拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。
拓扑是集合上的一种结构。
“代数拓扑的基本观点：几何对象的代数照相。这种照相是用范畴与函子的语言来表达的。”
——姜伯驹
范畴和函子（尤其是函子）主要是由代数拓扑引出的概念，主要目的是用一种更抽象统一的语言来描述关于拓扑空间的不变量，也就是如果能用函子把两个范畴（例如拓扑空间范畴和群范畴）联系起来，那么一个范畴中的对象（拓扑空间）在函子作用下所对应的另一个范畴中的对象（基本群）就是这个对象（拓扑空间）的不变量。（因为我们拓扑学中知道，两个拓扑空间同胚，那么它们的基本群同构）
注：初学者可先看本文第三部分，再看一、二。
举几个例子：
1.所有群以及群之间的同态映射构成一个范畴（其中，每个对象是群，两个对象之间的所有态射就是这两个群之间的所有同态映射），称为群范畴；
2.所有线性空间以及线性空间的线性映射构成一个范畴（其中，每个对象是线性空间，两个对象减的所有态射就是这两个线性空间的所有线性映射），称为线性空间范畴；
3.所有拓扑空间以及拓扑空间的连续映射构成一个拓扑空间范畴；
4.所有微分流形以及微分流形之间的光滑映射构成一个微分流形范畴；
......
（注意：在一个范畴中，积与余积不一定存在！但若存在，则积（余积）在同构意义下唯一，此时称该范畴为积范畴（余积范畴））
例如：
1.集合范畴里的积就是通常意义下的笛卡尔积，余积是不交并；
2.群范畴和环范畴里面的积就是直积，余积是自由积；
3.模范畴里面的积就是笛卡尔积，余积是有限多对象做笛卡尔积；
4.线性空间范畴里面的积就是笛卡尔积，余积是有限多对象做笛卡尔积；
5.拓扑空间范畴里面的积就是笛卡尔积，余积是拓扑和。
积与余积的严格定义可以参考下图：
【引入】先来做个填空题：
两个____空间存在同态，那么它们对应的两个____空间存在同态。
我们可以填写如下：
两个拓扑空间存在连续映射（同胚），那么它们对应的基本群同态（同构）；
两个拓扑空间存在连续映射（同胚），那么它们对应的奇异同调群同态（同构）；
两个微分流形存在光滑映射（微分同胚），那么它们对应的deRham上同调群同态（同构）；
两个李群同态（同构），那么它们对应的李代数同态（同构）；
我们把这些关系抽象成一个更一般的形式，也就是所谓的“函子”。
【函子的定义】函子是两个范畴之间的一种映射（关系）。它把对象映射到对象，态射映射到态射。函子分为协变函子与反变函子，先给出协变函子的具体定义：
【函子的性质】函子最主要有两条性质，也就是：
1.函子把同构态射到同构态射；
这样，我们再重新看一下“引入”中的例子，把前者和后者分别当成一个范畴，那么它们之间存在一个函子。
可以说拓扑空间是几何学（广义所指，包含拓扑学）的基础。现代几何学研究的东西都是在某个特定的拓扑空间上展开的，或者说：几何学的基本对象就是拓扑空间。
拓扑学（尤其是代数拓扑）是几何学的一个分支，其最终目的是为了找一些拓扑不变量对拓扑空间进行分类。因为点集拓扑中的不变量，诸如连通性、紧致性等等这些不变量实在不够用，所以我们想通过找一些和拓扑空间有关的代数空间（有代数结构的拓扑不变量，即在拓扑空间同胚下同构），通过认识代数空间的结构来认识原来拓扑空间的性质，并在此基础上将拓扑空间进行分类。
用范畴和函子的语言来描述就是，找到一个代数空间范畴，使得拓扑空间范畴到这个代数空间范畴之间有一个函子（因为函子把拓扑空间的连续映到代数空间的同态，且把拓扑空间的同胚映到代数空间的同构）。
而我们更大的梦想是找到一个代数空间范畴，使得这个范畴到拓扑空间范畴之间有一个函子！但是找了几十年还是没有找到这样的范畴。（但在一些特定的拓扑空间中，我们确实做到了）