本篇将回顾初中阶段学习的代数运算，包括因式分解（factorization）和一元二次方程（quadraticequation）的内容。这些知识构成了高中数学的重要基础，是理解更复杂代数运算和解析几何的关键。高中学习中，因式分解帮助理解多项式的结构，简化复杂表达式，而一元二次方程则用于解决一系列涉及二次关系的函数、解析几何问题。
单项式（monomial）是由常数系数与变量的非负整数次幂的乘积构成的数学表达式。一个单项式可能包含一个变量或多个变量，但它们的幂次必须是非负整数。例如，$3x^2y$和$7z$是单项式，而包含其他运算（如$\sinx$、$\cosx$、$2^x$）或非整数次幂（如$\displaystylex^{1/2}=\sqrt{x}$、$\displaystylex^{-1}=\frac{1}{x}$）的表达式均不是单项式。多项式（polynomial）是由一个或多个单项式通过加法连接组成的表达式。不含变量的单项式称为常数项，如$5$或$-3$，这类单项式在表达式中不会随变量的变化而变化。
因式分解（factorization）是将一个多项式分解为多个多项式或单项式的乘积的操作，这些构成乘积的式子称为因式（factor）。因式分解是解决多项式方程的一个重要工具，因为多项式方程可以转化为“多项式=0”的形式。利用因式分解，方程可以进一步简化为多个因式的乘积等于零，而乘积为零的情况下，任一因式可以等于零，从而降低了方程求解的难度。
则这个多项式在有理数范围内是不可约的。这个判别法本身只作为扩展视野，但它揭示了因式分解与质数计算的重要关系。这使得因式分解本质上和质因数分解分不开，是一个比较困难的问题。在高中阶段一般只会涉及到简单的分解，这是基本功需要非常熟练。因式分解的方法包括：
十字相乘法（crossmethod）是一种用于分解三项式的方法。以二次三项式$ax^2+bx+c$为例，它的核心在于将$a,c$分别分解成两个数的乘积，然后交叉相乘，使得交叉相乘的结果之和等于中间项的系数$b$。未完成：原理图
它背后的依据是：\begin{equation}(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd~.\end{equation}
一般地，若$a,b,c,d$分别代表一个单项式而非常数，那么有\begin{equation}ac+(ad+bc)+bd=(a+b)(c+d)~.\end{equation}这时就可分解二次三项式以外的三项式，如：$3x^4+7x^2y+2y^2$，首项分为$3x^2,x^2$，末项分为$2y,y$，从而有$3x^2\cdot2y+x^2\cdoty=7x^2y$，因此可以分解为$(3x^2+y)(x^2+2y)$。
则：
求根公式尽管能适用于所有一元二次方程，且形式固定，但由于其计算过程繁琐，实际做题中可以根据具体情况简化操作。
对于可以快速因式分解的方程，可直接得到：$$k(x-a)(x-b)=0\Rightarrowx_1=a,x_2=b~.$$
对于$a=1$，$b=2n$为偶数的一元二次方程$x^2+2nx+c=0$，可以直接配方得到：\begin{equation}(x+n)^2=m\qquad(m=n^2-c)~.\end{equation}自然两个根就是\begin{equation}x_1=\sqrt{m}-n\qquadx_2=-\sqrt{m}-n~.\end{equation}这与求根公式的推导过程相同，但计算上利用特殊条件快一些。
韦达定理（Vieta'sformulas）是法国数学家弗朗索瓦·韦达（FranoisViète）发现的一组描述代数方程的根和方程系数的关系的公式，因此也称根与系数关系。
设方程$ax^2+bx+c=0\quad(a\neq0)$的两个根为$x_1$和$x_2$，则它们满足：$$\begin{aligned}x_1+x_2&=-\frac{b}{a}~,\\x_1x_2&=\frac{c}{a}~.\end{aligned}$$
下面给出证明：
证毕。
它的证明方式与之前完全相同，可以自己尝试做一下，在计数原理部分会有更透彻的讲解。