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2021.07.02
1罗辑学的基本概念
逻辑学是研究用于区分正确推理与不正确推理的方法和原理的学问
-
1.1论证
逻辑学家并不关心推理的思想过程
而只关心这种过程的结果
这就是论证
论证是指阐述自己的观点后
对其加以证明
使自己的观点有了一个证明
论证是推理的产品
可以被完整地写出来
并予以检验与分析
如果论证的前提的确能够为接受结论提供充分的根据
也就是说
如果断定前提为真就能够保证可断定结论为真
那么其所使用的推理就是正确的
否则就是不正确的
1.2命题
任何论证都是由命题组成的
命题的三个特点：
（1）命题是一个陈述句
（2）命题是可以被肯定或否定
（3）并且是或真或假的东西
例如：
小明是人类
北京在中国
院子里有只大花猫
分析：
上面的三个例子都命题
因为
（1）这三个例子都是陈述句
（2）这三例子都可以被肯定或否定
如：小明不是人类
北京不在中国
院子里没有大花猫
（3）这三个例子可以是真的或者假的
如：小明是人类就是真的
小明不是人类就是假的
1.3论证与命题
任何论证都是由多个命题组成的
其中一个命题是结论
另一个（或一些）命题是用以支持结论的前提
因为小明睡过头了，所以小明上学迟到了。
“因为小明睡过头了”是这个论证的前提
“所以小明上学迟到了”是这个论证的结论
一个论证由多个命题构成
单一命题自身不可能是论证
1.4解析法和图示法
我们需通常有两种分析技法用于论证分析
解析法
即用清楚的语言和逻辑顺序表明论证中的命题
按照逻辑的顺序完整地列出论证中所有的命题
现代鸟类并非从直立行走的兽脚类恐龙（包括霸王龙）进化而来，有三个主要理由。
······其次，鸟的祖先必定已适宜飞行，而兽脚类恐龙并不适宜飞行。
第三个理由在于······兽脚类恐龙都有锯状牙齿，而鸟类没有锯状牙齿。
我们可通过解析澄清该论证
即利用清楚简明的语言列出其每一个前提及结论：
2．鸟的祖先必定已适宜飞行，但兽脚类恐龙不适宜飞行。
3．兽脚类恐龙都有锯状牙齿，而鸟类没有锯状牙齿。
所以，现代鸟类并非从直立行走的兽脚类恐龙进化而来。
图示法
用二维空间关系图展示论证的结构
所有命题都用数字标示
这些数字以一定的方式相互连接以展现命题之间的逻辑关系
其步骤是给论证中出现的每一个命题逐次赋予一个置于圆圈中的数字
然后在数字间使用箭头符号展示其中前提与结论的逻辑关联
这样可避免像解析法那样重述前提
①与许多人的认识相反，HIV检测呈阳性并不必定是死亡判决。
另一方面，③许多研究报告显示，相当数量的检测呈阳性者从未发展为艾滋病患者。
不用重述论证中的命题
使用标示命题的圆圈数字即可把该论证图示
与解析法相比，图示法更易于展现论证的前提支持结论的方式
如下：
1.5结论和前提指示词
出现在论证性话语中的命题的次序
不能作为辨识其结论或前提的依据
那么用什么来辨识呢？
有一些被叫做“结论指示词”的词或短语有助于这样的辨识
因为它们典型地适合引导出一个论证的结论
一些词或短语典型地适合作为论证结论的标志
因而被叫做结论指示词
通常，跟在任一结论指示词之后的命题就是某个论证的结论
下面所列的就是部分结论指示词：
所以
基于这些理由
因此
可推得
因而
我们可推出
故而
另一些词或短语典型地适合作为论证前提的标志
因而被叫做前提指示词
通常，跟在任一前提指示词之后的命题就是某个论证的前提
下面所列的是部分前提指示谓：
正如······所示
由于
理由是
因
理由在于
根据
1.6论证和说明
论证和说明之间是有区别
解释为什么做出这种区分常常是困难的
这种区分依赖于语段的语境和作者的表达意图
许多语段，无论是书面语还是口语
看起来好像是论证
实际上不是论证而是说明
即使有某些前提或结论指示词出现
例如“因为”、“由于”、“因此”等，也不能解决问题
因为这些语词既可用在论证中也可用在说明中
我们必须知道在这些语段中作者的意图
1.7演绎谁论证
演绎论证是为断言其结论从前提必然地得出的论证
一个有效的演绎论证
就是一个假如其前提为真则结论必然为真的论证
演绎论证从一个大前提开始
这个大前提通常是全称命题
并且为真
通过小前提得到结论
该结论是原始命题背后隐含的规律
典型的就是三段论
每棵树都有根系
门边的白杨是树
所以门边的白杨有根系
在演绎论证中
我们只用一个正确的命题作为起点
这个起点就是大前提
通常它是一个全称命题
包括的是许多事物例
如“每棵树都有根系”
演绎论证的基本原理是
从一个我们知道为真的命题大前提
开始经过抽丝剥茧的分析
通过小前提到结论
得出原始命题后隐含的是什么
1.8归纳论证
归纳论证是为其结论具有某种或然性程度
但并非（从前提）必然地得出的论证
说明归纳论证可以被判定好与坏
但不能刻画为有效与无效
归纳论证的结论则从特称命题出发
通常是几个特称命题
得出一个关于它们共同的可信结论
就是先要搜集大量的个体证据
通过证据推导出可信的一般性结论
我观察到
太阳之前每天都从东边升起
所以，太阳永远都会从东边升起
归纳论证要做的就是
以整体中的某一部分为样本来做研究
以此来代表整体
样本范围的大小决定了它的代表性
想要代表一个整体
你所取的样本必须足够多
多到你可以合理地认为
它涵盖了整体中的所有情况
如果能够把特定范围内
所有的个体证据都搜集到
那么这个一般性结论就是确定的
但这样的操作大部分情况下都不可能
当然个体证据越多
涵盖的情况越全面
1.9演绎论证和归纳论证的区别
演绎论证是从一般到个别
归纳论证是从个别到一般
演绎论证得出的是必然性结论
归纳论证得出的是可能性结论
演绎论证是一种其结论被断言为从其前提绝对必然地推出的论证
这种必然性不是一个程度问题
不以任何其他事物情况为转移
反之，归纳论证是一种其结论被断言为仅仅或然性地从其前提推出的论证
这种或然性是一个程度问题
其程度受可能出现的其他事物情况的影响
2语言的用法
语言有多种用法和形式
我们可能由于没有认识到语言的复杂性而引起错解和滥用
2.1
节区分了语言的三种基本功能：
（1）信息性功能
语言的第一种用法是用于信息交流
通常，它是通过明确表述并肯定（或者否定）命题来完成的
能被用于肯定或否定命题
或者能为此提出论证
称为语言的信息性功能
（2）表达性功能
语言用做表达性用法的最好的例子来自抒情诗
下面是伯根的诗句：
如此奇迹令我惊叹，它保留在东部的风情中
这道诗并不是意欲告诉我们关于世界的任何事实和理论
而是要表达诗人的赞赏和敬畏之情
语言的这表达性功能用法不在于交流信息
而在于表达情感、感受或态度
正因为表达性话语只是表达性的
故而其既不真也不假
若把真与假、正确与错误
作为衡量抒情诗之类的表达性话语的标准
那就会文不对题
使其价值丧失殆尽
（3）指令性功能
当语言意欲引起或阻止明显的行动时
它就具有指令性功能
其最显然的例子就是命令和请求
当父母告诉孩子洗手吃饭时
其意图不是为了交流任何信息
或者表达或激发任何特殊情感
这种语言是为了获得其指令结果
2.2多功能话语
一个给定语段可能行使的多种功能的方式：
同时行使两种甚或所有三种功能
几乎任何一种正常交流都可能会表现出语言的三种用法
一首诗可能主要是表达性话语
但也可能会有教育意义
并因而也可以引导读者走向不同的生活方式
2.3话语形式
标准语法形式的句子有四种类型：
陈述句
疑问句
祈使句
感叹句
陈述句可以用做指令性的或者表达性的功能
疑问句可以具有信息性的或指令性的功能等等
语法形式不决定语言功能
2.4情感词汇
一个单独的语句
可以同时具有信息性的和表达性的用法
当句子表达态度或感情时
它的词汇就会具有情感的暗示或影响
一个语词或短语可以既具有字面意义又具有情感影响
后者通常被称为词汇的情感意义
词汇的字面意义和情感意义在很大程度上是各自独立的
“官僚'、“政府官员'与“公仆'的字面意义几乎一样
但它们的情感意义却很有区别
“官僚”倾向于表达厌恶和反对
而作为敬语的“公仆”则倾向于表达尊重和赞赏
“政府官员”则更接近中性
2.5一致与歧见
两个人可能会在某事情
是否已经实际地发生上意见相左
这种情况可称为信念歧见
他们也可能都同意事实上发生了一件事
因而是信念一致的
但对那件事
他们仍可以具有不同的或者甚至相反的态度
你可以用语言描述那件事来表达赞许
别人却可以用语言来表达反对
这里也存在歧见
但不是信念歧见
这是对这件事的感受不同
这是态度歧见
冲突双方可以既在事实是什么上一致
也在对事实的态度上一致
或者在两方面都对立
他们可能在事实上一致
而在对事实的态度上对立
他们还可能在事实是什么上对立
但在对他们所相信的事实的态度上却一致
要解决歧见问题
了解其真正本性是极其重要的
2.6情感中性语言
当辩论的目的是求真时
尽可能地将负载情感的语句
替换为情感中性的语言
语言的表达性用法与信息性用法一样是正当的
情感语言本身没有什么不当
非情感语言或中性语言也没有什么不当
在某些类型的诗歌中
情感色彩浓郁的语言比中性语言更受喜爱
而在另一些领域中
中性语言则比情感色彩浓郁的语言更为可取
如果把探求现实真理作为我们的目标
那么中性语言就应更受重视
当我们试图了解事实的真相所在
或者试图加以论证时
心猿意马就会招致失败
而情感因素正是一种分散注意力的力量
当我们试图以冷静和客观的方式推论事实时
使用强烈的情感语言便是有害而无益的
3定义
解释词项的意义就是给出它的定义
3.1论争和言辞之争
三种论争：
（1）明显的实质争论
其中没有语词歧义
而且论争双方的确在态度上或信念上对立
（2）纯粹言辞之争
其中出现语词歧义
但根本没有实质歧见
（3）表面上是言辞的但实际上是实质的论争
其中既存在语词歧义
也存在论争双方在态度上或在信念上的歧见
3.2定义的类型和论争的解决
定义通过揭示和消除歧义
可以有效地解决纯粹言辞之争
定义总是符号的定义
因为只有符号才需要定义来说明其意义
我们可以给“椅子”这个词下定义
因为它有意义
但是我们不能定义椅子本身
我们可以坐在倚子上，或者给它上漆
但是我们不能定义它
因为椅子本身不是一个具有意义从而需要说明的符号
五种定义的基本用法：
（1）规定定义
把一个意义指派给某个符号
规定定义不是陈述
因而既不真也不假
它是运用被定义项来意指定义项指谓事物的建议、解决、请求或工具
（2）词典定义
它报道被定义项已经具有的意义
因而它可以或对或错
（3）精确定义
它超出了平常用法
用于消除与临界状况有关的麻烦的不确定性
其被定义项有一个现存的意义
但这个意义是模糊的
增添什么可以达至精确性
部分上是个规定问题
（4）理论定义
它寻求对它的适用对象精确表述
一个理论上足够或科学上有用的描述
（5）说服定义
它运用表达性语言而不是信息性语言
来寻求影响态度或激发情感
在这五种定义中
前两种（规定定义和调典定义）主要用于消除歧义
第三种（精确定义）主要用于降低模糊性
第四种（理论定义）用于促进理论理解
而第五种（说服定义）用于影响行为
3.3外延和内涵
普遍词项指谓其可以正确适用的多个对象
普遍词项其实指是一个类
“行星”就是一个普遍词项
这个行星类包括了：地球、火星、水星等等对象
这些对象的汇集构成该词项的外延
“行星”这个普遍词项的外延
就是它所包括的地球、火星、水星等等对象
词项外延中的所有对象
并且仅为那些对象所共有的属性集
就是该词项的内涵
行星所有的属性：
自身不发光
环绕着恒星运转
近似于圆球状
上面这些行星的属性就是
这个行星词项的内涵
词项的内涵决定其外延
但外延却不能决定内涵
几个词项可以具有不同内涵而外延却相同
但外延不同的词项却不可能具有相同内涵
3.4外延的定义
外延定义是指：
被定义的普遍词项所适用对象的汇集
“数”这个词项的外延定义是：
所有的数的汇集
包括1，2，3……
但是我们不可能把所有的数字都列举出来
对大多数普遍词项来说
完全列举其外延都是不可能的
外延定义通常就要限定于所指谓对象的部分列举
外延定义的三种类型：
1．列举定义
即在定义中列出或给出词项指谓对象的范例
2．实指定义
在定义时
我们用手指出或以姿势标明被定义项的外延
3．准实指定义
在定义中
姿势或手指的指示
伴有一些其意义被认为是已为人所知的描述短语
3.5内涵定义
词项的内涵是指：
由词项指谓的所有对象共有且仅为这些对象特有的属性构成
如果“椅子”的内涵由属性“单个的座位并且有一个靠背”构成
那么就意味着每一张椅子都是具有靠背的单个座位
并且只有椅子才是具有靠背的单个座位
内涵定义有三种不同含义的内涵：
主观内涵
客观内涵
规约内涵
（1）词的主观内涵就是他认为该词指谓对象所具有的属性集
这种集合显然是因人而异的
甚至对同一个人也因时而异
（2）客观内涵是词项外延的所有对象共同拥有的属性全集
“圆”这个词的客观内涵可以拥有圆的各种普遍特性
而我们很多人在运用这个词时完全没有注意到这些普遍属性
（3）通过非正式的承诺
我们建立了普遍词项的规约内涵
因为它既是公共的
可以利用普遍词项的内涵来构建内涵定义
内涵定义也有几种类型：
（1）同义定义是指：
在定义中提供另一个其意义已为人所知的词
这个词与被定义的词具有相同意义
词典可以将“谚”定义为“谚语'
“腼腆'定义为“害羞'等等
（2）操作定义是指：
表明词项正确运用于一个给定场合
当且仅当
在该场合下特有的操作行为产生特有结果
有些心理学家寻求用涉及行为或观察的操作定义
来替代“感觉”和“心灵”的抽象定义
（3）属加种差定义是指：
首先要找出一个属
被定义项所指代的种是该属的一个子类
然后找出属性（或种差）
即把该种的分子与属的所有其他种的分子区分开来的那种属性
古人对“人”的定义
人的属是“动物”
“人”是其下的种
再通过理性把人与其他所有的种区别开来
最后得出人的定义就是：有理性的动物
内涵定义的方法可以用于构建五种定义的任何一种：
规定定义、词典定义、精确定义、理论定义和说服定义
3.6属加种差定义的规则
传统的属加种差定义的五条规则：
1．定义应当揭示种的本质属性
2．定义不能循环
3．定义既不能过宽又不能过窄
4．定义不能用歧义的、晦涩的或比喻的语言来表述
5．定义在可以用肯定的地方就不应当用否定定义
4谬误
4.1
谬误是那种看起来正确但经过考察而证明并非如此的论证
我们对常见的欺骗性推理错误类型给出了传统名称
区分出三大类非形式谬误：
相干谬误
预设谬误
含混谬误
4.2相干谬误
在这类谬误中
我们分七种相干谬误来解释这类推理错误
R1．诉诸无知论证：
当以一命题没有被证明是假的为理由来论证该命题是真的
或当论证一命题是假的因为它没有被证明是真的
R2．诉诸不当权威：
一个论证的前提诉诸某方或多方判断
而它或它们却不能合法地声称对手头问题具有权威
R3．人身攻击论证：
攻击不是针对所做的主张或针对论证的优点
而是针对对手本身
人身攻击论证有两种形式：
当攻击直接针对人
以寻求诋毁和侮辱他们时
就称做“诽谤性人身攻击论证”
当攻击间接地对准对方
暗示他们坚持他们的观点
主要是因为他们的特殊环境或利益时
就称做“背景性人身攻击论证”
R4．诉诸情感：
用细心推理被激起狂热或情感
来支持预先结论的精心策划所取代
R5．诉诸同情：
用细心推理被激起听者同情
R6．诉诸武力：
为了得到对某些结论的承诺
细心推理被直接或含沙射影的威胁所取代
R7．不相干结论：
前提不得要领
声称支持一个结论
而事实上却支持或证实另一个结论
4.3预设谬误
错误论证源于依赖于某些被假定为真的命题
而这些命题实际上是假的、可疑的或没有得到证明的
我们分五种预设谬误来解释这类推理错误：
P1．复杂问语：
以问句预设了某些假设为真的方式来询问问题
有人问你：你打你老婆吗？
如果你回答不是
就说明你曾经打过老婆
如果你回答是就更被动了
这是因为在这个问句中
潜藏了一个预设：
你曾经打过老婆
P2．虚假原因：
把一个东西当做一个事物的原因
而它实际上并不是那个事物的原因
或更一般地说
在以因果关系为基础的推理中犯错
古人在每次日蚀、月蚀时，都会敲锣打鼓，
每次敲锣打鼓后，月亮、太阳都会再次出现，
所以古人认为，敲锣打鼓是驱赶天狗、保护日月的有效手段。
把本来没有因果联系的两个事物
硬说它们有因果联系
P3．丐题：在某个论证前提中假定了结论要寻求确证的东西。
以结论自身为论据，预设了结论为真的诡辩。
“小明家在什么地方？”
“小八家斜对面儿。”
“小八家呢？”
“小明斜对面儿。”
P4．偶然：
把某个概括运用于它不能适当管辖的个别情况
甲：“人每只手有五个指头。”
乙：“也有长六个指头的。”
甲：“长六个指头的不是人。”
P5．逆偶然：
粗心大意地从单个情况转移到一个无辩护余地的广泛概括
“凳子都是四条腿的。”
“饮料有害于健康。”
4.4含混谬误
错误论证的形成方式是
它依赖于词或短语从在前提中的用法
到在结论中的用法的意义变化
我们分五种含混谬误来解释这类推理错误：
A1．歧义：
在论证的明确表述中
有意或无意地使用同一个词或短语的两个或更多意义
A2．双关：
因为陈述中的词或短语结合得松散或笨拙
论证中的这个陈述具有多于一个合理意义
A3．重读：
意义的变化作为对论证的词或短语的强调改变的结果而源于该论证之内
A4．合成：
（a）错误地从部分性质到整体性质进行推理
（b）或者，错误地从某汇集的个别分子性质到整个汇集的性质进行推理
A5．分解：
（a）错误地从整体性质到它的一个部分的性质进行推理，
（b）或者，错误地从某些实体汇集的某个全体性质到该汇集的个别实体性
质进行推理。
5直言命题
直言命题是演绎理论的基石
是演绎逻辑的基本构件
5.1演绎理论
演绎论证是这样一种论证
其前提被要求为结论的真提供决定性基础
如果前提之真确实能够决定其结论为真
那么，这个论证就是有效的
任何一个演绎论证都或者有效或者无效：
如果不可能出现前提真而结论假的情况
那么论证就是有效的
否则就是无效的
5.2直言命题
说明这个事物为什么是真的过程就是论证
一场论证实际上相当于组成它的那些命题
而那些命题又相当于组成它的那些术语
术语→命题→论证
几个术语组成命题
几个命题组成论证
最有效的论证其结论都是直言命题
直言命题指的是：
清楚明白地告诉我们事物的真相是什么
对对象具有或不具有某种性质的断定是直接的、无条件的
“手机在汽车后座上”
明确知道这里说的实际情况是什么
这就是一个真言命题
但是如果有人说：
“手机可能是在汽车后座上”
情况马上就变得不确定了
这句话就不是直言命题
因为我们拿不准实际情况
手机到底在不在汽车后座是不确定的
传统逻辑正是以类为基础建立起来的
四种基本的标准式直言命题：
A命题代表：全称肯定命题，即所有S是P
E命题代表：全称否定命题，即所有S不是P
I命题代表：特称肯定命题，有的S是P
O命题代表：特称否定命题，有的S不是P
5.3质、量与周延
每个标准式直言命题或是肯定的或是否定的
这叫做命题的质
如果一个命题肯定了类与类间的包含于关系
那么，它的质就是肯定的
因此A和I的质都是肯定的
如果一个命题否定类与类间的包含关系
它的质就是否定的
因此E和O都是否定的
每个标准式直言命题或是全称的或是特称的
这称为直言命题的量
如果一个命题述及主项所指称的类的所有元素
那么，它的量就是全称的
因此A命题和E命题的量都是全称的
如果一个命题只述及主项所指称的类的某些元素
那么，它的量就是特称的
因此命题和O命题的量都是特称的
标准式直言命题的一般模式由四个部分组成：
首先是量项，其次是主项，再次是联项，最后是谓项
可以记为：
量项(主项)联项(谓项)
所有北京人都是中国人
“所有”是量项
“北京人”是主项
“是”是联项
“中国人”是谓项
周延是指：
如果一个命題述及了某个词项所指称的类的全部元素
则称该词项在这个命题中是周延的
一个判断的主词或宾词所包括的是其全部外延就是周延的
所谓是否周延
就是说有没有对所有的判断对象进行断定
所有一班的同学都是男生
这个命题的主项是“所有一班的同学”
该命题对所有的一班同学都进行了论断
无一例外
因此这个命题的中的主项是周延的
再例如：
一班有的同学是男生
“一班有的同学”
只是对“一班”这个群体中的一部分进行了论断
因此，这个命题的有效性不能覆盖所有的同学
因此其主项就不是周延的
一个三段论
在前提中不周延的词项
在结论中不得周延
所有发高烧的人都是病人
张三不发烧
张三不是病人
显然，这个结论是不可靠的
张三不发烧但未必就不是病人
其之所以是错误的
就在于前提中的谓项“病人”
在结论中周延了
前提中的“病人”指的是发高烧的那一部分的病人
结论中的“病人”指的是所有的病人
5.4传统对当方阵
直言命题之间的对当关系的种类：
矛盾关系
反对关系
下反对关系差等关系
A.矛盾关系
两个命题之间具有矛盾关系，
如果一个是另一个的拒斥或否定
也就是说，它们既不能同真也不能同假。
如果两个标准的直言命题的主项相同、谓项也相同，
而质、量都不同
那么，它们就是矛盾的
例如A和O就是这样的
所有法官都是律师。
与
有法官不是律师。
这两个命题的质与量都是对立的
显然它们是矛盾的
其中之一为真时
另一个恰恰为假
B.反对关系
两个命题之间具有反对关系
如果它们不能同时为真
可以由一个的真推出另一个的假
所有诗人都是懒汉
没有诗人是懒汉
C.下反对关系
两个命题之间具有下反对关系
如果它们不能同假
但可以同真
如果两个直言命题都是特称的
其主、谓项分别相同而质不同
那么它们之间是下反对关系
也就是肯定了I和O命题
可以同真但不可同假
有钻石是珍贵的石头
有钻石不是珍贵的石头
D.差等关系
如果两个命题有相同的主项和相同的谓项
并且它们的质相同（即都是肯定的或者都是否定的）
但量不同（即一个为全称，另一个为特称）
那么，它们之间的关系就是差等关系
所有蜘蛛都是八脚动物。
有一个相应的命题：
有蜘蛛是八脚动物。
没有鲸是鱼。
也有一个相应的命题：
有鲸不是鱼。
对当方阵
如果A真，那么，E假、I真、0假
如果E真，那么，A假、I假、0真
如果]真，那么，E假，A、0真假不定
如果0真，那么，A假，E、]真假不定
如果A假，那么，0真，E、I真假不定
如果E假，那么，I真，A、0真假不定
如果I假，那么，A假、E真、0真
如果0假，那么，A真、E假、I真
5.5其它直接推论
其他三种直接推论：
换位法
换质法
换质位法
一个标准式直言命题叫做另一个的换位命题
如果它是通过交换另一个命题的主、谓项的位置而得到的
“没有理想主义者是政治家”
是“没有政治家是理想主义者”的换位命题
在换质法中
对一个命题进行换质
就是改变其质
并用谓项的补替换原来的谓项
所有居民都是选举人
没有居民是非选举人
这样两个命题在逻辑上是等价的
因此从一个可以有效地推出另一个
换质位法就是：
对给定的命题进行换质位
就是项换为原命题谓项的补
并将其谓项换为原命题主项的补
所有会员都是选举人
换质位后是
所有非选举人都是非会员
5.6存在含义与直言命题
要保留传统对当方阵
只有做出一种假定
即全盘假定命题主项所指称的类总是有元素的
这是现代逻辑极不赞同的
然后，我们又对本书通篇采用的布尔解释作了说明
布尔解释能保留传统逻辑对当方阵中的大部分内容
同时又避免了非空类的假定
在布尔解释中，特称命题，即称为I和O的命题之中有存在含义
但全称命题，即A和E则没有存在含义
5.7直言命题符号化与图解
S是一个直言命题
s是一个类
S的元素s简记为S＇s
说不存在S＇s可以写作：S＝0
S≠0表示存在S＇s
是对S为空的否定
如果S代表所有“讽刺作品”组成的类
P代表所有“诗”组成的类
那么，既是讽刺作品又是诗的东西组成的类
就可以用符号SP表示
它代表的就是所有讽刺诗（或者说诗式讽刺作品）组成的类
使用这种新记法
我们也可以用等式和不等式将E和I命题符号化
E命题“没有S是P”
说的是S类中没有元素是P类的元素
即没有东西同时属于两者
换言之，两个类的积为空
可用等式符号表示为：
SP＝0
I命题“有S是P”
说的是S类中至少有一个元素也是P类的元素
这意味着S类和P类的积不空
可用不等式符号表示为：
SP≠0
士兵的类的补类就是所有不是士兵的东西组成的类
即非士兵的类
若用S代表士兵的类
则把非士兵的类记为：
S▔（读做：S杠）
即在原来的类之上加一横杠
A命题“所有S是P”
说的是S类的所有元素都是P类的元素
也就是说，没有S类的元素不是P类的元素
或者说“没有S是非P”
SP▔＝0。
O命题
“有S不是P”换质后得逻辑等价式
I命题“有S是非P”
可用等式符号
表示为：SP▔≠0。
既然A命题和O命题的符号公式分别为：
SP▔＝0和SP▔≠0
它们显然是互为矛盾的
E命题和I命题的符号形式分别为：
SP＝0和SP≠0
显然也是互为矛盾的
布尔解释下的对当方阵可以重新表示为下图
命题可以用所涉及的类的图示来表达
我们用一个圆代表一个类
用指称类的词项标注它
这样S类可以表示为下图
要图示命题“S没有元素”或“不存在S＇s”
我们就在代表S的圆中加上阴影
来表示S中什么都没有S为空类
要图示“存在S＇s”这个命题
我们就在代表S的圆中写一个x
用来表示其中有东西S不是空类
“不存在S＇s”和“存在S＇s”这两个命题
就可以用下图来表示
下图中
标有S的圆中与P不重叠的部分
代表的是所有不是P＇s的S＇s，
即代表了S类与P▔类的积
这一部分标记为：SP▔
两圆相交的部分代表S类与P类的积
标记为：SP
标有P的圆中与S不重叠的部分
代表的是所有不是S＇s的P＇s
即代表了S类与P类的积
标记为：S▔P
两个圆之外的部分
代表既不在S类也不在P类之中的东西
标记为第四个类：S▔P▔
文恩图是以英国数学家和逻辑学家约翰·文恩的名子命名的
它将命题中的词项分别用圆来代替
通过两个圆之间的关系来表达命题
如下图：
6直言三段论
6.1标准式直言三段论
下面是三段论的一个符号模式：
大前提：每一个B都是A
小前提：每一个C都是B
结论：所以，每一个C都是A
A为大项
B为中项
C为小项
节给出了三段论大项、小项和中项的定义：
·大项：结论的谓项
·小项：结论的主项
·中项：两个前提中都出现，但结论中不出现的第三个项
包含大项的前提叫做大前提
包含小项的前提叫做小前提
如果几个命题出现的次序正好是：
大前提在第一位、小前提在第二位、结论在最后
我们就把这样的三段论指定为标准式的
三段论的式由识别三个命题类型的字母来确定
即A、E、I、O中的三个
总共有64个不同式
A：所有B都是A
I：有C都是B
I：所以，有C都是A
上面这个三段论就是AII式
因为它的大前提是A命题
小前提和结论都是I命题
三段论的格由中项M在前提中的不同位置来确定
对四个可能的格描述定义如下：
第一格：中项在大前提中做主项、在小前提中做谓项
模式为：M-P，S-M，所以S-P
第二格：中项在两个前提中都做谓项
模式为：P-M，S-M，所以S-P
第三格：中项在两个前提中都做主项
模式为：M-P，M-S，所以S-P
第四格：中项在大前提中做调项、在小前提中做主项
模式为：P-M，M-S，所以S-P
6.2三段论论证的形式性质
标准式三段论的式与格如何共同地确定其逻辑形式
由于64个式每一个都有四个格
所以共有256个标准式的直言三段论
但其中只有一小部分是有效式
6.3文恩图解法
检验三段论有效性的文恩图方法
就是在几个交叉的圆中
作上恰当的标记或涂上阴影以表示前提的含义
所有狗是动物
所有猫是动物
所以，所有猫是狗
文恩图：
6.4三段论的规则和谬误
标准式三段论有六条基本规则
同时定义了违反各条规则所造成的谬误：
规则1
一个有效的标准式直言三段论必须仅仅包含三个项
在整个论证中
每一个项都须在相同的意义上使用
违反本规则所犯的错误：四项谬误
规则2
在一个有效的标准式直言三段论中
中项必须至少在一个前提中周延
违反本规则所犯的错误：中项不周延谬误。
规则3
在结论中周延的项在前提中也必须周延
违反本规则所犯的错误：
大项不当周延谬误或者小项不当周延谬误
规则4
任何有两个否定前提的标准式三段论都不是有效的
违反本规则所犯的错误：排斥前提谬误
规则5
如果一个标准式三段论有一个前提是否定的
那么结论必须是否定的
违反本规则所犯的错误：从否定推肯定谬误
规则6
一个有效的标准式直言三段论
如果结论为特称命题
那么其前提不能都是全称的
违反本规则所犯的错误：存在谬误
6.5直言三段论的15个有效形式
标准三段论有64个式
每个式有4个格
有256个可能的形式
在这256个形式中
通过排除法程序
证明了只有15个形式
是完全遵守三段论的六条基本规则的
7日常语言中的论证
7.1日常语言中的三段论
日常的三段论论证形式变化多样
不可能为每一种形式都发明一个特殊的检验方法
除非有一种极度复杂的逻辑工具
但是我们可以把日常三段论翻译为标准形式
把三段论翻译为标准形式的必要技术
首先，要有一种便于应用的检验方法
将标准式三段论的有效式和无效式区分开来
其次，要有一种翻译方法
将任何形式的三段论推理转变为标准形式
非标准三段论的几种不同情形：
（1）前提和结论的顺序不标准
很容易调整过来
（2）日常语言论证的构成命过中表面上包含不止三个项
但可以证明事实上并非如此
（3）日常语言论证的构成命题不都是标准式直言命题
7.2三段论心词项数的归约
如何将某些看似含有三个以上的项的论证
恰当地转化为标准式
可以通过去除同义词和去除补类等方法
（1）去除同义词
没有富人是游民
所有律师都是有钱人
所以，没有法律代理人是流浪者
其中包含着“富人”、“律师”和“游民”的同义词
去除同义词之后
该论证可翻译为：
所有律师都是富人
所以，没有律师是游民
（2）去除补类
所有哺乳动物是温血动物，
没有蜥蜴是温血动物，
所以，所有蜥蜴都是非哺乳动物。
其中“非哺乳动物”是“哺乳动物”的补类
去除补类后：
所有哺乳动物是温血动物
没有蜥蜴是温血动物
所以，没有蜥蜴是哺乳动物
7.3直言命题的标准化
若非标准式三段论论证中的命题不是标准式直言命题
则需要把它们翻译为标准式
以便用文恩图或者三段论规则加以检验
九种不同类型的非标准式命题及其相应的翻译方法：
1．单称命题
可以把含单称命题的有效的两前提论证车为有效的三段论
所有H是M
s是H
所以，s是M
可以翻译为：
所有S是H
所以，所有S是M
2．谓词为形容词或形容词短语
而非名词或类词项的直言命题
有花是美的
没有战船是可调用的
都是直言命题
但“美的”和“可调用的”表示的只是属性而不是类
不过，每个属性都可以确定一个类
即具有这种属性的事物组成的类
两个例句分别对应的是：
有花是美的事物
没有战船是可调用的事物
3．主要动词不是标准的联项“是”或“不是”的直言命题。
所有人都寻求赞誉
有人饮用希腊酒
转化的方法是把主项和量项之外的所有成分看做类的定义特征
先把能被替换的成分换成这样的词项
它们指称由类定义特征所确定的类
再改用标准的联项把它们同主项联结起来
这样上面两个例子就成了：
所有人是赞誉的寻求者
有人是希腊酒的饮用者
4．标准形式的各成分都出现，却没有按标准顺序排列的陈述句。
5．量词不是“所有”、“没有”或“有”这些标准语词的直言命题。
6．用“只”、“只有”表述的排斥命题。
7．不含量词的直言命题。
8．完全不像标准式直言命题但可以有标准式翻版的命题。
9．用“除了”等表述的除外命题。
7.4协同翻译
借助辅助参项
非标准直言命题向标准直言命题的协同翻译
这对于检验其有效性是必要的
所谓参项
就是一个有助于以标准形式表达原来断言的辅助词项
每当狐狸经过那里
猎犬一定会发出叫声
所以，狐狸走的一定是别的路
因为猎犬都很安静
这一步是去除同义词的必需步骤
因为第一个命题说的是“猎犬发出叫声”
同样，“狐狸走的一定是别的路”的结论
应理解为断言“狐狸没有经过那里”
第一个前提中的“那里”一词表明翻译时也可用“地方”做参项
于是，可得到这样一个标准式翻版：
所有狐狸经过的地方是猎犬发出叫声的地方
这个地方不是猎犬发出叫声的地方
所以，这个地方不是狐狸经过的地方
7.5省略三段论
在日常话语甚至科学中
许多推论都是省略式的
如果一个推理是不完整的
其中有一部分需要“领会'或仅仅“在心中”
我们就称之为省略三段论
因为小明是个土生土长的中国人
所以小明是中国公民
上述论证的表述并不完整
但很容易根据中国法律把省略的前提补出来
加上被省略了的前提
完整的论证就是：
所有土生土长的中国人是公民
小明是土生土长的中国人
所以，小明是中国公民
7.6连锁三段论
复合三段论
由一组相互关联的命题组成的三段论论证链
（1）每一个思维正常的人都按逻辑办事
（2）没有疯子适于做陪审员
（3）你的儿子们都不按逻辑办事
所以，你的儿子们都不适于做陪审员
7.7析取三段论和假言三段论
三段论的主要类型
1．直言三段论
仅由肯定或否定类之间的包含或排斥关系的直言命题组成
所有M是P
所有S是M
所以，所有S是P
2．析取三段论
前提包含一个析取（或选言）命题
它断言两个选言支至少一真
另一个前提断言其中一个选言交为假
或者P是真的或者Q是真的
P不是真的
所以，Q是真的
3．假言三段论
包含一个或多个假言（或条件）命题
这种命题肯定如果其支命题之一（前件）为真
那么另一个支命题（后件）也是真的
可以再分为两个子类：
A）纯假言三段论
完全由条件命题组成
如果P是真的，那么Q是真的
如果Q是真的，那么R是真的
所以，如果P是真的，那么R是真的。
B）混合假言三段论
一个前提是条件命题
另一个是断定条件
前提之前件为真的命题
P是真的
所以，Q是真的。
7.8二难推论
二难推论就是一种旨在使对手陷人这样境地的论证方式
在争论过程中
二难推论使得对手必须做出选择
但无论选择什么
都会得出一个他不能接受的结论
三种驳斥二难推论的修辞方法：
“绕过（或避开）死角法”
“直击（擒拿）一角法”
“构造反二难法”
如果天上的神明没有欲求
那么他们就会很满足
如果他们有欲求而能完全实现
那么他们也会很满足
他们或者没有欲求或者能完全实现欲求
总之，他们都会很满足
其中唯一明确表述的前提是一个析取命题
但析取支必定有一个为真
不管选择哪一个
结果都是很满足
如果学生喜爱学习
那么就不需要激励
如果学生厌烦学习
那么激励也没有用
学生或者是喜爱学习的或者是厌烦学习
所以，激励是不需要的或者没用的
该论证形式是有效的
但我们能用绕过死角法来反驳这个论证
其析取前提是假的
因为学生会有不同的学习态度：
有的喜爱，有的厌烦，还有许多人不同于前两者
对于后面这些人来说
激励既是需要的也是可以发挥作用的
这种方法并不是证明结论为假
只是表明推论本身并没有给结论提供充足的理由
如果析取前提穷尽了所有可能性
是不可驳倒的
就不能用上述方法了
必须有另外的方法来避开结论
其中之一就是直击一角法
即拒斥两个假言前提中的一个
要否定两假言前提的组合
我们只需否定其中的一个即可
直击一角就是要试图表明条件前提至少一假
刚才驳斥学校分级打分的例子
所依据的条件前提之一是
“如果学生喜爱学习就不需要激励”
反驳者可以争辩说
即使一个学生喜爱学习
也需要激励
好分数会带来额外的奖励
甚至能激励最勤奋的学生更认真地学习
这样一来
就很可能得到好的回应
原来的二难的一角就被击破了
构造反二难法是最巧妙的方法
但并不总能令人信服
我们来看这是为什么
用这种方法驳斥给定的二难推论
需要构造另一个二难推论
它的结论与原来的结论相反
辩驳中可以使用任何一个二难推论
但最理想的反二难推论应当与原来的推论有相同的组成成分（直言命题）
相传雅典有一位母亲劝儿子不要从政时说道：
如果你主持公道，人们就会仇视你
如果你不主持公道，神灵们就会仇视你
你必定或者主持公道或者不主持公道
所以无论如何都会被仇视
他的儿子反驳说：
如果我主持公道，神灵们就会施爱于我
如果我不主持公道，人们就会施爱于我
我必定或者主持公道或者不主持公道
所以我都会被爱
如果更细致地研究
就会发现它们的结论并不像初看上去那样对立
第一个二难推论的结论是儿子会被仇视（被人们或者被神灵们）
而反二难的结论是儿子会被爱（被神灵们或被人们）
实际上两者完全是相容的
两个结论能都是真的
因而这里并没有达成真正的反驳
但在唇枪舌剑的辩论中
听众大多会把它当做对原论证的毁灭性攻击
如此反驳并不能驳倒推理
而只是将注意力引向同一事情的不同方面
再再例如：
“乐观主义者”认为：
如果我工作，就能挣钱，如果赋闲在家，那么我乐得自在。
我或者工作或者不工作，总之，我能挣钱或者乐得自在。
而悲观主义者却会给出这样一个反二难：
如果我工作，就不能乐得自在，如果赋闲在家，就不能挣钱。
或者工作或者不工作，总之，我或者不能乐得自在或者不能挣钱。
这些结论只能说明看问题的视角不同
并非对事实状况的意见不一致
半费之诉法
通常讲二难推论
都要说到普罗塔哥拉和欧提勒士之间著名的讼案
还是算了不讲了
我不想再再再例如了
8符号逻辑
·≡≠│↓≡≠┐∧V→←↓∴∵∈φ∩∪∑∏├□◇~
8.1
自然语言使用的语词可能是模糊的或歧义的
论证的结构可能是含混的
比喻和习语可能会引起混淆或误导
诉诸情感可能会引起混乱等
要避免这些困难就要直接进人论证的逻辑核心
为此
逻辑学家们构造了一种能避免自然语言缺陷的人工符号语言
使用这种符号语言能精确地表述论证
8.2合取、析取和否定符号
否定符号（波浪号：～）
合取符号（圆点：·）
析取符号（楔劈号：V）
在两个陈述之间使用语词and（“和”、“并且”）
可以形成它们的合取
如果p和q代表任意两个陈述
它们的合取就写为p·q
小明聪明并且可爱
用合取符号表示：
小明聪·可爱
合取命题的真值表
一个陈述的否定（或拒斥、否认）的形成
通常是在原陈述前加一个“并非”
或者可以通过给一个陈述加一个前（后）缀
“这是假的”或“事情并非如此”
来表达该陈述的否定
通常用符号“～”（叫做“波浪号”或“波形号”）
来表示一个陈述的否定
若用符号M表示陈述“所有人都是有死的”
则陈述“并非所有人都是有死的”
可以符号化为～M
否定真值表
两个陈述的析取（或选言）是通过在它们中间插入语词“或”形成的
如此结合的两个分支陈述叫“析取支”（或“选言支”）
如果p和q是任意两个陈述
它们的析取写为pVq
相容析取符号V（叫“楔劈号”，有时也叫做“V形号”）
析取真值表
8.3条件陈述和实质蕴含
在一个复合陈述中
当把语词“如果”放在第一个陈述之前
把语词“那么”放在第一个和第二个陈述之间来结合两个陈述时
如此构成的复合陈述就是一个条件陈述
也叫“假言陈述”、“蕴涵”或“蕴涵陈述”
在一个条件陈述中
跟在“如果”后面的分支陈述叫前件
跟在“那么”后面的分支陈述叫后件
如果琼斯先生是那个司闸员的邻居
那么琼斯先生挣的钱是那个司闸员的三倍
这是一个条件陈述
其中，“琼斯先生是那个司闸员的邻居”是前件
“琼斯先生挣的钱是那个司闸员的三倍”是后件
一个条件陈述断言在其前件为真的任何情形下
它的后件也是真的
对任一条件陈述“如果p那么q”来说
如果已知合取p·～q为真
如果它的前件为真且后件为假
则可知该条件陈述为假
而若一个条件陈述为真
则上面所示合取式必定为假
它的否定～（p·～q）必定为真
换句话说
对任何为真的条件陈述“如果p那么q”而言
它的前件和后件的否定的合取的否定
即～（p·～q）必定也为真
我们可把～（p·～q）当做“如果p那么q”的含义的一部分
我们引进一个特殊的符号来表达短语
“如果——那么”的这种共同的部分含义
通过以pq缩写～（p·～q）
我们来定义新符号“”（叫“马蹄号”）
符号“”的确切含义可以用真值表方法揭示如下：
既然读pq的一种方便方式是“如果p那么q”
我们也可以把符号“”看成表示了另一种蕴涵
被逻辑学家叫做实质蕴涵
实质蕴涵没有表明前后件之间的“实在关联”
它所断言的仅仅是并非后件为假时前件为真
实质蕴涵符号像合取和析取符号一样
是真值函项联结词
它可用真值表定义如下：
8.4论证形式与论证
变元：
一个陈述变元就是这样一个字母
一个陈述可以被代入它或它所在的位置
论证形式：
任何这样一列包含陈述变元而不包含陈述的符号序列
当用陈述代入陈述变元时
同一陈述始终代入同一陈述变元
其结果就是一个论证
以陈述代入一个论证形式中的陈述变元而产生的任何论证
就叫该论证形式的一个代入例
论证的特征形式：
只要一个论证是通过一致地以不同的简单陈述代入一个论证形式中
每个不同的陈述变元而产生的
该论证形式就是这个论证的特征形式
如果一个给定论证的特征形式
有任意一个其前提为真
且结论为假的代人例
那么，该论证就是无效的
无效的：
一个论证形式是无效的
它至少有一个前提为真且结论为假的代入例
其特征形式是一个无效的论证形式的任何论证都是一个无效论证
任何一个不是无效的论证形式必定是有效的
因此，一个论证形式是有效的，当且仅当，它没有前提为真且结论为假的代入例
一个论证有效，该论证的特征形式是一个有效论证形式
某行中的所有前提为真而结论为假
该论证形式就是无效的；
否则，则该论证形式必定是有效的
8.5陈述形式与实质等值
我们把一个给定陈述的特征形式判别为这样一种陈述形式：
通过一致地用不同的简单陈述
代入每个不同的陈述变元
就可以从其产生该给定陈述
pVq
就是陈述“那个盲囚戴红帽子或者那个盲囚戴白帽子”的特征形式
一个只有真代入例的陈述形式叫重言的陈述形式，或重言式
一个只有假代入例的陈述形式称为自相矛盾的陈述形式，或矛盾式
其代入例既有真陈述又有假陈述的陈述形式，叫做偶真陈述形式
当两个陈述都为真或都为假时
它们就是“实质等值的”
实质等值也有一个特殊的符号
即三杠号“≡”
三杠号同样也可以用真值表定义
由于任何两个实质等值的陈述A和B彼此蕴涵
故而从它们的实质等值
我们可以推断出B是真的
当A是真的
也可以推断出B是真的
仅当A是真的
由于这两种关系都被实质等值所蕴涵
我们可以把三杠号“≡”读做“当且仅当”
·圆点号表示合取
读做：“P且Q”
P·Q为真，当且仅当，P为真且Q为真
V楔劈号表示析取
读做：“P或Q”
PVQ为真，当且仅当，P为真，或Q为真，或P和Q两者都为真
马蹄号表示实质蕴涵
读做：“P蕴涵Q”
PQ为真，当且仅当，并非P为真且Q为假
也就是，当且仅当，P为假或Q为真
≡三杠号.表示实质等值
读做：“P当且仅当Q”
P≡Q为真，当且仅当，P和Q有同样的真值
也就是，当且仅当，P为真且Q为真，或P为假且Q为假
真值表是评价论证的有力工具
一个论证形式有效，当且仅当，在真值表中
其所有前提下面都是T的每一行上
其结论栏的下面也是T
一个论证形式有效
其条件陈述表达形式
其前件是该论证形式的前提的合取
其后件是该论证形式的结论
是一个重言式
8.6逻辑等价
两个陈述可以在比实质等值强得多的意义上等值
它们可以在真值相同的同时
意义也相等
如果它们有同样的意义
这种非常强的意义上等值的陈述
我们称之为逻辑等价
逻辑等价的两个命题不但都是真或者都是假
而且这两个命题连意思都是一样的
逻辑等价的两个命题都是真或者都是假
但是这两个命题的意思不一定一样
任何两个逻辑等价的陈述也是实质等值的
如果两个陈述逻辑等价
那么，它们在所有情形下都实质等值
若两个陈述的实质等值陈述是一个重言式
则两个陈述逻辑等价
用“”来表示这种很强的逻辑关系
“”表示的是这种逻辑关系的本质：
两个逻辑等价陈述的实质等值式是一个重言式
8.7
为什么所谓的实质蕴涵怪论被认为是怪论
这只是因为人们没有完全理解
我们称之为实质蕴涵的那个联结词的本质
实质蕴涵只管命题的真假
不管命题的意义是什么
若我们认识到语词“蕴涵”的歧义性
该怪论很容易解决
根据语词“蕴涵”的某几种含义
没有一个偶真陈述能蕴涵与其主题毫不相干的任何其他偶真陈述
诸如在逻辑蕴涵、定义性蕴涵和因果性蕴涵场合
这都是正确的
甚至在决策性蕴涵场合
这也是正确的
尽管相干概念在此必须作更宽泛的解释
但严格说来
主题或意义与实质蕴涵不相干
实质蕴涵是一个真值函项
这里只有真和假是相干的
8.8三大“思想法则”
同一原理
这个原理断言：
如果一个陈述是真的
那么它就是真的
表述：
事物只能是其本身
解释：
现实世界是丰富多彩的
它由不计其数的个体所组成
并且每个个体都是独一无二的
一个事物只能是其本身
而不能是其他什么事物
苹果就是苹果不会是橙子
也不会是香蕉或者梨子
不矛盾原理
没有陈述是既真又假的
在同一时刻
某个事物不可能在同一方面
既是这样又不是这样
如果X是X
那么在同一时刻
它就不能是非X
你不能即在北京又在上海
就是说你不能同时在两个地方出现
排中原理
每个陈述或者是真的或者是假的
对于任何事物
在一定条件下的判断
都要有明确的“是”或“非”
不存在中间状态
一个事物它要么存在
要么不存在
没有中间状态
不能说这个事物
即存在又不存在
桌上有一盏灯
这句话要么是真
要么是假
没有别的可能
不能说这句话
即是真的又是假的
9演绎方法
9.1有效性的形式证明
我们把给定论证的有效性的一个形式证明定义为一个陈述序列
该序列中的每个陈述或者是该论证的一个前提
或者是根据一个基本有效论证从该序列中在先的陈述推论出来的
而该序列的最后一个陈述
就是所欲证明其有效性的那个论证的结论
我们把一个基本的有效论证定义为：
该论证是一个基本的有效论证形式的代入例
一个基本有效论证形式的任何代人例都是一个基本有效论证
（A·B)[C≡(DVE)]
A·B
∴C≡(DVE)
是一个基本的有效论证
因为它是基本的有效论证形式肯定前件式(M.P.)的代人例
用A·B代人p，C≡(DVE)代人q
它可以从下述形式产生：
pq
p
∴q
因此，尽管肯定前件式不是该论证的特征形式
它仍是具有肯定前件式的有效形式
肯定前件式无疑是一个非常基本的有效论证形式
推理规则中还包括其他哪些有效论证形式呢？
如下是构造有效性的形式证明时常用的九个推论规则：
9.2替换规则
替换规则
强调了据此构造的有效性的形式证明的机械性
替换规则允许我们对任何陈述都可作如下替换：
该陈述的任一分支陈述都可替换为与之逻辑等价的陈述
我们列出了十个逻辑真的双条件陈述
替换规则：下面任一逻辑等价的形式，在它们出现的任何地方，都可
以相互替换
9.3无效性的证明
为了证明无效性
我们构造真值表中的某行
该行揭示这样一种可能性
即一个论证的所有前提为真而结论为假
该论证形式就是无效的
如果我们能对一个论证的简单分支陈述进行这样的真值指派
即使得它的前提为真且结论为假
那么，这种指派就足以证明该论证无效
FR
SR
∴FS
首先可以问：使结论为假要求何种真值指派？
显然，一个条件陈述为假
仅当它的前件为真而后件为假
因此，给F指派真值“真”
且给S指派真值“假”
会使得结论FS为假
现在，如果把真值“真”指派给R
那么两个前提都是真的
因为只要它的后件为真
该条件陈述就为真
于是我们可以说
如果把真值“真”指派给F和R
把真值“假”指派给S
该论证就有真前提和假结论
据此，它就被证明为无效
若我们把这种真值指派水平地写成下述形式：
上述真值指派构成了论证真值表中的一行（第二行）
通过显示其真值表中至少有这样一行
即其前提都为真而结论为假
一个论证就被证明为无效
因此，要发现一个论证的无效性
我们不必检验它的真值表的每一行
只要发现有一行
它的前提都为真而结论为假，这就足够了
当前证明无效性的方法
就是一种构造这样一行而不必构造整个真值表的方法
9.4不相容性
一个前提彼此不相容的论证必定是有效的
尽管它必然是不可靠的
如果一种真值指派能使得一个论证的所有前提为真而结论为假
那么，这表明该论证是无效的
而如果一个演绎论证不是无效的
那么，它必定是有效的
因此，如果不可能对一个论证的简单分支陈述进行这种真值指派
即不可能使得它的前提为真而结论为假
那么该论证必定有效
如果一组前提不相容
这些前提就会有效地产生任何结论
而不论它们如何不相干
下面的论证更简单地表明了这一问题的精髓
其公然不相容的前提
使得我们可以有效地推出一个不相干且荒谬的结论
今天是星期天
今天不是星期天
因此，月亮是鲜奶酪做的
我们已经证明：
不管其结论是什么
任何前提不相容的论证都是有效的
10量化理论
10.1单称命题
个体变元符号x
个体常项符号（小写字母从a到w）
表示属性的符号（大写字母）
命题函项概念：
一个含有一个个体变元的表达式
当以一个个体常元代入个体变元时
它就变成一个陈述
因此，通过列举程序
可以从一个命题函项得到一个命题
小明在足球场踢球
小明就是个体
可以用小写字母符号a来表示
这个a就是个体变元
“在足球场踢球”是个体属性
可以用大写字母符号H来表示
整个命题可以用Ha来表示
10.2量化
通过使用“每个”、“没有”、“有些”等量词
从命题函项得到命题
全称量词（x）
其含义是“给定任何一个x”
所有人都会死
符号化后是：
（x）Mx
（x）代表全称量词“所有”
x代表主项“人”
M代表谓项“都会死”
存在量词（ヨx）
其含义是“至少存在一个如此这般的x”
有些人是女人
（ヨx）Bx
（ヨx）代表特称量词“有些”
B代表谓项“是女人”
10.3传统主谓命题
首先来看这个命题：
“所有人是有死的”
用量词符号化这个命题
我们从下述命题开始逐次解释：
所有人是有死的可以解释为：
给定不管任何事物，如果它是人，它是有死的
其中关系代词“它”的两次出现
显然是回指它们共同的先行词“事物”
因为它们有同样的（不确定的）指称
从而都能用字母“x”替换
于是该命题可改写成：
给定任何x，如果x是人，那么x是有死的
现在，用先前引入的“如果一那么”的符号
可以把前一个命题改写成：
给定任何x，x是人x是有死的
最后，用我们已掌握的命题函项符号和量词
原来的A命题可表示为：
(x)(HxMx)
A命题表示为：(x)(Hx~Mx)
E命题表示为：(x)(HxMx)
I命题表示为：(ヨx)(HxMx)
O命题表示为：(ヨx)(Hx~Mx)
10.4有效性证明
四个附加规则如下：
1．全称列举
UI：（x）（Φx）
∴Φu（在此，u是任一个体符号）
这个规则大体上说的是：
一个命题函项的任何代入例都可以从它的全称量化式推出
2．全称概括
UG：Φy
∴（x）（Φx）（在此，y指称“一任意选取的个体”）
从一个命题函项关于一任意选取的个体名称的代入例
我们可以有效地推出该命题函项的全称量化式
3．存在列举
EI：（ヨx）（Φu）
∴Φu
在此，u是任一在上下文中先前没有出现过的个体常元（除了y）
从一个命题函项的存在量化式
我们可以推出
它关于早先上下文的任何地方都没出现的任一个体常元（除了y）的代入例为真
4．存在概括
EG：Φu，：.（ヨx）（Φx）（在此，u是任一个体符号）
从一个命题函项的任一为真的代入例
我们可以有效地推出该命题函项的存在量化式
11类比与或然推理
11.1类比论证
一个类比是一个相似或比较
当我们表明两个或更多的实体在一个或多个特征上是类似的时候
我们便进行了一个类比
类比论证是这样一个论证
两个或更多的实体在一个或更多的方面的相似性被用做前提
结论是，这些实体在某个其他方面具有相似性
如果我现在比较鹿和牛
则它们的共性有：
它们都是偶蹄的
它们都有角
它们都是食草动物等等
经过比较发现
鹿和牛有许多相似的地方
那它们会不会在其它地方也相似
比如我们可以推测：
如果我们知道牛会反刍
可以推测出鹿应该也会反刍
《邹忌讽齐王纳谏》就使用了类比的论证方法
在这里所议事例是“大家都在奉承齐王”
所举事例是“大家都在奉承邹忌”
原则是“有求于我就在骗我”
思维过程是“大家都在奉承我邹忌”
邹忌从中抽象出“谁有求于我，谁就可能奉承我”
那么当关系转化到齐王和大臣之间
该原则同样适用
即可得出“大家都在奉承齐王”
每个类比推理都是这样进行的：
从在一个或多个方面两个或更多的事物之间的类似性
推出这些事物在某个其他方面也具有类似性
我们可以将之公式化：
a、b、c、d是实体
P、Q、R是它们的属性或“相似方面”
一个类比论证可以表示成下列形式：
a、b、c、d均具有属性P和Q
a、b、c均具有属性R
因而d可能具有属性R
因为类比是归纳的
而不是演绎的
“有效性”和“无效性”词汇不适用于它们
类比论证的结论如同每个归纳论证的结论一样
具有某个概率度
而不能够声称具有确定性
11.2类比论证的评价
确定类比论证的前提是否对结论给予支持的六个标准
它们是：
1．具有相似性的实体数量
实体数量——过去所经历的场合数量——越大
论证越强
但是实体数量和结论成真的概率之间没有简单的比例关系
2．在仅出现在前提中的实体或者实例之中的多样性或差别程度
类比论证的前提中所涉及的实例越不相似
3．所涉及的实体被认为具有的相似方面数
结论中的实体与前提中的实体之间类似的方面越多
结论越可靠
对论证的贡献更大。
5．在前提中的事例和结论中的事例之间的差异的数量和重要性
结论中的差异削弱一个类比论证
而前提中的差别使类比论证加强
6．结论相对于前提的保守性（或大胆程度）
结论相对于前提而言是否适度在推理的评价中起关键作用
断言越适度，加于前提的负担越轻
断言越大胆，前提的负担越大
论证也就越弱
如果我的朋友的新车每加仑汽油能行驶30英里
我会得出如果我购买同样厂家和同样型号的车
我至少能够使该车每加仑汽油行驶20英里
该结论是适度的
因而可靠性十分大
如果我的结论十分大胆
我将至少使每加仑汽油行驶29英里
该结论受我拥有的证据的支持程度就很弱
11.3通过逻辑类比进行的反驳
逻辑类推的反驳它是反驳归纳论证和演绎论证的一个有效方法
为了表明一个给定论证是错误的
我们提出另外一个在形式上与待反驳的论证
十分相似但又是明显错误的论证即可
有人对你A说：
你喜欢看书，所以你是个书呆子
A用类比反驳对那人说：
你喜欢吃饭，那么你是个饭桶喽
前密西西比州州长柯尔克·福迪斯争辩道：
美国是一个基督教国家
因为在美国基督教是主要的宗教
与他进行电视辩论的金塞以生动的类推进行了回击：
本国妇女占大多数
这能够使我们得出我国是女性国家吗？
再者，我们能够因我国的大多数人是白人而得出
我国是一个白人国家吗？
在演绎情况下
对一给定论证进行反驳性的类推是这样：
其形式与给定论证一样
但反驳用的类推的前提为真而结论为假
由于用来反驳的类推是无效的
因而遭攻击的论证也是无效的一一因为它具有相同的形式
在归纳论证情况下
我们目前所考虑的逻辑类推的反驳技术同样可以是有效力的
许多在科学中、政治中或经济中的论证并不宣称是演绎的
它们会受到这样的反驳：
它们与其他的论证具有十分类似的结构
而这些其他的论证的结论是错误的
或者被普遍地认为是不可能的
归纳论证本质上不同于演绎论证
差别在于前提给结论所提供的支持程度不同
12因果连接：实验探求的密尔方法
12.1原因和结果
A.“原因”的意义
为了对环境进行控制性操作
我们必须拥有某种因果连接的知识
为了治疗某种疾病
医生必须知道它的原因
并且，他们应当了解他们所用药物的后果
因和果之间的关系其重要性非同一般
在对自然的研究中一个基本的公设是：
只有在确定的条件下事件才能发生
人们习惯于区分事件发生的必要条件和充分条件
必要条件是促使结果产生的其中一个条件
充分条件是促使结果产生的所有条件
一个特定事件发生的必要条件是指：
在缺乏它的情况下
该事件不能发生
具有氧气是燃烧能够发生的必要条件：
如果燃烧发生，必须具有氧气
因为在缺乏氧气的情况下便没有燃烧
尽管具有氧气是一个必要条件
但它不是燃烧能够发生的充分条件
一个事件能够发生的充分条件是：
在它出现的情况下事件必定发生
因为在有氧气的情况下也可能不发生燃烧
所以，出现氧气不是燃烧的充分条件
另一方面，对几乎每一种物质而言
都存在某个温度范围
在该温度范围里具有氧气是该物质燃烧的充分条件
明显的是，一个事件的发生可能有多个必要条件
并且这些必要条件均包含在充分条件里
“原因”有时是在“必要条件”的意义上使用
而有时是在“充分条件”的意义上使用
当手边的问题是要淘汰不受欢迎的现象时
它更多地是在“必要条件”的意义上使用
为了淘汰某个现象
人们只要找到某个对该现象的存在为必需的条件
然后将该条件淘汰
医生努力寻找何种微生物是某个疾病的“原因”
以便开出杀灭那些微生物的药物
从而治愈该疾病
那些微生物被认为是该疾病的原因
是说它们是疾病的必要条件
因为如果没有它们便不会有该疾病
“原因”一词有另外一个普遍的但不精确的用法
一给定现象与某些后果关联
它可能便是原因
我们断定“吸烟导致癌症”
当我们这样说时
可以肯定的是
我们并没有说吸烟是癌症的必要条件
因为我们知道许多癌症是在完全没有吸烟的情况下得的
同样不能说吸烟必定产生癌症
因为可能的是
某些人的长期吸烟的习惯并没有带来癌症后果
但是，吸烟与某些生物环境相结合
在癌症的发展中频繁地发挥作用
以至于我们合理地认为吸烟为癌症的原因
这产生了“原因”的另外一个用法：
作为某个现象发生过程中的关键因素或常常是关键因素
假定一家保险公司派遣调查员弄清一场神秘火灾的原因
保险公司派遣人员去调查
保险公司不对充分条件感兴趣
如果经过几个星期后
他们已经证明火是由投保的客户有意点燃的
虽然还不能够知道所有必要条件
保险公司是在另外一种意义上使用“原因”一词：
他们希望查找的是：
在现有的条件之下
造成该事件出现或不出现的差别的事件或行为是什么
在这种用法中，原因等同于必要条件
我们对第三种含义的原因做两个区分
传统上人们将它们称为遥远的和最近的原因
几个事件组成的一个因果序列或链条：
A引起B，B引起C，C引起D，D引起E
此时我们将E称为先行事件的结果
其中最近的即D，为E的最近的原因
而其他的为E越来越遥远的原因：
A比B遥远，B比C遥远
尽管如此，由于因果链条的连接数量
在这种用法中
原因等同于充分条件
而充分条件被认为是所有必要条件的联合
B.因果律和自然的齐一性
一个原因产生一个结果的每一次出现都是普遍因果律
如此的事态总是伴随着如此的现象的一个实例或一个事例
于是，如果在另外的情形下出现了与事态C同类的事态
但是结果E并不发生
此时我们不认为事态C是在一个特定场合下结果E的原因
因为特定事态是特定现象的原因的每一个断定意味着存在某个因果律
每一个因果连接的断定都包含与普遍性有关的一个关键成分
因果律——当我们使用该术语的时候
断定如此这般的事态下
恒常地伴随着一个特定种类的现象
而无论该事态发生于何时何地
但是我们如何知道这样普遍性的真理呢？
因果关系不是纯粹逻辑的或演绎的
它不能被任何先验的论证所发现
因果律只能经验地或后验地（即诉诸经验）发现
C.简单枚举归纳法
从特定经验事实中得到一般或普遍命题的过程被称做归纳概括
从三张蓝色石蕊试纸放到酸中都变红的前提中
我们或者会得到一个特定结论
将第四张蓝色石蕊试纸放到酸中它将发生什么样的现象
或者会得到一个普遍结论
每一张蓝色石蕊试纸放到酸中将发生什么
都会变红
每次观测到只要现象Y发生
现象X就会出现
假设我已经观察了成千上万次的现象Y
每次Y发生之后
现象X就一定会出现
那么我可以合理推测
如果现象X明天会出现
那么现象Y一定也会发生
归纳推理因此成了演绎推理的基础
所以，太阳明天也会从东边升起
简单枚举法对提出的因果律的例外没有解释
而且不可能有解释
任何断言的因果律都会被一个反例所推翻
因为，任何一个反例表明
所谓的一个“规律”不是真正普遍的
例外否证了该规则
因为一个例外（或“反例”）或者是这样一个情况：
人们发现了所断言的原因
而断言的结果并没有伴随
或者是这样的情况：
结果发生了
但所断言的原因没有发生
12.2密尔方法
五个的归纳方法是：
1．求同法
如果被研究的现象的两个或更多的事例
只有一个共同的事态
那么，这个事态——所有事例在该事态上相契合
是给定现象的原因（或结果)
我们找到一个对给定现象的所有事例来说都是共同的事态
此时我们可以自信地认为
我们已经发现了它的原因
想象一下在某个公寓楼的居民当中发生消化不良
我们得了解其原因
首先要研究的自然是所有得病的人吃了什么食物？
一些病人吃的而不是所有病人吃的食物不可能是得病的原因
我们希望知道什么事态是每个得病场合所共同的
当然，共同的东西可能不是一种食物
可能是受感染的器具
或者接近某种有害的污水，或其他的情况
但是，仅当我们找到了某种对所有疾病的事例都是共同的事态
我们才找对了正确解决问题的途径
求同法可以示意如下
其中大写字母表示事态，小写字母代表现象：
A、B、C、D与w、x、y、z一起发生
A、E、F、G与w、t、u、v一起发生
因而A是w的原因（或结果）
2．求异法
如果在一个事例中被研究现象发生
在另外一个事例中该现象不发生
两个事例中的事态除了这一个事态不同外
其他均相同
该事态便是该现象的结果或原因
或者为原因中的一个不可缺少的部分
当我们研究胃不适问题时
如果我们已经知道得病的所有人吃了梨子
而没有吃那些梨子的人没有得病
我们能相当自信地认为
我们已经找到了该病的原因
示意如下：
A、B、C与w、x、y、z一起发生
B、C、D与x、y、z一起发生
因而A是w的原因或结果
或A是w的原因中的一个不可缺少的部分
3．求同求异并用法
人们经常进行所谓“双盲”实验
以检验新药或新方法：
一组接受新的治疗，而另外一组没有
第二阶段，对原来没有接受治疗的人进行治疗
对原来接受治疗的人不施行治疗
这样研究的基础是求同法和求异法的联合运用
A、B、C-x、y、zA、B、C-x、y、z
A、D、E-x、t、wB、C-y、z
因而，A是x的结果或原因
或A是x的原因中不可缺少的一部分
4．剩余法
从一个现象中减去这样一个部分
在以前的归纳中该部分被认为是某个先行事件的结果
那么该现象剩余的部分为剩余的先行事件的结果
用于称货车上货物的重量的特殊装置可以很好地说明该方法
已知空车的重量
为了测定货物的重量
称出货与车一起的重量
然后我们就知道了货物的重量：整个重量减去车的重量
剩余法可以表示如下：
A，B，C——x，y，z
已知B是y的原因
C是z的原因
因而，A是x的原因
5．共变法
一个现象随着另外一个现象以某种方式变化而发生变化
此时另外一个现象或者是该现象的一个原因
或者是一个结果
或者它通过某个作为原因的事实与之相连接
农民通过对不同的土地施不同数量的肥料
观察到肥料用量与产量之间的变化关系
而得出所施的肥料与庄稼收成之间的因果连接
用加或减的符号表示一个变化的现象
出现在一个给定情形中较高或较低的程度
共变法能够表示如下：
ABC—xyz
A+BC—x+yz
因而A与x因果地连接在一起
前面的四个方法本质上都是排除法的
通过剔除出给定现象的某个或某些可能原因
这些方法对其他的某个假定的因果解释提供支持
求同法排除掉那些不可能为原因的事态
在该事态缺乏的情况下该现象仍然能够发生
求异法通过剔除关键的一个先行因素
而排除某个或某些可能原因
求同求异并用法也是排除法
它同时使用上面的两种方法
剩余法努力排除那些不可能为原因的事态
这些事态的结果已经通过归纳预先建立起来
12.3对密尔方法的批评
在密尔对这些方法的阐述中
他涉及“只有一个事态相同”的场合
和“除了一个事态外其余的每个事态都相同”的场合
不能从字面上理解这些表述
任何两个物体无论它们多么不同
它们均具有许多相同的方面
没有两件事物只在一个方面不同
人们离北方越远，越靠近太阳
关于“科学的酗酒者”的讽刺表明了这个问题：
什么东西使酗酒者多次喝醉？
他仔细观察
第一晚他喝的是苏格兰酒和苏打
第二晚喝的是波旁酒和苏打
接着是白兰地和苏打
浪姆酒和苏打，杜松子酒和苏打
他发誓再不碰苏打
理解这里的意思的关键是：
在归纳和演绎之间存在一个巨大的鸿沟
一个有效的演绎推理构成一个证明或论证
但是任何一个归纳论证至多是高度可靠的
绝不能成为证明的
仅当形成的假说确实正确地识别出因果关联的事态的时候
这些方法才能产生可靠的结果
并且仅当假说被加在论证中作为一个前提的时候
结果才能通过这些方法演绎出来
现在我们能够明白这些方法提供给我们的力量的本质
它们不是发现的通路
也不是证明规则
它们是检验假说的工具
13科学和假说
13.1科学的价值
科学的价值：
它的实践用途和它对人类求知和理解愿望的满足
科学的目标就是发现普遍真理
当然单个事实是关键的
用事实建造科学大厦
如同用石头建造房屋
采集了石头不等于建成房屋
仅仅事实的收集更不能成为科学
科学家寻求理解现象
为此，他们努力揭示现象发生的方式
以及它们之间的系统的关系
13.2科学和非科学
把科学说明与武断的、教条主义特征的非科学说明区分开来
科学说明往往是假设性的
并且在一定程度上是不确定的
最为重要的是
科学说明是经验可证实的
它必须通过经验来确证
并且从该说明中必定能够演绎出某些能够检验的命题
它不同于需要说明的事实陈述
而从一个非科学说明中
不可能演绎得到任何可直接检验的命题
如果我解释说，我上班迟到是因为在中部非洲发生持续的政治混乱
那么这会被认为什么都没有说明
因为需要说明的我迟到的事实
不能从中被推论出来
可以用神秘的小鬼动了手脚，来解释引擎不能启动
这是非科学的
疾病可以解释成邪恶的精灵侵入人体所引起的
人们一直用在行星上生活并控制它们运动的“智慧生物”
来解释行星的规则运动
科学的说明与非科学的说明在两个相互关联的方面相区别：
第一个区别是态度上的区别
接受非科学说明的人是教条的
解释被认为是绝对真的
是不能改进的
科学说明和非科学说明之间的
第二个同时也是最根本的区别是：
接受或拒绝某个观点所基于的基础
一个非科学的说明被简单地认为是真的
因为“每个人知道”它如此
一个非科学信念之被坚持
不依赖于有利于它的证据之上
但是在科学中
一个假说仅仅在存在支持它的证据的条件下才值得接受
人们总是对它的真或假保持怀疑寻找证据的过程永不停止
科学是经验的——真理的检验在于经验之中
因而科学说明的本质是
它是可检验的
13.3对科学的说明评价
科学假说借以评价的五条标准：
2．可检验性
3．与原有已确立假说的协调性
4．预测力或说明力
5．简单性
13.4科学探究的七个阶段
节描述实际的科学探究的七个阶段：
1．确定问题
2．构建初始假说
3．收集额外事实
4．形成假说
5．从假说中演绎出结果
6．对结果进行检验
7．应用该理论
13.5科学研究的模式
分析假说方法
在一个最近的并有重大意义的科学研究活动
寻找DNA结构-中是如何操作的
说明了相区别的七个阶段
如何出现在对遗传说明的寻求中
13.6判决性实验和特设性假说
抽象理论的检验要求使用一个假说集
而非单个假说
因而一个被认为是判决性的实验
可能揭示的是该假说集存在错误
至于哪个成员是错误的则不能确定
13.7作为假说的分类
分类作为科学研究中的一个有价值的工具
尽管通常在科学的较不发达的阶段之中更为突出
原因是分类为普遍真理
和有威力的说明性假说的提出与形成提供启示
14概率
在所有归纳论证中
前提只是以某个概率度对结论进行支持
在科学假说中我们只是简单地把这个度描述成“更”可能或“不太”可能
如何能够将一个定量的概率（表示为0与1之间的小数）分派给归纳结论
14.1关于概率的几种观点
给出两种概率概念，它们都可以给予定量配置：
（1）相对频率理论，根据这个理论
概率被定义成一个类的成员
出现一个特定属性的相对频率
（2）先验理论，根据这个理论
一个事件发生的概率
由事件能够发生的途径数
除以等可能的后果数来确定
先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率
如全概率公式中的
它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现
后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率
是“执果寻因”问题中的“因”
14.2概率计算
如果复杂事件的各单元事件的概率能够确定
复杂事件的概率就能够计算出
在概率计算中使用两个基本的定理：
乘法定理和加法定理
如果复杂事件是一个共同发生的事件
两个或更多的单元事件均发生的概率可用乘法定理得到
我们问：
从一副牌中连续抽出两张黑桃的概率是多少？
连续抽两张牌这样的复合事件是一个由两个部分组成的整体
这两个部分是
第一次抽出黑桃的事件
和第二次抽出黑桃的事件
新娘和新郎活到庆祝金婚纪念日的复合事件
是由新娘再活50年的事件和新郎再活50年的事件
以及不发生离婚的事件组成的
14.3共同发生的概率
乘法定理断定
如果单元事件是独立的
它们共同发生的概率等于它们各自的概率的积
但如果单元事件是不独立的
可以运用通用乘法定理：
（a且b）的概率等于a的概率乘以在a发生的条件下b的概率
如果复杂事件是替代性发生的
两个或更多事件中至少一个发生的概率可应用加法定理
如果两个事件中的一个的发生或不发生
对另外一个事件的发生或不发生不产生任何影响
我们说两个事件是独立的
如果我们掷两枚硬币
无论一枚硬币是正面朝上还是反面朝上
不会影响另外一枚硬币是正面朝上还是反面朝上
它们就是独立的事件
乘法定理
为了计算两个或更多事件共同发生的概率：
（1）如果这些事件（如a、b）是独立的：
它们共同发生的概率为其概率的简单乘积：
P（a且b）＝P（a）xP（b）
（2）如果这些事件（如a、b、c等）是不独立的：
它们共同发生的概率为
第一个事件的概率乘以
第一个事件发生的条件下第二个事件的概率
乘以第一和第二个事件发生的条件下第三个事件的概率，等等
P（a且b且c）＝P（a）xP（b｜a）XP（c｜a且b）
14.4替代性发生的概率
加法定理断定
如果单元事件是相互排斥的
它们的概率之和给出了替代性发生的概率
但如果单元事件不是相互排斥的
它们替代性发生的概率可以这样计算：
（1）通过将所需要的场合分解成相互独立的事件
然后将他们的概率相加
（2）确定至少替代性发生事件将不发生的概率
然后用1减去这个数
当我们掷两枚硬币时
我们想知道一枚或另外一枚着地时正面向上的可能性是多少
在抽两张牌的扑克牌游戏中
我们想知道抽到或者一张黑桃或者一张梅花的概率为多少
替代性发生的概率
总是大于每个事件发生的概率
如同在共同发生的情况下
两个事件共同发生的概率将小于其中一个单独事件发生的概率
加法定理
计算两个或更多的替代性的事件发生的概率的方法：
A.如果事件（如a、b）是相互排斥的
至少一个事件发生的概率为它们概率的简单相加：
P（a或b）P（a）＋P（b）
B.如果事件（如a、b、c）不是相互排斥的
它们中至少一个发生的概率由下面的方法确定：
（1）将满足条件的状态区分为互相排斥的事件
然后将这些事件的概率相加
（2）计算这些可能事件不发生的概率
然后用1减去这个概率
14.5
我们既要考虑可能后果的概率
又要考虑每个可能事件下获得的收益
先将每个后果预期回报与该回报发生的概率相乘
然后将这些乘积相加便得到投资的预期值
在下赌注和投资中
人们不仅要考虑获胜或取得回报的概率
而且要考虑在赌博中赢得的或在投资中回报的数量为多少
有两个需要考虑的因素：
安全性和回报量
它们往往不能兼得：
潜在较高的回报通常蕴藏着较大的风险
最安全的投资不会是最好的投资
许诺成功后有最大回报的投资同样不是最好的投资
我们将每个可能结果下产生的收益与实现该结果的概率值相乘