静力学基本概念、基本理论、平衡计算
总课时
10
课程任务名称
1、力的平衡的概念
2、静力学的基本概念
3、约束与反约束力
4、物体的受力分析
5、结构的计算简图与分类
上课地点
普通教室
教学目标
知识要求
1.明确力、平衡、约束、约束反力的概念。
2.深刻理解静力学公理。
3.掌握常见约束的特点及相应约束反力
4.能对单个物体和简单的物体系统进行正确的受力分析并正确绘出受力图
职业技能要求
了解职业岗位力学知识；掌握刚体静力学的力学分析方法
职业素养要求
主动性与创新能力；学习与理解能力；总结归纳能力。
教学方法
理论讲解，问题导向，演示，实践练习，总结归纳
教学手段
课堂讲授；多媒体课件
教学过程
案例任务
应用平面一般力系的平衡方程求解单个物体和简单物系的约束反力。
实训任务
画受力图；计算约束反力
教学重点
静力学的基本概念。作用与反作用公理，二力平衡公理，加减平衡力系公理，力的平行四边形公理及三力平衡汇交定理。
教学难点
作用与反作用公理，二力平衡公理，加减平衡力系公理，力的平行四边形公理及三力平衡汇交定理。
教学过程设计
绪论
一、《建筑力学》的研究对象
在建筑物中承受并传递荷载而起骨架作用的部分叫做建筑结构，简称结构。组成结构的单个物体叫构件。构件一般分三类，即杆件、薄壁构件和实体构件。在结构中应用较多的是杆件。
对土建类专业来讲，《建筑力学》的主要研究对象就是杆件和杆件结构。
二、《建筑力学》的主要任务
《建筑力学》的任务就是为解决安全和经济这一矛盾提供必要的理论基础和计算方法。
三、《建筑力学》的内容简介
第一部分讨论力系的简化、平衡及对构件（或结构）进行受力分析的基本理论和方法；第二部分讨论构件受力后发生变形时的承载力问题。为设计即安全又经济的结构构件选择适当的材料、截面形状和尺寸，使我们掌握构件承载力的计算。第三部分讨论杆件体系的组成规律及其内力和位移的问题。
四、《建筑力学》的学习方法
《建筑力学》是土建类专业的一门重要的专业基础课，学习时要注意理解它的基本原理，掌握它的分析问题的方法和解题思路，切忌死记硬背；还要多做练习，不做一定数量的习题是很难掌握《建筑力学》的概念、原理和分析方法的；另外对做题中出现的错误应认真分析，找出原因，及时纠正。
引言
同时作用在物体上的一群力，称为力系。
对物体作用效果相同的力系称为等效力系。
物体在力系作用下，相对于地球静止或作匀速直线运动，称为平衡。它是物体运动的一种特殊形式。
建筑力学中把运动状态没有变化的特殊情况称为平衡状态。
满足平衡状态的力系称为平衡力系。
使物体在力系作用下处于平衡力系时应满足的条件，称为力系的平衡条件。
第一章力的基本性质与物体的受力分析
第一节基本概念
一、刚体的概念
在外力作用下，几何形状、尺寸的变化可忽略不计的物体，称为刚体。
二、力的概念
力是物体间相互的机械作用，这种相互作用会使物体的运动状态发生变化（外效应）或使物体发生变形（内效应）。
实践证明：力对物体的作用效果取决于力的三要素。
1.力的大小力的大小表明物体间相互作用的强弱程度。
2.力的方向力不但有大小，而且还有方向。
3.力的作用点当作用范围与物体相比很小时，可以近似地看作是一个点。
在描述一个力时，必须全面表明这个力的三要素。
力是矢量。
第二节静力学公理
一、力的平行四边形公理
作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
二、二力平衡公理
作用在同一刚体上的两个力，使刚体处于平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
三、加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。也就是说，如果两个力系只相差一个或几个平衡力系，则它们对刚体的作用是相同的，可以等效代换。
推论1力的可传性原理
作用在刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移动到刚体内任意一点，而不改变该力对刚体的作用效果。
推论2三力平衡汇交定理
作用于同一刚体上共面而不平行的三个力使刚体平衡时，则这
三个力的作用线必汇交于一点。
四、作用与反作用公理
两物体间的作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反，沿同一直线并分别作用于两个物体上。
必须注意：不能把作用力与反作用力公理与二力平衡公理相混淆。
第三节工程中常见的约束与约束反力
一、约束与约束反力的概念
对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束体，简称约束。阻碍物体运动的力称为约束反力，简称反力。
所以，约束反力的方向必与该约束所能阻碍物体运动的方向相反。由此可以确定约束反力的方向或作用线的位置。
物体受到的力一般可以分为主动力、约束反力。
一般主动力是已知的，而约束反力是未知的。
二、几种常见的约束及其反力
1.柔体约束FT
2.光滑接触面约束FN
3.圆柱铰链约束
4.链杆约束画出简图分别举例
三、支座及支座反力
工程中将结构或构件支承在基础或另一静止构件上的装置称为支座。建筑工程中常见的三种支座：固定铰支座（铰链支座）、可动铰支座和固定端支座。
1.固定铰支座（铰链支座）
2.可动铰支座
3.固定端支座画出简图分别举例
作业：思考题5、6复习
第四节物体的受力分析和受力图
物体的受力分析。
物体的受力图。受力图是进行力学计算的依据，也是解决力学问题的关键，必须认真对待，熟练掌握。
一、单个物体的受力图
例1-1、2、3
二、物体系统的受力图
物体系统的受力图与单个物体的受力图画法相同，只是研究对象可能是整个物体系统或系统的某一部分或某一物体。画物体系统整体的受力图时，只须把整体作为单个物体一样对待；画系统的某一部分或某一物体的受力图时，只须把研究对象从系统中分离出来，同时注意被拆开的联系处，有相应的约束反力，并应符合作用力与反作用力公理。
例1-4、5
受力图注意以下几点：
1.必须明确研究对象。
2.正确确定研究对象受力的数目。
3.注意约束反力与约束类型相对应。
4.注意作用力与反作用力之间的关系。
作业：习题1、2、3复习
【课程】2平面汇交力系
【教学要求】
掌握力在坐标轴上的投影及合力投影定理；
掌握平面汇交力系、平面一般力系的平衡条件；
【重点】
掌握物体系统的平衡条件。
【难点】
平面汇交力系的解法
【授课方式】课堂讲解加练习
【教学时数】共计4学时
第二章平面汇交力系
静力学是研究力系的合成和平衡问题。
平面汇交力系
平面力系平面平行力系
力系平面一般力系
空间力系
本章将用几何法、解析法来研究平面汇交力系的合成和平衡问题。
第一节平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法
1.两个汇交力的合成。
平行四边形法则三角形法则
2.任意个汇交力的合成
结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各力的汇交点。
例2-1
二、平面汇交力系平衡的几何条件
FR=ΣF=0
平面汇交力系平衡的几何条件为：力多边形自行闭合。
例2-2
例2-3
通过上述例题，可以总结出几何法求解平面汇交力系平衡问题的步骤如下：
⑴选取研究对象。根据题意选取与已知力和未知力有关的物体作为研究对象，并画出简图。
⑵受力分析，画出受力图。在研究对象上画出全部已知力和未知力（包括约束反力）。注意运用二力杆的性质和三力平衡汇交定理来确定约束反力的作用线。当约束反力的指向未定时，可先假设。
⑶作力多边形。选择适当的比例尺，作出封闭的力多边形。注意，作图时先画已知力，后画未知力，按力多边形法则和封闭特点，确定未知力的实际指向。
⑷量出未知量。根据比例尺量出未知量。对于特殊角还可用三角公式计算得出。
作业：题2----1、2、3
第二节平面汇交力系合成与平衡的解析法
几何法简捷、直观，但精确度有赖准确作图。
力学中常采用解析法。这种方法以力在坐标轴上投影的计算为基础。
一、平面汇交力系合成的解析法
1.力在坐标轴上的投影
简图说明
投影符号正、负的规定：当从力始端投影到终端投影的方向与坐标轴的正向一致时，该投影取正值；反之，取负值。
两种特殊情形：
⑴当力与轴垂直时，投影为零。
⑵当力与轴平行时，投影的绝对值等于力的大小。
投影与分力二者不可混淆。
例2-4
2.合力投影定理
合力投影定理：合力在任一坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。
3.用解析法求平面汇交力系的合力
式中α为合力FR与x轴所夹的锐角。合力的作用线通过力系的汇交点O，合力FR的指向，由FRX和FRY(即ΣFX、ΣFY)的正负号来确定。
例2-5
二、平面汇交力系平衡的解析条件
由上节可知，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。根据式（2-5）的第一式可知：
上式中（ΣFX）2与（ΣFY）2恒为正数。若使FR=0，必须同时满足
ΣFX=0
ΣFY=0
平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
上式称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。这一点与几何法相一致。
例2-6
例2-7
例2-8
通过以上各例的分析讨论，现将解析法求解平面汇交力系平衡问题时的步骤归纳如下：
1.选取研究对象。
2.画出研究对象的受力图。当约束反力的指向未定时，可先假设其指向。
3.选取适当的坐标系。最好使坐标轴与某一个未知力垂直，以便简化计算。
4.建立平衡方程求解未知力，尽量作到一个方程解一个未知量，避免解联立方程。列方程时注意各力的投影的正负号。求出的未知力带负号时，表示该力的实际指向与假设指向相反。
作业：题2----4、5
【课程】3力矩和平面力偶系
掌握力矩的概念及合力矩定理；
掌握力偶的性质；掌握物体系统的平衡条件。
掌握力偶系的平衡条件；
力偶性质的利用，求物体系统的平衡时如何选取研究对象。
第三章力对点的矩与平面力偶系
第一节力对点的矩的概念及计算
一、力对点的矩
力F与距离d两者的乘积
转动中心O称为力矩中心，简称矩心。
矩心到力作用线的垂直距离d，称为力臂。
改变力F绕O点转动的方向，作用效果也不同。
力F对物体绕O点转动的效应，由下列因素决定：
（1）力的大小与力臂的乘积
（2）力使物体绕O点的转动方向。
MO(F)=±
通常规定：逆为正，反之为负。
在平面问题中，力矩为代数量。
力矩的单位：
MO(F)=±2△AOB
力矩在下列两种情况下等于零：
（1）力等于零；
（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。
二、合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点的力矩，等于力系中各分力对同一点的力矩的代数和。这就是平面力系的合力矩定理。用公式表示为
简单证明：
例3-1
例3-2
课堂练习（补充）
作业：题3----1、2
【课程】4平面一般力系
掌握平面一般力系的平衡条件；
求物体系统的平衡时如何选取研究对象。
【教学时数】共计6学时
第四章平面一般力系
平面一般力系是指各力的作用线在同一平面内但不全交于一点，也不全互相平行的力系。举例。
本章将讨论平面一般力系的简化与平衡问题，并以平衡问题为主。
第一节平面一般力系向作用面内任一点简化
一、力的平移定理
由此可见，作用于物体上某点的力可以平移到此物体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩，这就是力的平移定理。此定理只适用于刚体。
应用力的平移定理时，须注意下列两点：
（一）平移力F＇的大小与作用点位置无关。
（二）力的平移定理说明作用于物体上某点的一个力可以和作用于另外一点的一个力和一个力偶等效，反过来也可将同平面内的一个力和一个力偶化为一个合力
二、简化方法和结果
主矢
主矩
Mo′=M1+M2+…+Mn
Mo′=Mo(F1)+Mo（F2）+…+Mo（Fn）=∑Mo（F）
综上所述可知：平面一般力系向作用面内任一点简化的结果，是一个力和一个力偶。这个力作用在简化中心，它的矢量称为原力系的主矢，并等于这个力系中各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，并等于原力系中各力对简化中心的力矩的代数和。
主矢描述原力系对物体的平移作用；
主矩描述原力系对物体绕简化中心的转动作用，二者的作用总和才能代表原力系对物体的作用。
三、平面一般力系简化结果的讨论
1.若FR′=0，MO′≠0一个力偶
2.若FR′≠0，Mo′=0一个力
3.若FR′≠0，Mo′≠0可继续简化：一个力
4.若FR′=0，Mo′=0平衡（下节讨论）
四、平面力系的合力矩定理
Mo（FR）=∑Mo（F）
例4-1
例4-2
沿直线平行同向分布的线荷载，荷载合力的大小等于该荷载图的面积，方向与分布荷载同向，其作用线通过该荷载图的形心。
作业：题4----1、2、3、4
第二节平面一般力系的平衡方程及其应用
一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系平衡方程的基本形式
∑FX=0
∑FY=0
∑Mo（F）=0
二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式
∑MA(F)=0
∑MB(F)=0
式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
2.三力矩形式
∑MA（F）=0
∑MC（F）=0
式中A、B、C三点不共线。
三、平衡方程的应用
应用平面一般力系的平衡方程，主要是求解结构的约束反力，还可求解主动力之间的关系和物体的平衡位置等问题。其解题步骤如下：
1.确定研究对象。
2.分析受力并画出受力图。
3.列平衡方程求解未知量。
例4--34567
作业：题4----5、6、8、10、12、
第三节平面平行力系的平衡方程
平面力系中，各力的作用线互相平行时，称为平面平行力系。
平面平行力系的平衡方程为
∑MO（F）=0
平面平行力系平衡方程的二力矩式
∑MB（F）=0
其中A、B两点的连线不与各力的作用线平行。
例4-8
例4-9
例4-10
作业：题4----16、17
第四节物体系统的平衡问题
在解决物体系统的平衡问题时，既可选整个系统为研究对象，也可选其中某个物体为研究对象，然后列出相应的平衡方程，以解出所需的未知量。
研究物体系统的平衡问题，不仅要求解支座反力，而且还需要计算系统内各物体之间的相互作用力。
应当注意：我们研究物体系统平衡问题时，要寻求解题的最佳方法。即以最少的计算过程，迅速而准确地求出未知力。其有效方法就是尽量避免解联立方程。一般情况下，通过合理地选取研究对象，以及恰当地列平衡方程及其形式，就能取得事半功倍的效果。而合理地选取研究对象，一般有两种方法：
1.。“先整体、后局部”
2.“先局部、后整体”或“先局部、后另一局部”
在整个计算过程中，当画整体、部分或单个物体的受力图时还应注意：①同一约束反力的方向和字母标记必须前后一致；②内部约束拆开后相互作用的力应符合作用与反作用规律；③不要把某物体上的力移到另一个物体上；④正确判断二力杆，以简化计算。
延展任务
引入墙体设计案例
教学反思
计算对于学生难度较大
加强学生结构计算能力
静定结构的内力分析
26
1-1杆件的基本变形及内力的概念
1-2轴向拉压杆的内力计算
1-3梁的内力计算
1-4刚架的内力计算
1-5桁架的内力计算
教室
1、能正确分析直杆在常见载荷作用下的变形形式，
2、能较熟练的分析杆件的内力，绘制相应的内力图。
熟练掌握直杆件轴向拉伸与压缩的工程设计；可对杆件进行内力分析与计算，以判断工程中是否满足条件
板书；多媒体
梁、刚架、桁架、轴向拉压杆的内力计算
绘制弯矩图和剪力图
求取剪力、弯矩的基本规律和方法
内力计算
第3章材料力学基本概念
第一节变形固体及其基本假设
一、变形固体
在外力作用下能产生一定变形的固体称为变形固体。
外力解除后，变形也随之消失的弹性变形。
外力解除后，变形并不能全部消失的塑性变形。
在弹性范围内，构件的变形量与外力的情况有关。
当变形量与构件本身尺寸相比特别微小时称为小变形。
二、基本假设
三点基本假设：
⒈连续性假设。
⒉均匀性假设
⒊各向同性假设
总之，本篇所研究的构件是均匀连续、各向同性，在小变形范围内的理想弹性体。
第二节杆件变形的基本形式
一、杆件的几何特征及分类
横截面总是与轴线相垂直。
按照杆件的轴线情况，将杆分为两类：直杆、曲杆。
等直杆是建筑力学的主要研究对象。
二、杆件变形的基本形式
基本形式有下列四种：
⒈轴向拉伸或轴向压缩
⒉剪切
⒊扭转
⒋平面弯曲
第4章轴向拉伸和压缩
了解轴向拉压变形的概念；
掌握轴向拉压杆与内力的计算方法；
会绘制轴力图。
【重点】绘制轴力图图。
【难点】正负号的判定。
【授课方式】通过模型课堂讲解
第一节轴向拉伸和压缩的概念
轴向拉伸或压缩变形是杆件基本变形形式之一，它们的共同特点：杆轴线纵向伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。
第二节轴向拉（压）杆的内力
一、内力的概念
杆件相连两部分之间相互作用力产生的改变量称为内力。
内力与杆件的强度、刚度等有着密切的关系。讨论杆件强度、刚度和稳定性问题，必须先求出杆件的内力。
二、求内力的基本方法——截面法
截面法是求杆件内力的基本方法。
计算内力的步骤如下：
⒈截开：用假想的截面，在要求内力的位置处将杆件截开，把杆件分为两部分。
⒉代替：取截开后的任一部分为研究对象，画受力图。画受力图时，在截开的截面处用该截面上的内力代替另一部分对研究部分的作用。
⒊平衡：被截开后的任一部分也应处于平衡状态。
三、轴向拉（压）杆的内力——轴力
与杆件轴线相重合的内力称为轴力。并用符号FN表示。
规定：拉力为正；压力为负，
轴力的常用单位是牛顿或千牛顿，记为N或kN。
说明：
（1）先假设轴力为拉力。
（2）可取截面的任一侧研究。为了简化，取外力较少的一侧。
四、轴力图
表明轴力随横截面位置变化规律的图形称为轴力图。从轴力图上可以很直观地看出最大轴力所在位置及数值。习惯：正上负下。
第三节材料在拉伸和压缩时的力学性质
材料的力学性质是指：材料在外力作用下所表现出的强度和变形方面的性能。材料的力学性质都要通过实验来确定。
一、低碳钢的力学性质
⒈低碳钢拉伸时的力学性质
⑴拉伸图和应力——应变图
⑵变形发展的四个阶段
1）弹性阶段
2）屈服阶段
屈服阶段内最低对应的应力值称为屈服极限，用符号σs。
3）强化阶段
最高点对应的应力称为强度极限，用符号σb。
冷加工
4）颈缩阶段
⑶延伸率和截面收缩率
1）延伸率
工程中常按延伸率的大小将材料分为两类：
δ≥5%的材料为塑性材料。
δ＜5%的材料为脆性材料。
2）截面收缩率
⒉低碳钢压缩时的力学性质
二、铸铁的力学性质
⒈拉伸性质
⒉压缩性质
三、其它材料的力学性质
塑性材料，在强度方面表现为：拉伸和压缩时的弹性极限、屈服极限基本相同，应力超过弹性极限后有屈服现象；在变形方面表现为：破坏前有明显预兆，延伸率和截面收缩率都较大等。
脆性材料，在强度方面表现为：压缩强度大于拉伸强度；在变形方面表现为：破坏是突然的，延伸率较小等。
总的来说，塑性材料的抗拉、抗压能力都较好，既能用于受拉构件又能用于受压构件；脆性材料的抗压能力比抗拉能力好，一般只用于受压构件。但在实际工程中选用材料时，不仅要从材料本身的力学性质方面考虑，同时还要考虑到经济的原则。
需特别指出：影响材料力学性质的因素是多方面的，上述关于材料的一些性质是在常温、静荷载条件下得到的。若环境因素发生变化（如温度不是常温，或受力状态改变），则材料的性质也可能随之而发生改变。
第四节剪切与挤压
一、剪切与挤压的概念
二、剪切与挤压的实用计算
（一）剪切的实用计算
假定剪切面上的剪应力均匀分布
说明该公式各字母代表的意义
剪切强度条件
（二）挤压的实用计算
假定挤压面上的挤压应力均匀分布
挤压强度条件
第5章梁的弯曲
了解梁平面弯曲的概念；
会用截面法、直接法求指定截面的弯矩和剪力；
理解内力方程法画单跨梁的内力图；
重点掌握简捷法、叠加法画梁的内力图；
会画多跨梁的内力图。
掌握简捷法、叠加法画梁的内力图。
q与剪力和弯矩的关系的应用
【授课方式】课堂讲解和习题练习
第5章弯曲内力
第一节平面弯曲的概念
一、弯曲和平面弯曲
1.弯曲
以弯曲为主要变形的杆件通常称之为梁。
举例
2.平面弯曲
当作用于梁上的力（包括主动力和约束反力）全部都在梁的同一纵向对称平面内时，梁变形后的轴线也在该平面内，我们把这种力的作用平面与梁的变形平面相重合的弯曲称为平面弯曲。
二、梁的类型
工程中通常根据梁的支座反力能否用静力平衡方程全部求出，将梁分为静定梁和超静定梁两类。凡是通过静力平衡方程就能够求出全部反力和内力的梁，统称为静定梁。而静定梁又根据其跨数分为单跨静定梁和多跨静定梁两类。单跨静定梁是本章的研究对象，通常又根据支座情况将单跨静定梁分为三种基本形式。
3.外伸梁梁身的一端或两端伸出支座的简支梁
第二节梁的内力
一、梁的内力——剪力和弯矩
用求内力的基本方法——截面法来讨论梁的内力。
剪力FQ弯矩M
二、剪力和弯矩的正负号规定
1.剪力的正负号规定：顺转剪力正
2.弯矩的正负号规定：下凸弯矩正
三、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩
1.用截面法求梁指定截面上的剪力和弯矩时的步骤：
(1)求支座反力。
(2)用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。
(3)取截面的任一侧为隔离体，做出其受力图，列平衡方程求出剪力和弯矩。
3.总结与提示
(1)为了简化计算，取外力比较少（简单）一侧
(2)未知的剪力和弯矩通常均按正方向假定。
(3)平衡方程中剪力、弯矩的正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身的正、负号相混淆。
(4)在集中力作用处，剪力发生突变，没有固定数值，应分别计算该处稍偏左及稍偏右截面上的剪力，而弯矩在该处有固定数值，稍偏左及稍偏右截面上的数值相同，只需要计算该截面处的一个弯矩即可；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，没有固定数值，应分别计算该处稍偏左及稍偏右截面上的弯矩，而剪力在该处有固定数值，稍偏左及稍偏右截面上的数值相同，只需要计算该截面处的一个剪力即可。
四、直接用外力计算截面上的剪力和弯矩
1.用外力直接求截面上内力的规律
(1)求剪力的规律左上右下正，反之负
(2)求弯矩的规律左顺右逆正，反之负
显然，用截面法总结出的规律直接计算剪力和弯矩比较简捷，所以，实际计算时经常使用。
课堂练习
第三节梁的内力图
内力沿梁轴线的变化规律，
内力的最大值以及最大内力值所在的位置
一、剪力方程和弯矩方程
FQ=FQ（x）和M=M（x）
二、剪力图和弯矩图
剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
作剪力图和弯矩图最基本的方法是：根据剪力方程和弯矩方程分别绘出剪力图和弯矩图。
剪力正上负下，并标明正、负号；
弯矩正下负上（即弯矩图总是作在梁受拉的一侧）对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一
侧，并标明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。
例11-5作图11-18a所示悬臂梁
(1)列剪力方程和弯矩方程
剪力方程为：
FQ=－FP(0＜x＜l)
弯矩方程为：
M=－FPx(0≤x＜l)
(2)作剪力图和弯矩图
例11-6作图11-19a所示简支梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。
（1）求支座反力
FAy=
FBy=
（2）列剪力方程和弯矩方程
(3)作剪力图和弯矩图
若集中力正好作用在梁的跨中，即a=b=
作图示简支梁在满跨向下均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。
第四节弯矩、剪力和荷载集度之间的微分关系及其应用
一、M(x)、FQ(x)、q(x)之间的微分关系
上式说明：梁上任一横截面的剪力对x的一阶导数等于作用在梁上该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于该点对应截面处的荷载集度。
上式说明：梁上任一横截面的弯矩对x的一阶导数等于该截面上的剪力。这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点切线的斜率等于该点对应横截面上的剪力。可见，根据剪力的符号可以确定弯矩图的倾斜趋向。
再将
上式说明：梁上任一截面的弯矩对x的二阶导数等于该截面处的荷载集度。这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点的曲率等于该点对应截面处的分布荷载集度。可见，根据分布荷载的正负可以确定弯矩图的开口方向。
二、用M(x)、FQ(x)、q(x)三者之间的微分关系说明内力图的特点和规律
序号
梁段上荷载情况
剪力图形状或特征
弯矩图形状或特征
说明
1
无均布荷载
（q=0）
剪力图为平行线。可为正、负、零
弯矩图为斜直线或平行线
平行线是指与x轴平行的直线
斜直线是指与x轴斜交的直线
例5-1
2
有均布荷载
（q≠0）
剪力图为斜直线
在FQ=0处
弯矩图为二次抛物线
M有极值
抛物线的开口方向与均布荷载的指向相反（或抛物线的突向与均布荷载的指向一致）
例5-2
例5-3的AB段上FQ=0处弯矩取得极值
3
集中力作用处
剪力图出现突变现象
弯矩图出现尖角
剪力突变的数值等于集中力的大小
弯矩图尖角的方向与集中力的指向相同
例11-6的C处
例11-9的B处
4
集中力偶作用处
剪力图无变化
弯矩图出现突变
弯矩突变的数值等于集中力偶的力偶矩大小
例11-7的C处
三、应用简捷法绘制梁的剪力图和弯矩图
1.用简捷法作剪力图和弯矩图的步骤
(1)求支座反力。对于悬臂梁由于其一端为自由端，所以可以不求支座反力。
(2)将梁进行分段梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的起止截面。
(3)由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力图和弯矩图的形状。
(4)确定控制截面，求控制截面的剪力值、弯矩值，并作图。
控制截面是指对内力图形能起控制作用的截面。
①水平直线确定一个截面——任一；
②斜直线确定两个截面——起、止；
③抛物线确定三个截面——起、止、极。
先定性再定量多种方法校核
第四节弯矩、剪力和荷载集度之间的
微分关系及其应用
剪力图上某点切线的斜率等于该点对应截面处的荷载集度。
弯矩图上某点切线的斜率等于该点对应横截面上的剪力。
弯矩图上某点的曲率等于该点对应截面处的分布荷载集度。
①水平直线确定一个截面——任一点；
②斜直线确定两个截面——起、止点；
③抛物线确定三个截面——起、止、极点。
牢记两个基本图形
（课本补充内容）
叠加法做弯矩图
叠加原理：由几个外力共同作用引起的某一参数（内力、应力、变形）等于每个外力单独作用时引起的该参数值的总和。
杆件的应力与强度计算
1-1轴向拉压杆的应力与强度计算
1-2平面弯曲梁的应力与强度计算
1、杆件在轴向拉伸和压缩时的应力
2、轴向拉（压）杆的变形*虎克定律
直杆件轴向拉伸与压缩的工程设计；
杆件弯曲条件
直杆横截面上的应力、许用应力、强度条件；
梁的正应力的强度计算；
弯矩图和剪力图
直杆件轴向拉伸与压缩问题的强度校核及力学分析；求取剪力、弯矩的基本规律和方法
应力计算
第一节许用应力、安全系数和强度计算
一、许用应力与安全系数
[σ]称为许用正应力。
许用应力与极限应力的关系可写为：
塑性材料：
脆性材料：
式中：nS与nb都为大于1的系数，称为安全系数。
塑性材料nS取1.4～1.7
脆性材料nb取2.5～3
二、轴向拉（压）杆的强度计算
⒈强度条件
为了保证轴向拉（压）杆在承受外力作用时能安全正常地使用，不发生破坏，必须使杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力，即
σmax≤[σ]
式中σmax是杆件的最大工作应力。
⒉强度条件在工程中的应用
根据强度条件，可以解决实际工程中的三类问题。
⑴强度校核
⑵设计截面
⑶计算许用荷载
FN≤A[σ]
第二节应力集中的概念
一、应力集中的概念
因杆件截面尺寸的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
二、应力集中对杆件强度的影响
塑性材料在静荷载作用下，应力集中对强度的影响较小。
对于脆性材料，应力集中严重降低了脆性材料杆件的强度。
第三节许用应力、安全系数和强度计算
一、简要复习上节：
三类问题
第四节弯曲正应力强度计算
目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度计算。
教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。
教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。
教学内容：
一、弯曲正应力强度条件：
１、对于塑性材料，一般截面对中性轴上下对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的抗拉、压强度又相等。所以塑性材料的弯曲正应力强度条件为：
（1）、强度校核
（2）、截面设计
（3）、确定许可荷载
２、弯曲正应力强度计算的步为：
(１)、画梁的弯矩图，找出最大弯矩（危险截面）。
(２)、利用弯曲正应力强度条件求解。
二、例题：
例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺纹许用应力［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试选择梁的截面尺寸。
解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中点。
由
得
矩形截面弯曲截面系数：
h=2b=0.238m
最后取h=240mm,b=120mm
构件的变形和结构的位移计算
18
1-1轴向拉压杆的变形
1-2静定结构在荷载作用下的位移计算公式.
1-3图乘法
1-4梁的变形及刚度计算
掌握叠加法计算梁的变形
提高梁的强度和刚度的措施的理解
板书；多媒体课件
提高梁的强度和刚度的措施
叠加法计算梁的变形。
目的要求：掌握叠加法计算梁的变形。
教学重点：叠加法计算梁的变形。
教学难点：提高梁的强度和刚度的措施的理解。
第一节轴向拉（压）杆的变形及虎克定律
轴拉压沿轴线方向（纵向）的伸长或缩短变形，这种变形称之为纵向变形。与杆轴线相垂直方向的变形称为横向变形。
一、纵向、横向变形
杆的纵向变形量为
杆在轴向拉伸时纵向变形为正值，压缩时为负。其单位为m或mm
杆的横向变形量为
杆在轴向拉伸时的横向变形为负值，压缩时为正。
二、泊松比
当轴向拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，横向线应变ε′与纵向线应变ε的比值的绝对值为一常数，通常将这一常数称为泊松比或横向变形系数。用μ表示。
三、胡克定律
这一关系式称式（7-4）为胡克定律。
EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。
上式是虎克定律的另一表达形式。它表明：在弹性范围内，正应力与线应变成正比。
第二节图乘法计算位移
结构在荷载作用下产生内力和变形，由于结构的变形，结构上任一截面的位置将有移动，称为位移。截面的位移用线位移和角位移来度量。例如图12-1所式的梁，在荷载P作用下变形如图中虚线所示。此时，截面C变形后位移到C’,距离CC’称为截面C的线位移。同时，截面C还转动了一个角度，称为截面C的角位移或转角。
一、图形相乘法（简称图乘法）计算位移的步骤
（1）绘出结构在荷载作用下的弯矩图，这个弯矩图叫做荷载弯矩图，记作Mp。
（2）在求位移的位置处（B点）沿所求位移的方向（竖向）施加一个单位荷载P=1,并绘出单位荷载作用下的弯矩图。这个弯矩图叫单位弯矩图，记作M.
(3)计算荷载弯矩图Mp的面积，并确定荷载弯矩图的形心位置。
（4）荷载弯矩图Mp的性心所对应的带为弯矩图M上的竖标与Mp图的面积相乘，再除以梁的抗弯刚度EI，就得到所求的位移。
二、图乘法的应用条件和规则
（1）杆件的轴线为直线；
（2）杆件的抗弯刚度EI为常数，当杆件刚度变化时，要分段计算；
（3）单位弯矩图应当是直线，当M图是折线时，应将折线分成几段直线，分别图乘后，取其代数和。
（4）当Mp与y0在弯矩图基线的同一侧时，乘积取正号；反之取负号。
第三节梁的变形概述
概念：
１、挠度和转角：梁变形后杆件的轴线由直线变为一条曲线。梁横截面的形心在铅垂方向的位移称为挠度。挠度向上为正，向下为负。梁横截面转动的角度称为转角，转角逆时针转动为正，顺时针转动为负。
２、挠曲线方程：梁各点的挠度若能表达成坐标的函数，其函数表达式称为挠曲线方程。
挠曲线方程ｗ＝ｆ(ｘ)
挠曲线方程对坐标的一阶导数等于转角方程。
第四节用叠加法计算梁的变形
一、叠加原理：在弹性范围内，多个载荷引起的某量值（例如挠度），等于每单个载荷引起的某量值（挠度）的叠加。
二、用叠加法计算梁的变形：
１、步骤：将梁分为各个简单载荷作用下的几个梁，简单载荷作用下梁的变形（挠度和转角）可查表得到。然后再叠加。
２、例题：
例1：用叠加法求(a)图所示梁的最大挠度yc和最大转角θc。
解：图(a)可分解为(b)、（c）两种情况的叠加，分别查表得
三、梁的刚度条件：梁的刚度计算以挠度为主
梁的刚度条件：
ωmax≤[ω]
θmax≤[θ]
1、刚度校核
2、截面设计
3、确定许可荷载
在设计梁时，一般是先按强度条件选择截面或许可荷载，再用刚度条件校核，若不满足，再按刚度条件设计。
第五节提高梁的强度和刚度的措施
一、合理安排梁的支承：
例如剪支梁受均布载荷，若将两端的支座均向内移动0.2L，则最大弯矩只有原来最大弯矩的五分之一。（图）
二、合理布置载荷：
将集中力变为分布力将减小最大弯矩的值。（图）
三、选择合理的截面：
１、截面的布置应该尽可能远离中性轴。工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。
２、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等，应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。
压杆稳定
压杆稳定的概念
压杆的临界力与临界应力
压杆的稳定计算
学习掌握压杆稳定的工程概念、欧拉公式
了解工程中常用的压杆稳定现象，掌握压杆稳定工程计算的基本方法
了解压杆稳定与失稳的概念；
理解压杆的临界力和临界应力的概念；
能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力
熟悉压杆的稳定条件及其应用；
了解提高压杆稳定性的措施。
1、计算临界力。
2、掌握折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法
折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法。
第一节压杆稳定的概念
一、稳定问题的提出
对受压杆件的破坏分析表明，许多压杆却是在满足了强度条件的情况下发生的。例如。
细长压杆由于其不能维持原有直杆的平衡状态所致，这种现象称为丧失稳定，简称失稳。短粗压杆的破坏是取决于强度；细长压杆的破坏是取决于稳定。
细长压杆的承载能力远低于短粗压杆。
因此，对压杆还需研究其稳定性。
二、压杆稳定概念
平衡状态有稳定与不稳定之分。
压杆将从稳定平衡过渡到不稳定平衡，此时称为临界状态。压力Fcr称为压杆的临界力。当外力达到此值时，压杆即开始丧失稳定。
在设计压杆时，必须进行稳定计算。
第二节细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
式（16-1）即为两端铰支细长压杆的临界力计算式，又称为欧拉公式。式中EI为压杆的抗弯刚度。当压杆失稳时，杆将在EI值较小平面内失稳。所以，惯性矩I应为压杆横截面的最小形心主惯性矩Imin。
二、其他支承情况下细长压杆的临界力的欧拉公式
例16-1例16-2
作业：16----134
细长压杆的临界力计算的欧拉公式
第三节临界应力与欧拉公式的适用范围
临界应力
当压杆在临界力Fcr作用下处于平衡时，其横截面上的压应力为
令
式（16-3）称为欧拉临界应力公式。实际是欧拉公式的另一种表达形式。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式的适用范围是：压杆的应力不超过材料的比例极限。即
σcr≤σp
对应于比例极限的长细比为
因此欧拉公式的适用范围可以用压杆的柔度值λp来表示，即只有当压杆的实际柔度λ≥λp时，欧拉公式才适用。这一类压杆称为大柔度杆或细长杆。
三、超出比例极限时压杆的临界应力临界应力总图
压杆的应力超出比例极限时（λ<λp），这类杆件工程上称为中柔度杆。临界应力各国多采用以试验为基础的经验公式。
σcr=a-bλ2(16-5)
临界应力为压杆柔度的函数，临界应力σcr与柔度λ的函数曲线称为临界应力总图。
第四节压杆的稳定计算
一、压杆稳定条件
为了计算上的方便，将稳定许用应力值写成下列形式
压杆稳定条件可写为
或
二、压杆稳定条件的应用
稳定条件可解决下列常见的三类问题。
1.稳定校核。
2.设计截面。计算时一般先假设
3．确定稳定许用荷载。
例15-3稳定校核问题
例15-4稳定校核问题
例15-5确定稳定许用荷载问题
例15-6设计截面问题
第五节提高压杆稳定性的措施
一、减小压杆的长度
在条件允许的情况下，应尽量使压杆的长度减小，或者在压杆中间增加支撑。
二、改善支承情况，减小长度系数μ
在结构条件允许的情况下，应尽可能地使杆端约束牢固些，以使压杆的稳定性得到相应提高。
三、选择合理的截面形状
增大惯性矩I，从而达到增大惯性半径i，减小柔度λ，提高压杆的临界应力。
四、合理选择材料
对于大柔度杆，弹性模量E值相差不大。所以，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。
对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。
截面的几何参数
静矩和形心
掌握平面图形的静矩和形心计算
掌握简单平面图形的惯性矩计算
平面图形的静矩和形心计算
简单平面图形的惯性矩计算
平面图形的几何参数
与平面图形几何形状和尺寸有关的几何量统称为
平面图形的几何性质。平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素。本章着重讨论这些平面图形几何性质的概念和计算方法。
平面图形的几何性质是纯粹的几何问题，与研究对象的力学性质无关，但它是杆件强度、刚度计算中不可缺少的几何参数。
第一节静矩
一、静矩的概念
微面积dA与坐标y（或坐标z）的乘积称为微面积dA对z轴（或y轴）的静矩，记作dSz（或dSy），即
dSz=ydA，dSy=zdA
平面图形上所有微面积对z轴（或y轴）的静矩之和，称为该平面图形对z轴（或y轴）的静矩，用Sz（或Sy）表示。即
平面图形对z轴（或y轴）的静矩，等于该图形面积A与其形心坐标yC（或zC）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴。故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
二、组合图形的静矩
由几个简单的几何图形组合而成的，称为组合图形。根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即
组合图形形心的坐标计算公式
注意：
1.单位
2.数字较大，细心
3.课后仔细阅读教材
第二节惯性矩惯性积惯性半径
一、惯性矩
整个平面图形上各微面积对z轴（或y轴）惯性矩的总和称为该平面图形对z轴（或y轴）的惯性矩，用Iz（或Iy）表示。即
ρ2＝y2＋z2
平面图形对任一点的极惯性矩，等于图形对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。其值恒为正值。
故惯性矩也恒为正值。常用单位为m4或mm4。
二、惯性积
整个图形上所有微面积对z、y两轴惯性积的总和称为该图形对z、y两轴的惯性积，用Izy表示。即
惯性积可能为正或负，也可能为零。它的单位为m4或mm4。
两个坐标轴中只要有一根轴为平面图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。
三、惯性半径
惯性半径，也叫回转半径。它的单位为m或mm。
有过程详细推导
第三节组合图形的惯性矩
一、平行移轴公式
图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。由于a2（或b2）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。
再次强调，在应用平行移轴公式时，z轴、y轴必须是形心轴，z1轴、y1轴必须分别与z轴、y轴平行。
二、组合图形惯性矩的计算
在工程实际中，常会遇到构件的截面是由矩形、圆形和三角形等几个简单图形组成，或由几个型钢组成，称为组合图形。由惯性矩定义可知，组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。