一直线与ΔABC的三边AB、BC、CA或它们的延长线分别相交于X，Y，Z，AXBYCZ则
梅涅劳斯定理的逆定理也成立
在ΔABC的边AB、BC、CA分别取X，Y，Z.
AXBYCZ
如果1，那么X，Y，Z三点共线。
XBYCZA
梅氏定理的逆定理常用来证明三点共线。
2.塞瓦定理常可分为边元塞瓦定理和角元塞瓦定理。边元塞瓦定理：ΔABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于点D，BDCEAF
E，F，则1.
DCEAFB
边元塞瓦定理逆定理也成立：
在ΔABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF三线相交于同一点.
塞瓦定理的逆定理常用来证明三线共点。角元塞瓦定理
BDCEAF
1.
A
F
M
E
B
D
C
如图，设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，三条线段AD、BE、CF交于一点M．则
对ΔABC与点M，有
sinBAMsinACMsinCBM
1
sinMACsinMCBsinMBAsinBMDsinMCAsinCBA
sinDMCsinACBsinAMBsinCMEsinMABsinACB
sinEMAsinBACsinBCM
对ΔMBC与点A，有
对ΔMCA与点B，有
对ΔMAB与点C，有
角元塞瓦定理的逆定理也成立。
sinAMFsinMBCsinBAC
sinFMBsinCBAsinCAM
DE
DA
CF
如图，过△ABC的三个顶点各引一条异于三角形三边的直线AD、BE、CF．若
sinBADsinACFsinCBE
1，则AD、BE、CF三线共点或互相平行。
sinDACsinFCBsinEBA
3.斯台沃特定理
ΔABC的边BC上任取一点D，若BDu，CDv，ADt，则b2uc2vtuv.
a
2
特别地，当AD是ΔABC的中线时，uv
ma
a，令ADma，则2
2b22c2a2，此即中线长公式；当AD是ΔABC的内角平分线时，2acab
由内角平分线性质：u，v，
bcbc2abc
设ADta，可得tabcp(pa)，这里p.此即角平分线公式。
bc2
如图，ΔABC中，D为线段BC上一
点，满足ADBC，取边AB上点E，边AC上点F，连DE、DF，满足EDAFDA，求证:AD、BF、CE三线共点。
G
H
如图，A1、B1、C1分别是ΔABC的边BC、CA、AB内任意一点，Ga，Gb
，Gc分别为ΔAB1C1，ΔBC1A1，ΔCA1B1的重心。求证：AGa，BGb，CGc三线共点的充要条件是AA1，BB1，CC1三线共点。
如图，P为ΔABC内一点，使得PAB100，PBA200，PCA300,PAC40.求证：ΔABC是
等腰三角形.
M、N、P分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，M1、N1、P1在ΔABC的边上，且满足MM1、NN1、PP1分别平分ΔABC的周长.证明：MM1、NN1、PP1交于同一点K.
已知直线上的三个定点依次为A、B、C，Γ为过A、C且圆心不在AC上的圆。分别过A、C两点且与圆Γ相切的直线交于点P，PB与圆Γ交于点Q.证明：AQC的平分线与AC的交点不依赖于圆Γ的选取。
已知非等边ΔABC，A、B、C的平分线分别交对边于点A、B、的中垂线与BC交于点A，BB的中垂线与AC交于点B，CC的中垂线交于点C.证明：A、B、C三点共线.
已知ΔABC的三边BC、CA、AB上各有一点D、E、F，且满足AD、BE、CF交于一点G.若ΔAGE、ΔCGE、ΔBGF的面积相等.证明：G是ΔABC的重心.
设ΔABC的边AB的中点为N，AB，D是射线AC上一点，满足CDBC，P是射线DN上一点，且与点A在边BC的同侧，满足PBCA，PC与AB交于点E，BC与DP交于点T.求表达式
BCEA
的值.TCEB
已知点B、C分别在由点A引出的两条射线上，且ABAC为一定值.求证：ΔABC的外接圆恒过不依赖于点B、C的点D(DA).
在ΔABC内部给定三点D、E、F，使得BAECAF，ABDCBF.求证：AD、BE、CF三线共点的充分必要条件是ACDBCE.在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD.在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GACEAC.
证明pascal
定理
圆内接四边形ABCDEF三组对边
AB和DE，CD和FA，
EF和BC的交点L，M，N共线.
在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明：直线AA1，BB1，CC1相交于一点.
P167三角形几个心的定理
最佳答案
一、三角形重心定理
二、三角形外心定理
三、三角形垂心定理
四、三角形内心定理
五、三角形旁心定理
有关三角形五心的诗歌
三角形五心定理
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。