“China’sextensiveeconomicgrowthmodeldependsonalargeconsumptionofresourcesandenergy,whichleadstopollutionandlowefficiency.Forobservingtheperformanceofresourceutilizationunderenvironmentalconstraints,itisnecessarytointegrateresourcefactorinputandenvironmentaleconomicoutputintotheevaluationframework.Asanonparametricmethod,dataenvelopmentanalysiscanbeusedtoevaluatetheperformanceofamulti-input–outputdecisionunitbasedonrelativeefficiency[8].Sincetheformofaproductionfunctionisnotassumedinadvance,theevaluationofthedecisionunitwillbemoreobjective.TheMalmquist–Luenbergerproductivityindexcanalsomeasuretherelativepositionchange(efficiencychange)oftheproductionunitandtheproductionfrontbyconstructingtheoptimalactualproductionfront,aswellasthemovementoftheproductionfrontitself(technologicalprogress)[9].”
度TFP增长的指数方法多种多样，既有比率方法，又有差异方法；既有基于数据包络分析（DataEnvelopmentAnalysis，简称DEA）的方法，也有基于随机前沿分析（StochasticFrontierAnalysis，简称SFA）的方法；既有只考虑期望产出的方法，也有将非期望产出纳入测算框架的方法；既有当期DEA指数方法，也有序列DEA、窗口DEA、全局DEA、共同前沿DEA、两期DEA指数等方法。在TFP指数分解方面，自Nishimizu和Page（1982）[1]提出动态分解方法以来，学者们相继给出TFP指数的各种乘法、加法分解形式以及不同分解子项。正是因为TFP指数测算方法众多，方法选择存在较大空间，一些研究者没能充分考虑方法的适用条件以及方法之间的逻辑关系，导致研究结论出现明显偏差。
双重差分(Differences-in-Differences,DID)，其常用于政策评估效应研究，比如研究‘鼓励上市政策’、‘开通沪港通’、‘开通高铁’、‘引入新教育模式’等效应时，分析效应带来的影响情况。
同时研究‘开通高铁’参于gdp的影响，那么被解释变量Y即为gdp，与此同时还涉及可选的控制变量（控制变量为可选项，多数情况下并不需要），比如教育投入，人口或对外投资情况等，如下表说明：
特别提示：
理论上，双重差分研究可在很大程度上避免数据内生性问题。‘政策效应’通常为外生项，因而不存在双向因果关系，比如开通高铁影响gdp，gdp同时影响开通开通。与此同时，双重差分也有着一定的前提性要求，通常其希望满足‘平行趋势假设’（ParallelTrendAssumption），即time项为0时，即比如开通高铁前，A类和B类两类地区的gdp数据需要无明显的差异性。
至于‘平行趋势假设’（共同趋势）的检验，其有多种检验方式。包括t检验法，‘交叉项’显著性检验法，F统计量检验法，图示法。具体说明如下：
图片见上面的连接
一、引言
综观TFP的研究文献，测算方法大致可以分为两类，即生产函数法和指数法。由于生产函数法会受到生产函数形式设定和模型参数估计局限性的影响，故指数法得到更为普遍的应用，即通过计算TFP指数反映TFP增长，进而利用指数分解探究TFP变动的构成要素。在全要素生产率增长的各种测算中，针对同一对象的测算结果存在较大差异，测度方法也容易被误用、滥用。因此，我们有必要探究各类全要素生产率指数方法的来龙去脉，以便采用恰当的方法测算全要素生产率增长。
测度TFP增长的指数方法多种多样，既有比率方法，又有差异方法；既有基于数据包络分析（DataEnvelopmentAnalysis，简称DEA）的方法，也有基于随机前沿分析（StochasticFrontierAnalysis，简称SFA）的方法；既有只考虑期望产出的方法，也有将非期望产出纳入测算框架的方法；既有当期DEA指数方法，也有序列DEA、窗口DEA、全局DEA、共同前沿DEA、两期DEA指数等方法。在TFP指数分解方面，自Nishimizu和Page（1982）[1]提出动态分解方法以来，学者们相继给出TFP指数的各种乘法、加法分解形式以及不同分解子项。正是因为TFP指数测算方法众多，方法选择存在较大空间，一些研究者没能充分考虑方法的适用条件以及方法之间的逻辑关系，导致研究结论出现明显偏差。
本文的创新之处在于：（1）从基于DEA的指数方法和基于SFA的指数方法两个角度，全面、系统地总结了测度全要素生产率增长的指数方法；（2）从投入产出要素、生产前沿面构建、效率测度方法、指数（指标）方法及其分解角度五个方面，梳理了各类基于DEA的TFP指数的演进脉络及内在联系；（3）从同一生产前沿面和不同生产前沿面的角度，详细进行了各类全要素生产率指数性质及特点的比较分析。
二、基于DEA的全要素生产率指数
（一）基于当期DEA的全要素生产率指数
1.Malmquist生产率指数。Malmquist指数最初是由瑞典经济学家和统计学家StenMalmquist于1953年提出的，即利用缩放因子之比构造消费数量指数（Malmquist，1953）[4]。受Malmquist消费指数的启发，Caves等（1982）[5]利用距离函数构造出Malmquist指数，并用于生产率增长分析。1994年，Fre、Grosskopf、Norris和Zhang（以下简称FGNZ）把DEA与非参数线性规划法结合起来度量距离函数，将Malmquist生产率指数（以下简称M指数）定义为相邻两期Malmquist指数的几何平均数（FGNZ，1994）[6]。其后，该指数在全要素生产率增长测算中得到了广泛应用（杨世迪等，2021）[7]。
基于当期DEA模型测算M指数，需要先计算投入或产出的距离函数，而距离函数是建立在生产性可能集之上。经验研究往往是根据观察到的决策单元（DMU）生成生产性可能集，即先构造t期规模报酬不变（CRS）的生产可能集，加上约束条件后得到t期规模报酬可变（VRS）的生产性可能集。①根据基于产出的线性规划计算距离函数，将距离函数值代入M指数表达式，我们就可测算当期DEA的M指数。
尽管各种分解方式存在一定的差异，但其皆具有合理性，实际应用中的选择取决于待解决问题的要求以及所能收集到的数据等现实条件。当期DEA模型与M指数相结合可应用于TFP增长测算，既能避开设定生产函数具体形式和选择随机变量分布假设等问题，也不存在价格体系的影响，TFP指数可以分解为技术效率变化和技术进步等因素，从而提供更全面的TFP增长信息，且其适用于面板数据分析，由此成为测算TFP增长的普遍方法。
Pittman（1983）[16]首次尝试在生产率测算中引入非期望产出，但将环境因素纳入生产率分析框架通常会面临以下问题：（1）如何针对期望产出和非期望产出的联合生产问题进行建模，即受技术因素的制约，扩大期望产出的同时非期望产出也会增加；（2）如何将非期望产出的减少作为一种效率提升纳入整体分析框架，这其中还存在技术障碍（张少华和蒋伟杰，2014）[17]。为了解决以上问题，Chung等（1997）[18]将一种方向性距离函数引入生产率测算框架，并以此为基础构建了Malmquist-Luenberger生产率指数（以下简称ML指数）。
ML指数与M指数的主要区别在于前者引入方向向量且考虑非期望产出，因两者的分解思路大致相同，此处不再详述。
3.Luenberger生产率指标。无论是M指数还是ML指数，其均是基于比率的测算方法，适合于考察全要素生产率的变化情况，而对变量的“差值”难以反映（董敏杰，2012）[19]，而且当一个或多个变量等于或接近零时，基于比率的生产率指数难以确定（Boussemartetal.，2003）[20]。因此，有学者提出需要考虑基于差异的生产率指标。④
M指数和ML指数测算均是基于径向距离函数，要求投入产出同比例扩张或缩减，而在存在非零松弛时，这种径向方法往往会使生产率测算结果出现偏误。因此，有学者提出可以采用一种非径向（Non-radial）、非角度（Non-oriented）的非参数DEA方法——SBM（Slack-basedMeasure）方向性距离函数以及相应的Luenberger生产率指标（以下简称L指标），这既可以解决因未考虑松弛变量而高估评价对象效率的问题，也可以避免出现因不能同时考虑投入和产出而导致生产率失真的情况，以及因生产函数形式误设造成的生产率测算偏差。然而，Zhou等（2012）[21]认为，上述SBM方法虽然可用于计算基于方向松弛的无效率度量，但其并没有正式定义函数本身，故采用与DDF所遵循的效率度量公理化方法更为一致且具有理想数学性质的非径向距离函数（Non-RadialDirectionalDistanceFunction，简称NDDF）代替SBM方法，可以避免径向距离函数存在的问题。随后，Fujii等（2014）[22]引入了基于NDDF构建的L指标。
L指标和M指数一样可以基于技术角度进行分解，其区别在于形式上是加法而不是乘法。刘瑞翔和安同良（2012）[23]针对SBM方向性距离函数和L指标的特点提出一种基于要素角度的分解方法，即在计算全要素生产率的同时考虑单个投入要素生产率的变化情况，以确定某一种投入（如资本、劳动等）的减少或产出的增加对全要素生产率提升的贡献度。可见，L指标既可以基于技术角度进行分解，又可以基于要素角度进行分解。
由于ML指数与L指标均是基于当期DEA进行测算，两者不仅拥有M指数所有的理想性质，还能将非期望产出纳入测算框架，但其与M指数一样仍存在当期DEA固有的缺点，故全要素生产率指数仍有待进一步的改进。
（二）全要素生产率指数的拓展
DEA是一种确定性生产前沿方法，即根据决策单元的投入和产出数据构建生产前沿面，除了当期DEA外，其还包括序列DEA等形式。基于当期DEA的全要素生产率指数虽然相对于传统的Fisher指数、Trnqvist指数具有不需设定生产函数形式、不需提供价格信息等优点，但其也隐含一些不足之处，如不具备传递性、不能对不同技术下的多群体进行生产率测算等。因此，利用序列DEA、窗口DEA、全局DEA、两期DEA、共同前沿DEA构建生产前沿面，可以实现对M指数、ML指数及L指标的拓展。
1.基于序列DEA的全要素生产率指数。
（1）Sequential-Malmquist生产率指数。Shestalova（2003）[24]提出基于序列DEA计算的Sequential-Malmquist生产率指数（以下简称SM指数），即以DMU当期及前期观测值确定的生产技术集构造最佳生产技术前沿面。SM指数的分解与M指数分解的思路类似，其区别仅在于生产前沿面不同。基于序列DEA计算SM指数时，距离函数可以通过求解DMU序列DEA问题得到。
（2）Sequential-Malmquist-Luenberger生产率指数。为了避免以当期DEA测算的ML指数在动态分析中出现技术退步的情形，Oh和Heshmati（2010）[25]结合序列生产可能集和方向距离函数处理环境污染变量的方法，提出Sequential-Malmquist-luenberger指数方法（以下简称SML指数）。应当看到，如果非期望产出不包含在SML指数中，SML指数就相当于SM指数。因此，SML指数的分解框架与线性规划结合了ML指数和SM指数的特点，既考虑了当期及前期的观测值，又兼顾了非期望产出。
（3）Sequential-Luenberger生产率指标。基于序列SBM方向性距离函数的生产边界涵盖了过去时期的样本信息，能够避免全要素生产率增长测算中出现的虚假技术退步，由此构建的Sequential-Luenberger生产率指标（以下简称SL指标）表达式、计算距离函数的线性规划及分解框架均与L指数类似（李兰冰和刘秉镰，2015）[26]。其区别在于，前者是基于序列生产前沿，后者是基于当期生产前沿。
综上，基于序列DEA计算全要素生产指数能够满足“过去掌握的技术不会遗忘”的假定，避免出现虚假的技术退步以及由此引致的技术效率“被动”提高等不合理现象，同时有利于减少混合期线性规划无可行解的情形，但其并不能彻底解决无可行解问题。此外，序列DEA方法可以产生一个更稳定的边界，其对样本中特定的观察值存在与否不太敏感，这就使测算结果更为可信。然而，基于序列DEA不同时期的生产前沿构建方法往往不能保持一致，第一期生产前沿面的构建方法等同于当期DEA方法，最后一期生产前沿面的构建方法等同于全局DEA方法，这使得生产前沿面的构建标准前后不完全统一。
2.基于全局DEA的全要素生产率指数。
（1）Global-Malmquist生产率指数。鉴于序列DEA假定不存在某一观测期的效率优于其他时期，一些研究者将求解混合时期距离函数出现无可行解的情况视为技术有效，但这种处理并不完全合理。针对这一问题，Pastor和Lovell（2005）[27]提出通过构建由所有DMU的所有时期数据形成的生产技术集作为共同生产前沿面，进而计算Global-Malmquist生产率指数（以下简称GM指数）。基于全局DEA计算GM指数时，距离函数可以通过求解全局DEA模型得到。Pastor和Lovell（2005）[27]给出了全局基准技术下的GM指数分解方法，即将GM指数分解为全局技术变化（BPC）和技术效率变化（TEC）。
综上，采用FGNZ（1994）分解方法可以将GM指数分解为全局技术变化（BPC）、纯技术效率变化（PTEC）和规模效率变化（SEC），采用RD（1997）分解方法可以将GM指数分解为全局技术变化（BPCV）、全局纯效率变化（PTEC）和全局规模变化（SC），采用SW（1998）和ZL（1999）的分解方法可以将GM指数分解为全局技术变化（BPC）、纯技术效率变化（PTEC）、规模效率变化（SEC）和规模技术变化（STC）。因此，对比GM指数和M指数的分解框架可知，它们虽然存在一个共同的效率变化部分，但技术变化和规模变化部分有所不同，全局技术变化反映了当期生产性可能集与全局生产性可能性集的最佳技术前沿差距的变化，而基于当期前沿的技术变化反映的是相邻两期技术前沿的变化。
（3）Global-Luenberger生产率指标。利用当期DEA计算L指标时，由于样本点并不参与技术边界的构建，故无可行解的情况是经常存在的，这可能导致生产率增长测算出现偏差。刘瑞翔和安同良（2012）[23]提出了Global-Luenberger生产率指标（以下简称GL指标），其计算表达式及相应的线性规划是GML指数与L指标的结合，与GML指数的区别在于形式上是差异指标，与L指标的区别在于其考虑了所有时期的观测值。GL指标同样可以基于技术和要素的角度进行分解，基于技术角度的分解框架类似于GM指数，区别在于其表现为加法形式，而基于要素角度的分解框架类似于L指标，区别在于生产前沿不同。
由于窗口DEA的窗宽选择存在模糊性，其应用受到了一定的限制。部分学者在WM指数的基础上提出固定WM指数，但其也存在一定的缺陷，目前还没有基于窗口DEA对ML指数和L指标进行的拓展。
4.基于两期DEA的全要素生产率指数。
（2）Biennial-Malmquist-Luenberger生产率指数。ML指数和M指数一样不能避免线性规划无可行解的问题，为了弥补SML指数和GML指数的不足，王兵等（2013）[39]借鉴BM指数的原理，结合非期望产出，在加入方向性距离函数的基础上构造了Biennial-Malmquist-Luenberger生产率指数（以下简称BML指数），并测算了2003—2010年考虑非期望产出的中国工业行业的能源效率。BML指数的表达式、分解框架和线性规划均与BM指数类似。
（3）Biennial-Luenberger生产率指标。为了弥补BL指标和GL指标的不足，Liu等（2020）[40]引入基于两期DEA计算的Biennial-Luenberger生产率指标（以下简称BL指标）。BL指标的表达式与BM指数的区别在于形式为减法而不是除法，分解框架与BM指数的区别在于其是加法形式而不是乘法形式，其线性规划则需结合BM指数与L指标的线性规划形式加以计算。
综上，基于两期DEA的全要素生产率指数虽然可以弥补序列、窗口和全局全要素生产率指数在处理无可行解问题和排除技术退步问题方面的缺陷，衡量距离函数或方向性距离函数计算过程中存在的技术退步，但其不具备全局全要素生产率指数的传递性和循环性等优点，亦不能和窗口全要素生产率指数一样解决小样本问题。
5.基于共同前沿DEA的全要素生产率指数。
MM指数的分解与SM指数、GM指数存在一定的差异，即其可以分解为群组技术效率变化（GTEC）、群组技术变化（GBPC）和技术落差比例变化（TGC）。其中，群组技术效率变化（GTEC）反映了统一生产技术下相邻两时期至当期生产前沿的追赶程度，群组技术变化（GBPC）测度了统一生产技术下当期生产可能性集合与跨期生产可能性集合的最佳技术前沿差距的变化，而技术落差比例变化（TGC）反映了相邻两时期跨期参考技术边界与共同参考技术边界的最优技术落差比例的变化，其可进一步分解为纯技术追赶（PTCU）和潜在技术相对变动（PTRC）。
（2）Metafrontier-Malmquist-Luenberger生产率指数。由于ML指数在评价生产率变化时无法区分决策单元所采用的各种技术，所以技术存在异质性时需引入共同前沿方法。在MM指数的基础上，Oh（2010）[46]提出了Metafrontier-Malmquist-Luenberger生产率指数（以下简称MML指数）。基于共同前沿DEA计算MML指数，既考虑了非期望产出，又包含了所有群组、所有时期的观测值。
（3）Metafrontier-Luenberger生产率指标。为了同时处理不良产出、非零松弛变量和跨群体异质性等问题，Yu等（2014）[47]提出了Metafrontier-Luenberger生产率指标（以下简称MFL指标）及具体的分解方式，并运用其考察了鄱阳湖生态经济区建立对区域环境全要素生产率增长的影响效应。MFL指标是基于共同前沿进行测算，计算表达式、线性规划及分解框架均是MML指数与L指标的结合，其与MML指数的区别在于形式上为加法形式，与L指标的区别在于考虑了所有群体、所有时期的观测值。
综上，共同前沿DEA是基于所有群体、所有时期的观测值构建生产前沿面，涉及群组的当期、跨期和全局参考技术。因此，基于共同前沿DEA的全要素生产率指数不仅具有全局指数的所有优点，还有效解决了不同技术条件下的多群体效率、生产率评价问题。
（三）全要素生产率指数的新发展
基于当期DEA的传统全要素生产率指数主要包括M指数、ML指数和L指标，序列DEA、窗口DEA、全局DEA、两期DEA、共同前沿DEA等则是对生产前沿面构建方法进行的拓展，可以解决传统全要素生产率不具有循环性、可能面临虚假技术回归和线性规划无可行解、未将群体异质性纳入模型等问题。然而，传统全要素生产率指数仍存在一些悬而未解的问题，如角度选择较为随意、分解中遗漏分解项导致分解不完整、仅考虑决策单元在个体层面的生产绩效而忽略群组在总体层面的生产率等，为解决这些问题，学者们又提出一些新的指数。
1.Malmquist指数的改进——HMB指数。M指数的构造是从投入或产出角度来定义，但基于两个角度计算得到的结果有所不同，这就导致M指数存在投入和产出角度选择的随意性以及计算结果不可比的弊端。为了克服上述缺陷，Bjurek（1996）[13]在Hicks（1961）[48]和Moorsteen（1961）[49]研究的基础上，采用产出角度与投入角度M指数的比率作为一个可行的解决办法，从而得到Hicks-Moorsteen-Bjurek生产率指数（以下简称HMB指数）。
以上四个指数的计算均是基于当期DEA计算距离函数或方向性距离函数，当然也可以基于序列DEA、窗口DEA、全局DEA、共同前沿DEA和两期DEA进行扩展，具体方法与SM指数、WM指数、GM指数、MM指数和BM指数类似，这里不再一一列出。
三、基于SFA的全要素生产率指数
基于DEA的全要素生产率增长测算与分解，均是采用线性规划的非参数方法构造生产前沿面。与之相对应，实际研究中使用随机前沿分析（SFA）构造生产前沿面也是可行的，该方法本质上是一种极大似然估计的参数方法（张少华和蒋伟杰，2016）[70]。
随机前沿分析（SFA）是由美国的Aigner等（1977）[71]、比利时的Meeusen等（1977）[72]、澳大利亚的Battese等（1977）[73]分别提出的，早期的模型只针对横截面数据进行分析，且不能处理多投入、多产出问题。Battese和Coelli（1992）[74]将其拓展为适用于面板数据且能对前沿函数和技术无效率函数的参数进行估计的随机前沿生产函数模型。Zhou等（2012）[21]将Shepard距离函数与随机前沿生产函数相结合，使得SFA模型能够同时处理多投入、多产出问题。SFA模型的一般形式为：
图片
利用极大似然估计方法可以确定函数中的参数，得到每个DMU各时期的距离函数（技术效率值）。技术效率（TE）用实际期望产出与生产前沿面产出期望的比值表示，则第j个DMU在t时期的技术效率可以定义为：
若uit=0，则TEtj=1，该个体恰好在生产前沿面上，即处于技术有效状态；若uit＞0，则TEtj∈（0，1），该个体位于生产前沿面之下，即处于非技术效率状态。从时期t到时期t+1，第j个DMU技术效率的变化按以下公式计算：
第j个DMU从时期t到时期t+1的技术变化，可以通过对随机前沿函数的参数直接求时期t的偏导数计算出来。当技术变化非中性时，技术变化值随着投入向量的不同而有所差异，因此，相邻时期t和时期t+1的技术变化值应采用几何平均值，即有：
基于SFA计算的M指数可以表示为技术效率变化与技术变化的乘积。与DEA相比，SFA利用随机前沿模型将随机因素的影响分离出来，避免结果受到测量误差或其他随机性误差的冲击，能够较好地消除确定性模型因随机偏误而带来的影响，使结论更接近于事实。当然，SFA也存在生产函数设定具有主观性、需要假定统计误差与技术无效率误差的分布形式等不足。既有文献主要是基于SFA计算Malmquist指数，而基于SFA的ML指数、L指标等应该成为未来全要素生产率指数的重要拓展方向。
四、全要素生产率指数的比较分析
全要素生产率指数既包括基于当期DEA测算的M指数、ML指数和L指标，以及基于序列DEA、窗口DEA、全局DEA、两期DEA和共同前沿DEA测算的拓展指数，还包括四个改进和新发展的指数即HMB指数、FP指数、LHM指标和聚合L指标。在对各种指数的测度与分解、优缺点进行了阐述之后，本文将根据全要素生产率指数的表现形式、距离函数及生产前沿面构建方法的不同，进行指数的比较分析。
依据表1的分类，本文从纵向（即同一生产前沿面）和横向（即不同生产前沿面）两个角度，对各种全要素生产率指数测算和分解中所体现出的性质及特征进行比较与解析。
（一）同一生产前沿面的全要素生产率指数比较
全要素生产率增长测度包括基于比率的指数和基于差异的指标两种形式。在基于比率的指数中，M指数及其拓展指数（SM、WM、GM、MM、BM指数，下同）均是基于Shepard距离函数构建的指数，ML指数及其拓展指数则是基于方向性距离函数构建的指数。方向性距离函数相较于Shepard距离函数多出一个方向向量，可以同时考察投入减少和产出增加，也能兼顾期望产出和非期望产出。Shepard距离函数和方向性距离函数均属于径向距离函数，要求投入产出同比例扩张或缩减，而基于差异的L指标及其改进指标则是基于一种非径向、非角度SBM方向性距离函数构建的，它既同时考虑了期望产出的增加和非期望产出的减少，也解决了因未考虑松弛变量而高估评价对象效率的问题。
同一生产前沿面的全要素生产率指数在很多性质上（如函数形式、传递性、循环性等）呈现出一定的联系及差异。本文以基于当期DEA构建生产前沿面的方法为例，进行了代表性指数M指数、HMB指数、FP指数、ML指数、L指标和LHM指标性质的对比分析，结果如表2所示。⑥基于序列DEA、窗口DEA、全局DEA等其他生产前沿面构建的指数具有相似的差异特征，比较分析方法也类似。
表2中的全要素生产率指数相较于Fisher指数、Trnqvist指数等传统生产率指数而言，其均不要求设定具体函数形式和获取要素价格信息，且适用于面板数据分析，能够用于有价值的动态趋势判断。
在仅考虑期望产出的情况下，全要素生产率增长测度可以采用M指数、HMB指数和FP指数。相较于M指数，HMB指数和FP指数具有以下优势：指数形式为产出量指数与投入量指数的比值，不存在角度选择问题；全要素生产率增长测算过程不受规模报酬性质的影响，具有循环性，且能够避免线性无可行解问题；HMB指数分解不需要对技术、企业行为及市场结构等进行假定，其分解体现出乘法完备性，能够完全分解为几项因素的乘积；FP指数可以满足开展多边比较的传递性要求。当然，在指数分解方面，M指数与HMB指数、FP指数也存在一定的差异。由于技术的规模报酬性质会对M指数产生影响，故M指数的分解还存在一定的争议，且M指数的分解往往会忽略规模混合效率，这使得分解并不完整，而HMB指数和FP指数均满足乘法完备性，分解子项除了包含技术变化、技术效率变化和规模效率变化外，还考虑了残余混合效率变化、混合效率变化、残余规模效率变化和规模混合效率变化等，分解是较为完全的。
Peyrache（2014）[75]提出了反映生产率变化的原始指数——径向生产率指数（RPI），⑦其可精确分解为三个部分：技术变化（TC）、技术效率变化（TEC）和平均规模经济（径向规模变化，简称RSC），即RPI=TEC·TC·RSC。RPI指数在一定程度上反映了M指数与HMB指数之间的联系，可以表示为：HMB=TEC·TC·RSC=RPI·Hom。其中，Hom表示偏离同质性假设。事实已证明：（1）在满足CRS（技术非逆同质性）时，RPI指数等同于M生产率指数；（2）在技术逆同质性（VRS）条件下，RPI指数等同于HMB生产率指数；（3）在CRS和技术逆同质性条件下，M指数等同于HMB指数。
若将非期望产出纳入全要素生产率增长测算框架，ML指标、L指标和LHM指标均可同时考虑期望产出的扩张和非期望产出的缩减。相较于ML指数，L指标和LHM指标通常是基于SBM方向性距离函数进行测算，考虑了松弛变量以避免高估评价对象效率的问题，而且其既可以从技术角度进行分解，也可以从要素角度进行分解，能够反映完整的全要素生产率变化情况，且能计算单个投入要素生产率的变动情况。另外，LHM指标与L指标的比较类似于HMB指数与M指数的关系，LHM指标是在HMB指数的基础上提出且是基于差异的指标，具有HMB指数的所有良好特性，且满足乘法完备性，能够完全分解。
（二）不同生产前沿面的全要素生产率指数比较
基于不同生产前沿面的全要素生产率指数分解框架存在一定的差异。当期DEA指数和序列DEA指数的分解框架基本相同。现有文献多是将窗口DEA指数分解为技术变化（TC）和技术效率变化（TEC）两部分。全局（两期）DEA指数的分解思路与当期DEA指数的分解思路类似，其中，全局效率变化和全局规模变化与当期DEA的效率变化和规模变化相同，不同的是全局（或两期）技术变化代表当期生产可能性集合与全局（两期）生产可能性集合的最佳技术前沿差距的变化，而当期DEA的技术变化代表相邻两期技术前沿的变化。基于共同前沿DEA的指数考虑了群组的当期、跨期和全局前沿，分解项中包括反映相邻两时期至当期生产前沿追赶程度的技术效率变化（TEC）、当期生产可能性集合与跨期生产可能性集合的最佳技术前沿差距的技术变化（BPC）、相邻两时期跨期参考技术边界与共同参考技术边界的最优技术落差比例的变化（TGC）。其中，TGC又可进一步分解为纯技术追赶（PTCU）和潜在技术相对变动（PTRC）两项。
（三）基于DEA与基于SFA的全要素生产率指数比较
五、结语及展望
全要素生产率指数涵盖基于DEA的非参数方法和基于SFA的参数方法，包含仅考虑期望产出的方法和综合考虑期望产出与非期望产出的方法，从基于当期DEA构建生产前沿面的方法到基于序列DEA、全局DEA、两项DEA和共同前沿DEA等构建前沿面的方法，每一种全要素生产率指数都具有自身独特的适用条件、理论基础、优缺点及分解方式，我们在实际应用时需要结合具体的研究场景、对象特点，选择和结合使用一种或多种方法有效开展全要素生产率增长的测度及分解。
通过对全要素生产率增长测算及分解方法进行逻辑梳理和比较分析，本文发现，全要素生产率指数测算方法仍存在一定的拓展空间，有待于未来进行深入的研究。
其一，完善LHM指标的分解方法及子项构成。既有文献使用M指数、ML指数和FP指数测算全要素生产率增长的较多，指数分解也较为细致，而对于HMB指数、L指标和LHM指标，理论探讨与应用分析相对较少，指数分解也不够完善，特别是LHM指标的分解仅限于技术效率变化、技术变化和规模变化。实际上，LHM指标是一个具有乘法完备性的差异指标，其既能像HMB指数一样从技术角度进行完全分解，也可依照L指标从要素角度进行完全分解，具体的分解方法有待于进一步的完善。
其二，开展HMB指数和LHM指标生产前沿面构建方法的拓展研究。在既有文献中，M指数的改进——HMB指数和L指标的改进——LHM指标均是基于当期生产前沿进行全要素生产率指数的测算与分解。其实，类似于M指数与L指标，HMB指数和LHM指标也可拓展为基于序列DEA、窗口DEA、全局DEA、两期DEA和共同前沿DEA构造生产前沿面，从而显示出其可避免虚假技术进步、克服线性规划无可行解的缺陷、解决群体异质性问题等方面的良好性质。
其三，加强基于SFA的全要素生产率指数方法的创新研究。目前基于DEA非参数方法进行的全要素生产率指数测算及分解研究较为丰富，而基于SFA的参数方法仅限于Malmquist指数的测算与分解。Zhou等（2012）[21]将Shepard距离函数与SFA相结合，使得SFA模型能够同时处理多投入、多产出问题，未来的研究可以进一步尝试基于SFA方法对ML指数、L指标及拓展指数进行测算与分解，并与DEA方法的测算与分解结果进行比较分析，以得到更为全面、客观的研究结论。
其四，强化基于窗口DEA构建生产前沿面的研究。Fre等（2007）[37]提出了WM指数并进行了分解，但因存在具体窗口选择等问题，WM指数的使用受到限制。李谷成等（2013）[76]借鉴固定基期Malmquist指数的思路，构建了基于固定窗口（Fixed-Window）的Malmquist指数（简称FWM指数），以解决技术退步和无可行解问题，有效避免了窗口选择标准模糊不清的问题。但FWM指数只是回避了生产率指数测算时的窗口选择难题，指数分解时还是需要选择合适的窗口。因此，未来应以此为基础对窗口DEA全要素生产指数方法进行更深入的研究，彻底解决全要素生产率指数测算与分解的窗口选择问题。
注释：
①假设存在J个决策单元（DMU），每个决策单元在T期使用N种投入，得到M种产出，则第j个DMU在t时期的投入产出向量为：图片。其中，图片为t时期研究的第j个DMU的第n种投入，图片为t时期研究的第j个DMU的第m种产出。后文所有的决策单元假设均相同，不再进行说明。
②规模技术变化（STC）表示CRS下技术变化和VRS下技术变化的比率。
③传递性意味着对两个对象/时期生产率的直接比较将产生与通过第三个对象/时期间接比较相同的生产率变化估计，同一性公理意味着两个对象使用相同的投入得到相同的产出，指数值为1。
④Diewert（2005）[79]从检验和经济角度对指数理论的比率和差异方法进行了比较，并称基于比率的生产率度量为“指数”，称基于差异的生产率度量为“指标”。
⑤共同边界方法首先是构建群组边界（GroupFrontier），对群组内部的对象进行效率评价，然后在群组边界的基础上构建共同边界，评价对象在组群边界下的技术效率与在共同边界下的技术效率的比值被定义为TGR。
⑥此处将HMB指数、FP指数与LHM指标看作是基于当期DEA计算得到。
⑦该生产率指数由于是利用沿着预先指定的投入产出射线的距离函数变化来定义，其通常被认为是径向生产率指数（RPI）。
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双重差分法，英文名Differences-in-Differences，别名“倍差法”，小名“差中差”。作为政策效应评估方法中的一大利器，双重差分法受到越来越多人的青睐，概括起来有如下几个方面的原因：（1）可以很大程度上避免内生性问题的困扰：政策相对于微观经济主体而言一般是外生的，因而不存在逆向因果问题。此外，使用固定效应估计一定程度上也缓解了遗漏变量偏误问题。（2）传统方法下评估政策效应，主要是通过设置一个政策发生与否的虚拟变量然后进行回归，相较而言，双重差分法的模型设置更加科学，能更加准确地估计出政策效应。（3）双重差分法的原理和模型设置很简单，容易理解和运用，并不像空间计量等方法一样让人望而生畏。（4）尽管双重差分法估计的本质就是面板数据固定效应估计，但是DID听上去或多或少也要比OLS、FE之流更加“时尚高端”，因而DID的使用一定程度上可以满足“虚荣心”。
具体来说，基准的DID模型设置如下：
从DID的模型设置来看，要想使用DID必须满足以下两个关键条件：一是必须存在一个具有试点性质的政策冲击，这样才能找到处理组和对照组，那种一次性全铺开的政策并不适用于DID分析；二是必须具有一个相应的至少两年（政策实施前后各一年）的面板数据集。
更进一步地，DID的思想与上表的内容可以通过下图来体现：
图中红色虚线表示的是假设政策并未实施时处理组的发展趋势。事实上，该图也反映出了DID最为重要和关键的前提条件：共同趋势（CommonTrends），也就是说，处理组和对照组在政策实施之前必须具有相同的发展趋势。DID的使用不需要什么政策随机以及分组随机，只要求CT假设，因此用DID做论文时必须对该假设进行验证，至于具体怎么验证，后面再说。
很多时候，大家在看使用DID的文献时，会发现别人的基准模型和模型（1）并不完全一致，别人的模型如下：
在介绍完DID的基本思想和模型设定后，现在要开始强调同等重要的内容，那就是稳健性检验——必须证实所有效应确实是由政策实施所导致的。很多人对这一点并不重视，认为DID很简单，随便跑几个回归就可以写出一篇大作了。关于DID的稳健性检验，主要表现在两个方面：
（2）即便处理组和对照组在政策实施之前的趋势相同，仍要担心是否同时发生了其他可能影响趋势变化的政策，也就是说，政策干预时点之后处理组和对照组趋势的变化，可能并不真正是由该政策导致的，而是同时期其他的政策导致的。这一问题可以概括为处理变量对产出变量作用机制的排他性，对此，可以进行如下的检验：
A.安慰剂检验，即通过虚构处理组进行回归，具体可以：a）选取政策实施之前的年份进行处理，比如原来的政策发生在2008年，研究区间为2007-2009年，这时可以将研究区间前移至2005-2007年，并假定政策实施年份为2006年，然后进行回归；b）选取已知的并不受政策实施影响的群组作为处理组进行回归。如果不同虚构方式下的DID估计量的回归结果依然显著，说明原来的估计结果很有可能出现了偏误。
B.可以利用不同的对照组进行回归，看研究结论是否依然一致。
C.可以选取一个完全不受政策干预影响的因素作为被解释变量进行回归，如果DID估计量的回归结果依然显著，说明原来的估计结果很有可能出现了偏误。等等。