离散数学第五版课后答案【篇一：离散数学课后答案(四)】txt>4.1习题参考答案--------------------------------------------------------------------------------1、根据结合律的定义在自然数集n中任取a,b,c三数，察看(a。
b)。
c=a。
(b。
c)是否成立？可以发现只有b、c满足结合律。
晓津观点：b)满足结合律，分析如下：a)若有a,b,c∈n，则(a*b)*c=(a-b)-ca*(b*c)=a-(b-c)在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。
b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c)即得到a，b,c中最大的数。
a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。
此运算是可结合的。
c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。
d)运用同样的分析可知其不是可结合的。
--------------------------------------------------------------------------------2、d)是不封闭的。
--------------------------------------------------------------------------------其不满足交换律、满足结合律、不满足幂等律、无零元、无单位元晓津补充证明如下：(1)a*b=pa+qb+r而b*a=pb+qa+r当p,q取值不等时，二式不相等。
因此*运算不满足交换律。
(2)设a,b,c∈r则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p^2a+pab+pr+qc+r而a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r=pa+qpb+q^2c+qr+r二式不恒等，因此*运算是不满足结合律的。
习题3.71.列出关系}6|{=∈><+dcbadcbadcba且，，，，，，Z中所有有序4元组。
解}6|{=∈><+dcbadcbadcba且，，，，，，Z,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12.列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命可编辑范本题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1（10）p：小李在宿舍里.p的真值则具体情况而定，是确定的。
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
离散数学课后习题答案1.第一章习题答案1.1习题一答案1.1.1习题一.1答案根据题意，设集合A和B如下：SetAandBSetAandB在此情况下，我们可以得出以下结论：A的幂集为{{},{a},{b},{a,b}}；B的幂集为{{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}；A和B的笛卡尔积为{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}。
因此，习题一.1的答案为：A的幂集为{{},{a},{b},{a,b}}；B的幂集为{{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}；A和B的笛卡尔积为{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}。
1.1.2习题一.2答案根据题意，集合A和B如下所示：SetAandBSetAandB根据集合的定义，习题一.2要求我们判断以下命题的真假性：a)$A\\capB=\\{2,3\\}$b)$\\emptyset\\inB$c)$A\\timesB=\\{(a,2),(b,1),(b,3)\\}$d)$B\\subseteqA$接下来，我们来逐个判断这些命题的真假性。
a)首先计算集合A和B的交集：$A\\capB=\\{x\\,|\\,x\\inA\\,\\text{且}\\,x\\inB\\}=\\{2,3\\}$。
因此，命题a)为真。
b)大家都知道，空集合是任意集合的子集，因此空集合一定属于任意集合的幂集。
根据题意，$\\emptyset\\inB$，因此命题b)为真。
c)计算集合A和B的笛卡尔积：$A\\timesB=\\{(x,y)\\,|\\,x\\inA\\,\\text{且}\\,y\\inB\\}=\\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\\}$。
（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。
将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。
”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。
若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。
”这显然改变了原命题的意义。
2.2(1)d(a),(b),(c)中均符号化为xF(x)其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。
（2）在(a),(b),(c)中均符号化为xG(x)其中G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。
（3）在(a),(b),(c)中均符号化为xH(x)其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
P:天下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c)设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5)解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P：a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q：四边形ABCD的对边平行。
PQf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨Q）→R(6)解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
离散数学第五版课后习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的性质和关系。
离散数学的应用广泛，涉及计算机科学、信息科学、通信工程、运筹学等领域。
而《离散数学》第五版是离散数学领域的经典教材，它详细介绍了离散数学的基本概念、方法和应用。
在学习离散数学的过程中，课后习题是非常重要的一部分。
通过解答习题，可以巩固理论知识，培养分析问题和解决问题的能力。
然而，由于离散数学的习题种类繁多，难度不一，很多学生在自学或课后复习时会遇到一些困难。
首先，我们来看一下《离散数学第五版》课后习题的类型。
该教材的习题分为多个章节，每个章节都包含了基本概念、定理和算法的习题。
这些习题涵盖了集合论、逻辑、证明方法、图论、代数结构、计数原理等多个方面的内容。
习题的难度也有所不同，有一些是基础题，有一些是拓展题，还有一些是应用题。
通过解答这些习题，学生可以逐步提高自己的能力，掌握离散数学的核心概念和方法。
接下来，我们来讨论一下为什么提供《离散数学第五版》课后习题的答案是有意义的。
首先，课后习题的答案可以帮助学生检查自己的解答是否正确。
在学习过程中，学生可能会遇到一些难以理解或容易出错的问题，通过对比答案，可以及时发现和纠正错误，提高学习效果。
其次，答案还可以作为学生学习的参考，帮助他们理解问题的解题思路和方法。
有时候，学生可能会陷入思维定势，无法找到问题的突破口，而参考答案可以给他们一些启示和思路。
最后，答案还可以作为学生自学的辅助材料，帮助他们进行自主学习和巩固知识。
然而，提供《离散数学第五版》课后习题的答案也存在一些问题和挑战。
首先，习题的答案可能存在多种解法，因此提供一个标准答案并不容易。
不同的学生可能会有不同的思路和方法，他们的解答也可能会有所不同。
其次，习题的答案可能会涉及一些复杂的推理和证明过程，这些过程可能需要较长的篇幅来解释和讨论。
《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是4.答：（4）5.答：P，Q→P6.答：P(x)∨yR(y)7.答：x(R(x)→Q(x))8、c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))P∨(P∧(Q∨P))P∨P1(主合取范式)m0∨m1∨m2∨m3（主析取范式）d、P∨(P→(Q∨(Q→R)))解：P∨(P→(Q∨(Q→R)))P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))P∨Q∨RM0(主合取范式)m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7(主析取范式)9、b、P→(Q→R)，R→(Q→S)=>P→(Q→S)证明：（1）P附加前提（2）Q附加前提（3）P→(Q→R)前提（4）Q→R（1），（3）假言推理（5）R（2），（4）假言推理（6）R→(Q→S)前提（7）Q→S（5），（6）假言推理（8）S（2），（7）假言推理d、P→Q，Q∨R，R∧SP证明、(1)P附加前提（2）P→Q前提（3）Q（1），（2）假言推理（4）Q∨R前提(5)R（3），（4）析取三段论(6)R∧S前提（7）R（6）化简（8）R∧R矛盾（5），（7）合取所以该推理正确10.写出x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
第1章习题1.1(2)简单命题（3），（4），（5）不是命题(6)复合命题1.5p∧，其中，p：2是偶数，q：2是素数。
（1）qp→，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班（5）qq→，其中，p，q的含义同（5）（6）pq→，其中，p，q的含义同（5）（7）p1.7（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。
真值表法表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重等值演算法→)p∨∨q(rp∨（蕴含等值式）∨qp∨(r)p∨)(（结合律）p∨∨rqp1（排中律）∨rq∨（零律）1由最后一步可知，（1）为重言式。
（2）)())()((qppqqp→∧→)()(qpqp（等价等值式）由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。
第一章部分课后习题参考答案16设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)0∨(0∧1)0（2）（pr）∧(﹁q∨s)（01）∧(1∨1)0∧10.（3）（p∧q∧r）(p∧q∧﹁r)（1∧1∧1）(0∧0∧0)0(4)（r∧s）→(p∧q)（0∧1）→(1∧0)0→0117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：p:π是无理数1q:3是无理数0r:2是无理数1s:6能被2整除1t:6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
在个体域为人类集合时，应符号化为xF(x)这里，F(x):x呼吸，没有引入特性谓词。
在个体域为全总个体域时，应符号化为x(F(x)→G(x))这里，F(x):x为人，且F(x)为特性谓词。
G(x):x呼吸。
282．3因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。
2.41）对所有的x，存在着y，使得xy=0，在(a),(b)中为真命题，在(c),(d)中为假命题。
（2）存在着x对所有的y，都有x,y=0，在(a),(b)中为真命题，在(c),(d)中为假命题。
29（3）对所有x，存在着y，使得xy=1，在(a),(b)(c)中均为假命题，而在(d)中为真命题。
（4）存在着x，对所有的y，都有xy=1，在(a),(b)(c)(d)中都是假命题。
（5）对所有的x，存在着y，使得xy=x在(a),(b)(c)(d)中都是真命题。
（6）存在x，对所有的y，都有xy=x，在(a),(b)中为真命题，在(c)(d)中为假命题。
（7）对于所有的x和y，存在着z，使得xy=z，在(a),(b)中为真命题，在(c)(d)中为假命题。
2.51）取解释I1为：个体域D=R（实数集合），F(x):x为有理数，G(x):x能表示成分数，在I1下，x(F(x)→G(x))的含义为“对于叙何实数x而言，若x为有理数，则x能表示成分数”，简言之为“有理数都能表示成分数。
”在此蕴含式中，当前件F(x)为真时，后件G(x)也为真，不会出现前件为真，后件为假的情况，所以在I1下，x(F(x)→G(x))为真命题。
在在I1下，x(F(x)∧G(x))的含义为“对于任何实数x,x既为有理数，又能表示成分数。
”取x=2，则F(2)∧g(2)显然为假，所以，在I1下，x(F(x)∧G(x))为假命题.(2)取解释I2为:个体域D=N(自然数集合),F(x):x为奇数,G(x):x为偶数,在I2下,x(F(x)∧G(x))的含义为“存在自然数x,x发既为奇数，又为偶数。
”取x=2，则F(2)为假，于是F(2)→G(2)为真，这表明x(F(x)→G(x)为真命题。
分析本题说明x(F(x)→G(x))x(F(x)∧G(x)),30x(F(x)∧G(x))x(F(x)→G(x)),这里，AB表示A与B不等值，以后遇到，含义相同。
在一阶逻辑中，将命题符号化时，当引入特性谓词（如题中的F(x))之后，全称量词后往往使用联结词→而不使用∧，而存在量词后往往使用∧，而不使用→，如果用错了，会将真命题变成假命题，或者将假命题变成真命题。
2．6在解释R下各式分别化为（1）x(x<0);（2）xy(xy≥x);（3）xyz(x 2．7给定解释I为：个体域D=N（自然数集合），F(x):x为奇数，G(x):x为偶数。 （1）在解释I下，公式被解释为“如果所有的自然数不是奇数就是偶数，则所有自然数全为奇数，或所有自然数全为偶数。 ”因为蕴含式的前件为真，后件为假，所以真值为假。 （2）在I下，公式解释为“如果存在着自然数为奇数，并且存在着自然为偶数，则存在着自然数既是奇数，又是偶数。 ”由于蕴含式的前件为真，后件为假，后以真值为假。 分析本题说明全称量词对析取不满足分配律，存在量词对合取不满足分配律。 2.8令A=xy(F(x)∧G(y)→L(x,y)),在A中，无自由出现的个体变项，所以A为闭式。 给定解释I1：个体域D=N（整数集合），F(x):x为正数，G(x):x为负数，L(x,y):x>y，在I1下，A的含义为31“对于任意的整数x和y，如果x为正整数，y为负整数，则x>y。 ”这是真命题。 设解释I2：个体域D=R（R整数集合），F(x):x为有理数，G(y):y为无理数，L(x,y):x≤y，在I2下，A的含义为“对于任意的实数x和y，如果x为有理数，y为元理数，则x≥y。 ”这是假命题。 分析闭式在任何解释下不是真就是假，不可能给出解释I,使得闭式在I下真值不确定，这一点是闭式的一个重要特征。 而非封闭的公式就没有这个特征。 2.9取A1=L(f(x,y),g(x,y))和A2=x(f(x,y),x)，则A1和A2都是非土产的公式，在A1中，x,y都是自由出现的，在A2中，y是自出现的。 取解释I为，个体域D=N（N为自然数集合），f(x,y,)=x+y,g(x,y)=xyL(x,y)为x=y。 在I下，A1为x+y=xy为假，所以在I下，A1真值不确定，即在I下A2的真值也是命题。 在I下，A2为x(x+y=x),当y=0时，它为真；y≠0时为假，在I下A2的真值也不确定。 分析非闭式与闭式的显著区别是，前者可能在某些解释下，真值不确定，而后者对于任何解释真值都确定，即不是真就是假。 G(x):x长着绿色头发。 可见得“没有人长着绿色头发。 ”与“所有人都不长绿色头发。 ”是同一命题的两种不同的叙述方法。 （2）令F(x):x是北京人G(x):x去过香山。 ”可见，“有的北京人没过过香山。 ”与“并不是北京人都去过香山。 ”是同一命题不同的叙述方法。 2.12（1）xF(x)→yG(y)(F(a)∧F(b)∧F(c)→(G(b)∨G(c)).（2）xF(x)∧yG(y)xF(x)∧yG(y)（量词辖域收缩扩张等值式）(F(a)∧F(b)∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨(c)).（3）xyH(x,y)x(H(x,a)∧H(x,b)∧H(x,c)(H(a,a)∧H(a,b)∧H(x,c)∨(H(b,a)∧H(b,b)∧H(b,c)∨(H(c,a)∧H(c,b)∧H(c,c)分析在有穷个体域内消去量词时，应将量词的辖域尽量缩小，例如，在（2）中，首先将量词辖域缩小了（因为yG(y)中不含x，所以，可以缩小）。