p为真命题，q为假命题，r不是命题，因为无法判断真假。
五个联结词：
联结词的真值表：
对于条件和双向条件两个联结词：
“如果p那么q(pq)”定义的是一种蕴涵关系（即充分条件），也就是命题q包含着命题p（p是q的子集）。p不成立相当于p是一个空集，空集可被其他所有集合所包含，因此当p不成立时，“如果p那么q”永远为真，真值表对于为True。
定义：给定命题p和命题q，如果p和q在所有情况下都具有同样真假结果，那么p和q在逻辑上等价，一般用≡来表示，即p≡q。
性质：
命题逻辑的局限性：在命题逻辑中，每个陈述句是最基本的单位(即原子命题)，无法对原子命题进行分解。因此在命题逻辑中，不能表达局部与整体、一般与个别的关系。
在谓词逻辑中，将原子命题进一步细化，分解出个体、谓词和量词，来表达个体与总体的内在联系和数量关系，这就是谓词逻辑研究内容。其中，个体、谓词（predicate）和量词（quantifier）为三个核心概念。
全称量词消去(UniversalInstantiation,UI):(x)A(x)→A(y)
全称量词引入(UniversalGeneralization,UG):A(y)→(x)A(x)
存在量词消去(ExistentialInstantiation,EI):(x)A(x)→A(c)
存在量词引入(ExistentialGeneralization,EG):A(c)→(x)A(x)
前提：1)每驾飞机或者停在地面或者飞在天空；2)并非每驾飞机都飞在天空
结论：有些飞机停在地面
形式化：plane(x):x是飞机；in_ground(x):x停在地面；on_fly(x):x飞在天空
已知：
请证明：
知识图谱可视为包含多种关系的图。在图中，每个节点是一个实体（如人名、地名、事件和活动等），任意两个节点之间的边表示这两个节点之间存在的关系。一般而言，可将知识图谱中任意两个相连节点及其连接边表示成一个三元组（triplet）,即(left_node,relation,right_node)，例：(水利工程,isan,工程)。下图所示的知识图谱中，已知三峡大坝和葛洲坝为水利工程且位于同一流域，两者之间具有反调节的关系，于是知识图谱通过推理规则可以得知，同属于哥伦比亚河的达拉斯水坝和大古力水坝也具有反调节的关系。这种通过机器学习等方式对知识图谱所蕴含的关系进行挖掘的方法称为知识图谱推理。
概念：层次化组织
实体：概念的示例化描述
属性：对概念或实体的描述信息
关系：概念或实体之间的关联
推理规则：可产生语义网络中上述新的元素
在实际中，知识图谱一般可以通过标注多关系图（labeledmulti-relationalgraph）来表示，如下图就是一个知识图谱。
归纳逻辑程序设计(inductivelogicprogramming，ILP)算法，是机器学习和逻辑程序设计交叉领域的研究内容。ILP使用一阶谓词逻辑进行知识表示，通过修改和扩充逻辑表达式对现有知识归纳，完成推理任务。作为ILP的代表性方法，FOIL（FirstOrderInductiveLearner）通过序贯覆盖实现规则推理。
可利用一阶谓词来表达刻画知识图谱中节点之间存在的关系，如图中形如
Couple(x,y)是一阶谓词，Couple是图中实体之间具有的关系，x和y是谓词变量
从图中已有关系可推知David和Ann具有父女关系，但这一关系在图中初始图(无红线)中并不存在，是需要推理的目标。用数学语言描述父女的关系就是：(x)(y)(z)(Mother(z,y)∧Couple(x,z)→Father(x,y))，那么如何通过归纳学习推理得到这条规则呢？
下面用FOIL来进行推理：
FOIL算法推理手段：正例+反例+背景知识=>目标谓词
目标谓词：Father(x,y)，此例中目标谓词只有一个正例Father(David,Mike)。
反例在知识图谱中一般不会显式给出，但可从知识图谱中构造出来。如从知识图谱中已经知道Couple(David,James)成立，则Father(David,James)可作为目标谓词P的一个反例，记为Father(David,James)。只能在已知两个实体的关系且确定其关系与目标谓词相悖时，才能将这两个实体用于构建目标谓词的反例，而不能在不知两个实体是否满足目标谓词前提下将它们来构造目标谓词的反例。
背景知识：知识图谱中目标谓词以外的其他谓词实例化结果，如Sibling(Ann,Mike)。
推理思路：从一般到特殊，逐步给目标谓词添加前提约束谓词，直到所构成的推理规则不覆盖任何反例。
从一般到特殊：对目标谓词或前提约束谓词中的变量赋予具体值，如将(x)(y)(z)(Mother(z,y)∧Couple(x,z)→Father(x,y))这一推理规则所包含的目标谓词Father(x,y)中x和y分别赋值为David和Ann，进而进行推理。
FOIL中信息增益值(informationgain)：评判一个前提约束谓词引入的价值，计算公式为：
例如将Mother(x,y)作为前提约束谓词加入，可得到推理规则Mother(x,y)→Father(x,y)，在背景知识中，Mother(x,y)有两个实例Mother(James,Ann)和Mother(James,Mike)。对于Mother(James,Mike)这一实例，x=James，y=Mike，将x和y代入Father(x,y)得到Father(James,Mike)，可知在训练样本中Father(James,Mike)是一个反例。覆盖正例和反例数量分别为0和2，算出收益以为负无穷，记为NA，依次计算，发现是最优的前提约束谓词。
与FOIL算法不同，路径排序推理算法（PRA）的基本思想是将实体之间的关联路径作为特征，来学习目标关系的分类器。
路径排序算法的工作流程主要分为三步：
(1)特征抽取：生成并选择路径特征集合。生成路径的方式有随机游走（randomwalk）、广度优先搜索、深度优先搜索等。
(2)特征计算：计算每个训练样例的特征值P(s\rightarrowt;\pi_j)。该特征值可以表示从实体节点s出发，通过关系路径\pi_j到达实体节点t的概率；也可以表示为布尔值，表示实体s到实体t之间是否存在路径π_j；还可以是实体s和实体t之间路径出现频次、频率等。
(3)分类器训练：根据训练样例的特征值，为目标关系训练分类器。当训练好分类器后，即可将该分类器用于推理两个实体之间是否存在目标关系。
定义：辛普森悖论表明，在某些情况下，忽略潜在的“第三个变量”，可能会改变已有的结论，而我们常常却一无所知。从观测结果中寻找引发结果的原因、考虑数据生成的过程，由果溯因，就是因果推理。
定义：
一般而言，因果图是有向无环图(directedacyclicgraphs,DAG)。有向无环图刻画了图中所有节点之间的依赖关系。DAG可用于描述数据的生成机制。这样描述变量联合分布或者数据生成机制的模型，被称为“贝叶斯网络”（Bayesiannetwork）。对于任意的有向无环图模型，模型中d个变量的联合概率分布由每个节点与其父节点之间的条件概率P(child|parents)的乘积给出：
P(x_1,x_2,…,x_d)=\displaystyle\prod^d_{j=1}P(x_j|x_{pa(j)})，x_{pa(j)}表示节点x_j的父节点集合。
DAG可被视为因果过程：父辈节点“促成”了孩子几点的取值，如下图的联合分布例子：
可知，一个有向无环图唯一地决定了一个联合分布；反过来，一个联合分布不能唯一的决定有向无环图。反过来的结论不成立。
D-分离用于判断集合A中变量是否与集合B中变量相互独立（给定集合C），记为
当C取值固定（可观测，observed），有
可见A和B在C取值固定情况下，是条件独立的(即A如何改变不会影响B，因为被C隔断)。
可见A和B在C取值固定情况下，是条件独立的。
D-分离：对于一个DAG图，如果A、B、C是三个集合（可以是单独的节点或者是节点的集合），为了判断A和B是否是C条件独立的，在DAG图中考虑所有A和B之间的路径（不管方向）。对于其中的一条路径，如果满足以下两个条件中的任意一条，则称这条路径是阻塞（block）的：
在因果图上，若两个节点间存在一条路径将这两个节点连通，则称之为是有向连接(dconnected)的；若两个节点不是有向连接的，则称之为是有向分离(d-separated)的，即不存在这样的路径将这两个节点连通。当两个节点是有向分离时，意味着这两个节点相互独立。
干预(intervention)指的是固定(fix)系统中某个变量，然后改变系统，观察其他变量的变化。为了与自然取值时进行区分，在对X进行干预时，引入“算子”，记作(=)。因此，(=|=)表示当取值为时，=的概率；而(=|(=))表示对取值进行了干预，固定其取值为时，=的概率。用统计学的术语来说，(=|=)反映了在取值为的个体上，的总体分布；而(=|(=))反映的是如果将每一个取值都固定为时，的总体分布。
以两个学院学生身高与学生性别所形成的因果图为例：
二值变量：学院(1表示计算机学院，0表示文学院)
二值变量：身高情况(1表示高个，0表示矮个)
二值变量：性别(1表示男生，0表示女生)
1,2,3：外生变量
为了分析两个学院学生高个率是否存在差别，可对学院这一变量进行干预，即将取值固定为1或0。设(=1)和(=0)表示这两种干预，如下估计干预后产生的差别：P(Y=1|do(x=1))–P(Y=1|do(x=0))，该式子被称为“因果效应差”(causaleffectdifference)或“平均因果效应”(averagecausaleffect,ACE)，P(Y=y|do(X=x))被称为因果效应(causaleffect)。
对学院变量进行干预并固定其取值为时，可将所有指向的边均移除。因果效应P(Y=y|do(X=x))等价于引入干预的操纵图模型(manipulatedmodel)中条件概率P_m(Y=y|X=x)。
计算因果效应关键在于计算操纵概率(manipulatedprobability)P_m。P_m与正常(无干预)条件下概率在如下两个面的取值不变：
在干预图中，和是-分离的，因此是彼此独立的，即：P_m(Z=z|X=x)=P_m(Z=z)=P(Z=z)。
因果效应
,该式子被称为调整公式（adjustmentformula）。对于的每一个取值，该式计算和的条件概率并取均值，这个过程称之为“调整”（adjustingforZ）或“控制”（controllingforZ）。该式的右端只包含正常(无干预)条件下的概率，即可用正常(无干预)条件下的条件概率来计算干预后的条件概率。
下面将调整公式用于计算对取值进行干预后计算机学院/文学院高个子率，其中=1表示计算机学院，=1表示高个，=1表示表示男生，则有：