【中文关键词】数学方法；法律论证；司法规律；价值考量；关联性
【摘要】在推动人类知识发展的历史进程中，数学呈现出一般方法论的特征。在法律论证过程当中，运用数学知识进行推理、演算和分析，论证案件中的法律命题，形成特定的解释和判断，得出相应的结论，可以实现司法说服。数学本源于人类生活的特性决定了人类可以运用数学方法解释法律现象。运用数学方法进行法律论证，是数学作为方法论的本质展现，也是法律论证的理论升华。在司法实践中，数学方法在法律事实论证和法律适用论证当中能够发挥重要作用。但在司法当中，过度强调数学论证可能会忽视必要的价值考量，偏离法律理性和司法规律，从而导致司法不公。司法经验和法理反思两方面的研讨表明，法律论证应当谨慎对待数学方法，特别是要注重考查关联性，有效发挥数学方法的正能量。
【全文】
一、问题的由来
作为法律文化中的重要影响因子，国内有学者对法律与数学的文化关系进行过系统研究，[4]主要结论是“数学理性是西方理性精神的核心；数学对西方法律文化有着巨大的影响，西方法律文化体现了大量的数学理念，这些数学理念直接影响了法律的内容，使西方法律文化别具特色”，“数学的特性和认识功能决定了数学不可避免地会对法律文化产生影响”{2}；也有少数学者从法律解释中看到了以数学进行思维的可能性及其必要性，从而认为“数学证明中的病例排除法、例外排除法、辅助定理整合法对评判裁判者的解释是有启发的。但由于数学命题与规范命题的差异，以及法律解释自身的特殊性，数学思维在解释中的‘运用’，终究只是一个表象、一种修辞。”{3}国内学者中，研究数学如何在法律科学中应用的成果也并不罕见。[5]
在国外学者研究视野中，数学与法律关系的研究已经逐步深入到实践应用层面，比如人工智能与法领域的兴起就是数理逻辑运用的结果。[6]法律中的贝叶斯证据推理模式研究者也大有人在；运用数学方法进行案件侦查，[7]也已经成为学界大量讨论的问题，甚至如何在司法过程当中运用数学方法，也有学者撰文立说。[8]这些关于法律与数学关系的研究拓展了我们的法律知识，也从文化论层面促使我们积极面对数学理性，是法律知识研究领域拓展的重要体现。
二、数学方法的法理释义
不论是从人类的精神活动来看，还是从人类改造世界的实践活动来看，数学都发挥了十分重要的作用。特别是随着数学学科的大规模发展，研究对象发生了巨大变化，“从单变量到多变量、从低维到高维、从线性到非线性、从局部到整体、从连续到间断、从稳定到分岔、从精确到模糊等等”，{4}(P.12-13)使得数学的应用领域也逐步向深、远、广的角度发展。因此，研究如何让数学方法在具体实践中发生作用，是各学科的研究者们应该做的重要工作之一。
从历史来看，在法律论证中运用数学方法，并非一开始就容易从法理上获得认可。早些时期，它们不仅在实质运用中容易被误解，在程序决策上也难以被接受。在法律论证中最早运用数学方法的一个案例是19世纪末发生在法国的“德雷福斯案”(下文对该案有具体介绍)，但是这是一个数学方法运用得比较失败的冤案；比较成功的案例是1908年美国的“穆勒诉俄勒冈”(Mullarv.Oregon)案。该案中，原告诉讼代理人布兰代斯最早在辩论摘要书中运用了统计学知识以证明超时工作对女工所造成的人身和精神伤害。[11]布兰代斯对数学方法的运用开创了诉讼方法的新时代。从程序决策来看，法官对数学方法的运用一开始并不看好，甚至还存在一定程度的抵触。比如，如果诉讼当事人请求1000位证人就同一问题作证，那么法官是否可以通过科学的抽样方法来抽取特定样本听证？对于这个问题，一开始美国法院拒绝使用数学中的抽样方法，[12]后来法院认识到这种方法的可行性和科学性，逐步有条件地允许在司法过程当中使用抽样方法。[13]
三、数学方法契合法律论证
宏观来看，司法审判制度之所以存在，乃是因为人类不希望以专制的方式给特定的人施加违法或者犯罪带来的惩罚。人类通过中立、开放的法庭制度，通过有秩序的争辩，彰显人类的文明。在司法过程当中强调法律论证，实质就是强调通过对话和辩论，充分尊重被告人的基本权利，实现对违法犯罪行为的惩罚。这样，越是具有理性和逻辑的论证，越容易在诉讼两造进行平等的对话和交流。对于诉讼参与人而言，采用何种方法进行法律论证，实现司法说服，实际上就是司法中立性和开放性的体现。既然数学方法本身就是人类文明发展和进步的动力，也能够为司法论证提供足够的智慧支持，自然也能够成为法律论证的重要方法和材料。对于法官而言，司法也不是单向度的指示和命令，而必须是将讲法和说理结合起来，是法律生命的活生生的体现。法官通过司法裁判，不仅代表国家表明了对某种行为的立场，而且也代表国家阐述了该种行为应当/不应当受到支持的理由。法官的这种说理行为，既是与诉讼两造当事人的对话和交流，也是向社会公众所做出的一种间接交代。所以，在司法过程当运用数学方法，不是知识的独裁，而是司法理性的体现，从而将人类的理性智慧和人文情怀兼容并蓄，形成一种特有的方法论现象。
数学作为一种方法，是从细微处考察数学在法律论证当中所发挥的作用。所以，虽然有学者从文化的层面论证过法律的发展受到了数学的影响，但是这并不等于司法审判就一定会运用到数学方法进行法律论证。因此，有必要追问一下，为什么数学方法能够成为法律论证的一种方法？或者说，数学方法的哪些特质促使人们运用这种方法来回应司法中的问题？
(公式略)
四、数学方法论证的具体展开
司法审判过程是一个用证据还原案件事实，形成法律事实，最后得出法律结论的过程。在这个过程当中，提交何种证据，如何论证证据与法律结果之间的关系，如何论证法律事实的成立，如何论证法律结论，都是十分重要的法律问题。因此，诉讼当事人为了实现其诉讼目的，在可能条件下，数学方法成为论证方法(之一)；而法官为了实现司法说服，也可能运用到数学方法。
(一)法律事实证成中的数学方法
以数学方法论证法律事实，是司法论证的常见形态。证据是司法案件的中心，一切诉讼活动必须奠基于证据而展开。在司法过程当中，用什么做证据，有多少证据，关系到诉讼主张的成败。因此，在诉讼中，诉讼参与人会千方百计提供有利于诉讼主张表达的证据，数学方法由此进入了人们的论证方法视野。早在一百年前，我国著名思想家杨鸿烈在《袁枚评传》中就说：“数学与法学，可说是有清一代科学方法的总源头……数学之为科学方法，可毋庸多说；而法律的本身最是讲究条理的明析，而在审判案件应用它的时候，又最注重搜集及调查证据。”{10}(P.168-169)在人类历史上，早就有了用基础数学规范诉讼证据的法律。[20]但是，这只是数字在证据问题上的简单运用，还没有涉及到复杂的数学运算及更为复杂的数理逻辑作为诉讼证据问题。人类社会发展的进程表明，科学知识发展到一定阶段，必然会对司法有一定的影响。这也意味着，司法越发达，科学越发达，人们运用数学方法作为证据参与司法过程的可能性越大。
(二)法律适用过程中的数学方法
五、数学论证的法理反思
在法律论证过程当中，论证主要包括两个方面：一个是关于事实认定中的论证，一个是规范的论证。对于事实认定而言，概率统计等数学方法可能是必要的工具，但是对于规范论证而言，数学方法就未必如此。例如佩雷尔曼曾经区分rational和reasonable，前者的论证是convince，后者则是persuade。数学的论证是最科学的convince，但是和规范论证本身存在的交互性的说服是有差异的。所以，从普遍性上看，对司法实践中数学方法的运用还得进行方法论上的反思。
第二，用数学方法进行论证有可能偏离司法规律。司法规律是司法审判活动在长期运作过程当中呈现出来的某种客观性，是司法权运作的本质体现，比如强调公正优先，强调程序正义，强调证据客观等等。在司法过程当中过度运用数学方法，有可能使得司法规律遭到不合理的破坏。
（公式略）
为了应用该方程，芬克尔斯坦和费尔利为了简单起见，假设被告不可避免地将留下这样的痕迹，所以P(E|X)=1，他们也阐述到概率P(E|not-X)等于在嫌疑人群体中该痕迹出现的频率。换言之，他们假设在找到留有疑似被告痕迹的小刀的前提下，被告实际上没有使用小刀刺杀其女友的概率等于随机选择的人中具有与被告类似指纹的概率。[32]芬克尔斯坦和费尔利在这里所运用到贝叶斯定理并不能说明某一个重要的法律问题。也就是说，虽然数学方法证明了被告留下痕迹的概率与随机选择的凶手的概率一致，这种判断属于猜想性判断，而且判断的对象不确定，无法获得被告就是杀人凶手的确切信息。所以却伯认为这个案件运用数学方法是失败的，而且带有严重偏见。
第三，用数学方法进行论证难以进行价值考量。
司法裁判作为处理社会纠纷的一种重要模式，其一个重要的特点是掺杂了大量的价值因素。正如哈特所说：“法官成为形式主义者、机械装置或自动售货机，对法官自身而言，这种角色的错误究竟意味着什么？……显然，错误的实质在于法官对于一般条款所做的解释无视社会价值及实践效果。”[33]哈特作为规范分析法学的代表性人物，虽然主张法律与道德的分离，但是他也肯定“最低限度的自然法”，没有完全否定司法中的价值判断，而是认为司法裁判也应该注重价值考虑，从而实现社会正义。这给予我们的启示是，司法不可能是纯粹数学程序化的论证，而更多的是要有价值评判标准的参与，这是司法过程应当注重的问题。
法律论证中运用数学方法，从进路来看，虽然表现了人类对司法审判精确化的追求，但是这种精确化追求却又实在侵犯了人类在司法裁判当中的主观判断性，从而降低了司法裁判的实质科学性。可见，在法律论证中注意价值因素，实质上就是注重人性本身。美国学者库利认为在法律中过分运用数学方法，“其实是反映了那些懒得深入思考而又急想得到精确结果的人对社会世界试图作出精确的、机械控制的幼稚想法。这种想法是一种未经深思熟虑就从自然科学那里借来的错误观念。事实上，越是高级的社会或心理功能，就越不能用数字进行测量，这可能是一条普遍的真理。”{15}(P.325-326)人们越是想实现司法裁判的形式化、精确化，越难以达到其终极目的。因此，通过数字来对人类的行为进行定性，必定导致司法关于人性的外在认定与公众关于人性的自我认识发生偏离。所以，将数学方法与价值考量结合起来，才是司法裁判应当坚持的方法之道。
(责任编辑孙国栋)
【注释】作者简介：彭中礼，法学博士，法学博士后，中南大学法学院教授。
[1]如菲特丽丝说：“提出某一法律命题的人都要提供支持该命题的论述。律师向法院提交案件时，必须通过论述证立其案件。法官作出裁决，则要通过论述支持其裁决……法律命题的可接受性取决于证立的质量。法官的立场体现在其裁决中。他必须充分证立该裁决以使当事人、其他法官乃至整个法律界所接受。”[荷]伊芙琳T菲特丽丝：《法律论证原理——司法裁决之证立理论概览》，张其山等译，商务印书馆2005年版，第3页。
[2]KeithDevlinandGaryLorden,ThenumbersbehindNUMB3RS:solvingcrimewithmathematics,NewYork:Plume,p.1(2007).
[3]OliverWendellHolmes,ThePathoftheLaw,10HarvardLawReview,p.457(1897).
[4]西北政法大学何柏生对法律与数学的研究做出了重要贡献，形成对法律与数学关系研究的特定领域。参见何柏生：“数学对法律文化的影响”，载《法律科学》2000年第6期；何柏生：“法律与作为西方理性精神核心的数学理性”，载《法制与社会发展》2003年第4期；何柏生：“理性的数学化与法律的理性化”，载《中外法学》2005年第4期；何柏生：“西方法律形式合理性形成中的数学因素”，载《法制与社会发展》2007年第6期；何柏生：“数学与西方法律的形式化：以自然法为视角”，载《法律科学》2012年第2期；何柏生：“法律文化的数学解读”，载《法制资讯》2013年第2期。此外，其他作者在此方面的研究成果有：卢莉芳：“数学与法律”，载《法学杂志》1990年第6期；褚尔康：“论法律数学思想‘形式理性’与‘实质理性’之争及其意义”，载《唐山学院学报》2014年第4期；公丕祥：“数学理性的法哲学意义”，载《甘肃社会科学》2015年第6期。
[6]Seeeg.:PeterWahlgren,AutomationofLegalReasoning:AStudyonArtificialIntelligenceandLaw,KluwerLawandTaxationPublishers,1992;JaapHage,Dialecticalmodelsinartificialintelligenceandlaw,8ArtificialIntelligenceandLaw.137-172(2000).
[7]KeithDevlinandGaryLorden,ThenumbersbehindNUMB3RS:solvingcrimewithmathematics,NewYork:Plume,2007.
[8]See,eg.:JohnFarleyThorne,Mathematics,FuzzyNegligence,andtheLogicofResIpsaLoquitur,75Nw.U.L.Rev.V.147-174(1980);J.D.Jackson,ProbabilityandMathematicsinCourtFact-finding,31N.Ir.LegalQ.239-254(1980);C.R.KingstonandP.L.Kirk,theUseofStatisticsinCriminalistics,J.Crim.L.Criminology&PoliceSci.V.514，(1964):514-521;CharlesR.Kingston,ProbabilityandlegalProceedings,J.Crim.L.Criminology&PoliceSci.Vol.57，No.1，(1966):93-98;LouisJ.Braun,QuantitativeAnalysisandtheLaw:ProbabilityTheoryasaToolofEvidenceinCriminalTrials，UtahL.Rev.No.1982，(1982):41-87;DanielStripinis,ProbabilityTheoryandCircumstantialEvidence:ImplicationsfromaMathematicalAnalysis,JurimetricsJ.V.22，(1981):59-82;R.Keown,MathematicalModelsforLegalPrediction,ComputerL.J.Vol.II,(1980):829-862.
[9]郭清媛：“南昌大学原校长周文斌案将再开庭曾用概率论辩护”，载2015年9月17日财新网，最后访问日期：2015-12-10。
[10]江西省高级人民法院(2016)赣刑终33号刑事判决书。
[11]Mullarv.Oregon.208U.S.412.(1908).
[12]著名的案例是1932年美国的JamesS.Kirk&Co.v.FederalTradeCommission案。在该案中，法官拒绝了抽样听证的意见，而是逐一听取了700名妇女关于案情的证词。SeeJamesS.Kirk&Co.v.FederalTradeCommission,59F.2d179(7thCir.1932).
[13]著名的案例是1954年美国的UnitedShoeMachineryCorp.v.UnitedStates案，在这个反托拉斯案中，法官采用抽样方法选取了45名顾客作为证人。SeeUnitedShoeMachineryCorp.v.UnitedStates,347U.S.521，74S.Ct.699，98L.Ed.910(1954).
[14]Garzav.CountyofLosAngeles.918F.2d763(9thCir.)，cert.denied,111S.Ct.681(1991).关于该案例的背景及其详细解释，See,Retana,R.G.(1991).Garzav.CountyofLosAngeles.4LaRazaL.J.124(1991).
[15]甘肃省高级人民法院(2015)甘刑一终字第72号刑事附带民事裁定书。
[16]L.H.Tribe,TrialbyMathematics:PrecisionandRitualintheLegalProcess,Harv.L.Rev,1971，84(6)，pp.1330-1331.
[17]CarlH.Smith,ARecursiveIntroductiontotheTheoryofComputation,NewYork:Spring,p.1(1994).
[18]对此，英国法律史学家凯利说：“矫正正义的涵义接近我们所称的司法正义、法庭中的正义，是指让已经错的转变为正确的，恢复业已被扰动的平衡。这里的公式较为简单，是算术的而非几何的公式。法律只关心损害的性质，认为当事人出于平等地位，只询问是否一方做了不公正的事，而另一方遭受了不公正；一方是否有侵害行为，而另一方遭受了损失。因此，这里的不公平就是不平等，法官要尽量给出补偿：因为一个人受了殴打，而他人打了他，一个人遇害了，而他人杀害了他，表征痛苦和行为的界限把事实分为不均等的两份，法官的职责是通过他所施加的惩罚和赔偿，拿走罪犯的利益。”参见[爱尔兰]JM凯利：《西方法律思想简史》，王笑红译，法律出版社2002年版，第26页。
[19]乔文进：“论数学在法律中的应用”，苏州大学2004届硕士学位论文。
[20]比如在欧洲中世纪时期的某一个时段，证据被根据其表现形式划分为完全证据和不完全证据(包括半证据、1/4证据、1/8证据等)。多个不完全证据的证明力相当于一个完全证据。证据的等级性常常体现为根据提供证据的人的社会地位等级确定其提供的证据的效力，如贵族证言的效力高于平民证言、教士的证言高于俗人、基督徒的证言高于犹太人、女子的证言仅及男子的一半并且须由至少一名男子的证言加以补充等。江伟主编：《证据法学》，法律出版社1999年版，第12-14页。
[21]L.H.Tribe,TrialbyMathematics:PrecisionandRitualintheLegalProcess,Harv.L.Rev,1971，84(6)，pp.1332-1333.
[22]id.，pp.1335-1336.
[23]U.S.Dep’tofLaborv.HarrisTrustandSavingBank,No.78-OFCCP-29(Dec.22，1986).
[24]SobelV.YeshivaUniversity,839F.2d18(2dCir.1988).
[25]JohnSerrano,JR.，etal.，PlaintiffsandAppellantsv.IVYBakerPriest,asStateTreasurer,etc.，etal.，.5Cal.3d584，487P.2d1241，96Cal.Rptr.601(1971).
[26]JamesE.Durbin,EqualProtectionandPublicSchoolFinancing:Serranov.Priest,5Loy.L.A.L.Rev.162(1972)，p.162.
[27]SanAntonioIndependentSchoolDistrictv.Rodriguez,411U.S.1(1973).
[28]Geressyv.DigitalEquipmentCorp.，950F.Supp519，522(E.D.N.Y.1997).
[29]UnitedStatesv.CarrollTowingCo.，159F.2d169(2dCir.1947).
[30]L.H.Tribe,TrialbyMathematics:PrecisionandRitualintheLegalProcess,Harv.L.Rev,1971，84(6)，pp.1334-1337.
[31]id.，p.1351.
[32]L.H.Tribe,TrialbyMathematics:PrecisionandRitualintheLegalProcess,Harv.L.Rev,1971，84(6)，pp.1356-1357.
[34]Kellyv.FederalEnergyRegulatoryCon’n,96F.3d1482(D.C.Cir.1996).
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{14}[美]约翰莫纳什、劳伦斯沃克：《法律中的社会科学》何美欢译，法律出版社2007年版。
{15}[美]查尔斯霍顿库利：《社会过程》，温小良译，华夏出版社1999年版。
【期刊名称】《政法论坛》【期刊年份】2017年【期号】4
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