首先说明一下，探讨凯利公式，我的意图是：
1、用它来解释投资里的一些现象背后的数学原理；
2、借凯利公式谈一下交易系统的设计原则；
3、用凯利公式避免投资里面的陷阱。
而不是鼓吹直接拿凯利公式去干投资，本系列有一期会专门说明，为什么一般情况下不能直接拿凯利公式去干投资。
雪球上懂凯利公式本质的人很多，所以我先说明一下这个事情。
本期简单聊一下凯利公式的数学证明。
证明过程，花了我整整一个多晚上，上网查资料，推导。要在大学，那是分分钟的事情，现在毕业十几年了，全还给老师啦。不过，这个证明过程，不看也无所谓，所以我把证明过程放到了附录里。
为什么要动手亲自证明一下呢？主要有以下两点：
1、看看有哪些假设。比如推导凯利公式的其中一个假设是0 2、看看用了哪些数学工具。数学是对现实的抽象，所以，看使用了哪些数学工具，可以了解理论和现实的差距。比如：凯利公式的证明用了limn->∞，而我们现实中的局，不可能无限大。 回顾一下为什么会有凯利公式？ 凯利公式，是为了解决“在一个期望收益为正的重复性赌局或者重复性投资中，单次下注的最优比例。” 凯利公式不是追求单局收益最大化，而是N局总收益最大化。也就是说，凯利公式，本质上是一个“复利”公式。 由于附录给出了严格的数学证明，所以，如果在一个理想的“胜率是p，败率q=1-p，赔率为b的重复性赌局”里，没有任何其他下注比例能长期打败凯利公式的最有下注比例f*。 这是我们这个宇宙里的数学规律，是不可战胜的。 借这个专题，我要强调的是，投资世界里面的“全力以赴”，并不是次次满仓干，而是一个“不是满仓的最优比例”。 例如，在一个“赔率是1陪1，胜负64开”的赌局，每次最佳下注的比例是20%。 我还记得自己刚入市的时候，每次都是满仓干，每次下注都有100%的把握，结果可想而知。 很多刚进入投资领域的投资者，带着投资之外的世界里“全力以赴干好某一件事而取得不错的成就”的成功经验、和一笔不小的资金，自信满满的杀入股市，“全力以赴”的搏杀，结果基本上没有例外的碰一鼻子灰。 对不起，那位投资者违背了凯利公式——投资世界的数学定理。这就是他失败的根本原因： 刚刚杀进股市，他下注成功的概率，显然远远低于100%。 而他下注的比例是100%。 再看看凯利公式，他岂有不亏钱之理？ 我认为，价值投资，从某种意义上来说就是做两件事情： 1，确定多少仓位 2，确定配置什么品种 之所以要确定仓位，而不是满仓，是投资者对当前形势不确定（胜率）的一个技术处理。 确定了仓位之后，再确定配置什么品种，是投资者对自己有最大把握（胜率）的品种的一个筛选。 附录1：凯利公式的数学证明（如感到不适，可以忽略） 网上找了资料，自己推导了一遍（没办法，技术宅的宿命），证明过程如下： 假设： 1、初始资金M0，第N局后的资金Mn 2、每次按照固定的比例f下注 3、赔率为b。 即：某一局如果赢，赢“bf*前一局后剩余资金”；如果输，输“f*前一局后剩余资金”。 4、N局中，胜W局，败L局。W+L=N 附录2：对数收益率（Logreturns） 由于凯利公式的证明，用到了这个概念，简单的说一下这个概念。 对数收益率主要是区别于百分比收益率的。 假设某个收益统计区间的初始资金s，结束资金为e，那么 百分比收益率定义为(e-s)/e 比如初始资金100元，结束资金130元，那么 百分比收益率=（130-100）/100=30% 这个是我们很熟悉的收益率计算方法。 但用它来计算的时候，有个问题。 举例：初始资金100元，先亏50%，再赚50%，那么 结束资金=100*(1-50%)*(1+50%)=50*1.5=75元 不是100元。对数收益率，解决了这个反直觉的问题。 对数收益率定义为ln(e/s) 对数收益率=ln(130/100)=0.2624=26.24% 这个结果，不符合我们的直觉。它的好处在这里： 初始资金100元，先亏50%，再赚50%，那么： 两期的对数收益率分别是： 亏50%的对数收益率=ln(0.5)=-0.6931 赚50%的对数收益率=ln(2)=0.6931 总对数收益率=亏50%的对数收益率+赚50%的对数收益率=0 最后的资金=本金*(e的总对数收益率次方)=本金*(e的0次方)=本金*1=本金 对数收益率的好处是，各期的对数收益率可以直接相加得到总对数收益率。这样就避免了“先亏50%”再“赚50%”最后的结果不是本金这个反直觉的问题。