V=l（其中A点在第四象限时答案也一样）； ②若非直角顶点与原点重合，直角边与x轴重合，如下图所示: 见A（&,0）,B枢⑹, fV2目 贝！。8的中点为圆心,外接圆的半径r=l, 2'2 12 ③若非直角顶点与原点重合，直角边与工轴重合，如下图所示: 则A（屈0）,B（V2-72）, 贝!08的中点与，一与为圆心，外接圆的半径厂=1, ④若宜角顶点与原点重合，直角边与x轴重合，如下图所示: 贝!A（"0）,川0,&）, ⑤若直角顶点与原点重合，直角边与x轴重合，如下图所示: 则小反0）,fi（0,-V2）, 13 贝!A8的中点为圆心，外接圆的半径r=l， 综上可得该三角板外接圆的标准方程可以为1)2+V=| 16.〃 【分析】由〃")=/(2-力可得函数〃力的对称性,再对/(」r+3)=/(x+2)〃x+1)中的x进行赋值, 依次得到八0),依次/(3),L,即可求出力/⑹. bl 【详解】由/(X)=/(2T)可得函数”力图象关于直线x=l对称, 区/⑵=1,故"())=1,在/(x+3)=/(x+2)/(x+l)中，令4一1,代入可得/⑴=1, 再令x=0,代入可得"3)=1,再令x=l,代入可得,f(4)=l,L, 故令x=〃—3,代入可得/.(〃)=],故￡/(幻=1+1++1』 〃个 故答案为：〃. 17.(1)0.75,0.25 ⑵有99.9%的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关. 【分析】(1)由频率分布直方图计算频率的公式分别计算即可得解： (2)根据条件列出列联表，由犬的计算公式计算可判断结果. 【详解】(1)设取得的成绩为X, 14 男市民成绩打标的概率为〃(X270)=(0.05+0.02+0.005)x10=0.75, 男市民获得优秀奖的概率为：X>80)=(0.02+0.005)x10=0.25. (2)因为女市民获得优秀奖的人数占比为5%,所以女市民优秀人数为：l(X)x().()5=5人，男市民优秀 人数为100x0.25=25人， 列联表如图： 分类优秀不优秀总计 女市民595100 男市民2575100 总计30170200 n(ad-bc)22OOX(5X75-25X95)^ A=-----------：------------=I5686>IO828> (a+〃)(c+d)(a+()(/+d)30x170x1(X)x100 所以有99.9%的把握认为该市市民在这次知识竞赛中获得优秀奖与性别有关. 18.(1)证明见解析 ⑵ 3'3 \/ 【分析】(1)利用二倍角公式与正弦定理的变换边换，结合余弦定理与三角形内角和的关系即可得解: (2)利用三角函数的和差公式与正弦定理的变换边换，将所求转化为关于角。的表达式，再利用三角函 数的值域即可得解. 【详解】(1)因为2sinBsinC+cos2C=1+cos2A-cos2B, 所以2sinBsinC+1-2sin2C=l+l-2sin2A-l+2sin2B 则sinBsinC—sinC=-sin2A+sin2B 由正弦定理可得历一/=-a2+b2,be=b2+c2-a b2+c2-a2bc\ 所以cosA== ~lbc~~2bc~l' 又Aej故从=^,由 A+B+C=nt 、乙)J3 故B+C=r—A=—=2A； (2)由(1)得sinA=cosA=' 15 区为sin4=sin(A+C)=sin人cosC+cosAsinC=—cosC+-sinC, cisinC-sinB2I, 所以由正弦定理得丁二F^~二耳卜mC—cosC--sinC 0 又锐角dBC中，有2，解得 0八<‘n---兀---B0<,—兀62 32 所以一则一- O3O，t”Z x/32.吟百 所以----<-j=sinC——<——， 3Gl3)3 故j的取值范围为（-4,《 a{33 19.（1）证明见解析 第 【分析】（1）PA=PD,取AQ中点”连接PH，HB,可证得尸，_LA。，PH工BH,即可证得Q〃_L 平面A8CO,讲而证得结果. （2）由E为PC的中点，可知E到面尸皮）的距离为C到面尸的距离的一半，则 VE-P8D=5%-ZW=；%.88,计算可得结果. 【详解】（1）因为小=灯），取AZ）中点“连接P”,所以PHJ.4D, P 因为P4_LPD,所以= 连接“B,A8=4,AH=\,底面四边形A8CO为矩形, 所以A〃_LA8,Hfi2=AB2+4H2=16+1=17, 在APHB中,PH=i,HB，=17,P8=3点， 所以““2+4y2=./§2,所以PH上BH, 16 又ADcBH=H,平面A8CO,所以/V/_L平面A8CO, 又P”u平面尸40,所以平面尸AD_L平面48CD (2)因为E为PC的中点， 所以E到面PBD的距离为C到面PBD的距离的半， VE-PBD=；Vc-PBD=；Vp_BCD二;x}xxJA8x4Q=；x；x1x；x4x2=；. 乙乙乙D乙乙。乙D 20.(l)l-ae'2 ⑵仁,+8) 【分析】(1)首先求解所给函数的导函数，然后利用导数研究求数的单调性即可求出最小值; ⑵结合(1)可知，只需)嬴<。求解计算即可得出结果. 【详解】(1)//(x)=a(liu:+l)4-ar-=6f(lnx+2)(a>0), X 兰/'(工)>。时，即lnx+2>0,则经厂， 兰八力<()时，即hw+2<0,M0 即当0 /⑴在4底处取最小值，.为讪=/(e1)=1一W2. (2)由(1)可知，X而"/[")二1一优汽 由/")有两个零点， xf()时，/(x)=ar(lnx+l)+l-^l,工一+切时，/(x)=or(lnx+1)+1->, 所以，lie"vO,即解得：>e2. 〃的取值范围为(e1+e). 21.(1)—+/=1 ⑵过定点(0,-g) 【分析】⑴根据同-整卜6,凡|得到2c=岛，由百转的面积为G得到儿=6,结合 /=〃+/,联立即可求得。，立 (2)设出点M,表示出-二X,与椭圆方程联立求得点尸坐标，同法求出点。坐标，利用两 m 17 点坐标，写出直线PQ的方程，将其展开，化简，得到），=贮'X-1,故而求得直线PQ经过定点 \6m22 【详解】⑴因";-A片=鸟耳，则由防一4q=网4叫可得归耳卜丹4可，即2c=岛，① 又的面积为:x2cx/=bc、=g,②a2=b2+c2③ 由①②③联立，可解得〃=2,〃=1, 故C的方程为片十V=l. 4, 如图，依题意，直线的斜率一定存在，不妨设例（例,-2）,"-0,则L：），_l二_三x, 将其与椭圆方程工+9=1联立,消去x,整理得：词+36”-24孙=0,则点尸的横坐标为 246 'm2+36） 代入直线方程，求得 nr+36 同理，直线的斜率一定存在，贝I"MB：）T1=-'*，将其与椭圆方程上+/_1联立，消去X, m4 整理得：［Q/+4）x+8〃小=0,则点。的横坐标为”=■^当.代入直线方程，求得）,0=子\； m2-36-m2+4 贝!直线PQ的方程为：）』与噂=%+4（尸=1^）,整理得： nr+3624m-8/〃nr+36 m~+36m~+4 in2-36in-144,24”？、 y---；----=----：------（X---；----）, ，犷+3616〃r+192//7m'+36 i\.m_36m“-1224/zisTX4H加2-36m-\23（〃/一12） 化间为y--^―=——（x--一二），展开得：J- m'+3616mm~+36m2+3616m2（//z2+36）' 移项合并得），=士生X-』，故直线PQ一定经过点（0,-!）. 16m22 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与椭圆有关的直线过定点问题，属于较难题.