教师业务能力测试题库(数学)

2022版《义务教育数学课程标准》之“课程目标”测试题（含答案）

一、填空题：

1.在义务教育阶段，数学眼光主要表现为：(抽象能力)（包括数感、量感、符号意识）、(几何直观)、(空间观念)与(创新意识)。

2.通过对现实世界中基本(数量关系)与(空间形式)的观察，学生能够直观理解所学的(数学知识)及其(现实背景)。

3.在义务教育阶段，数学思维主要表现为：(运算能力)、(推理意识)或(推理能力)。

4.在义务教育阶段，数学语言主要表现为：(数据意识)或(数据观念)、(模型意识)或(模型观念)、(应用意识)。

5.核心素养具有（整体性）、（一致性）和（阶段性），在不同阶段具有不同表现。小学阶段侧重对（经验）的（感悟），初中阶段侧重对（概念）的（理解）。

6.数感主要是指对于（数与数量）、（数量关系）及（运算结果）的直观感悟。

7.量感主要是指对事物的（可测量属性）及（大小关系）的直观（感知）。

8.符号意识主要是指能够感悟符号的（数学功能）。知道符号表达的（现实意义）；能够初步运用符号表示（数量）、（关系）和（一般规律）。

9.抽象能力主要是指通过对现实世界中（数量关系）与（空间形式）的抽象，得到数学的（研究对象），形成（数学概念）、（性质）、（法则）和（方法）的能力。

10.运算能力主要是指根据（法则）和（运算律）进行正确运算的能力。

11.几何直观主要是指运用（图表描述）和（分析问题）的意识与习惯。

12.空间观念主要是指对（空间物体）或图形的形状）、大小）及（位置关系）的认识。13.推理意识主要是指对（逻辑推理过程）及其（意义）的初步感悟。

14.数据意识主要是指对（数据的意义）和（随机性）的感悟。

15.模型意识主要是指对数学模型（普适性）的初步感悟。

16.应用意识主要是指有意识地利用数学的（概念）、（原理）和（方法）解释现实世界中的（现象）与（规律），解决现实世界中的问题。

17.创新意识主要是指主动尝试从（日常生活）、（自然现象）或（科学情境）中发现和提出有意义的数学（问题）。

19.在第一学段（12年级）经历简单的数的抽象过程，认识万以内的数，能进行简单的整数四则运算，形成初步的（数感）、（符号意识）和（运算能力）。

20.在第二学段（34年级）认识自然数，经历小数和分数的形成过程，初步认识小数和分数；能进行较复杂的整数四则运算和简单的小数、分数的加减运算,理解运算律；形成（数感）、（运算能力）和初步的（推理意识）。

21.在第三学段（56年级）经历用字母表示数的过程，认识自然数的一些特征，理解小数和分数的意义；能进行小数和分数的四则运算，探索数运算的一致性;形成（符号意识）、（运算能力）、（推理意识）。

22.尺规作图是指用（无刻度直尺）和（圆规）进行作图。

二、简答题：1.核心素养的有哪三个方面（简称“三会”）的构成？

答：数学课程要培养的学生核心素养，主要包括以下三个方面：

（1）会用数学的眼光观察现实世界。

(2)会用数学的思维思考现实世界。

(3)会用数学的语言表达现实世界。

2.在小学与初中阶段的主要表现有哪些？

答：小学阶段，核心素养主要表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。

3.数学课程的总目标是什么？

答：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。学生能：

（1）获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。（“四基”）

（2）体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题。（“四能”）

（3）对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神。

第一部分：《课程标准》解读

一、填空

1、数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，面向全体学生，适应学生个体发展的需要，使得：（人人都能获得良好的数学教育），（不同的人在数学上得到不同的发展。）

2、数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的（抽象思维和推理能力），培养学生的（创新意识和实践能力），促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。

3、数学教学活动是师生（积极参与）、（交往互动）、共同发展的过程。有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现（“以人为本”）的理念，促进学生的全面发展。

4、数学课数学是研究（数量关系）和（空间形式）的科学。

5、《数学课程标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从（知识技能）、（数学思考）、（问题解决）和（情感态度）四方面具体阐述。力求通过数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）。体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用（数学的思维方式）进行思考，增强（发现和提出问题）的能力、（分析和解决问题）的能力。

6、数学是人类文化的重要组成部分，（数学素养）是现代社会每一个公民所必备的基本素养。

7、《数学课程标准》中所说的“数学的基本思想”主要指：数学（抽象）的思想、数学（推理）的思想、数学（建模）的思想。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。

8、创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己（发现和提出问题）是创新的基础；（独立思考、学会思考）是创新的核心；归纳概括得到（猜想和规律），并加以验证，是创新的重要方法。

9、统计与概率主要研究现实生活中的（数据）和客观世界中的（随机现象）。

10、“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的（知识与方法）解决实际问题，培养学生的（问题）意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。

11、学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的（过程和结果），激励学生学习和改进教师教学。在实施评价时，可以对部分学生采取（延迟评价）的方式，提供再次评价的机会，使他们看到自己的进步，树立学好数学的信心。第二学段可以采用（描述性）评价和（等级评价）评价相结合的方式。

12、（信息技术）能向学生提供并展示多种类型的资料，包括文字、声音、图像等，并能灵活选择与呈现。

13、推理一般包括（合情推理和演绎推理）。

14、“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少（一）次。

15、在第一学段计算技能评价要求中，两位数乘两位数笔算的速度要求（1-2题/分）

16、在第二学段知识技能方面要求体验从具体情境中抽象出数的过程，认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义；了解（负数）的意义。

17、教师教学应该面向全体学生，注重（启发式），提供充分的数学活动的机会。

18、（了解）的含义是从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。

19、在设计一些新知识的学习活动时，教材可以展现（“知识背景——知识形成——揭示联系”）的过程。

20、《数学课程标准》安排了数与代数、（图形与几何）（统计与概率）、（综合与实践）等四个方面的内容。

21、用数学”的含义是（用所学数学知识解决问题）

22、教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，学会（用教材教）。

23、学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和（富有个性）的过程。

24、新课程的核心理念是（一切为了每一位学生的发展）

25、根据《数学课程标准》的理念，解决问题的教学要贯穿于数学课程的全部内容中，不再单独出现（概念）的教学。

26、“三维目标”是指（知识与技能）、（过程与方法）、（情感态度与价值观）。27、《数学课程标准》中使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的（过程性目标）的动词。

28、建立成长记录是学生开展（多样评价）的一个重要方式，它能够反映出学生发展与进步的历程

29、算法多样化属于学生群体，（不要求）每名学生把各种算法都学会。

30、“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间（交往互动与共同发展）的过程。

31、数学学习的主要方式应由单纯的（记忆）、模拟和（练习）转变为（自主探索）、（合作交流）与实践创新；

33、与现行教材中主要采取的“（定义）——定理——（例题）——习题”的形式不同，《标准》提倡以“（问题情境）——（建立模型）——解释、应用与拓展”的基本模式呈现知识内容

34、内容标准应指关于（内容学习）的指标

35、内容标准是数学课程目标的进一步（具体化）。

36、新课程的“三维”课程目标是指（知识与技能）,（过程与方法）,（情感态度与价值观）。

37、改变课程内容难、（窄）、（旧）的现状，建设浅、（宽）、（新）的内容体系，是数学课程改革的主要任务之一。

38、从“标准”的角度分析内容标准，可发现以下特点：（基础性）（层次性）（发展性）（开放性）。

39、统计与概率主要研究现实生活中的（数据）和客观世界中的（随机现象）。

40、在第一学段空间与图形部分，学生将熟悉简单的（几何体）和（平面图形），感受（平移）、（旋转）、（对称现象），建立初步的（空间观念）。

41、课程标准中增加的内容主要包括：（统计与概率）的有关知识，（空间与图形）的有关内容（如位置与变换），（负数），（计算器）的初步应用等。

42、数学教师应由单纯的知识传递者转变为学生学习数学的（组织者）、（引导者）和合作者。

43、“数与代数”的内容主要包括：数与式、（方程与不等式）、（函数），它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型。

45、数学教学应该是从学生的（生活经验）和（已有知识背景）出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和把握基本的（数学知识与技能）、（数学思想和方法）。

46、课程标准抛弃了将数学学习内容分为“（数与计算）、（量与计量）、（几何初步知识）、（应用题）、（代数初步知识）、（统计初步知识）”六个方面的传统做法，将传统的数学学习内容充实、调整、更新、重组以后，构建了“（数与代数）、（空间与图形）、（统计与概率）、（实践与综合应用）”四个学习领域。

47、义务教育阶段的数学课程应实现人人学(有价值)的数学，人人都能获得(良好)的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

48、数学教学活动必须建立在学生的(认知发展水平)和已有的(知识经验)基础之上。

49、《标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从知识与技能、（数学思考）（解决问题）（情感与态度）等四个方面作出了进一步的阐述。

50、“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的（外形）（大小）(位置关系)及其变换，它是人们更好地熟悉和描述生活空间，并进行交流的重要工具。

51、数学课程的总体目标包括（图形的熟悉）、（图形的测量）、（图形与变换）（图形的位置）。

52、综合实践活动的四大领域（研究性学习）、（社区服务与社会实践）信息技术教育和劳动与技术教育。

53、“实践与综合应用”在第一学段以（实践活动）为主题，在第二学段以（综合应用）为主题。

54、与大纲所规定的内容相比，课程标准在内容的知识体系方面有（有增有删），在内容的学习要求方面有（有升有降），在内容的结构组合方面有（有分有合），在内容的表现形式方面有（有隐有显）。

55、义务教育阶段的数学课程，其基本的出发点是促进学生（全面）（持续）（和谐）地发展。

56、教材改革应有利于引导学生利用已有的（知识）和（生活经验），主动探索知识的发生与发展

57、新课程的最高宗旨和核心理念是（一切为了学生的发展）。

58、新课程倡导的学习方式是（动手实践、自主探索、合作交流）。

59、“数据统计活动初步对数据的收集、（整理）（描述）和分析过程有所体验。

60、数学是人们对（客观世界数与式、方程与不等式、函数）定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。

61、社会发展是数学课程改革的驱动力,现实生活的需求亟待新一轮数学课程改革，数学自身的变化促使数学课程改革。

62、加强教育理念的学习和理解，有助于我们树立“育人为本”的教育观，“人才多样化，人人能成材”的人才观，“德智体美全面发展”的教育质量观，“为学生的一生发展和幸福奠定基础”的教育价值观。

63、学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

64、义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。

65、有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

66、数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概况、形成理论和方法，并进行广泛应用的过程。

67、义务教育阶段数学课程的总目标，从知识与技能、数学思考、解决问题和情感与态度等四个方面作出了阐述。

68、《数学课程标准》安排了数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用等四个学习领域。

69、学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

70从一、二学段课程标准的角度来分析，“内容标准”具有基础性、层次性、发展性和开放性等特点。

71、义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。

72、通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。

73、“大众数学”必将成为我国21世纪上半叶中小学数学教育的主旋律。

74、数学教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上。

75、现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教与学的方式产生了重大的影响。

76、课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力。

77、科学计算、理论、实验共同构成当代科学研究的三大支柱。

78、有学者将数学课程的目标分为三类：第一是实用知识；第二是学科知识；第三是文化素养。

79、新课程的最高宗旨和核心理念是一切为了学生的发展。

80、与大纲所规定的内容相比，课程标准在内容的知识体系方面有有增有删，在内容的学习要求方面有有升有降，在内容的结构组合方面有有分有合，在内容的表现形式方面有有隐有显。

81、数学课程标准的“三维目标”是指知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。

82、改变课程内容难、窄、旧的现状，建设浅、宽、新的内容体系，是数学课程改革的主要任务之一。

83、课程标准中增加的内容主要包括：统计与概率的有关知识，空间与图形的有关内容（如位置与变换），负数，计算器的初步应用等。

84、数学教学应该是从学生的生活经验和已有知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。

85、小学数学学科中最庞大的领域是数与代数。

86、在第一学段空间与图形部分，学生将认识简单的几何体和平面图形，感受平移、旋转、对称现象，建立初步的空间观念。

87、内容标准应指关于内容学习的指标。

88、课程结构体现的三大特点是：均衡性、综合性、选择性。

89、数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。

90、综合实践活动的四大领域研究性学习、社区服务与社会实践、信息技术教育和劳动与技术教育。

91、数学是研究（空间形势）和（数量关系）的科学。

92、（数学）是人类文化的重要组成部分，（数学素养）是现代社会每一个公民应该具备的基本素质。作为促进学生会全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生（使学生掌握现代生活）和学习中所需要的（数学知识与技能），更要发挥数学在培养人的（理性思维）和（创新能力）方面的不可替代的作用。

93、义务教育阶段的数学课程是（培养公民素质）的基础课程。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的（抽象思维和推理能力），培养学生的（创新意识和实践能力），促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。

94、数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得（人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展）。

95、课程内容要反映社会的需要、数学的特点，（要符合学生的认知规律）。它不仅包括数学的结果，也包括（数学结果的形成过程）和（蕴涵的数学思想方法）。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生（体验与理解）、（思考与探索）。课程内容的组织要重视（过程）处理好（过程与结果的关系）；要重视（直观），处理好（处理好直观与抽象的关系）；要重视（要重视直接经验），处理好（直接经验与间接经验的关系）。课程内容的呈现应注意（层次性）和（多样性）。

96、教学活动是师生（积极参与）、（交往互动）、（共同发展）的过程。学生是(学习的主体)。

97、数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生的（学习兴趣），调动学生的（积极性），引发学生的（数学思考），鼓励学生的（创造性思维）；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的（数学学习方法）。

99、教师教学应该以学生的（认知发展水平）和（已有的经验）为基础，面向全体学生，注重（启发式）和（因材施教）。教师要发挥（主导）作用，处理好（讲授）与（自主学习）的关系，引导学生（独立思考）、（主动探索）、（合作交流），使学生理解和掌握基本的（基本的数学知识与技能），体会和运用（数学的思想与方法），获得基本的（数学活动经念）。

101、义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从四个方面加以阐述，这些目标的整体实现对学生的（全面）、（持续）、（和谐）发展有着重要的意义。

102、在数学课程中，应当注重发展学生的（数感）、（符号意识）、（空间观念）、（几何直观）、（数学分析观念）、（运算能力）、（推理能力）和（模型思想）。

103、空间观念主要是指根据物体（特征）抽象出（几何图形），根据几何图形想象出所描述的（实际物体）；想象出物体的（方位）和（相互之间）的位置关系；描述图形的（运动和变化）、依据语言的描述（画出图形）等。

104、几何直观主要是指（利用图形描述和分析问题）

105、（推理）是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括（合情推理）和（演绎推理）。演绎推理是从已有的事实包括（定义、公理、定理）等和确定的规则包括（运算的定义、法则、顺序）等出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，合情推理用于（探索思路，发现结论）；演绎（推理用于证明结论）。

106、（创新意识）的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终

108、为使每个学生都受到良好的数学教育，数学教学不仅要使学生获得数学的（知识技能），而且要把（知识技能），（数学思考、问题解决）、（情感态度）四个方面目标有机结合，整体实现课程目标。

109、有效的数学教学活动是（教师的教）与（学生学）的统一，应体现（以人为本）的理念，促进学生的全面发展。

110、评价结果的呈现应采用（定性）与（定量）相结合的方式。第一学期的评价应当以（描述性评价）为主，第二学期采用（描述性评价与等级）相结合的方式，第三学期可以采用（描述性评价与等级或100分制）相结合的方式。

111、数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用（现代信息技术），要注意（信息技术）与（课程内容的整合），注重实效。要充分考虑（信息技术）对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代（信息技术）作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。

112、在各学段中，安排了四个部分的课程内容：（“综合与实践”）内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的（活动经验），提高学生解决（现实问题）的能力。

113、《新课程标准标准》提倡以“（问题情境）——（建立模型）——解释、应用与拓展”的基本模式呈现知识内容。

114、数学学习的主要方式应由单纯的（记忆）、模仿和（训练）转变为（自主探索）、（合作交流）与实践创新。

115、从“标准”的角度分析内容标准，可发现以下特点：（基础性）（层次性）（发展性）（开放性）。

116、数学教师应由单纯的知识传递者转变为学生学习数学的（组织者）、（引导者）和合作者。

117、数学教学应该是从学生的（生活经验）和（已有知识背景）出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的（数学知识与技能）、（数学思想和方法）。

119、内容标准是数学课程目标的进一步（具体化）。内容标准应指关于（内容学习）的指标。

120、义务教育阶段的数学课程应实现人人学(有价值)的数学，人人都能获得(必需)的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

121、课程的最高宗旨和核心理念是（一切为了学生的发展）。

122、新课程倡导的学习方式是（动手实践）、（自主探索）、（合作交流）。

学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。

简答题：

1、与现行教材中主要采取的“定义——定理（公式）——例题——习题”的形式不同，《标准》提倡以什么样的基本模式呈现知识内容？

答：“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”

2、数学课程标准规定课程的总体目标包括那四部分？

答：知识与技能，数学思考，解决问题，情感与态度。

3、新课标设置了那四个领域的学习内容？

答：“数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用”

4、“空间与图形”主要涉及哪些内容？

答：“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的外形、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地熟悉和描述生活空间并进行交流的重要工具。

5、内容标准的基础性体现在哪两个方面？

答：一是内容的基础性，二是“标高”的基础性。这种基础性的“标准”，是对“人人都能获得必需的数学”的注解，也正是教学中面向全体的“标高”。

6、第二学段（4—6年级）的空间与图形部分，将学习那些知识？

答：学生将了解一些简单的几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置的方法，发展空间观念。

7、第一学段（1—3年级）中，学生将熟悉哪些常见的量？

答：（1）熟悉元角分。

（2）熟悉钟表，了解24时计时法。

（3）熟悉年、月、日。

（4）熟悉克、千克、吨等重量单位。

8、课程标准中教学要求有所降低的内容有哪些？

答：较大数目的整数、多位小数和分数的四则运算，整除、约数和倍数、素数和合数等。

9、新课标理念下的数学学习评价应怎样转变？

10.怎样培养学生的空间观念呢？

答：（1）利用学生的生活经验。

（2）学生亲自动手操作

（3）空间观念需要自主探索与合作交流的氛围

11、从“标准”的角度分析，内容标准有哪些特点？

答：基础性，层次性，发展性，开放性。

12、课程标准主要删减了哪些内容？

答：带分数的四则运算，一些繁杂的大数目计算，类型化的应用题解答知识等。

13、新课标理念下的数学学习评价应怎样转变？

14、怎样培养学生的空间观念呢？

15、怎样培养学生的统计观念呢？

答：（1）、使学生经历统计活动的全过程。

（2）、使学生在现实情境中体会统计对决策的影响。

（3）、了解统计的多种功能。

16、对于应用问题，《标准》是如何进行改革的？

答：选材强调现实性、趣味性和可探索性；题材呈现形式多样化（表格、图形、漫画、对话、文字等）；强调对信息材料的选择与判定（信息多余、信息不足……）；解决的策略多样化；问题答案可以不唯一；淡化人为编制的应用题类型及其解题分析。

17、“统计与概率”主要研究哪些内容？

答：“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象。

18、课程标准对教学要求有所提升的内容有哪些？

答：有估算、算法多样化、各类知识的应用等。

19、新课标理念下如何定位学生的角色？

答：学生要从单纯的知识的接受者转变为数学学习的主人。

20、新教材为什么要引入计算器的初步应用？

答：引入计算器用来处理复杂的计算，解决一些有现实意义的问题，探索有关的数学规律，可以免除学生做大量重复的运算，更好地发展学生的创新精神和实践能力。

21、义务教育阶段的数学学习的总体目标是什么？

通过义务教育阶段的数学学习，学生能：

(1).获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

(2).体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

(3).了解数学的价值，激发好奇心，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。

22、课程标准对解决问题的要求规定为哪四个方面？

(1)初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，发展应用意识和实践能力。

(2)获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。

(3)学会与他人合作、交流。

(4)初步形成评价与反思的意识。

23、“数感”主要表现在哪四个方面？

数感主要是指关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计、数量关系等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

24、课程标准的教学建议有哪六个方面？

(1)．数学教学活动要注重课程目标的整体实现；

(2)．重视学生在学习活动中的主体地位；

(3)．注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握；

(4)．引导学生积累数学活动经验、感悟数学思想；

25、估算有哪三大特点？如何评价估算？

①估算过程多样

②估算方法多样

③估算结果多样

评价：在上述前提下，估算没有对和错之分，但有估算结果与精确计算结果的差异大小之分。

26、可以用哪四种不同的方式确定物体所在的方向和位置？

①上下、前后、左右

②东、南、西、北、东南、西南、东北、西北

③数对

④观测点、方向、角度、距离

26．新课程为什么要提倡合作学习？

答：合作学习是指促进学生在一个小组中彼此互助，共同完成学习任务，并以小组总体表现为奖励依据的教学理论与策略体系。小组合作学习的优势有：（1）有利于增进学生之间的合作精神；（2）有利于激发学生的学习动机；（3）有利于建立和谐平等的师生关系；（4）有利于形成正确的评价，培养良好的品质；（5）有利于课程目标的实现。

27、数学课程标准所制定的总目标是什么？

（1）获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

（2）体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

（3）了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。

28、总目标从以下四个方面具体阐述：

①知识技能

经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。

经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。

经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能。

参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验。

②数学思考

建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。

体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。

在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。

学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

③问题解决

初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。

学会与他人合作交流。初步形成评价与反思的意识。

④情感态度

积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。体会数学的特点，了解数学的价值。养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。

总目标的这四个方面，不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。在课程设计和教学活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目标。这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义。数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。

29、教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好地环境和条件，那么教师的引导作用主要体现在哪些方面？

教师的“组织”作用主要体现在两个方面：第一，教师应当准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案；第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控、努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动。

30、教学中应该注意的几个关系是什么？

（1）“预设”与“生成”的关系

教学方案是教师对教学过程的“预设”，教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和再创造。理解和钻研教材，应以本标准为依据，把握好教材的编写意图和教学内容的教育价值；对教材的再创造，集中表现在：能根据所教班级学生的实际情况，选择贴切的教学素材和教学流程，准确地体现基本理念和内容标准规定的要求。

实施教学方案，是把“预设”转化为实际的教学活动。在这个过程中，师生双方的互动往往会“生成”一些新的教学资源，这就需要教师能够及时把握，因势利导，适时调整预案，使教学活动收到更好的效果。

在教学活动中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平；问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平。

（3）合情推理与演绎推理的关系

推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。

推理包括合情推理和演绎推理。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。

（4）使用现代信息技术与教学手段多样化的关系

积极开发和有效利用各种课程资源，合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的整合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。有条件的地区，教学中要尽可能地使用计算器、计算机以及有关软件；暂时没有这种条件的地区，一方面要积极创造条件改善教学设施，另一方面广大教师应努力自制教具以弥补教学设施的不足。

在学生理解并能正确应用公式、法则进行计算的基础上，鼓励学生用计算器完成较为繁杂的计算。课堂教学、课外作业、实践活动中，应当根据内容标准的要求，允许学生使用计算器，还应当鼓励学生用计算器进行探索规律等活动（参见例28，例51）。

现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正价值在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果。例如，利用计算机展示函数图像、几何图形的运动变化过程；从数据库中获得数据，绘制合适的统计图表；利用计算机的随机模拟结果，引导学生更好地理解随机事件以及随机事件发生的概率；等等。在应用现代信息技术的同时，教师还应注重课堂教学的板书设计。必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络。

论述题

结合自己的教学实践，简要谈谈如何让学生在现实情境中体验和理解数学。

数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣，以及学好数学的愿望。

教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者；要根据学生的具体情况，对教材进行再加工，有创造地设计教学过程；要正确认识学生个体差异，因材施教，使每个学生都在原有的基础上得到发展；要让学生获得成功的体验，树立学好数学的自信心。

(一)让学生在生动具体的情境中学习数学

在本学段的教学中，教师应充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学教学活动，如运用讲故事、做游戏、直观演示、模拟表演等，激发学生的学习兴趣，让学生在生动具体的情境中理解和认识数学知识。(二)引导学生独立思考与合作交流

动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。在本学段的教学中，教师要让学生在具体的操作活动中进行独立思考，鼓励学生发表自己的意见，并与同伴进行交流。教师应提供适当的帮助和指导，善于选择学生中有价值的问题或意见，引导学生开展讨论，以寻找问题的答案。

(三)加强估算，鼓励算法多样化

估算在日常生活中有着十分广泛的应用，在本学段教学中，教师要不失时机地培养学生的估算意识和初步的估算技能。

(四)培养学生初步的应用意识和解决问题的能力在本学段的教学中，教师应该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题，了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性。

第三部分：《学讲计划》专项知识

一、填空题：（每空1分，共40分）

1.“学进去讲出来教学方式”简称学讲方式；《“学进去讲出来教学方式”行动计划》简称学讲计划。

2.“学讲方式”确立了学生学习主体地位，促进了教师教学观念和教学行为的变化，给课堂教学带来了前所未有的活力与效益。

3.徐州市“学讲方式”课堂教学达标评价表中主要从学生学习活动和教师导学活动两个方面，自主、合作、展示、参与、效果、内容、环节、指导八个维度对课堂教学进行评价。

4.《学讲计划》是一个推动教学方式转变的行动计划，它以推行“学讲方式”为导向，以改变学与教的方式、改善课堂教学生态为主旨，以落实学生学习主体地位为核心，以“行政推动，全面推进，科学推广”为行动策略，在全市范围内推进“学讲方式”运用，推进课堂教学有效性提高，实现课堂教学质量新突破。

5.“学讲方式”主要是通过教师指导下的全程自主学习，落实学生学习的主体地位，以自主学、合作学、质疑学、讲出来、教别人的学习方式，边学边讲，调动学生主动、自主学习的积极性，提高学生课堂教学的参与度、问题探讨的深度，着力培训学习方法，养成学习习惯，提高学生的自学能力，从而提高教学的有效性和质量。

6.作为教学方式，学进去是指通过自主学、合作学、质疑学等学习方式，调动学的积极性，强调的是达成“学进去”的结果；讲出来是指通过同伴互助的“做、讲、练、教”方式，用所学的知识帮助同伴解疑释难、解决问题，强调的是在“讲出来”、“教别人”的过程中，达成复习、强化所学知识，发展自身综合素质的结果。

7.从教学过程看，学进去是讲出来的基础，讲出来是学进去的动机和结果。

二、简答题：（5题，共28分）

8.简述《学讲计划》在当前学校推进教育改革过程中的重要作用？（5分）

学讲计划能改善课堂教学生态，使学生学习变得更加主动、有趣、活泼，使教学活动更有目的性、针对性、实效性，使老师的教和学生的学变得更有成效、更具教育和生活的意义，实现教育本质的回归。

9.实施“学讲方式”，要求树立哪四个理念？（8分）

一是树立“天赋”潜能的理念，教学要十分注重激发学生业已具备的好奇心，挖掘和发展学

10.简述“学讲方式”的基本概念？（5分）

“学讲方式”是以学生自主学习作为主要学习方式，以合作学习作为主要教学组织形式，以“学进去”、“讲出来”作为学生学习方式的导向和学习目标达成的基本要求的课堂教学方式。“学讲方式”主要是通过教师指导下的全程自主学习，落实学生学习的主体地位，以自主学、合作学、质疑学、“讲出来”、“教别人”的学习方式，边学边讲，调动学生主动、自主学习的积极性，提高学生课堂教学的参与度、问题探讨的深度，着力培训学习方法，养成学习习惯，提高学生的自学能力，从而提高教学的有效性和质量。

作为教学方式，“学进去”是指通过自主学、合作学、质疑学等学习方式，调动学的积极性，强调的是达成“学进去”的结果；“讲出来”是指通过同伴互助的“做、讲、练、教”方式，用所学的知识帮助同伴解疑释难、解决问题，强调的是在“讲出来”、“教别人”的过程中，达成复习、强化所学知识，发展自身综合素质的结果。

从教学过程看，“学进去”是“讲出来”的基础，“讲出来”是“学进去”的动机和结果。

11.简述“学讲方式”的理论依据？（5分）

（1）罗杰斯“学生中心”教育思想。“学讲方式”充分落实学生的主体地位，以遵循学生认知和发展规律的“学进去”、“讲出来”作为学生的学习要求和学习方式，用尊重、理解学生的学习方式来调动学生主动学习的积极性。

（2）马斯洛的需要层次理论。“学讲方式”强调以学生的好奇心和求知欲得到满足来维持学生学习的持久动力；以学生“学进去”的成就感和“教别人”的表现欲，满足学生认知及自我实现的需要。

（6）知识分类理论。“学讲方式”强调把“讲出来”“教别人”作为课堂教学的重要方式和环节，使程序性、策略性知识的学习成为一种课堂教学的自觉。

（7）“教学做合一”教育思想。“学讲方式”强调以帮助同伴“做、讲、练、教”为主要内容的“讲出来”、“教别人”，使学生在教别人的过程中不断反刍内化自己所学的知识，真正达成学生自己的“教学相长”。

（8）关于遗忘规律的理论。“学讲方式”强调的课堂教学中及时的自主复习、小组合作中

的互讲强化、当堂的生生互相检测巩固都是极为有效而必要的教学手段。

（9）学习金字塔理论。“学讲方式”强调以学生准确、生动地“讲出来”的要求，激励学生经过独立思考，对知识进行加工、重组，实现对知识的巩固和深化。

（10）学习兴趣激发的理论。“学讲方式”强调通过学习方式的多样、学习过程的竞争与合作、学习成就的不断达成，激发学生的学习兴趣，调动自主学习的积极性，形成积极深刻的思维状态，改变课堂教学中被动沉闷、学习效益低下的状况。

12.简述“学讲方式”运用需要遵循的主要原则？（5分）

(1)掌握学情原则。着力创新学情调研方式，增强教学的针对性、预见性，加强课堂师生活动的策划和设计。

(2)自主学习原则。着力促进信息技术与教学的深度融合，通过开发微课、学案等“学习资源包”，借助“翻转课堂”等教学方式，为学生创设泛在学习的条件，激发学生“学进去”的积极性，促进学生自主学习，实现课内外学习的有机整合。

(3)合作学习原则。着力在课堂教学中落实个别辅导和小组合作学习。在分组方式、组内分工、研讨程序和方式、研讨成果汇报展示，组内激励和组际竞赛等问题上开展深度研究，形成富有本校特色的小组合作教学方式。

(4)学生“教”学原则。着力学习实践“教学做合一”的教育思想以及“学习金字塔”理论，课堂教学中加强对学生学习积极性的调动，鼓励和支持学生在课堂中、小组内、黑板前、白板上“讲出来”、“教别人”，促进学生深度学习。

(5)当堂巩固原则。运用“遗忘曲线”和“记忆规律”，在课堂上加强记忆方法的训练，适时复习，不断强化，并通过当堂检测诊断学习效果。

(6)指导学法原则。注重学习策略和学习方法的指导，根据不同学段、不同学科特点，系统地指导学生掌握科学的学习方法，注重学习习惯培养，形成学生个性化的较为稳定的行为模式和学习风格。

三、论述题：（3题，共32分）

13.请从教学设计、教学环节、教学行为等方面综合论述“学讲方式”的操作要点？（12分）

⑴教学设计：“以学定教”，在充分掌握学情的基础上设计课堂上讨论的问题、学习程序、环节，以及生生互动、师生互动的教学活动；要设计符合学生知识基础的学习任务，提供有难度、有梯度、有情境的学习资源；要对自主学习目标、内容、程序、方法及评价提出明确的指导意见，根据学习基础，对学生分类提出不同层次的学习要求；教师要依据课程目标和学情，深加工教材，创造性地使用教材。

⑵教学环节：课堂教学的基本环节一般为：“自主先学、小组讨论、交流展示、质疑拓展、检测反馈、小结反思”。基本环节不是固定不变的流程、模式，教师可以根据不同学段、学科、课型自主变通、组合形成教学流程。

“小组讨论”：是贯穿课堂教学过程的教学组织形式。通过“兵教兵”实现“一对一”的教学。在自学的基础上，通过小组合作讨论解决生生交互可以解决的问题。

“交流展示”：是固化学习成果的重要环节。可以借助黑板、投影等诸媒体，由学生报告学习成果，引导其他学生整理学习内容，理清问题解决思路，培养学生观点概括、问题表述和问题解决以及表达、交流等综合能力。

“质疑拓展”：是深化学习的环节。在小组研讨的基础上，把共性的问题、组内尚未解决的问题、需要拓展探究的问题，通过、互教互议教师指导、组际竞赛等方式，进一步加以解决，发展学生推理性、批判性思维。

“检测反馈”：是评价、反馈、矫正的环节。通过提问、观察、测试等手段，评估学生的学习进展和学习成就，给学生提供明确的反馈，指导学生查漏补缺，提高当堂目标达成度。“小结反思”：是建立知识联系，领悟学习成果的环节。引导学生概括、小结学习内容，绘制知识结构图、思维导图，领悟学习方法、思维模式，增强学习习惯养成的自觉性。

（3）教学行为：“五学”与“五步”。

①学生行为的“五学”。学生要变被动学习者为主动学习者，变知识的接受者为知识的探索者，不仅学会，还要会学、乐学，真正能够“学进去”、“讲出来”。对应上述各个教学环节，学生全程自主学习体现在“五学”的学习要求上，即“自学、互学、问学、'教’学、悟学”。自学：在教师指导下的课前预习、课中的自主学习。

互学：以“小组讨论”、“交流展示”为学习形式，通过生生互助解决学习中的问题。问学：以提问、质疑的方式，探讨学习问题，拓展学习内容，达成举一反三。

“教”学：以“讲出来”、“教别人”的方式，深化和巩固学习成果。

悟学：以自主总结、交流体会的形式，感悟学习成果。

②教师行为的“五步”。教师要变课堂教学的“主宰者”为学习活动的指导者、组织者、协助者。教师对教学的主导作用主要体现在对学情的掌握、对教学的设计、对学习活动的组织和对深化学习问题适当点拨、有针对性地指导上。

教师要做“站在学生后面的”参与者，要有目的、有计划地逐渐从讲台上“走下来”，要更多地“参与”到小组学习中，驻足在学生的课桌旁。要强调教学方式转变中“生进师退”、“学进教退”的理念，具体体现在“五步”的要求上。

“让一步”：在指导学习预习时，不要“嚼烂再喂”，要“让一步”空间，由学生自主发现、感知，提出问题；

“慢一步”：在解决学生预习中的问题、学习中的基本问题时，不要忙于指出问题、给出答案，要“慢一步”挑明，给小组合作、交流展示留下“讲出来”的“话题”；

“退一步”：在交流展示、质疑拓展中，不要变成“教师秀”，要“退一步”，把黑板和讲台还给学生，让学生自己“讲出来”；

“停一步”：在组织课堂教学的过程中，不要在教室中盲目走动，要“停一步”，在需要帮助和指导的学生课桌旁驻足观察，发现问题，“一对一”教学；

14.你学习《中国教育报》2014年1月6日登载的《把学习主动权还给孩子》一文吗？你如何看待“因教致困”问题，怎样真正把学习自主权还给孩子？（10分）

一、在学习内容上，给学生留有探索的余地

数学课的课堂教学最容易上成“闷课”，就是教师平铺直叙，照本宣科，学生“昏昏然”情绪处于低谷，所以在课堂教学中，学生自己能学会的教师就不要讲，让学生自己讨论解决，教师集中精力引导学生掌握重点，难点知识，大量的问题还要靠学生在练习的过程中自己解决，教师做到“举一”精神，引导学生“反三”自学、自练，由此及彼，触类旁通。这样把探索的机会让给学生，学生就不可能昏昏欲睡，既学到了应有的基础知识，又培养了学生自主学习的能力。

三．在教学方法上，应为学生积极思考，自主学习创造条件

俗话说，教学有法，教无定法，贵在得法。在教学中，教师应采取灵活多样的方法，引导学生积极参与，自觉主动地学习。教师要把讲课的过程变成引导学生主动探索知识的过程，只有让学生真正成为学习的主人，才能发挥学生主人公的责任感。为此，应该做到：变“灌”为“导”，这是教师教学观念的根本转变，教师要围绕“导”字，注重师生、生生互动，变“单一”为多种教学手段综合应用。教师应在“一支粉笔、一块黑板、一本书”以外多下功夫，如配用图片、小黑板、录音机、多媒体、投影等教学手段，优化知识的呈现方式。变单纯研究教材为研究教材与研究学生相结合，树立正确的学生观。教学要紧密联系学生的心理特点，切合学生的知识水平，贴近学生的思想动态，使学生乐于学，学得好。

数学教师专业基础知识--小学部分

1、长方形的周长=（长+宽）×2C=（a+b）×2

2、正方形的周长=边长×4C=4a

3、长方形的面积=长×宽S=ab

4、正方形的面积=边长×边长S=a。a=a

5、三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2

6、平行四边形的面积=底×高S=ah

7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2S=（a＋b）h÷2

8、直径=半径×2d=2r半径=直径÷2r=d÷2

9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2c=πd=2πr

10、圆的面积=圆周率×半径×半径？=πr

11、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2

12、长方体的体积=长×宽×高V=abh

13、正方体的表面积=棱长×棱长×6S=6a

14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a。a。a=a

15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高S=ch

16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

S=2πr+2πrh=2π（d÷2）+2π（d÷2）h=2π（C÷2÷π）+Ch

17、圆柱的体积=底面积×高V=Sh

V=πrh=π（d÷2）h=π（C÷2÷π）h

18、圆锥的体积=底面积×高÷3

V=Sh÷3=πrh÷3=π（d÷2）h÷3=π（C÷2÷π）h÷3

19、长方体（正方体、圆柱体）的体

1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数

2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数

4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价

6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数

7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数

8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数

9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数

小学数学图形计算公式

1、正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a

2、正方体V：体积a：棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a

3、长方形

C周长S面积a边长

周长=（长+宽）×2

C=2（a+b）

面积=长×宽

S=ab

4、长方体

V：体积s：面积a：长b：宽h：高

（1）表面积（长×宽+长×高+宽×高）×2

S=2（ab+ah+bh）

（2）体积=长×宽×高

V=abh

5三角形

s面积a底h高

面积=底×高÷2

s=ah÷2

三角形高=面积×2÷底

三角形底=面积×2÷高

6平行四边形

面积=底×高

s=ah

7梯形

s面积a上底b下底h高

面积=（上底+下底）×高÷2

s=（a+b）×h÷2

8圆形

S面积C周长∏d=直径r=半径

（1）周长=直径×∏=2×∏×半径

C=∏d=2∏r

（2）面积=半径×半径×∏

9圆柱体

v：体积h：高s；底面积r：底面半径c：底面周长

（1）侧面积=底面周长×高

（2）表面积=侧面积+底面积×2

（3）体积=底面积×高

（4）体积＝侧面积÷2×半径

10圆锥体

v：体积h：高s；底面积r：底面半径

体积=底面积×高÷3

总数÷总份数＝平均数

和差问题

（和＋差）÷2＝大数

（和－差）÷2＝小数

和倍问题

和÷（倍数－1）＝小数

小数×倍数＝大数

（或者和－小数＝大数）

差倍问题

差÷（倍数－1）＝小数

（或小数＋差＝大数）

植树问题

1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：

⑴如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：

株数＝段数＋1＝全长÷株距－1

全长＝株距×（株数－1）

株距＝全长÷（株数－1）

⑵如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么：

株数＝段数－1＝全长÷株距－1

全长＝株距×（株数＋1）

株距＝全长÷（株数＋1）

2封闭线路上的植树问题的数量关系如下

盈亏问题

（盈＋亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数

（大盈－小盈）÷两次分配量之差＝参加分配的份数

（大亏－小亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数

相遇问题

追及问题

流水问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

静水速度＝（顺流速度＋逆流速度）÷2

水流速度＝（顺流速度－逆流速度）÷2

浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

利润与折扣问题

利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝（售出价÷成本－1）×100%

涨跌金额＝本金×涨跌百分比

折扣＝实际售价÷原售价×100%（折扣＜1）

1世纪=100年1年=12月

大月（31天）有：1\3\5\7\8\10\12月

小月（30天）的有：4\6\9\11月

平年2月28天，闰年2月29天

平年全年365天，闰年全年366天

1日=24小时1时=60分

1分=60秒1时=3600秒积=底面积×高V=Sh

第一部分：概念

1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。

2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。

3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。

4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。

5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。

如：（2+4）×5＝2×5+4×5

6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。O除以任何不是O的数都得O。

简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。

7、什么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。

等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。

8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。

9、什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。

学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。

10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。

11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。

异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。

13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。

14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。

15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。

16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。

17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。

18、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。

19、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数

（0除外），分数的大小不变。

20、一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。

21、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。

22、什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2÷5或3：6或1/3

比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。

23、什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如3：6＝9：18

24、比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。

25、解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。如3：χ＝9：18

28、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。

29、把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100％就行了。

30、把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

31、把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。其实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以100％就行了。

32、把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

33、要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。

34、最大公约数：几个数都能被同一个数一次性整除，这个数就叫做这几个数的最大公约数。（或几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做最大公约数。）

35、互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。

36、最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

37、通分：把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。（通分用最小公倍数）

38、约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。（约分用最大公约数）

39、最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。

40、分数计算到最后，得数必须化成最简分数。

41、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，即能用2进行

42、约分。个位上是0或者5的数，都能被5整除，即能用5进行约分。在约分时应注意利用。

43、偶数和奇数：能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。

44、质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。

45、合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。1不是质数，也不是合数。

47、利率：利息与本金的比值叫做利率。一年的利息与本金的比值叫做年利率。一月的利息与本金的比值叫做月利率。

48、自然数：用来表示物体个数的整数，叫做自然数。0也是自然数。

49、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。如3。141414

50、不循环小数：一个小数，从小数部分起，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做不循环小数。如圆周率：3。141592654

51、无限不循环小数：一个小数，从小数部分起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限不循环小数。如3。141592654……

52、什么叫代数？代数就是用字母代替数。

53、什么叫代数式？用字母表示的式子叫做代数式。如：3x=ab+c

第二部分：定义定理

一、算术方面

1．加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。

2．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第

三个数相加，和不变。

3．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。

4．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。

5．乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝2×5+4×5。

6．除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。0除以任何不是0的数都得0。

7．等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。

8．方程式：含有未知数的等式叫方程式。

9．一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。

10．分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数，叫做分数。

11．分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

12．分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。

13．分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。

14．分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。

15．分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。

16．真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。

17．假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。

18．带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。

19．分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。

20．一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。

21．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。

第三部分：几何体

1。正方形

正方形的周长=边长×4公式：C=4a

正方形的面积＝边长×边长公式：S=a×a

正方体的体积＝边长×边长×边长公式：V=a×a×a

2。正方形

长方形的周长=（长+宽）×2公式：C=（a+b）×2

长方形的面积=长×宽公式：S=a×b

长方体的体积＝长×宽×高公式：V=a×b×h

3。三角形

三角形的面积＝底×高÷2。公式：S=a×h÷2

4。平行四边形

平行四边形的面积＝底×高公式：S=a×h

5。梯形

梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2公式：S=（a+b）h÷2

6。圆

直径=半径×2公式：d=2r

半径=直径÷2公式：r=d÷2

圆的周长=圆周率×直径公式：c=πd=2πr

圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πrr

7。圆柱

圆柱的侧面积=底面的周长×高。公式：S=ch=πdh＝2πrh

圆柱的表面积=底面的周长×高+两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2

圆柱的总体积=底面积×高。公式：V=Sh

8。圆锥

圆锥的总体积＝底面积×高×1/3公式：V=1/3Sh

三角形内角和＝180度。

平行线：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线

垂直：两条直线相交成直角，像这样的两条直线，

我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

第四部分：计算公式

数量关系式：

和差问题的公式

植树问题：

浓度问题：

利润与折扣问题：

面积，体积换算

（1）1公里＝1千米1千米＝1000米1米＝10分米1分米＝10厘米1厘米＝10毫米

（2）1平方米＝100平方分米1平方分米＝100平方厘米1平方厘米＝100平方毫米

（3）1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方厘米＝1000立方毫米

（4）1公顷＝10000平方米1亩＝666。666平方米

（5）1升＝1立方分米＝1000毫升1毫升＝1立方厘米

重量换算：

1吨=1000千克

1千克=1000克

1千克=1公斤

1分=60秒1时=3600秒

数学教师专业基础知识--初中部分

一、基本知识

㈠、数与代数A、数与式：

1、有理数

有理数：Ⅰ、整数→正整数/0/负整数

Ⅱ、分数→正分数/负分数

数轴：Ⅰ、画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。Ⅱ、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。Ⅲ、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。Ⅳ、数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

绝对值：Ⅰ、在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。Ⅱ、正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算：

加法：Ⅰ、同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。Ⅱ、异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。Ⅲ、一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：Ⅰ、两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。Ⅱ、任何数与0相乘得0。Ⅲ、乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：Ⅰ、除以一个数等于乘以一个数的倒数。Ⅱ、0不能作除数。

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。

混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

2、实数

无理数：无限不循环小数叫无理数

平方根：Ⅰ、如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。Ⅱ、如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。Ⅲ、一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。Ⅳ、求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。

立方根：Ⅰ、如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。Ⅱ、正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。Ⅲ、求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。

实数：Ⅰ、实数分有理数和无理数。Ⅱ、在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。Ⅲ、每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。

3、代数式

代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。

合并同类项：Ⅰ、所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。Ⅱ、把同类项合并成一项就叫做合并同类项。Ⅲ、在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

4、整式与分式

整式：Ⅰ、数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。Ⅱ、一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。Ⅲ、一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。

整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

幂的运算：AM+AN=A（M+N）

（AM）N=AMN

（A/B）N=AN/BN除法一样。

整式的乘法：Ⅰ、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。Ⅱ、单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。Ⅲ、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

公式两条：平方差公式/完全平方公式

整式的除法：Ⅰ、单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。Ⅱ、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。

分式：Ⅰ、整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。Ⅱ、分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式的运算：

乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。

加减法：Ⅰ、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。Ⅱ、异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。

分式方程：Ⅰ、分母中含有未知数的方程叫分式方程。Ⅱ、使方程的分母为0的解称为原方程的增根。

B、方程与不等式

1、方程与方程组

一元一次方程：Ⅰ、在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。Ⅱ、等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程

1）一元二次方程的二次函数的关系

大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了

2）一元二次方程的解法

大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解

(1）配方法

利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解

(2)分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解

(3)公式法

这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a

3）解一元二次方程的步骤：

（1）配方法的步骤：

先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

(2)分解因式法的步骤：

把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4）韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a

也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

5）一元一次方程根的情况

利用根的判别式去了解，根的判别式可在书面上可以写为“△”，读作“diaota”，而△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：

I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根）

2、不等式与不等式组

不等式：Ⅰ、用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。Ⅱ、不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。Ⅲ、不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。Ⅳ、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：Ⅰ、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。Ⅱ、一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。Ⅲ、求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：Ⅰ、关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。Ⅱ、一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。Ⅲ、求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：

在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。

在不等式中，如果加上同一个数（或加上一个正数），不等式符号不改向；例如：A>B,A+C>B+C

在不等式中，如果减去同一个数（或加上一个负数），不等式符号不改向；例如：A>B，A-C>B-C

在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：A>B，A*C>B*C（C>0）

在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向；例如：A>B，A*C

如果不等式乘以0，那么不等号改为等号

所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；

3、函数

变量：因变量，自变量。

在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。

一次函数：Ⅰ、若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B（B为常数，K不等于0）的形式，则称Y是X的一次函数。Ⅱ、当B=0时，称Y是X的正比例函数。

一次函数的图象：Ⅰ、把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。Ⅱ、正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。Ⅲ、在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限；当K〈0，B〉0时，则经124象限；当K〉0，B〈0时，则经134象限；当K〉0，B〉0时，则经123象限。Ⅳ、当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，Y的值随X值的增大而减少。

㈡空间与图形

A、图形的认识

1、点，线，面

点，线，面：Ⅰ、图形是由点，线，面构成的。Ⅱ、面与面相交得线，线与线相交得点。Ⅲ、点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：Ⅰ、在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。Ⅱ、N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

弧、扇形：Ⅰ、由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。Ⅱ、圆可以分割成若干个扇形。

2、角

线：Ⅰ、线段有两个端点。Ⅱ、将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。Ⅲ、将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。Ⅳ、经过两点有且只有一条直线。

比较长短：Ⅰ、两点之间的所有连线中，线段最短。Ⅱ、两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：Ⅰ、角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。Ⅱ、一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比较：Ⅰ、角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。Ⅱ、一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。Ⅲ、从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

平行：Ⅰ、同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。Ⅱ、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。Ⅲ、如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。

垂直：Ⅰ、如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。Ⅱ、互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。Ⅲ、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。

垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后（关于画法，后面会讲）一定要把线段穿出2点。

垂直平分线定理：

性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等；

判定定理：到线段2端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上

角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。

定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点

性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等

判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上

正方形：一组邻边相等的矩形是正方形

性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质

判定：1、对角线相等的菱形2、邻边相等的矩形

二、基本定理

1、过两点有且只有一条直线

2、两点之间线段最短

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的余角相等

5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9、同位角相等，两直线平行

10、内错角相等，两直线平行

11、同旁内角互补，两直线平行

12、两直线平行，同位角相等

13、两直线平行，内错角相等

14、两直线平行，同旁内角互补

15、定理三角形两边的和大于第三边

16、推论三角形两边的差小于第三边

17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18、推论1直角三角形的两个锐角互余

19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21、全等三角形的对应边、对应角相等

22、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24、推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25、边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

26、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27、定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）

31、推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33、推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35、推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36、推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42、定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

43、定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44、定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2

47、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形

48、定理四边形的内角和等于360°

49、四边形的外角和等于360°

50、多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51、推论任意多边的外角和等于360°

52、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53、平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56、平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57、平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58、平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59、平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61、矩形性质定理2矩形的对角线相等

62、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64、菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65、菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66、菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71、定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72、定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75、等腰梯形的两条对角线相等

76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77、对角线相等的梯形是等腰梯形

78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79、推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80、推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h

83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d

84、(2)合比性质：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85、(3)等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),

那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87、推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88、定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91、相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93、判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94、判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96、性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97、性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98、性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101、圆是定点的距离等于定长的点的集合

102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104、同圆或等圆的半径相等

105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111、推论1

Ⅰ、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

Ⅱ、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

Ⅲ、平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112、推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114、定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115、推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116、定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117、推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118、推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

119、推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120、定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121、Ⅰ、直线L和⊙O相交d﹤r

Ⅱ、直线L和⊙O相切d=r

Ⅲ、直线L和⊙O相离d﹥r

122、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124、推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125、推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127、圆的外切四边形的两组对边的和相等

128、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129、推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131、推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133、推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135、Ⅰ、两圆外离d﹥R+rⅡ、两圆外切d=R+rⅢ、两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

Ⅳ、两圆内切d=R-r(R﹥r)Ⅴ、两圆内含d﹤R-r(R﹥r)

136、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137、定理把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138、定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

139、正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

140、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141、正n边形的面积Sn=pnrn／2p表示正n边形的周长

142、正三角形面积√3a／4a表示边长

143、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4

144、弧长计算公式：L=n兀R／180

145、扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2

146、内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

一、常用数学公式

公式分类公式表达式

乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|≤|a|+|b|

|a-b|≤|a|+|b|

|a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a

-b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系X1+X2=-b/a

X1*X2=c/a注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注：其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理b2=a2+c2-2accosB

注：角B是边a和边c的夹角

二、基本方法

1、配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

7、反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不等于；大(小)于、不大(小)于；都是、不都是；至少有一个、一个也没有；至少有n个、至多有(n一1)个；至多有一个、至少有两个；唯一、至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

8、面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

9、几何变换法

在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。

10、客观性题的解题方法

选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。

填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。

要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。

（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。

（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。

（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。

（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。

（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。

（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，为分析法。

第四部分：教师业务能力测试、基本功大赛真题及答案

徐州市2017年小学教师业务能力测试

数学试题

卷Ⅰ

一、填空题（每题2分，共20分。请将答案填在答题纸上）

1．数学素养是现代社会每一个公民应该具备的。

2．数学的三大特征是、、和广泛的应用性。

3．《标准》中提出的“四能”是指分析问题、解决问题、、。

4．数学课程目标包括结果目标和过程目标，过程目标使用了经历、、行为动词。

5．“数与代数”中“数”的主要内容有：数的认识、数的表示、数的大小、

、数量的估计。

6．“鸡兔同笼”问题是我国古代名题之一，它出自我国古代的一部算书，书名是。

7．小学生由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡依靠的中介环节是。

8．皮亚杰认为认知结构的建构主要是通过和＿＿＿两种方式进行的。

9．数学教学活动必须建立在学生的和上。

10．“学讲方式”中的“讲”是指多种形式的。

二、简答题（每题5分，共20分。请将答案写在答题纸上）

11．什么叫做“抽象”？

12．实数包含哪些数，请按隶属关系简要表示它的结构。

13．苏教版教材中“例题”、“试一试”、“练一练”三者之间的关系是怎样的？

14．“学讲方式”的核心精神是什么？

卷Ⅱ

1．7、9用罗马数字表示依次分别为、。

2．1101为二进制数，化成十进制数应为。

3.

如果

(

a和b为非零自然数)，那么a和b的最大公因数是，最小公倍数是。

4.一个三位小数，四舍五入保留两位为3.70，这个数最大是--，最小是。

5.已知一组数据5，14，10，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是。

6．甲三角形与乙三角形的底边的比是2︰1，高的比是1︰3，甲三角形与乙三角形面积的比是。---

7．用0、1、2、3、4五个数字，一共可以组成个没有重复的三位数。

8．如右图。已知正方形的面积是60平方厘米，这个圆

的面积是平方厘米。

9.一列数3、6、9、12…，这列数的第107项是。

10．函数

中，自变量x的取值范围是。

二、选择题（每题1分，共10分。请将答案填在答题纸上）

11.调查学生喜欢看课外书的情况后，如果用统计图表示看各类课外书的人数所占的百分比，应选择统计图。

A.条形统计图B.折线统计图C.扇形统计图

12.

因为

,

所以

是。

A.5

︰6B.6︰

5C.

13.一个三角形的三个内角度数的比是5︰4︰1，这个三角形是。

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形

14.一种精密零件长2.6mm，画在图纸上长26cm。这幅零件图的比例尺是。

A.10∶1B.100∶1C.1∶100

15.与圆的周长成正比例的是。

A.圆周率B.圆的面积C.圆的直径

16.下面的图形中，的对称轴最多。

A.正方形B.长方形C.等边三角形

17.集合｛1，2，3｝的真子集共有＿＿＿。

A.3B.5C.7

18.把一个半径和高都是1分米的圆柱沿底面半径平均分成若干等分，切开拼成一个近似的长方体，表面积增加平方分米。

A.2B.3.14C.4

19.下面六位数中，F是不等于0且比10小的自然数，S是0，一定能被3和5整除的数是。

A.FFFSFFB.FSFSFSC.FSSFSS

20.右图是一个正方体纸盒的展开图，当折叠成正方体纸

盒时，A点与点重合。

A.CB.DC.E

三、操作题（每题4分，共8分。在答题纸上完成）

21.根据要求画图。

（1）将图①绕A点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。旋转后，B点的位置用数对

表示是。

（2）把图②向右平移4格，画出平移后的图形。再画出这个组合图形所有的对称轴。

22.根据提供的信息回答问题。

(1)陈怡家在小学的偏°方向米处。

(2)世纪大道东起新华书店，与建设路垂直相连，全长约1千米。请表示出“世纪大道”。

四、解答题（23-26题，每题3分；27-28题，每题5分；共22分。在答题纸上完成）

23.某商品成本150元，按成本增加20%定价，后因库存积压减价，按定价的90%出售。减价后商品盈利多少元？

25.用20米长的金属网建一个靠墙的长方形（不包括正方形）鸡舍，要使所建的鸡舍面积最大，BC的长应是多少米？

26.

有零件117个，某车间第一天完成了总量的

多2个，第二天完成了剩下的

少1个。这时还剩下多少个没完成？

27.

三角形的两边长分别为3dm和6dm，第三边的长是方程

的一个根，则这个三角形的周长是多少？

28.下图，长方形长8cm，宽5cm，阴影部分甲的面积比乙的面积大8cm2。求DE的长。

数学试题参考答案

1．基本素养2．高度的抽象性、严密的逻辑性3．发现问题、提出问题

4．体验、探索5．数的运算6．《孙子算经》7．表象8．同化、顺应

9．生活经验、已有认知水平10．表达

二、简答

11．从许多事物中，舍弃个别的、非本质的属性，抽取共同的、本质的属性，叫做抽象。

12．实数包括有理数和无理数；有理数包括整数和分数；整数包括自然数和负整数。

13．“例题”是重点，是本节课要学习的主要内容；“试一试”是“例题”的延续和发展；“练一练”是巩固本节课所学的内容，并加深理解。

14．要点：改变学习方式，鼓励学生积极合理地表达，培养学生自主学习。

一、填空题

1．ⅦⅨ2．133．b

4

．3.7043.6955．9

6．2︰37．488．

30

9

．32110．x

≥

且x≠1

二、选择题

11．C12．．B13．B14．B15．C

16．A17．C18．A19．B20．B

三、操作题

21.根据图中要求画图。

（1）图略(4,5)（2）图略

22.根据图中提供的信息回答问题。

（1）北偏东45°1500米（2）图略

四、解答题

23.

元)24．350÷（385÷11）=10（秒）

25

．20×2÷4=10（米）26．

（个）

27．由原式得：x=2和x=4，据题意选x=4，三角形的周长为3+6+4=13dm。

28．8×5÷2=20cm220－8=12cm212＋20=32cm232×2÷8=8cm8－5=3cm。

徐州市小学数学教师基本功大赛测试题

第一部分

第二部分

第三部分

总分

得分

评卷人

第一部分小学数学课程标准（40分）

一、填空。（每空1分，共15分）

1．《数学课程标准》将数学学习内容分为，，

，四个学习领域。

2．义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生、、地发展。

3．数学教学活动必须建立在学生的和基础之上。

4．数学教学是数学活动的教学，使师生之间、学生之间与的过程。

二、选择正确答案的序号（多项）填在上。（每题1分，共6分）

1．学生的数学学习内容应当是。

①现实的②有意义的③科学的④富有挑战性的

2．教师是数学学习的。

①组织者②传授者③引导者④合作者

3．《基础教育课程改革纲要》中的三维目标在数学课程中被细化为四个方面：。

①情感与态度②知识与技能③数学思考④数与代数

⑤解决问题⑥空间与图形⑦统计与概率⑧实践与综合应用

4．《数学课程标准》所使用的刻画知识技能的目标动词有。

①理解②了解（认识）③体验（体会）④灵活运用⑤掌握⑥探索

5．在第一学段“数与代数”的内容主要包括：。

①数的认识②测量③数的运算④常见的量⑤式与方程⑥探索规律

6．数学。

①是人们生活、劳动和学习必不可少的工具②是一切重大技术发展的基础③为其他科学提供了语言、思想和方法④是人类的一种文化

三、判断。（每题1分，共4分）

1.“实践活动”是第二学段的学习内容。（）

2.在第二学段，“数的运算”要求学生能笔算三位数乘三位数的乘法。（）

3.在第一、二学段中，课标没有安排“中位数”、“众数”的内容。（）

4．“三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°”是第二学段的内容。（）

四、请你用等式的性质解方程。（每题2分，共4分）

0.5x－2=24m÷0.6=4.5

五、简答。（11分）

《课程标准》第四部分课程实施建议中，对第一、二学段分别提出了哪四条教学建议？

（1）第一学段教学建议：

（2）第二学段教学建议：

（3）试分析这两个学段的教学建议有什么不同？为什么？

第二部分数学专业知识（100分）

一、填空。（每空1分，共26分）

1．52公顷=（）平方千米2升=（）厘米3

2．1÷（×□－）=3□=（）

3．母鸡和小鸡只数的比是4：5，母鸡比小鸡少（）。

4．甲数的20%是40，乙数是40的20％，甲与乙的比是（）。

5．甲数除以乙数，商正好是乙数的倒数，甲数是()。

6．一个杯子杯口朝下放在桌上，翻动1次杯口朝上，翻动2次杯口朝下。翻动60次后，杯口朝（）；翻动121次后，杯口朝（）。

7．化肥厂有一批化肥运走40%后，余下的按2：3：5分配给甲、乙、丙三个农场，甲农场分到的化肥是丙农场的（）%。

8．用三个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最大的长方体。这个大长方体的表面积是（）平方厘米。

9．如果自然数a与b的和等于25，那么a与b两个数最多相差（）。

10．有一筐桔子，每次往外拿3个，最后余2个；每次往外拿4个，最后余3个，每次往外拿5个，最后余4个。这筐桔子最少有（）个。

12．把一个棱长为3分米的正方体铁块熔铸成一个底面积为9平方分米的圆锥体铁块，这个圆锥的高是（）分米。

13．两数相除的商是21，余数是3。被除数、除数、余数和商相加的和是225。被除数是（），除数是（）。

14．在口袋里有7个黄球和2个白球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球。摸出黄球的可能性是（）。

15

．甲、乙两数的和是18，如果把甲的

给乙，这时甲、乙两数恰好相等，原来乙比甲少（）。

16．能同时被2、3、5整除的最小四位数是（），最大三位数是（）。

17.10以内的质数有（），合数有（），奇数有（），偶数有（）。（0除外）

18．小华统计了全班同学的鞋号，并将数据记录在下表中。

鞋号

19

20

21

22

23

24

人数

3

5

8

2

（1）从这个班中任选一位同学，他的鞋号为21号或22号的可能性比（）。

（2）鞋号大于21号的可能性是（）。

二、选择。（请将正确答案的序号填在括号里）（每题1分，共8分）

1．小朋友围成一个圈做游戏，每两个男同学之间一个女同学，总人数为（）

①偶数②奇数③奇数或偶数都有可能

2．已知a×

＝

×b＝

×c，并且a、b、c都不等于零。abc这三个数中最大的是（）。

①a②b③c

3．一个圆柱的底面半径扩大2倍，高不变。这个圆柱的侧面积就扩大（）。

①2倍②4倍③6倍

4．甲、乙两人各有若干块糖，若甲拿出它的

给乙，则两人糖的块数相等，原来甲乙两人糖的块数比是（）。

①5∶4②6∶5③5∶3

5．学校教学楼有四层。六（1）班的同学第一节课到三楼上数学课，第二节课到二楼上美术课，第三节课到四楼上音乐课，中午到一楼食堂吃饭。下面能比较准确地描述了这件事的图是（）。

①②③

6．一个零件的实际长度是2毫米，画在一幅图纸上是4厘米。这幅图的比例尺是（）。

①1:20②20:1③1:200④200:1

7．用一个半圆把半径为5厘米的圆盖住，这个半圆的直径至少应是（）厘米。

①5②10③20

8．一列数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中的第35个数为()

①6②7③8

三、估算得数大约是多少，在□里画“√”（每题1分，共3分）。

298＋405（600□700□800□）

802－396（400□500□600□）

38×51（1500□2400□2000□）

四、画一画。（共11分）

1．在方格纸上画出图形B和图形C。（4分）

（1）图形A绕点O顺时针方向旋转90°得到图形B。

（2）将图形B向右平移6格，得到图形C。

2．下面的立体图形从正面、上面、右侧面看到的形状分别是什么？画在方格纸上。（3分）

正面右侧面上面

3．按1：2的比画出三角形缩小后的图形。（2分）

五、阳光公司员工今年3月公司自收入统计如下。（8分）

姓名

职位

工资/元

李斯

总经理

5000

陈晴

业务员

1000

黄达

副经理

4000

王明

王蒙

技师

1800

韩涛

张晓

主管

1500

周敏

刘芳

1200

蒋娟

勤杂工

500

（1）求出阳光公司员工今年3月工资的平均数、中位数和众数。

（2）你认为用哪个数据代表这个公司员工3月工资的实际情况比较合适？为什么？

六、只列综合算式不计算。(每题2分，共8分)

1．一桶水，用去它的

，还剩下5千克。这桶水原来重多少千克？

2．学校买来1800本图书，按4∶5∶6的比例分给三、四、五三个年级，五年级分得了多少本图书？

3饲养小组养的白兔和黑兔共有36只，其中黑兔的只数是白兔的。白兔有多少只？

4．一个打字员打一篇稿件。第一天打了总数的25％，第二天打了总数的40％，第二天比第一天多打6页。这篇稿件有多少页？

七、应用题。（每题4分，共36分）

1

．两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的

，相当于小长方形面积的

（如右图）。大长方形和小长方形面积的比是多少？

2．小勇想测量电线杆的高，他量得电线杆在平地上的影长为5.4米；同时，小勇把2米长的竹竿直立在地上，量得影长1.8米。这根电线杆高多少米(用比例知识解答)

3．有三堆围棋子，每堆60枚。第一堆黑子与第二堆的白子同样多，第三堆有

是白子。这三堆棋子一共有白子多少枚？

4．甲、乙两车间的人数之比是3∶7，从乙车间抽调42人到甲车间后，甲、乙两车间的人数之比是2∶3，求甲、乙两车间原来一共有多少人

5．3辆大车与18辆小车一次共运货物48吨，而同样的3辆大车与26辆小车一次可以运货64吨。大车的载重量是小车的多少倍？

6．在比例尺是1：5000000的地图上，量得A、B两地的距离是5.6厘米。有甲、乙两辆车从A、B两地同时出发，相向而行，经过2小时相遇。已知甲乙两车速度的比是2：3，求相遇时甲乙两车所行的路程分别是多少？

7．甲乙两车分别从A、B两地同时相对开出，8小时相遇，相遇后两车继续以原来的速度行驶了2小时，这时甲车距B地还有250千米，乙车距A地还有350千米。A、B两地相距多少千米？（请画出线段图再解答）

。现在甲乙合作3小时后，剩下的由甲来做，还要做几小时？

第三部分小学数学教学策略（20分）

1．练习课、复习课的四个基本教学环节分别是什么？（10分）

2．在练习课、复习课教学策略的实施过程中，你有什么体会（收获和遇到的困难）？请你结合课例谈一谈。（10分）

第一部分参考答案（40分）

1．数与代数，空间与图形，统计与概率，实践与综合运用

2．全面、持续、和谐

3．认知发展水平已有的知识经验

4．交往互动共同发展

5．知识与技能情感与态度结果学习过程中

二、选择正确答案的序号（多项）填在上。（每题1分，共6分。选错1个者，即全错。）

1．①②④2．①③④3．①②③⑤4．①②④⑤5．①③④⑥6．①②③④

三、判断。（每题1分，共4分。）1.×3.×5.×6.√

四、解方程。

0.5x－2＋2=24＋2m÷0.6×0.6=4.5×0.6

0.5x=26m=2.7

X=52

五、简答。（共11分）

①让学生在生动具体的情境中学习数学。（1分）

②引导学生独立思考与合作交流。（1分）

③加强估算，鼓励算法多样化。（1分）

④培养学生初步的应用意识和解决问题的能力。（1分）

①让学生在现实情境中体验和理解数学。（1分）

②鼓励学生独立思考，引导学生自主探索、合作交流。（1分）

③加强估算，鼓励解决问题策略的多样化。（1分）

④重视培养学生应用数学的意识和能力。（1分）

（3）略（3分）

第二部分学科专业知识（100分）

1．0.5220002．3．或20%4．25：15．16．下上

7．408．589．2510．5911．612．913．192914．15．2，或20%16.102099017.质数：2，3，5，7；合数：4，6，8，9，10；

奇数：1，3，5，7，9；偶数：2，4，6，8，10。18．小（或）

1．③2．②3．①4．③5．②6.②7.③8.③

三、估算。（每题1分，共3分）

7004002000

1．在方格纸上画出图形B（2分）和图

形C（2分）。

2．下面的立体图形从正面、上面、右侧面看到的形状分别是什么？画在方格纸上。

正面（1分）右侧面（1分）上面（1分）

3．（1）画正确图（2分）。

画的位置多样。

（2）面积的比是：1：4（2分）

五、（共8分）

平均数（2分）：（5000＋4000＋1800＋1500＋1200＋1000＋1000＋1000＋1000＋500）÷10=1800（元）

中位数（2分）：（1200＋1000）÷2=1100（元）

众数（2分）：1000元

（2）中位数（2分）

六、只列综合算式不计算。(每题1分，共4分)

说明：下面仅提供部分解法。解决下列各题的方法很多，只要合理即可得分。

1．5÷（1－）

2．1800÷（4＋5＋6）×6或者：4＋5＋6＝151800×

3．方法一：36÷（4＋5）×5

方法二：4＋5＝936×

方法三：36÷（1＋

）

方法四：解：设白兔有X只。

X＋

X

＝36

4．6÷（40%－25%）

说明：每题4分，列式正确得3分。单位名称漏写、错写的、不写答句的扣1分。下面仅提供部分解法。解决下列各题的方法很多，只要合理即可得分。