不得不说，艾米大姐的德语写作是太差了点——行文显得有点随意，前后不一，而且标点符号极具误导性。与此相对，爱因斯坦的德语就好懂得多。本文有英文译文(M.A.Tavel,Invariantvariationproblems,Transporttheoryandstatisticalphysics1(3),183-207(1971))，但只是字面上随便凑合的(德译英几乎可以逐字对应)而不问数学内容与逻辑上对与不对，比如把Umformung(对方程的改造)也当成了关键词dieTransformation(变换)给译成了transformation；直接将erschpft译成exhausted，而实际上作者是在强调群的完备性。限于译者的德语与数学水平，本译文错误难免，请读者朋友参照其它文本并基于自己数学的知识认真参详。
关于此篇译文，有几点需要事先澄清。
1)ErsterIntegral,firstintegral,汉译经典力学一般将其译为第一积分。但是，firstintegral,secondintegral是指第一次积分的结果、第二次积分的结果，如果译成第一、第二积分，会让人认为是独立对象的某种排序。反正笔者当年就是这么误解的。笔者此处将之译为一次积分，希望读者会自然想到还有二次积分、三次积分。
2)本译文中，dasArgument，英文argument，我不知道怎么译，就保留原样了——不知道我国数学家是怎么处理的。对于函数y=y(x)，这个argumentx汉译成函数的变量含含糊糊也就算了。但是对于函数Φ(x-y,x2+y2-1)，变量，variables，是x和y，但是Φ的两个arguments分别是x-y和x2+y2-1。
年轻的姑娘，你、你真年轻。——《冰山上的来客》
1引言与定理表述
下面出现的所有函数应该都假设是解析的或者至少是连续且有限次可微的，且在所考察区间内是单值的。
所谓变换群，指的是这样的变换集合，对于每一个变换，集合内都有一个逆(变换)，且任意两个变换的复合都属于这个集合。群Gρ是有限连续的，如果它包含的一般变换解析地依赖于ρ个实质性参数ε(这ρ个参数不可以表示为更少参数的ρ个方程)；相应地，群G∞ρ是无限连续的，如果它的一般变换解析地，或者至少是连续且有限次可微地，依赖于ρ个实质性函数p(x)及其导数。处于这两种情形之间的，是有无穷多个参数但不依赖任意函数的群。最后，既依赖任意函数又依赖于参数的群，称为混合群3)。
设有独立变量x1,…,xn，以及依赖于这些变量的函数u1(x),…,uμ(x)。将x和u置于某个群的变换之下，则因为群变换的可逆性，变换得到的也一定包含n个独立的量y1,…,yn，而其它的则依赖于这些量，可表示为v1(y),…,vμ(y)。在变换中，u关于x的导数如u/x,2u/x2,…也可能出现4)。如果关系P(x,u,u/x,2u/x2…,)=P(y,v,v/y,2v/y2,…)成立，则此函数称为群的不变量。特别地，若存在关系
则该积分是群的不变量5)。这里积分区域为任意实的x-区间和相应的y-区间6)。
另一方面，对任意的、不一定是不变的积分I，可构造其第一阶变分δI，并按照变分计算的规则通过分部积分改写。只要假设δu及其所有出现的导数在边界上为零，其它不做假设，即得人们熟知的结果：
若f只包含u的一阶导数，在一重积分的情形下恒等式(3)等同于Heun所谓的“拉格朗日中心方程”
在n-重积分情形下，(3)式变为
而在一重积分和u的k-阶导数的情形下，(3)式变为
以及在n-重积分情形下也有一个恒等式成立。A包含δu直到(k-1)-阶的导数。拉格朗日表达ψi可通过(4)，(5)，(6)式定义的事实，是因为右式中δu的高阶导数可以通过合并消除掉，而另一方面关系式(2)得到满足，经分部积分就显然能得到上述结果。
接下来讨论两个定理：
定理I.若积分I针对群Gρ是不变的，则朗格朗日表达的ρ-个线性独立组合是散度；反过来，由此可以得出I针对群Gρ不变的结论。此定理针对有无穷多参数的极限情形下也成立。
定理II.如果积分I针对群G∞ρ是不变的，其中任意函数最多出现到σ-阶导数，则在诸拉格朗日表达式以及σ-阶导数之间存在ρ-个恒等式。逆定理也成立7)。
对于混合群，两个定理里的论断都成立，既出现依赖关系，也出现不依赖于其的散度关系【译者注：原文这句话确实很含糊。不是谁都会用母语写论文的】。
从这些恒等式转到其所属的变分问题，令ψ=08)，则在一维情形——此处散度成了全微分——定理I断言存在ρ-个一次积分，它们之间可能存在非线性依赖关系9)。在多维情形，可以得到近来经常被称为“守恒律”的散度方程；定理II断言，拉格朗日表达中的ρ-个是其它拉格朗日表达的结果。
威尔斯特拉斯的参数表达提供了定理II——不论其逆表述——的最简单例子。这里的积分因一阶齐次性，当把自变量x用任意的x的函数替代而u不变时(y=p(x),vi(y)=ui(x))，是不变的。任意的函数出现，但其导数不出现；与此对应的是著名拉格朗日表达式之间的线性关系：Σψidui/dx=0。再一个例子是物理学家的广义相对论，涉及的是所有的变换x:yi=pi(x)的群，与此同时，u(记为gμν和q)会被置于由此针对一个二次型线性微分形式之系数所诱导的变换——此变换含有任意函数p(x)的一阶导数——之下。相应地有n个关于诸拉格朗日表达及其一阶导数的依赖关系10)。
将群特别化，使得变换中不含u(x)的导数，此外变换后的自变量只依赖于x而不依赖于u，则只要将参数置于合适的变换之下，(如第5节所表明的那样)由I的不变性可得到Σψiδui的相对不变性11)以及在定理I出现的散度。进一步地可知，前述的一次积分也允许这个群。对于定理II，也有通过任意函数攒到一起的依赖关系的左侧(表达式)之相对不变性，且由此还有一个函数，其散度恒为零且允许该群。该函数在物理学家的相对论中建立起了依赖关系与能量定律之间的联系12)。最后，定理II还给出了与本文有关的希尔伯特关于广义相对论的“自己的(eigentlicher)”能量守恒律不成立的论述之群论形式证。借助这些补充说明，定理I包含所有力学中有名的关于一次积分的定理，而定理II可看作是关于广义相对论之最大限度的群论意义的推广。
2散度关系与依赖关系
设G是有限的或者无限的连续群；让恒等变换总对应参数ε以及任意函数p(x)的0值13)。一般形式的变换总可取如下形式：
这里的Δxi，Δui意味着是ε，以及p(x)及其导数，的最低次幂项，其实应该假设是线性的。以后会表明，这不会对一般性带来限制。
现在，假设积分I是针对群G的不变量，满足关系式(1)。特别地，I也是针对群G所包含的无穷小变换yi=xi+Δxi；vi(y)=ui+Δui是不变的，故此关系式(1)变为
其中第一个积分应从x-区间扩展到相应的x+Δx-区间上。这个积分，也可以借助对无穷小Δx成立的形式改造
将之转化成一个在x-区间上的积分。针对无穷小变换Δu引入变分
则由(7)式和(8)式导出
右侧恰是关于自变量和因变量同时变分的著名公式。因为积分(10)式对任意区间都满足，故积分核必为零，关于I之不变性的李微分方程变为关系式
用拉格朗日表达式加以表达，则得
这个关系对每一个不变积分I代表一个关于所有argument的恒等式，这就是要找寻的关于I的李微分方程的形式14)。
现在，仿从分部积分得到恒等式的公式，
【译者注：即关于散度的余式】
将p的导数用p自身和散度(其关于p及其导数是线性的)来替代，则得到
【译者注：这个δ上面是否有一杠呢？Noether的两种版本原文都没有，但英译者给加上了，应该有。Noether原文下面两式中求和号的指标也没有了！(-1)幂指数的位置也错了】结合(12)式，得
现在我来构造关于(15)式的n-重积分，扩展到任何区间；这样选择p(x)，其及其在(B-Γ)中出现的导数在边界上都为零。因为这关于散度的积分约化为边界积分，(15)式左侧针对任意的、但在边界上其连同足够多的导数为零的函数p(x)做相应的积分也为零。根据针对任意p(x)积分都为零的著名结论，可得ρ-个关系
这就是就I针对群G∞ρ不变性问题所要找寻的诸拉格朗日表达式及其导数之间的依赖关系。线性无关性如上所示，因为逆命题重新导回(12)式，又因为可从无穷小变换重又回归到有限群情形，关于这一点在第4节会详细解释。据此，在群为G∞ρ的情形，在无穷小变换中总有ρ-个任意变换。从(15)和(16)式可得Div(B-Γ)=0。
相对于混合群，令Δx和Δu是关于参数ε和函数p(x)线性的，因为既要令ε为零，又要令p(x)为零，则既有(13)式那样的散度关系，也有(16)式那样的依赖关系。
3有限群情形的逆命题
为了阐述逆命题，先把前述思考倒过来梳理一遍。(13)式乘上ε然后加上(12)式，利用(3)式，得到关系式
这些有限变换包含ρ-个参数a1…aρ，即tε1…tερ的组合。假设有且只有ρ-个线性独立散度关系(13)式，则进一步可得，那些有限变换，只要其不包含导数u/x，总是构成群。在相反的情形至少有一个通过李括号得到的无穷小变换不是其余ρ-个的线性组合，因为I也允许这样的变换，则会有多于ρ-个的线性独立散度关系。或者，若这些无穷小变换取
值得注意的是，若Δx与Δu也包含u的导数，有限变换可能依赖于u的无穷多导数；在这种情形下，因为(17)式积分在确定
时导向
，结果一般来说每一步都会带来u的导数数目的增加。如下即为一例：
因为散度的拉格朗日表达式恒为零，最后逆定理断言如下结果：若I允许群Gρ，则每一个同I只差一个边界积分，即关于一个散度的积分，的积分也允许拥有同样
允许无穷小变换Δu=xε，Δx=0；而对应f的无穷小变换里出现了u的导数。
，与此同时在一次积分u'=const.，u'2=const.之间存在非线性依赖关系。此处处理的是Δu与Δx不包含u的导数的基本情形18)。
4无穷群情形的逆命题
首先已表明，关于Δx与Δu的线性假设不构成限制，这是未提逆命题就从如下的事实，即群G∞ρ形式上只依赖于ρ-个任意函数，得出的结论。在非线性情形，变换的复合过程中最低阶项会相加，任意函数的数目会增多。事实上，假设
以及相应地有v=B(x,u,u/x,…;p)，则通过与z=A(y,v,v/y,…;q)的复合，对于最低阶项，得到
这里任一个与a，b不同的系数若不为零，则会出现一项
，这就不能写成某单个函数的微分商或者微分商的幂积；任意函数的数目增加了，这与假设相抵触。若所有与a，b不同的系数为零，则(一如群G∞1的情形)各按指数ν1…νρ的值第二项会是第一项的微分商，事实上会出现线性关系；或者这里任意函数的数目也增加。因为p(x)的线性，无穷小变换满足一个线性偏微分方程组；且因为群的性质是满足了的，其根据李的定义构成了一个“无穷小变换的无限群”(参见李“基础”一文第10节)。
逆定理可以有限群类似的方式得到。(16)式那样的依赖关系成立，通过与p(λ)(x)乘积而后相加，利用(14)式的调整，导向了
如在第3节那样，这又能导向Δx与Δu的确立以及I针对无穷小变换的不变性，那些变换确实线性地依赖于ρ-个函数及其到σ-阶的导数。这些无穷小变换——若不包含导数u/x——肯定构成一个群的结论，可如第3节中那样得到，否则通过更多复合会出现更多的任意函数，而根据假设只应该有ρ-个依赖关系(16)式出现；这些无穷小变换构成一个“无穷小变换的无限群”。这样的群可由某个李的“有限变换的无限群”意义下定义的最一般的无穷小变换构成(参见李“基础”一文定理VII，第391页)。每一个有限变换都会自无穷小变换通过对如下的联立系统dx/dt=Δxi，dui/dt=Δui(对于t=0,xi=y,ui=vi)积分产生出来(参见李“基础”一文第7节)19)。此过程可能需要假设任意函数p(x)依赖于t。群G确实依赖于ρ-个任何函数。若特别地假设p(x)不依赖于t。则这个依赖可解析地通过任意函数q(x)=t·p(x)表现20)。若导数u/x出现，在得出同样结论之前可能需要添加无穷小变换
接着李的例子(参见李“基础”一文第7节)不妨提及一个一般情形，可以一直进展到显示表达，其同时表明，任意函数的导出出现到σ-阶。我指的是这样的无穷小变换的集合，对应所有x-变换以及由此诱导的u变换的群。所谓诱导的u变换，Δu，因此u，只依赖于Δx中出现的任意函数。此外还假设，导数u/x,…在Δu中不出现。这样，
因为无穷小变换Δx=p(x)产生每一个x=y+g(y)，其中g(y)是任意函数，这样的变换，可以特意这样安排p(x)对t的依赖，其能产生单成员【译者注：依赖于单个参数的？】群
其在t=0时变为单位元而在t=1时过渡到所找寻的x=y+g(y)。微分(18)式，得
其中p(x,t)自g(y)由(18)式倒推出来。反过来，借助辅助条件t=0时xi=yi——借此可以确立积分——由(19)式可得到(18)式。借助(18)式，在Δu中x可由“积分常数”y和t替代，g(y)精确地只出现到σ-阶导数，此过程中需将
里的y/x用x/y表达，一般地σp/xσ用其在g/y,…,x/y,…σx/yσ中的值来代替【译者注：不明白这个durchseinenWertin中的Wert，值，是哪来的】。为了确定u，还得到方程组
其中只有t和u是变量，而g(y),…属于系数范围，这样积分得
其是精确地依赖于任意函数直到其σ-阶导数的变换。根据(18)式，恒等式存在其中g(y)=0的情形；群的性质源于所用程序提供每一个变换x=y+g(y)，其能确定u的诱导变换，群G(的元素)得以齐备。
由逆定理捎带着还给出，假设任意函数只依赖于x而不依赖于u,u/x,…并不构成限制。实际上在后一种情形，在改写的(14)式，以及(15)式，中除了p(λ)以外还出现
5关系之单独组件的不变性
将群R限制在最简单的、常处理的情形，即在变换中不允许u的导数出现，变换的独立变量只依赖于x而不依赖于u，这样可以得到公式之单个构件的不变性。首先是根据熟知的结论得到的∫…∫(Σψiδui)dx，还有Σψiδui的相对不变性22)，这里的δ可以理解为任何变分。一方面有
另一方面对于在边界为零的δu，δ(u/x),…，因为δu,δ(u/x),…的线性齐次变换，也对应在边界上为零的δv,δ(v/y),…
因为在边界上为零的δu,δ(u/x),…，有
在第三个积分中把y,v,δv用x,u,δu表达出来，令其与第一个积分相等，得到关系式∫…∫(Σχi(u,…)δui)dx=0对于在边界上为零但没有其它要求的δu成立，由此得到著名的对任意δu积分核为零的结果。关于δu的恒等关系为
，这些表明了Σψi(u,…)δui的相对不变性和∫(Σψi(u,…)δui)dx的不变性23)。
里的任意函数是这样确立的，如同它们对应类似的关于y,v的无穷小变换的群那样。用q表示将x,u变换到y,v的变换，p是用x,u表示的无穷小变换，则用y，v表示的类似无穷小变换是r=qpq-1，此处参数和任意函数r由p和q所决定。用公式表达，为
将ξ=x+Δx用ξ-Δξ替代，ξ也回到x，Δx=0；则根据表达式(20)的第一式η回到y=η-Δη；通过此一替代Δu(p)换成了
特别地，根据(12)式，可得
的相对不变性，因为关于y,u的散度关系也满足，即DivB的相对不变性。进一步地，根据(14)式和(13)式，DivΓ的相对不变性，以及同p(λ)写在一起的依赖关系之左侧的不变性，那里总是变换了的公式里任意函数p(x)(以及参数)是用r【译者注：是用下标r标识的相应的量】代替的。由此还得到Div(B-Γ)的相对不变性。这个不恒为零的方程组(B-Γ)，其散度恒为零。
从DivB的相对不变性，在一维和有限群的情形还可以得到一次积分的不变性。对应无穷小变换的参数变换，根据(20)式，是线性齐次的；因为变换的可逆性，ε关于变换后的参数ε*也是线性齐次的。如果令ψ=0，这个可逆性总成立，因为(20)式中不出现u的导数。令等式DivB(x,u,…ε)=dy/dxDiv(y,v,…ε*)中ε*的系数相等，可见d/dyB(λ)(y,v,…)关于d/dxB(λ)(x,u,…)也是线性齐次的，进而由d/dxB(λ)(x,u,…)=0或者B(λ)(x,u)=const.可得d/dyB(λ)(y,v,…)=0，或者B(λ)(y,v,…)=const.
对应群Gρ的ρ-个一次积分允许该群，因此可简化进一步的积分。最简单的例子是，f不依赖于x或者某个u，这对应无穷小变换分别为Δx=ε，Δu=0，或者Δx=0，Δu=ε。则分别有
6一个希尔伯特的论断
设积分I允许一个群G∞ρ，而Gσ是某一指定任意函数而产生的有限群，即群G∞ρ的子群。无限群G∞ρ对应依赖关系(16)式，而有限群Gσ对应散度关系(13)式；反过来，任何散度关系的存在可得出I针对某有限群的不变性，如果相应的
必然是(16)式的结果，后者也可以写成
，其中χ(λ)是拉格朗日表达式及其导数的线性组合。因为ψ在(13)式和(16)式都是以线性的方式出现，则散度关系特别地应是依赖关系(16)式的线性组合，故有
，B(λ)自身由χ，即拉格朗日表达式及其导数一起，以及散度恒为零的函数——类似第2节结尾处出现的B-Γ，Div(B-Γ)=0，且散度同时具有不变性的特征——线性地组合而成。散度关系，据其B(λ)以所阐述的方式由拉格朗日表达式及其导数构成，我称之为“非自己的”，其它的称为“自己的”。
若反过来散度关系是(16)式中依赖关系的线性组合，即是“非自己的”，因此针对群Gσ的不变性可从针对G∞ρ的不变性得到，群Gσ是群G∞ρ的子群。针对一个有限群Gσ的散度关系是“非自己的”，当且仅当群Gσ是I针对其是不变量的那个群G∞ρ的子群。
通过群的特殊化，这里可得出希尔伯特的原始论断。将“位移群”理解为有限群，yi=xi+εi，vi(y)=ui(x)，即Δxi=εi，Δui=0，
，(n=1,2,n)，被当成是能量关系，因为这个变分问题的守恒律DivB(λ)=0对应能量定律，而B(λ)对应能量分量。下列表述成立：若I允许位移群，则能量关系是“非自己的”，当且仅当I针对一个无限群是不变的，位移群是该群的子群26)。
这样的无限群的一个例子是所有x变换以及诱导的u(x)变换的群，其中只有任意函数p(x)的导数出现。位移群通过特殊化过程p(i)(x)=εi得到，但是是否用通过改变I以一个边界积分而发生的群那样的方式就给定了最一般性的那个群，仍是悬而未决的。前述那种诱导变换会如此产生，即将u置于一个“全微分形式”，即
的形式，除了dx还包括高阶导数，的系数变换之下；特别特殊化的诱导变换，其中p(x)只以一阶导数的形式出现，可通过常微分
形式的系数变换得到。人们一般只考虑这种情况。
别的这一类的群，因为对数函数项的出现不可能是系数变换，是如下这样的，