1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用1O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故3O是的外心(或)若O是的外心则故4O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成，O是内心的充要条件也可以是。若O是的内心，则ACBCCP故;是的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为是向量的单位向量设与方向
2、上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2H是ABC所在平面内任一点，点H是ABC的垂心.由,同理，.故H是ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.(湖南)P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（D）A外心B内心C重心D垂心解析:由.即则所以P为的垂心.故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4G是ABC所在平面内一点，=0点G是ABC的重心.证明作图如右，图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上
3、的中线.将代入=0，得=0，故G是ABC的重心.（反之亦然（证略）例5P是ABC所在平面内任一点.G是ABC的重心.证明G是ABC的重心=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略）例6若为内一点，，则是的（）A内心B外心C垂心D重心解析：由得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。(四)将平面向量与三角形外心结合考查例7若为内一点，则是的（）A内心B外心C垂心D重心解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心，选B。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8已知向量，满
4、足条件+=0，|=|=|=1，求证P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题）证明由已知+=-，两边平方得=，同理=，|=|=|=，从而P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形P1P2P3的中心，则显然有+=0且|=|=|.即O是ABC所在平面内一点，+=0且|=|=|点O是正P1P2P3的中心.例9在ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC
5、的中点，则有：由题设可设,AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2例10若O、H分别是ABC的外心和垂心.求证.证明若ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.，.又垂心为H，AHCD，CHAD，四边形AHCD为平行四边形，故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向
6、量问题.例11设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.求证证明按重心定理G是ABC的重心按垂心定理由此可得.一、“重心”的向量风采【命题1】是所在平面上的一点，若，则是的重心如图.M图图【命题2】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】是所在平面上一点，若，则是的垂心【解析】由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图.图图【命题4】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一
7、定通过的垂心【解析】由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【命题5】已知为所在平面上的一点，且，若，则是的内心图图【解析】，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的内心，如图.【命题6】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的内心【解析】由题意得，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图.四、“外心”的向量风采【命题7】已知是所在平面上一点，若，则是的外心图图【解析】若，则，则是
8、的外心，如图。【命题7】已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图。补充练习1已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(+2),则点P一定为三角形ABC的（B）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点1.B取AB边的中点M，则，由=(+2)可得3，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.2在同一个平面上有及一点
9、满足关系式：，则为的（D）外心内心C重心D垂心2已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为的（C）外心内心C重心D垂心3已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，则P的轨迹一定通过ABC的（C）外心内心C重心D垂心4已知ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的（D）外心内心C重心D垂心5已知ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P点为三角形的（B）外心内心C重心D垂心6在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过ABC的：（
10、B）外心内心C重心D垂心7.已知非零向量与满足(+)=0且=,则ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足()=0，即角A的平分线垂直于BC，AB=AC，又=，A=，所以ABC为等边三角形，选D8.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m=19.点O是所在平面内的一点，满足，则点O是的（B）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点10.如图1，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，则。证点G是的
11、重心，知O，得O，有。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在，使得，有=，得，于是得。1、课前练习1.1已知O是ABC内的一点，若，则O是ABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心1.2在ABC中，有命题；若，则ABC为等腰三角形；若，则ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是A、B、C、D、例1、已知ABC中，有和,试判断ABC的形状。练习1、已知ABC中，B是ABC中的最大角，若，试判断ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例2、已知O是ABC所在平面内的一点，满足，则O是ABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心5、运用向量等式图
12、形化解与三角形有关的向量问题例3、已知P是ABC所在平面内的一动点，且点P满足，则动点P一定过ABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过ABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心例4、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过ABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心练习3、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足，则动点P一定过ABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且，求证：7、作业1、已知O是ABC内的一点，若，则O是ABC的A、重心B、垂心C、外心D、内心2、若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则等于A、B、0C、1D、3、已知O是ABC所在平面上的一点，A、B