我们首先来研究一个简单的彩票玩法：排列3，也叫做3D球。
排列3
这种彩票的基本玩法是：两元一注，从000-999种选择一个数（三位），开奖时开出一个号码（三位），若下注的三位数和开奖的三位数数字和顺序都相同，即可中奖。否则不中奖。例如下注时选择052，开奖时第一个球是0，第二个球是5，第三个球是2，即可中奖。如果中奖，奖金1040元。
两块钱就有可能中一千多块，有没有点小激动？
我们不妨从数学上计算一下中奖概率，再计算一下期望。
首先，开奖时每个球都有十种可能，三个球开出三个号码，排列起来，一共有1000种可能，也就对应着下注时000-999这1000个数字。由于每个球开出的数字都是随机的，每种可能概率都相等，所以这依然是一个古典概型。
中奖包含多少种可能呢？因为只有一个中奖号码，因此中奖只有1种可能。
这样一来，中奖的概率就是P=1/1000
中奖得1040元，概率1/1000；不中奖得0元，概率999/1000，所以玩一次返还的彩金期望是：
也就是说，花两元下注，平均可以拿回1.04元，亏0.96元。
排列3还有另一种玩法称为组选6，意思是说：开奖时的三个数字与下注的三个数字相同即可中奖，而不限次序。例如开奖是052，下注时选择052，025，520，502，250，205皆可中奖。中奖奖金173元。那么这种玩法的返奖期望又是多大呢？
首先，开奖结果依然是1000种可能，并且每种可能性概率都相同，古典概型。
中奖时，只要三个数字的顺序可以随意调换。这就涉及到一个概念：排列数。将N个物体按照一定的顺序进行排列，请问共有多少种排列方法呢？
比如，我们要要把篮球、足球、排球放在有顺序的三个盒子里。首先研究第一个盒子，可以放任一一个球，所以有3种方法。在第一个盒子放好了球之后，第二个盒子就只有两个球可以选择，所以有两种方法。前两个盒子放好之后，只剩下一个盒子和一个球，因此最后一个盒子只有一种放球的方法。所以3个球放进三个盒子的方法数为3乘2乘1=6钟。我们称3的全排列等于6。
同样，如果有N个球，放进有顺序的N个盒子里，称为N的全排列，公式为
我们下注一个三位号码之后，可以随意调换顺序，所以需要把这三个数字全排列，所以无论这三个数字是什么，都有六种排列方法。这样，中奖的可能就从1种变为了6种。
这样一来，中奖的概率就变成了P=6/1000=3/500
中奖得173元，概率3/500；不中奖得0元，概率497/500，返奖期望
也就是说，平均下注一次组选6，可以拿回1.038元，相比于直选玩法还少了0.002元。
相比于排列3，还有一种更让人热血沸腾的彩票玩法：双色球。
双色球
双色球有1-33共33个红球，还有1-16共16个蓝球。2元下注，在红球中选6个，蓝球中选1个。开奖时开出6个红球和1个蓝球，如果开出的红球与下注完全相同（不计顺序），蓝球也与下注相同，即可中大奖500万！
两块钱中500万！简直逆天了！
数学会怎么告诉我呢？为了研究这个问题，我们需要首先介绍一个概念：组合数。从N个不同的数字中选择M个，不计次序，一共有多少种选择呢？
比如，我们要从1、2、3、4、5、6六个数字中选3个，但是不计次序。我们可以按照下面的方法：
首先选一个数字，有6种选择方法。
在余下的数字中再选一个，有5种方法。
在余下的数字中再选一个，有4种方法。
所以一共的方法个数是：6乘5乘4=120种选择。
但是，如果选择的数字是a、b、c三个，按照刚才的算法，在120种可能中abc、acb、bca、bac、cab、cba算作了不同的情况，但是按照我们的规则，这六种情况应该算作一种。于是，我们必须将120除以6，才能得到不计次序的选择方式个数：20种。这里除掉的6其实就是3的全排列。
同样，从N个数字中选择M个数字，首先需要从N开始乘，乘N-1，乘N-2…，一共乘M个数字，得到计次序时的结果。然后再除以M的全排列，得到不计次序的结果。公式写作
明白了这个算法，我们就可以计算双色球中大奖的概率了。
首先计算开奖结果一共有多少种可能。从33个红球中选6个，可能的结果有
从16个蓝色球中选1个，显然有16种可能结果。
所以开奖结果一共的可能数为
也就是说，大约有1700万种可能。而且，每一种开奖可能结果都是相同的。如果我们花两块钱买一注，只能买一种可能，因此中奖的概率为大约1700万分之一。
我们来计算一下数学期望。中大奖能拿到500万，扣掉20%的税，还剩下400万，于是数学期望为
也就是说，如果只奔着大奖去，平均买一注彩票只能拿回0.235元。
当然，双色球还有二三四五六等奖，每一种奖的奖金和对应概率都不同，尤其是一等奖和二等奖，采用浮动奖金制度，计算起来更加繁琐。根据《中国福利彩票发行管理中心》公布的中奖规则，双色球返奖率大约50%，也就是说，花两元钱下注，大奖小奖全算上，统计上讲平均可以拿回1元钱，另1元钱就是给福利事业做贡献了。
李永乐老师：北京大学物理与经济双学士，清华大学电子工程硕士；北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年，培养清华北大学生200余人，国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。