即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
即（a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商
运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，
即(a+bi)/(c+di)
=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]
=[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2).
若z^n=r(cosθ+isinθ），则
z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1）
加法交换律：z1+z2=z2+z1
乘法交换律：z1*z2=z2*z1
加法结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
乘法结合律：(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)
分配律：z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3
i^(4n+1)=i,i^(4n+2)=-1,i^(4n+3)=-i,i^4n=1（其中n∈Z）
对于复数z=r(cosθ+isinθ），有z的n次幂
z^n=(r^n)*[cos(nθ）+isin(nθ）]（其中n是正整数）
设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1）和r2(cosθ2+isinθ2），那么z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2)+isin（θ1+θ2)]（在复数平面内为模相乘，角相加。）
z1÷z2=(r1÷r2)[cos（θ1－θ2)+isin（θ1－θ2)]（在复数平面内为模相除，角相减。）
复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行（不包括纯虚数集）
一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序。
复数与几何
除未塞尔(1745-1817),阿工(1768-1822)的工作外,科兹(1707-1783)棣美弗(1667-1754),欧拉(1707-1783),范德蒙(1735-1796),也曾认识到平面上的点可与复数一一对应,这一点从他们把二项方程的根看作一个正多边形的顶点一事获得证实.但是,在这方面高斯的贡献是十分重要的,他的著名代数学基本定理是在假设坐标平面上的点与复数可以一一对应的前提下推出的.1831年,高斯在《哥庭根学报》上详细说明了复数a+bi表示成平面上的一个点(a,b).从而明确了复平面的概念,他又将表示平面点的直角坐标与极坐标加以综合,统一于表示同一复数的二种表示形式——复数的代数形式及三角形式之中.高斯还给出了「复数」这个名称,由于高斯的卓越贡献,后人常称复数平面为高斯平面.复平面特点：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴，原点表示实数0，原点不在虚轴上。复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，反过来，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，所以复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的。
①几何形式
复数z=a+bi被复平面上的点z（a，b）唯一确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式
z=r（cosθ+isinθ）
式中r=√（a^2+b^2），是复数的模（即绝对值）
θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作arg(z)
这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
④指数形式。将复数的三角形式z=r(cosθ+isinθ）中的cosθ+isinθ换为exp(iθ），复数就表为指数形式z=rexp(iθ）
16世纪意大利米兰学者卡当（JeromeCardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。
德国数学家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a＋bi。象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a＋bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。
经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。
随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。
定义：如图所示：
定理：如图所示：
对定理的证明过程，如图所示：
共轭调和函数：
定理公式推导过程，如图所示：
例1：如图册所示：
形如z=a+bi的数称为复数（complexnumber)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i×i=－1（a，b是任意实数）
我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部（realpart)记作Rez=a
实数b称为复数z的虚部（imaginarypart）记作Imz=b.
已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；
当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。
将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作∣z∣.
即对于复数z=a+bi，它的模
∣z∣=√（a^2+b^2)
复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。
复数集是无序集，不能建立大小顺序。
对于复数z=a+bi，称复数z'=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等，虚部（虚部不等于0）互为相反数的复数互为共轭复数(conjugatecomplexnumber）。复数z的共轭复数记作zˊ。表示方法为在字母z上方加一横线即共轭符号。
共轭复数有些有趣的性质：
︱x+yi︱=︱x-yi︱
(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2
在复变函数中，自变量z可以写成z=r*(cosθ+isinθ).r是z的模，即r=|z|;θ是z的辐角。在0到2π间的辐角称为辐角主值，记作：arg(z)
1、乘积与商
定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。
证明设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1
z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
=r1r2ei(θ1+θ2)
因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度
Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。
定理1可推广到n个复数的乘积。
定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。
2、复数的乘幂
定义n个相同的复数z的乘积，称为z的n次幂，记作z^n，即z^n=z竰竰（共n个）。
设z=reiθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证
明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isinnθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
一棣模佛(DeMoivre)公式。
3、复数的方根（开方）——乘方的逆运算
问题给定复数z=rei，求所有的满足ωn=z的复数ω。
复数运算的几何意义
复数a+bi、c+di分别对应复平面上以原点为起点的向量(a,b)与(c,d)。
两者相乘相当于如下变换：
在复平面上
将向量(a,b)伸长或缩短复数c+di的模倍，然后逆时针转过复数c+di辐角的度数，得到的新向量即是两复数
乘积对应的向量。
如：(1+i)*(1+i)=2i。将向量(1,1)伸长为复数1+i的模倍(即根2倍)，然后逆时针转过1+i的辐角度数(即45˙)，得到向
量(0,2),即乘积2i所对应的向量
除法与乘法相反。
由此可见，复数的运算可以表示二维平面上的伸缩和旋转变换。
数的分类拓展到复数范围后，我们对复数范围的数集做以下分类
复数（a+bi）——集合符号C
实数（b=0）——集合符号R
有理数——集合符号Q（p/q)
（一）正有理数——集合符号Q+
正整数——集合符号N+或N*
1--质数--合数正分数--0
－负有理数——集合符号Q-
－负整数——集合符号Z-
－负分数
（二）整数——集合符号Z
（自然数）——集合符号N--奇数--偶数--分数--无理数--正无理数--负无理数
－－虚数（b≠0)
－－纯虚数（a=0)
－－混虚数（a≠0）
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。
注：(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。
(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)
例1：如图所示：
2.求导公式与法则----实函数中求导法则的推广①常数的导数c=(a+ib)=0.
②(zn)=nzn-1(n是自然数).
证明如图所示：
③设函数f(z),g(z)均可导，则有如图所示：
④复合函数的导数⑤反函数的导数如图所示：
例2,3,4如图所示：
注：(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。
但在复变函数中，却轻而易举。
若w=f(z)在点z0处可导，则w=f(z)点z0处连续.
可微定义:如图所示：
我们把数学分析中基本的实变初等函数推广到复变初等函数，使得定义的各种复变初等函数，当z变为实变数x(y=0）时与相应的实变初等函数相同。
注意根据这些定义，在z为任意复变数时，
①．哪些相应的实变初等函数的性质被保留下来
②．哪些相应的实变初等函数的性质不再成立
③．出现了哪些相应的实变初等函数所没有的新的性质。
e^(a+bi)=e^a*e^bi=e^a*(cosb+isinb)
证明：把yi代入泰勒级数，借助sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+R
n(x）和cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+...+Rn(x）来化简即可；
同理可得a^ix=cos(xlna)+isin(xlna)=(e^ix)^lna.
借助e^ix=cosx+isinx可以方便地证明棣莫佛定理
邻域：复平面上以z0为中心，任意δ>0为半径的圆|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)内部的点的集合称为点z0的δ（去心）邻域。
设G是一平面上点集
内点：对任意z0属于G，若存在U(z0,δ)，使该邻域内的所有点都属于G，则称z0是G的内点。
开集：若G内的每一点都是内点，则称G是开集。
区域：设D是一个开集，且D是连通的，称D是一个区域。
连通是指D中任意两点均可用完全属于D的折线连接。
边界与边界点：已知点P不属于D，若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；
闭区域区域D与它的边界一起构成闭区域,记为Dˉ
有界区域与无界区域：若存在R>0,对任意z∈D,均有z∈G={z||z| 重点：设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，对于t1∈(a，b),t2∈[a,b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1)为曲线C的重点。 定义：称没有重点的连续曲线C为简单曲线或Jardan曲线;若简单曲线C满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线。 简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线C：z=z(t)，t∈[a，b]，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为 C的外部；还有一个是它们的公共边界。 定义：复平面上的一个区域B，如果B内的任何简单闭曲线的内部总在B内，就称B为单连通域；非单连通域称为多连通域。 复数指在英语中与单数相对，两个及两个以上的可数名词。 （1）直接加-s,如：bag-bags. （2）当单数名词结尾为s,z,x,sh,软音ch时加-es,如：box-boxes,peach-peaches.(o有时也是，如hero-heroes) （3）不规则变化，如：ox-oxen,child-children,man-men,tooth-teeth. （4）不变化，如：deer-deer,sheep-sheep,mouse-mouse. (5)在中间加-s,用于连词，如：hanger_on-hangers_on,maid_of_honor-maids_of_honor. 用直线将复平面内任一点z与N相连,必与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面. 除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数. 扩充复数域---引进一个“新”的数∞: 扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点∞. 约定: a/0=∞,a/∞=0(a╪∞),∞/a=∞(a╪∞), a*∞=∞*a(a╪0),a±∞=∞±a(a╪∞). 注:若无特殊说明,平面均指有限复平面。 定义如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。 注：(1)w=f(z)在D内解析〈≡〉在D内可导。 (2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析。 定理1设w=f(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f(z)±g(z)，f(z)g(z)及f(z)g(z)(g(z)≠0时)均是D内的解析函数。见图： 定理2设w=f(h)在h平面上的区域G内解析,h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值集合∈G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处解析。 如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。 见图： 定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方程，见图： 证明“=〉”见图集： 定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要 条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程见图： 注：1.由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来. 2.利用该定理可以判断那些函数是不可导的. 推论：见图 解析函数退化为常数的几个充分条件： (a)函数在区域内解析且导数恒为零； (b)解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数； (c)解析函数的共轭在区域内解析。 1.有向曲线：如图所示： 2.积分的定义：如图所示： 3.积分存在的条件及其计算法： 证明：如图所示： 例题：如图册所示： 4.积分性质 由积分定义得：如图所示： （1）实变函数的线积分:如图所示： （2）柯西定理的来由与基本定理： （3）原函数与不定积分 推论：如图所示： 定理2：如图所示： （4）原函数的定义：如图所示： 不定积分与积分计算公式：如图所示： 实例：如图册所示： （5）小结求积分的方法 1.复变函数的定义—与实变函数定义相类似 2.映射的概念——复变函数的几何意义 在几何上，w=f(z)可以看作： 复变函数的几何意义是一个映射（变换） 在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v与x，y之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观. 3.反函数或逆映射 定义设w=f(z)的定义集合为G,函数值集合为G* 一些碎形如曼德勃罗集合和茹利亚集(Juliaset)是建基於复平面上的点的。 在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquistplot）和尼科尔斯图法（Nicholsplot）都是在复平面上进行的。 无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点 位于右半平面，则因果系统不稳定；都位于左半平面，则因果系统稳定；位於虚轴上，则系统为临界稳定的。如果系统的全部零点和极点都在左半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关於虚轴对称，则这是全通系统。 信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，辐角arg(z）表示给定频率的正弦波的相位。 利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示： 其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。 电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。（有时用字母j作为虚数单位，以免与电流符号i混淆。） 在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常函数，藉由复值函数得出。方法有多种，见围道积分方法。 量子力学中复数是十分重要的，因其理论是建基於复数域上无限维的希尔伯特空间。 实际应用中，求解给定差分方程模型的系统，通常首先找出线性差分方程对应的特征方程的所有复特征根r，再将系统以形为f(t)=e的基函数的线性组合表示。 复函数於流体力学中可描述二维势流(2DPotentialFlow）。 一，分解质数源数[开拓]：函数[18rr+1] 1，r*6 2，18rr--r*6+1=0 二，整形第一部分 1，【[r1+r2]*6】*1/2=1 2，【18*[r1]*[r2]-[r1+r2]*6+1】*1/2=0 三，黎曼猜想化为[素数分布球体模式] 数系理论的历史发展表明，数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步，但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷，而实数系的完备性一直要到19世纪才得以完成。负数早在《九章算术》中就已被中国数学家所认识，然而，15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。“四元数”的发明，打开了通向抽象代数的大门，同时也宣告在保持传统运算定律的意义下，复数是数系扩张的终点。人类发明的记数法并没有束缚自己的想象力，中国古代“数穷则变”的思想对于当代数学哲学仍具有积极的意义。 今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以斜正为异。方程自有赤黑相取，左右数相推求之术。而其并减之势不得广通，故使赤黑相消夺之。……故赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率。然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也。 负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。如丘凯（NicolasChuquet，）和斯蒂费尔（Stifel,）都把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”。卡丹（Cardan,1501-1576)把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达(Vieta,1540-1630)完全不要负数，帕斯卡（Pascal,1623-1662）则认为从0减去4纯粹是胡说。 负数是人类第一次越过正数域的范围，前此种种的经验，在负数面前全然无用。在数系发展的历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。我们将会看到，负数并不是惟一的例子。 复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性。人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地。 1545年，此时的欧洲人尚未完全理解负数、无理数，然而他们智力又面临一个新的“怪物”的挑战。例如卡丹在所著《重要的艺术》（1545）中提出一个问题：把10分成两部分，使其乘积为40。这需要解方程x(10-x)=40，他求得的根是5-√-15和5+√-15，然后说“不管会受到多大的良心责备，”把5+√-15和5-√-15相乘，得到25-(-15)=40。于是他说，“算术就是这样神妙地搞下去，它的目标，正如常言所说，是有精致又不中用的。”笛卡尔（Descartes,1596-1650）也抛弃复根，并造出了“虚数”（imaginarynumber）这个名称。对复数的模糊认识，莱布尼兹（Leibniz,1646-1716）的说法最有代表性：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的—1的平方根。” 直到18世纪，数学家们对复数才稍稍建立了一些信心。因为，不管什么地方，在数学的推理中间步骤中用了复数，结果都被证明是正确的。特别是1799年，高斯（Gauss,1777-1855）关于“代数基本定理”的证明必须依赖对复数的承认，从而使复数的地位得到了近一步的巩固。当然，这并不是说人们对“复数”的顾虑完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（DeMorgan,1806-1871）在他的著作《论数学的研究和困难》中依然认为： "…… 已经证明了记号是没有意义的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来的，它依赖于一件必须用经验来检验的事实，即代数的一般规则可以应用于这些式子（复数）。 ……" 我们知道，18世纪是数学史上的“英雄世纪”，人们的热情是如何发挥微积分的威力，去扩大数学的领地，没有人会对实数系和复数系的逻辑基础而操心。既然复数至少在运算法则上还是直观可靠的，那又何必去自找麻烦呢？ 在澄清复数概念的工作中，爱尔兰数学家哈米尔顿（Hamilton,1805–1865）是非常重要的。哈米尔顿所关心的是算术的逻辑，并不满足于几何直观。他指出：复数a+bi不是2+3意义上的一个真正的和，加号的使用是历史的偶然，而bi不能加到a上去。复数a+bi只不过是实数的有序数对（a，b），并给出了有序数对的四则运算，同时，这些运算满足结合律、交换率和分配率。在这样的观点下，不仅复数被逻辑地建立在实数的基础上，而且至今还有点神秘的-1的平方根也完全消除了。 无理数是什么？法国数学家柯西（A.Cauchy,1789-1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，意即预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小。但是，这个预先存在的“数”，又从何而来呢？在柯西看来，有理序列的极限，似乎是先验地存在的。这表明，柯西尽管是那个时代大分析学家，但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。 变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在19世纪后半叶，由维尔斯特拉斯（Weierstrass,1815-1897）、戴德金（R.Dedekind1831-1916）、康托（G.Cantor,1845-1918）等人加以完成了。 1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，克莱因（F.Kline,1849-1925）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（ErlangerProgramm），维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了。 实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现。 回顾数系的历史发展，似乎给人这样一种印象：数系的每一次扩充，都是在旧的数系中添加新的元素。如分数添加于整数，负数添加于正数，无理数添加于有理数，复数添加于实数。但是，现代数学的观点认为：数系的扩张，并不是在旧的数系中添加新元素，而是在旧的数系之外去构造一个新的代数系，其元素在形式上与旧的可以完全不同，但是，它包含一个与旧代数系同构的子集，这种同构必然保持新旧代数系之间具有完全相同的代数构造。当人们澄清了复数的概念后，新的问题是：是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？答案是否定的。当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时，他发现自己被迫要做两个让步：第一，他的新数要包含四个分量；第二，他必须牺牲乘法交换律。这两个特点都是对传统数系的革命。他称这新的数为“四元数”。“四元数”的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束。1878年，富比尼（F.Frobenius,1849–1917)证明：具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数先行结合代数，如果服从结合律，那就只有实数，复数和实四元数的代数。 数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，便会产生无可估量的创造力。哈米尔顿的四元数的发明，使数学家们认识到既然可以抛弃实数和复数的交换性去构造一个有意义、有作用的新“数系”，那么就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质的代数构造。数系的扩张虽然就此终止，但是，通向抽象代数的大门被打开了。 古代希腊人曾经提出一个问题：他们认为世界上的沙子是无穷的，即使不是无穷，也没有一个可以写出来的数超过沙子的数。阿基米德（Archimedes,BC287-212）的回答是：不。在《数沙术》中，阿基米德以万（myriad）为基础，建立新的记数法，使得任何大的数都能表示出来。他的做法是：从1起到1亿（原文是万万，myriadmyriads，这里按照中文的习惯改称为亿）叫做第1级数；以亿（10^8）为第2级数的单位，从亿起到亿亿（即10^16）叫做第2级数；在以亿亿为单位，直到亿亿亿（10^24）叫做第3级数。直到第1亿级数的最后一数亿亿。阿基米德算出充满宇宙的沙子的数目不过是10^51，即使扩充到“恒星宇宙”，即以太阳到恒星的距离为半径的天球，也不过只能容纳10^63个沙粒！ 同样的问题也出现在中国古代。汉代以前，数皆10进，以10万为亿。韦昭解《国语·郑语》第十六：“计亿事，材兆物，收经入，行垓极”。注称“计，算也；材，裁也。贾唐说皆以万万为亿，郑后司农云：十万曰亿，十亿曰兆，从古数也。”《数术记遗》中则详细记载了对大数的一整套命名和三种进位方法。《数术记遗》称： 黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载；三等者，谓上、中、下也。其下数者。十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之，若言万万曰亿、万亿曰兆，万兆曰京。上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。从亿至载，终于大衍。 《数术记遗》中的“大数之法”的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法，更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程。客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数。起初，对一些较大的数，人们还可以理解它，还能够利用已有的记数单位去表示它。但是，随着人们认识的发展，这些大数也在迅速的扩张，原有的记数单位难以为用。人们不禁要问： 数有穷乎？ 这是数系发展中的需要回答的重大命题。《数术记遗》中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话，精彩的阐明了“数穷则变”的深刻道理： 徐岳问曰：数有穷乎？ 会稽（刘洪）答曰：吾曾游天目山中，见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生，余亦以此意问之。先生曰：世人言三不能比两，乃云捐闷与四维。数不识三，妄谈知十。不辨积微之为量，讵晓百亿于大千？黄帝为法，数有十等。……从亿至载，终于大衍。 会稽问曰：先生之言，上数者数穷则变，既云终于大衍，大衍有限，此何得无穷？ 先生答曰：数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环。循环之理，且有穷乎！ 天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”，以有限来认识无限，而指引这一途径的重要思想是“言重则变”。即便是现代，“数穷则变”这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思。 位置制记数法的出现，标志着人类掌握的数的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。 有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60进位的，埃及采用的是单分数（unitfraction），阿拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。 众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。 有了齐同术，就可将分数化异类为同类，变相违为相通。刘徽深得其中奥秘，称：“然则齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐，其犹佩解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。” 容易证明，分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻，负数的出现就是必然的了。盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。历史的事实表明：负数之所以最早为中算家所引进，这是由中国古代传统数学中，算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的。负数的概念和算法首先出现在《九章算术》“方程”章，因为对“方程”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。刘徽的注释深刻的阐明了这点。 最早发展的一类数系应该是简单分群数系（simplegroupingsystem），如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例，它是10进的，但却不是位置的。在公元前3000到2000年之间，巴比伦人发展了60进位的定位数系（positionalnumeralsystem），它采用了位置制，却不是10进的。而最重要和最美妙的记数法则是10进位位置制记数法。 法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749–1827）曾经写道： “0”作为记数法中的空位，在位置制记数的文明中是不可缺少的。早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号。印度人起初也是用空位表示零，后来记成点号“·”，最后发展为圈号。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家。13世纪初，意大利的商人斐波那契（LeonadoFibonacci,1175-1250）编著《算经》（LiberAbacci,1202），把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后，在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。 1.函数的极限 几何意义:当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中 (1)意义中Z→Z0的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高. (2)A是复数. (3)若f(z)在Z0处有极限,其极限是唯一的. 2.运算性质 3.函数的连续性 虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。 对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与X轴正向，所成便是辐角度。 箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。 代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次幂，四个数值周期现。 一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。 利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形， 减法三角法则判;乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。 三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。 辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭， 两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。 绘本是孩子在人生道路上最初见到的书，它以文图相融的形式，向孩子们直观、形象地展示了这个世界，使他们身心得以愉悦，情感受到陶冶。为了能鼓励低年级的小朋友多...