我们的宗旨是——在内卷和放羊之间找到撬动数学学习的最佳支点。
唯思客俱乐部（以下简称为“俱乐部”）是一个位于比利时、主要面向中学生提供数学课外培训的非营利俱乐部，目前组织有数学兴趣小组，竞赛数学辅导课程等活动。
数学兴趣小组以激发和保持孩子们学习数学的兴趣为基础，营造一个高质量的学习环境，通过线上讲座和线下活动实现拓展其数学思维，提高其数学能力，发现其可以实现更高目标潜力的目的。
竞赛数学辅导以深入理解知识点、提高竞赛能力为目的，初步目标包括比利时佛拉芒（少年）数学奥林匹克竞赛（JWO/VWO），比利时（法语区）数学奥林匹克竞赛（OMB），美国数学竞赛（AMC）和美国数学邀请赛（AIME）等，长远目标包括国际数学奥林匹克竞赛（IMO）。
2022年数学兴趣小组B组和2023年数学兴趣小组A组的线上讲座和线下活动拼图。
2024年初，俱乐部首次有学生参加比利时佛拉芒少年数学奥林匹克竞赛（JWO）和比利时（法语区）数学奥林匹克竞赛（OMB）。在包括2名前学员在内的一共9名学生中，8名学生进入了两个比赛的第二轮，4名学生进入了JWO的决赛。
2024年唯思客俱乐部学员参加JWO和OMB成绩一览表。
在所有73名JWO决赛选手中，一等奖有1名，二等奖有7名，三等奖有10名，其中，俱乐部的C.Shan，R.Shi，和Z.Wu等3人获得了二等奖，A.Mao获得了鼓励奖。C.Shan更是所有决赛选手中唯一一名来自二年级的学生，参加了这项面向三、四年级学生的数学竞赛，并最终获得二等奖的优异成绩。
JWO/VWO官网成绩公布【2】。
在新的一个学年，即2024-2025学年秋季学期，俱乐部将继续或者新开以下几个方面的活动或者课程：
1.数学兴趣小组B组
B组活动为期1年，主要面向中学一年级和二年级的孩子，特殊情况下也包括数学水平突出的小学六年级的孩子。B组的规模一般为8–12人。
B组活动和课程的主题包括但不限于以下几个方面的数学知识的拓展：
进制、小数和分数、奇偶性、完全平方数、倍数/约数/整除性、图形分割和组合、图形对称性、勾股定理、斐波那契数列、鸽笼原理等。
B组活动每两周一次，全年大约13–15次，假期与学校假期同步。B组活动以线上讲座为主，辅以线下游戏、线下讲座等形式。
2.数学兴趣小组A组
A组活动为期1年，主要面向中学二年级和三年级、数学水平突出的孩子，A组是B组的自然延伸。A组的规模一般为8–12人。
A组活动和课程的主题包括但不限于以下几个方面的数学知识的拓展：
染色问题/覆盖问题、质数、数列和级数、容斥原理、计数/排列和组合、数学归纳法、图论初步、逻辑和推理、博弈策略、球面几何初步等，以及部分JWO/VWO和OMB竞赛的内容。
A组活动每两周一次，全年大约13–15次，假期与学校假期同步。A组活动以线上讲座为主，辅以线下讲座、线下项目等形式。
3.数学竞赛小组O组
O组课程的主题包括数学竞赛中数论、几何、代数和组合四大领域的基本知识点、常用定理和解题技巧。O组以参加JWO/VWO和OMB为起点，目标包括地区性的国际数学奥林匹克竞赛，如EMC，BxMO，以及世界性的国际数学奥林匹克竞赛，如EGMO和IMO。本学期O组的课程还将包括少量数学科普方面的内容。
O组活动每两周一次，全年大约13–15次，假期与学校假期同步。O组的活动形式为线上讲座和线上讨论。
唯思客俱乐部数学兴趣小组和数学竞赛小组的年龄/年级区间划分。
4.一对一定制数学辅导
一对一定制数学辅导主要面向有特殊需求的孩子，比如因为时差原因无法参加数学兴趣小组或者数学竞赛小组活动，或者为参加所在国家数学竞赛或者IMO需要做特殊准备的孩子。
一对一定制数学辅导无固定内容，无固定时长，无固定频率，无名额限制，这些细节可以根据需求经过和家长一对一讨论后决定。
以下还有几点补充说明：
1.报名参加俱乐部活动或者课程的孩子需要满足以下3个基本要求。
首先，孩子们参加俱乐部活动应该出于自己对数学的兴趣和爱好，而不是单纯地出于家长的推动。
最后，参加小组活动的孩子们应该有基础的英语听说能力，参加一对一定制数学辅导的孩子应该有基础的英语或者中文听说能力。
此外需要说明的是，俱乐部的一对一定制数学辅导不面向校内数学的学习内容，不提供以提高校内数学成绩为目的的辅导。
2.8月15日至8月18日，俱乐部将根据预报名的总体情况确认各组的规模和学员资格，并在随后两周内组织线上家长会进一步确认关于小组活动和课程的安排细节。
3.2024-2025学年秋季学期的活动和课程将于9月初正式开始。
更多关于唯思客俱乐部的介绍，请移步唯思客俱乐部主页：
参考出处：
——献给那些在数学和科学道路上砥砺前行、打破性别壁垒的真正的小仙女们
今天，达摩院公布2024阿里巴巴全球数学竞赛决赛入围名单，来自江苏省涟水中等专业学校服装设计专业的17岁的女生姜萍以全球第12名的成绩，和清华、北大、麻省理工、剑桥、普林斯顿等著名大学的学生一起入围决赛。
我注意到，姜萍不仅仅是该项比赛预赛的第12名，而且是所有参赛女生中成绩最好的一个。虽然，这样的励志故事的出现需要诸多不可复制的条件，并不是每一个女生都可以通过模仿而实现，但它在消弭人们对于男女性别在数学学习上存在巨大差异的刻板印象具有非常积极的作用。
130多年前，同样在6月，菲利帕·福塞特（PhilippaFawcett）在剑桥大学数学Tripos学位考试中名列第一，成为第一个也是迄今唯一一个事实上获得剑桥数学“高级牧马人”（SeniorWrangler）称号的女性。
菲利帕·福塞特，生于1868年，卒于1948年。
“高级牧马人”，原文为SeniorWrangler，特指在英国剑桥大学数学Tripos学位考试中获得第一名成绩的学生。相应地，“牧马人”（Wrangler）指的是在数学Tripos学位考试中获得一等荣誉的学生。历史上获得了“高级牧马人”称号的毕业生们中有不少人后来在数学、物理学等领域成为了学术大牛，其中包括乔治·艾里、雅各布·布罗诺斯基、克里斯托弗·巴德、凯文·巴扎德、阿瑟·凯莱、唐纳德·考克斯特等等。刚刚卸任的新加坡总理李显龙于1973年也曾获得这一称号，只不过他后来没有走科学研究的道路。
经过几代人的努力，以及期间一系列的科学研究和成千上万女性为此付出的辛勤工作，到十九世纪末，人们才慢慢改变了这一既定观点。标志着这一改变的事件之一，即1890年6月7日，一名女性在剑桥大学举行的数学学位考试中名列第一——那一天，菲利帕·福塞特的成绩被宣布“位列高级牧马人之上”。
在十九世纪，剑桥大学被认为是当时世界上最强大的帝国中最好的高等学府。更重要的是，剑桥大学的数学课程，也称为数学Tripos，被普遍认为是该帝国最优秀的人才所能面临的最艰难的学术挑战。成为剑桥大学数学Tripos学位考试的第一名，即高级牧马人，被誉为获得全球四分之一人口所能获得的最高智力成就。
因此，福塞特的成功在当时给人们带来的震撼不亚于一颗学术原子弹——尤其当我们意识到，在此之前剑桥大学和包括牛津、哈佛和耶鲁在内的其他一流大学一样不招收女性，也不允许她们获得学位。
十九世纪七十年代，剑桥大学建立了只供女子入学的独立学院，并逐渐与大学建立了松散的联系。到了十九世纪九十年代，剑桥大学当时的两所女子学院，即纽纳姆学院和格顿学院，其学生被允许参加与男生相同的考试。但是，她们的评分和排名是分开的，女生的成绩会在男生之后宣读。
剑桥大学纽纳姆学院，今天仍然是一个只招生女生的学院。
数学专业的学生按照成绩高低的顺序从头到尾进行排名，因此可以根据先后顺序直接比较两个学生的成绩高低。获得数学一等荣誉学位的男性被称为Wranglers，排名低于他们的学生被称为Optimes，其中获得二等荣誉学位的学生被称为SeniorOptimes，获得三等荣誉学位的学生则被称为JuniorOptimes。
女生则不会参与正式排名，她们的成绩被宣布为位于某两个排名之间。比如，一名女性的成绩高于第21名、但低于第20名Optimes，她将被宣布为“位于第20名至第21名Optimes之间”。
在1890年，女性考生能够取得足够高的分数跻身于牧马人行列的想法仍然让人觉得是天方夜谭。最早的测试可以追溯到十九世纪六十年代，当时考试成绩已经表明男性和女性在其他几乎所有科目中的得分大致相同；但数学专业的考试结果仍然表明男性在数学学习方向的领先地位非常牢固。这一结果进一步巩固了数学作为男性学术霸权的最后堡垒的地位。至少在数学学习方面，女性的身体和大脑仍然比不上男性。事实上，大多数维多利亚时代的学者认为，女性根本无法展示掌握数学学习所需要的严谨的逻辑性，因为女性在本质上是情感动物。
在这个时代的节骨眼上，菲利帕·福塞特来到了这个世界，她的出生似乎就是为了打破人们对男女两性在数学学习上存在的刻板印象。
菲利帕·福塞特是一对优秀父母的独生女。她的母亲米利森特是全国妇女选举权协会主席，她为争取英国妇女的选举权所做的贡献甚至比著名的埃米琳·潘克赫斯特还要多。同时，米利森特也是剑桥大学纽纳姆学院的联合创始人之一；而她的父亲亨利·福塞特虽然在25岁时因枪击事故失明，但后来成为英国政府的邮政部长。菲利帕童年留下的少数记忆之一就是在冬天，她沿着剑河从剑桥滑冰到Ely，距离超过15英里，一路上她吹着口哨为失明的父亲引路。
菲利帕很早就展现出了学术天赋——有理由认为，她的父母让她学习数学，就是希望她能帮助他们证明女性的平等——在进入纽纳姆学院之前，她在伦敦大学学院学习了纯数学和应用数学课程（这在当时是一所较新的大学，所以即使在十九世纪九十年代，女性和男性也可以并肩学习）。然而，即便如此，她也无法真正为剑桥数学Tripos的严格或独特做好准备——Tripos课程以年终考试的形式进行测试，它以十五世纪学生在考试过程中坐过的三脚凳命名。
数学Tripos考试以高强度著称。在十九世纪，数学Tripos的考生通常要连续八天、每天参加五个半小时的考试——总共12份试卷和192道难度逐渐增加的题目。争夺牧马人头衔的考生随后还要参加三天的考试，其中还有63道测试题。
最认真的考生都会在考前聘请导师，连续几个月夜以继日地学习和备考。历史学家AlexCraik指出，1841年排名第二的牧马人C.T.辛普森在考试前一周每天学习20个小时，这让他“几乎因为过度劳累而崩溃……以至于他发现自己不得不在考试中携带乙醚和其他兴奋剂以防万一昏睡过去。”1859年排名第一的詹姆斯·威尔逊在考试后精神立即崩溃，在康复后，他发现自己忘记了除初等代数之外的所有数学知识。而1855年的詹姆斯·萨维奇工作过于劳累，以至于在被任命为高级牧马人三个月后，人们发现他在一条沟渠里中风身亡。
菲利帕·福塞特也请了一位导师，她的导师是基督学院的E.W.霍布森，被认为是当时剑桥大学第二好的导师。不过福塞特对学习采取了一种合理和适度的方法。剑桥大学的数学家斯蒂芬·西克洛斯指出，福塞特过着“纪律严明、井然有序的生活”，早上8点起床，很少在晚上11点之后睡觉。她每天学习六个小时，从没有用湿毛巾裹住头通宵工作，尽管这是当时渴望成为牧马人的考生中常见的做法。
福塞特和她的同学面临的挑战确实令人生畏：数学Tripos考试的问题非常复杂，即使是最优秀的考生也几乎不可能完全解答每份试卷16道题中的两道，并尝试解答另外两道。每份试卷涉及的范围非常广泛，问题往往晦涩难懂。德国数学家马克斯·玻恩曾经讽刺了一个典型的例子：“在一座弹性桥上站着一头质量可以忽略不计的大象，它的鼻子上站着一只质量为m的蚊子。计算当大象通过转动鼻子甩掉蚊子时，引起的桥上的振动。”
西克洛斯这样总结挑战：
到1890年，数学Tripos考试已经发展成为一项严峻的考验，它考验的不仅是数学的创造力，而且是毅力和扎实的能力……考试主题从复利到数论、流体力学和天文学。考生需要熟悉牛顿和欧几里得的成果，能够预测日食，能够运用晦涩难懂的三角恒等式，并熟悉所有可能的二维和三维圆锥曲线。
1808年剑桥大学数学Tripos考试试卷。
福塞特与生俱来的坚韧在其考试期间发挥了巨大作用。在考试开始前的最后几天，她一直留在学校，理由是这样可以保持她日常生活的节奏。当被问及是否希望这场考验快点结束时，她回答说：无论如何她都不想浪费生命中的三个星期。
当第一天的考试结束后，她很沮丧，因为她只回答对了三道题，此外只是“在另外6或7道题上做了一些尝试”，但当她很快发现，她认识的其他考生中没有一个人能够完成哪怕一道题，她便恢复了信心。到1890年5月底，纽纳姆学院对福塞特寄予厚望，希望她能比学院参加数学Tripos考试的任何其他考生都做得更好。然而，纽纳姆学院的女生与男生相比，排名究竟如何仍然无人可知。
剑桥考试委员会秘书G.F.布朗尼对此也感到担忧，他担心参加1890年数学Tripos考试的女生成绩可能远远低于平均水平，从而让自己丢脸。他甚至担心女生可能会排在最后一名，Tripos考试中的最后一名在剑桥被称为“木勺”（theWoodenSpoon）——有意思，湖北人骂人蠢也用“勺”，何况还是一个木头勺子。
6月6日晚间，也就是公布成绩的前一天，高级考官W.R.鲍尔拜访了布朗尼，他说女生的排名出现了一些“意外情况”。西克洛斯如此引用布朗尼的叙述：
想了一会儿，我说：“你的意思是女生中有一个是木勺吗？”
“不，是在另一端！”
“那么，当你读出女性名单时，你不得不说‘位列高级牧马人之上’；而且你找不到比‘之上’更好的词汇。”
到了第二天早上，四处流传着消息称将有一件非同寻常的事发生，剑桥人都为之震惊。纽纳姆学院的学生集体前往大学议事厅，福塞特的祖父和她的表姐妹玛丽安和克里斯蒂娜驾着一辆马车从萨福克海岸出发，行驶了60英里。玛丽安在一封信中描述了接下来发生的事情：
议事厅里出现了最激动人心的一幕……克里斯蒂娜和我坐在了旁听席上，爷爷则坐在下面。旁听席上挤满了女孩和几个男人，大楼的地板上挤满了本科生，挤得水泄不通。旁听席上宣读了名单，我们听得津津有味。所有男生的名字都首先被念出，高级牧马人得到了大家最多的喝彩。
1848年，剑桥大学数学Tripos成绩宣读。
一片喧闹。男生们对这一消息报以热烈的欢呼，并反复喊道“再读一遍福塞特小姐的名字”。回到学院，“所有能找到的钟声和锣声都响了起来”，举行了一场即兴的盛宴，球场上点燃了篝火，菲利帕被人们抬到肩膀上，进入主厅——“她仍然带着她特有的平静”，西克洛斯写道，“一边摇摇晃晃地走过，一边在黑板上标记自己‘入选’一等荣誉”。
几天后，这场胜利成为了国际新闻，《纽约时报》刊登了整整一期专栏，标题为“福塞特小姐的荣誉：这位高级牧马人是怎样的女孩。”很快人们知道了更多的细节，福塞特的得分比名义上得到高级牧马人称号的男生贝内特的得分高出13%，一位热心的考官透露说：“除了两份试卷外，她在所有试卷上都领先……她的名次绝非偶然。”
至于剑桥大学，女性最终于1948年获准与男性一起获得学位。令人高兴的是，菲利帕·福塞特活着见到了这一天，她见证了她在十九世纪九十年代所坚持的一切的实现。她的一生都从事教育事业，在纽纳姆学院任教多年，但还是被剥夺了男性牧马人认为有权从事的学术生涯。
1948年6月10日，在女生同样可以获得剑桥大学学士学位获得皇家批准的一个月之后，在女生第一次被宣布“位列高级牧马人之上”的58年之后，菲利帕·福塞特去世，享年80岁。
剑桥大学数学Tripos有着悠长的历史，从十八世纪以来就被誉为数学专业最为全面、难度最高的课程。
在剑桥大学目前的数学Tripos课程中，本科阶段的学习分为三年，第一年学习TriposPartIA部分，第二年学习TriposPartIB部分，第三年学习TriposPartII部分。三年学习结束后，成绩合格的学生获得BA学位。此外，以一等成绩（ClassI，或者常说的First）毕业的学生还将获得继续在剑桥攻读数学专业硕士的资格。
剑桥数学专业的硕士课程即TriposPartIII部分，学制为一年，成绩合格的、来自剑桥数学本科的学生将获得数学硕士学位（MMath），而成绩合格的、从外校考入剑桥数学硕士课程的学生将获得高等研究硕士学位（MASt）。此外，以“优秀”（Distinction）成绩毕业的硕士将被允许在剑桥大学继续攻读数学博士学位。
因此，虽然剑桥大学的考试次数不多，每个学年只在6月份安排一次考试，但学生们在这一次考试中获得的成绩非常重要，第三年和第四年的成绩决定了他们是否能够继续留校攻读更高学位，同时，本科的三次考试成绩也是招收应届毕业生诸多公司的HR筛选简历过程中考虑的主要指标之一。
那么，剑桥大学数学系学生成绩单上的分数是如何从考题原始分数换算得到的？成绩的等级划分（Classification）又是依据什么样的标准？
在去年的这个时候，我写了一篇《如何看懂剑桥数学本科考试成绩单？》【1】，着重介绍了TriposPartIA考试成绩的计算和换算的方法和规则。PartIB和PartII的考试成绩计算方式和PartIA差别不大，所以这里不再赘述。
前两天，群里一位家长叫我再普及一下TriposPartIII的考试成绩计算和换算。实际上，与PartIA、IB和II相比，PartIII的考试成绩计算和换算方法要简单很多。下面我以剑桥大学去年公布的TriposPartIII手册【2】为依据，简单介绍一下PartIII学生最后收到的成绩单上的成绩和等级是如何得到的。
首先，我们大致定义一下几个和分数有关的名词。
考题原始分数。这个分数指的是考生们在某一道考题中得到的卷面原始分数，比如考题分值20分，考生给出的解答不够完整，最后得到15分，这个15分就是考题原始分数。考题原始分数的分布在PartIA、IB和II中比较重要，在PartIII中重要性不高。
考卷整体评分。这个分数指的是阅卷老师根据考生在某一张考卷上每道考题得到的原始分数，对整张考卷的完成情况作出的评估。考卷整体评分为百分制的数值，分数范围为1–100分，另外加上一个以α、β和γ以及加号和减号的组合给出的质量标记评估（Qualitymark）。注意，这里的α和β与PartIA、IB和II考试中的α和β含义不同。
考卷整体评分的数值分数评估和质量标记评估的对应表如下：
在考生的每张合格考卷上，其考卷整体评分既包括数值分数，也包括质量标记。如果在特殊情况下，阅卷老师给出的数值分数和质量标记差别较大，阅卷老师需要给出具体的说明。
最佳分数（theOptimumMark）。最佳分数由考生所有考卷的考卷整体评分得出，具体计算方法我们稍后再详细介绍。
整体分数（Overallmark）。这个分数指的是在考生学年成绩单上出现的分数，它由单个学生的最佳分数根据所有学生的最佳分数进行分段线性校正后得到，具体计算方法我们稍后再详细介绍。
在2023–2024学年，剑桥数学TriposPartIII一共开设了大约80多门课程，学生们可以根据自己的兴趣和方向选择上某些课程；同样在学年末，学生们也可以根据自己擅长的方面在所修课程中再选择几门作为考试课程。
所有这80多门课程的时长分为两种：24个学时和16个学时。在考试成绩的计算中，每一门24个学时的课程对应于3个学分（unit），每一门16个学时的课程对应于2个学分。
数学系建议考试课程的学分总计不要超过19个学分。很自然，选择的考试课程越多，需要复习的内容就越多，备考难度也越大；而选择的考试课程越少，考生们就可以专注在少数的几门课上，备考难度也就越小。
在后面的计算方法中，我们将发现选择过多的考试课程对最佳分数的计算是没有帮助的，所以多选考试课程不会给考试带来太多好处；同样，选择过少的考试课程，在最佳分数的计算中会处于劣势。所以，最常见的选择是6–8门课程，总学分在17–19之间。
另外，考生们还可以选择写一篇论文，论文等价于一门3个学分的课程。论文的质量也将通过一个以α、β和γ以及加号和减号的组合进行评估。这个评估分数将和其它课程的考卷整体评分一起，用于最佳分数的计算。
因此，PartIII对于学生来说，他们需要做的就是：
1.在学年初，根据自己的兴趣和方向从80多门课程中选择若干门课程学习，这些课程称为选修课。
2.在学年末，根据一定策略（擅长的方面，学分的多少，是否加一定的安全系数）从自己的选修课中选择n门考试课程。假设ni为第i门考试课程的学分，即ni=2或者3，满足∑ni≤19。
3.认真复习备考，并在考试中正常发挥。
考试结束后，阅卷老师和教务人员需要做的是：
1.评阅每张考卷，给出考卷整体评分的数值分数xi，1≤xi≤100，1≤i≤n。
首先，根据以下公式计算所有课程的平均分Mall：
这是一个以学分进行加权平均的公式。
注意到：分母最小为17，这意味着如果某个考生选择的考试课程太少，其学分总和不到17，那么也将按照17进行平均。比如：某考生一共选了4门学分为3分的考试课程，每门课程都得到了100分的考卷整体评分，按照上述公式，他的所有课程的平均分不是100，而是(100×3×4)/17=70.59。
同样，如果某个考生选择的考试课程过多，学分超过17，那么分母将调整为他所选择的所有考试课程的学分总和，这样，过多的考试课程并不会给他带来额外的好处。
这个公式计算了除第k张考卷外的其它考卷的加权平均分。不得不说，这是PartIII考试规则中人性化的一条规则。常在河边走，哪能不湿鞋。没有人能够避免考砸了的情况。舍去一张考卷的平均分将这种偶然失误降低到了最小。
比如：某考生一共选了5门学分为3分、2门学分为2分的考试课程，其中6门课程都得到了100分的考卷整体评分，剩下一门学分为2分的课程（k=7）考砸了，只得到50分。
按照上述两个公式，
Mall=(100×3×5+100×2+50×2)/19=94.74
M-6=(100×3×5+50×2)/17=94.12
M-7=(100×3×5+100×2)/17=100
M-7分数最高，所以M等于M-7=100。
同样注意到分母最小仍然为17，这意味着：如果考前选择总学分为17的方案，那么你将享受不到这条人性化的规则带来的好处，因为哪怕去掉一门最低分，分母仍将保持在17；而考前选择总学分为18的方案，也不见得一定可以因此得到更高的最佳分数。
比如：某考生一共选了6门学分为3分的考试课程，其中5门课程都得到了100分的考卷整体评分，剩下一门考砸了，只得到50分。
Mall=(100×3×5+50×3)/18=91.67
M-6=(100×3×5)/17=88.24
M-6并没有比Mall高，所以最后M仍然等于Mall。
3.得到每个考生的最佳分数后，教务人员根据所有学生的排名对考生成绩进行评级。
TriposPartIII的评级和PartIA、IB和II也略有不同，评级一般分为Distinction（优秀），Merits（良好），Pass（通过），Fail（不及格）和Other（其它）五类。
整体上来说，评级的唯一标准是考生们得到的最佳分数，而不是他们选择的考试课程的总学分。不过，如果某个学生的最佳分数恰好在两个评级的边界上，处于一种可上可下的情况，那么他选择的考试课程的总学分将会成为考虑因素之一。
最后，教务人员需要计算的是每个学生成绩单上给出的整体分数。
PartIII考试中这个整体分数的计算和PartIA、IB和II的计算方式类似，都采用了分段线性校正的方法。
具体来说，根据四个评级，线性校正区间分为Distinction、Merits、Pass和Fail四段。其中，Distinction/Merits之间的边界锚定在74.5%，Merits/Pass之间的边界锚定在69.5%，Pass/Fail之间的边界锚定在59.5%。另外，Distinction中的第一名的分数被锚定在100%，而Fail中的最后一名的分数被锚定在1%（这一点不确定）。最后，根据各自所在的评级，所有其它学生的分数在相应的线性区间中根据上面给出的边界条件进行线性校正，从而得到成绩单上的整体分数。
这种校正计算方法的好处在于，每一届学生的整体成绩分布比较稳定，避免了因为考题难易变化带来的波动。另外，从整体分数上大家就可以大致看出评级来。比如，如果一个学生的成绩单上overallmark是71.8%，这说明他得到了一个Merits，大致位于Merits学生中的中游位置，但从这个分数看不出他的最佳分数，更看不出他的所有课程的平均分。
以上，就是剑桥大学数学TriposPartIII的考试成绩计算方法。
这个过程，何尝不是对数学专业的学生们的另一类测试？
初夏的鲁汶，雨后初霁。虽然阳光普照，但空气中还是带着一丝凉意。
颁奖大会的程序和往年相同。先是VWO主席、鲁汶大学的教授StefaanVaes致欢迎辞，简单介绍一下大会的程序，以及袋鼠比赛今年新增的两个年级组比赛。
不过，JWO/VWO颁奖大会以一个一小时长的报告开头也是一个惯例，因为奖项公布被安排在学术报告的后面，主办方才不怕你中途退场呢，为了这道主菜，再难吃的头盘你也得吃完。
按惯例，奖项公布环节仍然由鲁汶大学的PaulIgodt教授主持，他先公布出题奖的获得者（今年我又一次侥幸获得了这个奖），然后公布JWO（青少年数学奥林匹克竞赛）的结果，最后公布VWO（弗拉芒数学奥林匹克竞赛）的结果，以及比利时IMO代表队中三名弗拉芒区代表的名单。
因为今年唯思客俱乐部的几个孩子参加的是JWO，所以孩子和家长们对前半程的颁奖结果十分期待，同时也带着几分紧张。
今年进入JWO决赛的选手一共有74名。根据决赛的分数分布，组委会最终设立一等奖1名，二等奖8名，三等奖10名，其他选手获得鼓励奖。一二三等奖加起来一共有19名，获奖人数超过决赛人数的1/4，这在JWO/VWO的历史上并不多见，或许是二三等奖选手的得分比较接近的原因？
唯思客俱乐部今年第一次有学生参加JWO。在一共7名选手中，5名选手是目前俱乐部在读学生，2名选手是俱乐部曾经的学生。在一月份第一轮比赛后，除了一名曾经的学生未能晋级以外，其他6名选手顺利进入第二轮。在二月份的第二轮比赛中，一名三年级和一名二年级的学生未能突围，剩下4名选手进入4月份举行的决赛。
主持人PaulIgodt教授从获得鼓励奖的名单开始宣读，名单是按照姓氏字母顺序排列的，孩子们很清楚自己姓氏的首字母所在的位置，所以当看到自己的名字被跳过、没有被读到时，就意味着自己获得了更高的奖项，那种紧张和开心不亚于乐透开奖。
最终，我们参加决赛的4个孩子中有1人获得了鼓励奖，其他3人获得了二等奖。虽然今年二等奖的得主较多，但一等奖只有1个，所以这3个孩子的成绩在所有74名决赛选手中名列前9位。俱乐部一共7个孩子参赛，4个孩子进入决赛，3个孩子获得二等奖，这个成绩要远远好于弗拉芒大区的任何一所中学。
既然聊到了中学，就多聊几句。
有不少朋友关心：比利时的中学会有奥数培训吗？是否也有奥数成绩一向居前的中学？我对这个问题的回答是：第一，比利时的中学一般不会为奥数给孩子进行额外的培训，甚至不会鼓励学习超前的孩子参加奥数比赛；第二，比利时确实有一些中学的奥数成绩向来就不错，这不是因为学校组织了额外的培训，而是因为学校的生源比较好，同等条件下孩子有竞争力，另外，学校的数学老师相对重视数学竞赛，对孩子们参加竞赛、在竞赛中取得好成绩起到了一定的激励作用。
好几年前，我曾经对若干年间JWO/VWO获奖选手所在中学进行过统计【1】，这几年没有继续跟踪这个数据。下面，我把今年JWO和VWO一共159名决赛选手所在的学校以及他们获得的奖项做了一个小小的统计，学校入围的标准是至少有两名学生进入了今年的JWO/VWO决赛，这些学校按照获奖情况和决赛人数排列如下：
排列在前的几所学校大家都很熟悉：鲁汶的Sint-Albertuscollege，根特的Sint-Barbaracollege、Sint-Lievenscollege、DonBoscocollege，阿尔斯特的Sint-Jozefscollege，利尔的Sint-Gummaruscollege等。一句话，都是大家口碑中的好学校。
今年VWO一等奖1名，二等奖2名，三等奖8名，一共11名，人数偏少。一般来说，JWO也好，VWO也好，获得一二三等奖的人数各在15人左右，今年JWO人数多了，VWO人数少了，总数倒也没变。
和往年相比，今年JWO/VWO的颁奖还有几个点可以总结一下：
首先，获得一二三等奖的女生非常少。如果我没有漏算的话，今年只有一个女生在JWO上获得了三等奖，而VWO没有女生获得前三等奖。目前弗拉芒区数学集训队中只有4个女生，在EMC和EGMO上战斗力都不强，今年决赛中女生人数也不多，成绩也不够突出，所以未来两年弗拉芒女子奥数的水平大概率将持续低迷。
第三，弗拉芒区IMO队员选择捉襟见肘。弗拉芒大区的几名队员在EMC上成绩如何，目前外人不得而知。去年年底举行的比赛，过了大半年成绩还没有公布，东欧国家的组织工作也是没谁了。不过，从BxMO上取得的成绩来看，今年弗拉芒区的IMO队员选拔确实碰到了较大的困难，战斗力稍微能拿得出手的选手几乎没有。
最终，三名选手幸运地获得了去英国巴斯的机票——不同于惯例，今年他们在颁奖会场上没有穿印有名字的T恤衫，或许组委会就没有准备？
三名选手中，AnastasiosAmvrosiadis获得VWO二等奖，JonasBoeykens获得VWO三等奖，而四年级的ThomasAudenaert获得JWO一等奖。如果没记错的话，这应该是弗拉芒大区第一次出现JWO选手获得参加IMO资格的情况，组委会进行“断代培养”的意图十分明显。
以成绩论而不以资历论，不墨守成规，也不排斥其他族裔的选手，VWO的这些做法还是非常值得赞赏的。至少，这对于正在唯思客俱乐部学习的孩子们来说，也是一个好消息。
后天（3月13日），比赛试卷将发送到各个学校
下周四（3月21日），全球袋鼠数学竞赛日
从3月22日到4月25日，各校自行选择竞赛日
2023-2024年度袋鼠数学竞赛即将拉开帷幕，比利时弗拉芒区的竞赛日程如上，大多数孩子将在下周参赛，部分孩子因为学校的自行安排，可能在下周到4月25日之间的某一天参加比赛。
袋鼠数学竞赛，在比利时称为kangoeroewedstrijd，是一项面对中小学生的全球规模最大的数学竞赛。该竞赛源于澳大利亚著名数学家PeterO’Halloran在20世纪80年代发起的一项数学竞赛。1991年，两名法国教师将这项比赛引入法国，为了向澳洲数学家致敬，他们将竞赛命名为Kangaroo。此后，袋鼠数学竞赛在欧洲乃至全球其他国家大受欢迎，目前已经成为全球参赛人数最多的中小学数学竞赛。
根据孩子们所在的年级，比利时的袋鼠数学竞赛分为多个级别，其中：
在弗拉芒区政府的推动下，从今年开始，袋鼠数学竞赛新增两个级别的比赛。其中：
Numbat面对双重（普通中等教育方向和职业中等教育方向）可能选择的中学3年级以上的学生；
Quakka面对选择职业中等教育方向的中学3年级以上的学生。
Numbat级别比赛例题：
Quakka级别比赛例题：
袋鼠数学竞赛的扩容，使得中学3年级以上、非普通中等教育方向的学生有了参加数学竞赛的可能，这项赛事是JWO/VWO的一项有益的补充，另外，其2-3人为一组的组团形式也给比赛增添了更多的趣味。
当然，在奥林匹克竞赛方面，参加并在JWO/VWO中脱颖而出仍然是通往IMO唯一的途径，这也是那些在数竞方面有兴趣、有能力的孩子必须尝试的道路。
今天是女神节。
在数学史上，德国数学家艾米诺特（EmmyNoether）被爱因斯坦等学者称为最杰出的女性数学家，同时她也被许多人誉为“现代代数学之母”，这不仅仅因为艾米诺特发现了环、域和域上的代数学，以及对称性和守恒定律之间的紧密关系，还因为她生活在一个女性在数学教育和研究方面受到极大限制的年代。
诚然，艾米诺特对人类的主要贡献来自于她在数学和物理等学科上取得的非凡的学术成就，但同样重要的是，她为后来包括居里夫人、玛丽卡特赖特和朱莉娅罗宾逊在内的女性科学家和数学家树立了榜样，她的成功和影响力鼓舞了无数女性在数学和科学领域上下求索，作出不亚于男性同伴的贡献。
因此，我将艾米诺特称为现代数学的初代女神，应该不至于遭致太多非议吧。
艾米诺特出生于19世纪末的一个德国犹太家庭，她的父亲马克斯诺特是一位数学家，在埃尔兰根大学当教授，母亲艾达考夫曼则来自于科隆的一个富裕家庭。
诺特并不是一个犹太人姓氏。马克斯诺特的祖父原名埃利亚斯塞谬尔，是一家企业的创始人。1809年，巴登州颁布法律，要求犹太人采用日耳曼人姓氏，埃利亚斯选择了诺特作为这个家庭的新姓氏。马克斯的父亲赫尔曼是埃利亚斯九个孩子中的一个，他在十八岁时离开家乡，在曼海姆大学学习神学。1837年，赫尔曼和兄弟约瑟夫一起开始做五金铁器批发业务，生意越做越大，在随后的几乎一个世纪中，诺特钢铁成为了这个家族最成功的产业——直到纳粹上台，犹太人的产业被政府没收，这个犹太家族才失去了这个金饭碗。
所以，不仅仅维特根斯坦是欧钢老板的儿子，艾米诺特也出生于一个钢铁大亨的家庭。其实，在19世纪以及更早的年代，数学家是一个纯投入、无产出的职业，“纵向”的薪水不多，也没有什么“横向”的收入。数学家之所以能够成名，不仅仅要有天赋、有成果，还要有足够的经济实力来支撑。这种经济支撑要么来自于家族殷实的家底（比如费马），要么来自于伯乐（贵族等金主爸爸）的赞助——比如高斯。如果既没有家底，又没有赞助，即便再有才华也很难坚持这份职业。可怜的阿贝尔就是因为赞助来晚了一步，在贫困中匆匆谢世。
马克斯在赫尔曼五个孩子中排行第三，与门当户对的考夫曼家族联姻，因为双方都有足够厚实的家底，所以马克斯没有从事家族钢铁生意，而是在埃尔兰根大学做数学教授。艾米出生在这么一个既有家学传承，又有经济支撑的家庭，不想成为数学家都很难呢。
尽管艾米是四个孩子中的老大，但她的才华并没有在幼年时期就表现出来。艾米从小就聪明、友善、讨人喜欢，相貌朴实，又有些近视和口齿不清，在学校老师和邻居眼中她是一个爱笑、爱跳舞、喜欢沉浸在自己的思考中的孩子。
冥冥之中，诺特家族在数学领域集大成的重任就悄然落在了艾米身上。
艾米在埃尔兰根度过了愉快的童年，她在中学阶段的理想是成为一名语言教师，并没有把数学和自己联系在一起。18岁那年，艾米参加了巴伐利亚州的统一考试，并以“优秀”的成绩等级、以及第二的排名获得了巴伐利亚州英语和法语的教师认证。此时，峰回路转，她并没有就此开启自己作为语言教师的职业生涯，而是选择了一条更为艰辛的道路：在大学学习数学。
我不知道在艾米身上发生了什么，让她有这样的一个突然的决定。在当时的德国，女性是不允许以正式学生的身份读大学的——但是，她们被允许以非正式学生的身份旁听大学课程。考虑到艾米有一个在大学里当数学教授的父亲，所以艾米在埃尔兰根旁听数学课，似乎也是一个自然而然的想法。
在旁听了两年的大学数学课之后，艾米逐渐展现出自己在数学方面的才华，她参加并通过了哥廷根大学的入学考试。1903年，21岁的艾米来到哥廷根大学，在这里她看到了卡尔史瓦西、奥托布卢门萨尔、大卫希尔伯特、菲利克斯克莱因和赫尔曼闵可夫斯基这一长串儿耀眼的名字，要知道，这些都是哥廷根学派的数学大家啊！尽管艾米仍然不能成为正式入学的学生，只能以旁听生的身份跟随他们的讲座，但她已经非常满足于在这个当时世界上学术水平最高的数学殿堂徜徉的机会。
幸运的是，1904年德国政府修改了政策，允许女性以正式学生的身份进入大学学习。艾米回到埃尔兰根，通过了入学考试，并正式进入埃尔兰根大学学习数学。三年后，她在保罗戈登的指导下获得了博士学位。
更何况，艾米是一个非常勤奋的学生。科林麦克拉蒂写道：
“1908年艾米在与戈登合作的一篇论文中进行了一项巨大的计算，该计算在很多年前曾经困扰过戈登。据我所知，在诺特之前没有人完成过这项计算，甚至没有人想到过去进行验证。”
获得博士学位之后，艾米眼前的道路并不明朗。因为在当时，学术道路并没有对女性开放，艾米毕业即失业，不得不呆在家中，一方面照顾身体状况欠佳的父亲，一方面在埃尔兰根大学数学系恩斯特费舍尔教授的帮助下进行自己的研究。
在埃尔兰根“啃老”的这几年中，艾米的外在形象更像一位来自农村教区的牧师——穿着一件几乎长及脚踝、毫不起眼的黑色外套，短发，戴着一顶男式帽子，像铁路售票员一样斜挎着双肩包，形象相当古怪。
1915年，大卫希尔伯特开始研究物理学中狭义相对论，在与菲利克斯克莱因讨论后，两人决定邀请艾米重返哥廷根。艾米欣然接受了邀请，在与希尔伯特和克莱因的合作中，她在狭义相对论方面提出了诺特定理，证明了物理学中的对称性和守恒定理之间的关系。
艾米的成功让很多人感到不快，尤其在希尔伯特提议将她聘为副教授的时候，有一些人提出由女性来担任大学的教职是从未有过的事情：
“当我们的士兵回到大学，发现自己被要求在一个女人的手下学习，他们会怎么想？”
希尔伯特反驳道：“先生们，这里不是澡堂。”（MeineHerren,diesistkeineBadeanstalt.）
然而在顽固势力面前，希尔伯特并没有获胜。他和克莱因不得不说服艾米先留在哥廷根，让他们为她正式获得教职继续进行努力。在此期间，艾米作为希尔伯特的助手帮忙参与数学系的学生讨论会，每周两个小时，且无薪水。
还是那句话，不差钱，才能孕育出数学成就。
1919年后，艾米的研究转向环、域等抽象代数理论，这一理论对现代代数的发展具有根本的重要性。在随后与范德瓦尔德、哈斯和布劳尔等人的合作研究中，艾米系统性地完善了这一套理论，她两度受邀在国际数学家大会上发表演讲，并于1932年获得了阿尔弗雷德阿克曼-托伊布纳(AlfredAckermann-Teubner)数学知识进步纪念奖。
希尔伯特和艾米的抗争一直持续到1922年，终于，哥廷根大学放下了身段，同意聘用艾米为大学数学系副教授，并发给她少得可怜的薪水。
这似乎只是一个小小的胜利，却又是一场大大的胜利。
艾米成为了校园里最受欢迎的教师，她的身边围绕着一群聪明又好学的学生，被称为“诺特男孩”——是的，与“王心凌男孩”不同，当时大学校园里学习数学的女生数量几乎为零，所以围在艾米身边的自然都是男生。
“你不相信邪恶，事实上你从来没有想到它可以在人类事务中发挥作用。1933年我们在哥廷根一起度过的去年夏天，那个风雨交加的夏天，我最清楚地认识到了这一点。在我们周围所有派别正在发生的可怕的斗争、破坏和动乱中，在仇恨和暴力、恐惧、绝望和沮丧的海洋中——你走了自己的路，以同样的方式思考数学的挑战。一如既往地勤奋。当你不被允许使用学院的演讲厅时，你就把学生聚集在自己的家里。即使是那些穿着棕色衬衫的人也受到欢迎。你从未怀疑过他们的正直。你不顾自己的命运，心胸开阔，无所畏惧，总是和解，走自己的路。我们中的许多人相信，敌意已经释放，无法得到宽恕。但你却丝毫没有受到这一切的影响。”
在纳粹掌握政权之后，德国的政治风气急速右转。棕色衬衫是纳粹党制服的一部分，棕色衬衫和万字臂章一起，具有强烈的象征意义，代表着纳粹党员对纳粹意识形态的忠诚和信仰。后来，纳粹冲锋队也被称为“褐衫队”，也是这个缘由。
尽管艾米并不关心政治，对她的不同政治信仰的学生保持了足够的信任和开放的胸襟，甚至欢迎参加了纳粹组织的学生来听课，但覆巢之下，焉有完卵。1934年4月，艾米诺特被哥廷根大学解雇，理由是她是一个犹太人。尽管没有因为失去工作而得到任何补偿，也没有养老金可以领取，艾米仍然保持了十分乐观、积极的心态，她在给朋友的信中说：
“不过，我必须说，这件事对我来说远没有对其他许多人那么可怕，至少我还有一小笔遗产（反正我从来没有想过有资格领取养老金），这让我可以歇下来看看。”
随着局势变得越来越不可控，爱因斯坦为艾米联系了在美国宾夕法尼亚州布林莫尔学院的工作。一开始，爱因斯坦的好意被艾米拒绝了，因为她的理想去处是牛津大学。不过很快，艾米发现她没有太多的选择。
1933年10月，艾米诺特登上了开往美国的轮船，不久后她开始在布林莫尔学院担任客座教授。1934年2月，艾米开始给普林斯顿高等研究院兼职讲课。
1934年夏天，艾米曾经短暂地回到德国，这是她最后一次见到她的二弟弗里茨。艾米在汉堡还拜访了埃米尔阿廷，1980年，阿廷的妻子回忆起当年诺特的到访：
“现在我记得最清楚的一件事就是乘坐HamburgUntergrund，也就是汉堡的地铁。我们在研究所遇见了艾米，她和阿廷立即开始谈论数学。那时的主题是Idealtheorie（环论中的理想），他们开始讲Ideal、Führer、Gruppe、Untergruppe，全车的人都突然竖起了耳朵。[笔者注：这些德语名词是数学术语，同时也有着强烈的政治含义，为了避免不必要的麻烦，我保留了这些词的原文]我吓得要死——我想，天哪，马上就会有人走过来逮捕我们。当然，那是1934年的事了。但艾米完全没有注意到这个，她说话很大声，非常兴奋，声音越来越大，一直在说Führer和Ideal。”
艾米安全地回到了美国，幸运地逃离了纳粹政权对犹太人的迫害。然而，她的生命却在不到一年后就戛然而止。
1935年4月，医生发现艾米患有肿瘤。在两天后的手术中，医生发现她腹腔内长有更多的肿瘤，医生认为这些肿瘤是良性的，没有进行切除。手术后的前几天，艾米看上去恢复得还不错；然而到了第四天，她突然晕倒，并开始发高烧，几个小时后艾米诺特这位伟大的数学家就走到了生命的尽头，享年53岁。
艾米诺特在生前并未受到很多人的认可，在她去世后，也很容易被人们所遗忘。
所幸，世界上有些地方还留有她的名字，有些人仍然在缅怀她。
宾西法尼亚州布林莫尔TheCloisters修道院里刻有艾米诺特名字首字母的墓碑。
在剑桥大学，学习数学的女生们建有一个社团，它以艾米诺特的名字命名。也许正是艾米诺特，在激励着这些女孩在数学研究的道路上越走越远；同时，也让她们为女性以教师、科研人员等不同身份在数学和科学技术等领域做出的重大贡献而感到自豪。
剑桥大学艾米诺特协会主页。
作为一个十几年以来的传统，过去这个周末我们和几家朋友一起在比利时南部度过。大家一起吃吃喝喝，热热闹闹地过了一个大年。
今年我们选择了Saint-Hubert，这个小镇位于比利时南部的阿登山区，其地名来自于公元七世纪到八世纪列日第一任主教SaintHubert。SaintHubert被称为“阿登的使徒”，后被天主教会封为圣人。有意思的是，尽管没有任何证据表明他和数学有什么联系，SaintHubert还被一些人选择作为“数学家的守护神”（另一位“数学家的守护神”为SaintBarbara，她和数学之间同样缺少明确的联系）。
因此，既然我们在Saint-Hubert迎接新年，一起迎新的还有十来个大大小小的孩子，不如为孩子们准备几个和数学有关的纸牌魔术，将大年初一的晚上命名为“魔术之夜”吧。
万万没有想到的是，除夕之夜的刘谦今年没有找托儿，却以数学中的“约瑟夫问题”为内核表演了一个魔术。
这可是一不小心撞了春晚的题材啊！
春晚归春晚，我们在SaintHubert的魔术之夜归魔术之夜。初一，我们准备的三个魔术准时登场。
考虑到十几个孩子的年龄分布，第一个魔术比较简单，适合于和低龄的孩子一起玩。
魔术一过程描述：
魔术师将若干张扑克牌摆放在桌面上，然后转过身背向扑克牌。作为志愿者的孩子可以选择、且只可以选择其中一张扑克牌，将其旋转180度放好。旋转完成后，魔术师转过身重新面对扑克牌，并找出被旋转过的那张扑克牌。
魔术一揭秘关键词：
旋转对称性。
我们在唯思客俱乐部数学兴趣小组B组的活动中对这个魔术做过介绍，这个魔术的关键在于理解扑克牌图案的旋转对称性。
所谓旋转对称性，指的是某个图案围绕某个点旋转一定角度后可以和原图案完全重合。在这个魔术中，志愿者孩子将扑克牌选择180度，所以我们需要考虑的是扑克牌上的图案关于180度的旋转对称性。
大家都知道，扑克牌有四个花色：黑桃、红心、方块和梅花。不难发现，如果分别将这四个花色旋转180度，那么只有方块可以和原来的图案重合，即方块具有180度旋转对称性；而黑桃、红心和梅花都不具备180度旋转对称性。
一张扑克牌是否具有180度旋转对称性，不仅仅取决于花色，还取决于牌的点数。
当点数大于10时，即我们俗话中的花牌J、Q和K，不论什么花色，它们的图案都是具有180度旋转对称性的。
当点数小于等于10时，我们就需要观察其花色、点数以及花色图案在牌面上的排列了。
对于方块来说，原则上，如果花色图案的排列都以扑克牌中心为基准，那么所有的方块都具有180度旋转对称性。然而，扑克牌设计者在方块7这张牌上采取了一个例外：方块7中间的那个方块图案（下图蓝圈中）被向上移动了一段距离。因此，方块7不具有180度旋转对称性。
对于其他三种花色的奇数点数扑克牌，因为这些花色图案本身不具有180度旋转对称性，且花色图案的个数为奇数，所以这些扑克牌肯定不具有180度旋转对称性。下图为一些例子。
对于其他三种花色的偶数点数扑克牌来说，2、4、10这三张扑克牌具有180度旋转对称性，因为这些图案分别以一列2个，两列各2个，和三列4个、2个、4个的形式排列，这样的排列方式本身具有180度旋转对称性。下图为一些例子。
而对于6和8这两张扑克牌，尽管点数为偶数，但这些图案分别以两列各3个，和三列3个、2个、3个的形式排列，因为存在图案个数为奇数（3个）的列，且图案本身不具有180度旋转对称性，所以这些扑克牌不具有这样的对称性。下图为两个例子。
掌握了扑克牌的旋转对称性，魔术师的工作就很简单了：
魔术师只需选择若干不具有180度旋转对称性的扑克牌，或者再加上最多1张具有旋转对称性的扑克牌。他首先记住每一张扑克牌上不对称花色图案的指向，当志愿者孩子将其中一张扑克牌旋转180度之后，魔术师如果发现某张牌上图案的指向发生了变化，那么就可以将其指认出来；如果没有发现任何指向发现了变化，那么志愿者孩子旋转的就是那张具有旋转对称性的扑克牌。
比如，在以下这组扑克牌中，只有黑桃K具有180度旋转对称性，魔术师事先将其他扑克牌中黑桃和红心的尖儿、方块7中间一列的方块、以及草花的花柄朝上摆放，作为特定的指向（蓝圈）。
这样，如果魔术师发现黑桃或者红心的尖儿、方块7中间一列的方块、或者草花的花柄改为朝下，那么他可以立刻找出这一张扑克牌；否则，被旋转的扑克牌就是黑桃K。
魔术一比较简单，在我们的魔术之夜，有好几个没有参加过兴趣小组的孩子也很快发现了这个魔术的秘诀。
魔术二过程描述：
魔术二由魔术师和他的助手配合进行。
魔术师先背对游戏桌，他的助手从孩子中召集五名志愿者，然后拿出一副去掉了大小王的普通扑克牌。志愿者们洗好牌，每个人从牌堆中挑选出一张交给助手。助手将这五张牌按照一定顺序、背面朝上地放在桌面上。然后魔术师转过身来，依次翻开上面四张，最后准确地说出第5张牌的花色和点数。
魔术二揭秘关键词：
抽屉原理，以及全排列编码。
这个魔术的设计十分巧妙，我们在《课堂上来不及思考的数学》【2】一书中曾经介绍过这个魔术，以下的揭秘内容节选、整理自这本书。
假设翻出的前4张牌依次为：方块Q、红桃2、梅花J和红桃4，那么魔术师可以准确地猜出第5张牌为方块2。
又假设翻出的前4张牌依次为：黑桃2、红桃5、方块7和梅花K，那么魔术师可以准确地猜出第5张牌为黑桃8。
一副牌52张，去掉4张翻开的明牌，还剩下48张，显然魔术师依靠的并不是运气；他和助手之间一定存在着某种约定，助手将某种信息通过这4张明牌的排列传给了魔术师。不过，这4张明牌也是由志愿者们随机选定的，从52张牌里选4张，这将是一个超过27万的组合数。那么，助手和魔术师之间究竟有着怎样的约定，才可以在这种表面随机性的背后传递足够的确定性信息呢？
在我们魔术之夜的表演过程中，孩子们很快发现了一个规律：在这两轮魔术表演中，最后那张谜底牌的花色都和第一张明牌的花色相同。
容易知道，根据抽屉原理：随机选择的5张牌最多只有4种花色可能，所以其中至少有2张牌的花色一定相同。因为选择哪张牌作为谜底牌是由助手决定的，所以魔术师和助手事先完全可以作如下约定：助手将两张花色相同的牌分别置于第一张和最后一张，看到第一张明牌后，魔术师就知道谜底牌的花色了。
谜底牌的花色问题已经得到解决，那么魔术师又是如何知道它的点数呢？
同花色的牌中已经有1张当了明牌，因此谜底牌可能的点数只有12种。如果我们将A–K这13个点数均匀地分布在一个圆周，设两个相邻点数之间的劣弧弧长为1，那么整个圆周长为13。如果在这13个点数中任意取两个点，因为它们之间的劣弧和优弧的长度之和恒为13，所以劣弧的长度一定小于等于6。
将3张大小不同的牌进行排列，可以得到P(3,3)一共6种不同的排列方式，每一种排列方式可以对应地约定为一个劣弧长度。比如：
扑克牌任意两张牌之间是否可以确定大小呢？当然可以！类似于桥牌中的约定，四个花色从大到小依次为黑桃、红桃、方块和梅花，在这种先比较花色大小的约定下，红桃3大于方块7，而方块10也大于梅花Q。同样，也可以约定先比较点数大小，点数相同时再比较花色大小，比如红桃3小于方块7，但大于草花3。
综上，按照先比较花色再比较点数的约定，魔术二的奥秘渐渐浮出水面：在拿到志愿者选定的5张牌后，助手先挑出两张花色相同的牌（有两组花色相同时，可以随机取其中一组；有超过2张花色相同时，可以随机取其中两张），按照顺时针方向确定两张牌中的劣弧起点和终点（比如，5和10的劣弧起点为5、终点为10；3和J的劣弧起点为J，终点为3），将起点牌作为第1张明牌，将终点牌作为谜底牌，再根据劣弧的长度，按照上面表格约定的对应关系和剩下3张牌的实际花色和点数，将3张牌依次排列为第2张、第3张和第4张明牌。
在第一轮表演中，助手拿到了梅花J、方块2、方块Q、红桃2和红桃4，因为在方块和红桃中都出现了两张牌，助手随机选择了方块，2和Q之间的劣弧起点为Q，终点为2，所以方块Q成了第1张明牌，方块2为谜底牌，劣弧长度为3，对应的3张牌排列为“中小大”，所以红桃2、梅花J和红桃4依次成为第2张、第3张和第4张明牌。魔术师方面，他看到的4张明牌分别为方块Q、红桃2、梅花J和红桃4，按照事先的约定，谜底牌是方块，劣弧起点为Q，按照对应关系劣弧长度为3，所以他猜出来谜底牌为方块2。
在我们魔术之夜的表演过程中，孩子们能够发现点数由第2、第3和第4张扑克牌决定，但尚无人能够发现这个魔术最后的诀窍。不过在进行讲解后，年龄较大的孩子可以理解通过6种不同排列来编码6个数字，再通过第一张扑克牌的点数计算得到谜底牌的点数。
魔术三过程描述：
志愿者孩子随意选择27张不同的扑克牌（可以包括大小王），在心里记住其中一张，并将牌堆洗好交给魔术师。魔术师依次以以下3种顺序进行发牌，将这27张扑克牌面朝上一一排列成3行9列，并向志愿者孩子询问他心中的那张扑克牌位于第几行，在得到答案后再以同样的顺序将牌收回成牌堆。在依次得到3次回答后，魔术师准确说出这张扑克牌的花色和点数。
发牌顺序1：依列（如下图）将27张牌排列成3行9列。
发牌顺序2：依九宫格（如下图）将27张牌排列成3行9列。
发牌顺序3：依行（如下图）将27张牌排列成3行9列。
魔术三揭秘关键词：
三进制。
对于魔术师来说，这个魔术最大的难度在于牌堆和3行9列排列之间的3次发牌和收牌过程，不能在发牌和收牌的顺序上出现差错，否则将前功尽弃。
而对于观众和孩子们来说，破解这个魔术最大的难度也在于洞察这3种发牌顺序背后隐含的数学规律。
如果我们将牌堆的第一张牌编号为0，第二张牌编号为1，……直至最后一张牌编号为26，那么按照第一种发牌顺序，我们将得到如下发牌结果：
第一行：24，21，18，15，12，9，6，3，0第二行：25，22，19，16，13，10，7，4，1第三行：26，23，20，17，14，11，8，5，2
按照第二种发牌顺序，得到的发牌结果将为：
第一行：20，19，18，11，10，9，2，1，0第二行：23，22，21，14，13，12，5，4，3第三行：26，25，24，17，16，15，8，7，6
按照第三种发牌顺序，得到的发牌结果将为：
第一行：8，7，6，5，4，3，2，1，0第二行：17，16，15，14，13，12，11，10，9第三行：26，25，24，23，22，21，20，19，18
在游戏过程中，有孩子已经注意到第一张牌在所有三种发牌顺序中都将在右上角出现，同样，最后一张牌也都将在左下角出现。除此之外，似乎很难发现这背后还有别的什么玄机。
现在，我们将十进制的编号用三进制来表示，并且将第一行的行号标记为0，第二行的行号标记为1，第三行的行号标记为2。
那么，按照第一种发牌顺序，得到的发牌结果将为：
行号0：220，210，200，120，110，100，020，010，000行号1：221，211，201，121，111，101，021，011，001行号2：222，212，202，122，112，102，022，012，002
行号0：202，201，200，102，101，100，002，001，000行号1：212，211，210，112，111，110，012，011，010行号2：222，221，220，122，121，120，022，021，020
行号0：022，021，020，012，011，010，002，001，000行号1：122，121，120，112，111，110，102，101，100行号2：222，221，220，212，211，210，202，201，200
用三进制表示后，这个魔术的秘诀就揭晓了。
我们注意到：
在第一种发牌顺序得到的排列中，最后一位数字为0的编号全部位于行号为0的那一行，最后一位数字为1的编号全部位于行号为1的那一行，而最后一位数字为2的编号全部位于行号为2的那一行。
类似地，在第二种发牌顺序得到的排列中，中间一位数字为0的编号全部位于行号为0的那一行，中间一位数字为1的编号全部位于行号为1的那一行，而中间一位数字为2的编号全部位于行号为2的那一行。
同样，在第三种发牌顺序得到的排列中，第一位数字为0的编号全部位于行号为0的那一行，第一位数字为1的编号全部位于行号为1的那一行，而第一位数字为2的编号全部位于行号为2的那一行。
因此，如果志愿者孩子心中的扑克牌在第一种发牌顺序中的行号为x，在第二种发牌顺序中的行号为y，在第二种发牌顺序中的行号为z，那么这张牌在牌堆里的顺序就是(zyx)3。
而对于魔术师来说，他只须在心里先将(yx)3转换成十进制，就可以知道这张扑克牌在第三种发牌顺序中将在哪一列出现。待第三次发牌结束，志愿者孩子说出扑克牌所在行时，魔术师立刻可以确认这张扑克牌的位置，从而记住这张扑克牌的花色和大小，待第三次收回牌堆后，再假装推理一番，最后准确地说出答案。
在我们的游戏以及后面的讲解过程中，孩子们还很难完全理解以上的换算原理。虽然数的进制已经在兴趣小组的活动中进行过介绍，但介绍的内容集中在常见的2进制，8进制和16进制上，孩子们还很难理解3进制以及3进制表示法在这个魔术中起到的关键作用。
最后，我们以一场吃吃喝喝热热闹闹地结束了新年的第一天。
“来自巴格达的花拉子米和来自哥廷根的埃米·诺特，他们可以用相同的数学语言交流并互相理解。”
打开IMO官网，搜索Palestine，我们可以找到下面这个页面。
在IMO64年的历史中，巴勒斯坦仅仅有过一次参赛经历。尼古拉·阿布萨德（NicolaAbusaad）是迄今为止唯一的巴勒斯坦IMO选手，他在2022年挪威奥斯陆代表巴勒斯坦第一次参加IMO，并以14分的成绩获得了荣誉奖。
萨里·加内姆（SariGhanem）出生在耶路撒冷的一个穆斯林家庭。耶路撒冷是一个民族和宗教的大熔炉，所以尽管在血缘上加内姆是一个巴勒斯坦人，但他自己却没有任何宗教信仰。
在加内姆很小的时候，他被父母送到巴勒斯坦的天主教小学和中学学习。在14岁那年，他转入一所在耶路撒冷的法语高中，也许因为这个经历，加内姆后来移居法国，在那里完成了本科和研究生学业并加入法国籍。
在研究生阶段，加内姆在美国待了四年，期间曾在耶鲁大学游学，最后他在法国的巴黎七大获得博士学位，成为一名纯数学方向的研究者。此后他曾在德国的马普研究所工作，现在在德国吕贝克大学担任教职。
在加内姆博士的求学和工作期间，作为一个巴勒斯坦人，他越来越感到巴勒斯坦及巴勒斯坦人在高水平数学教育和研究领域的缺失。因为隔离政策，巴勒斯坦人鲜有机会接触到高质量的数学活动，不仅在纯数学研究领域教授级别的研究者中不见巴勒斯坦人的身影，而且在久负盛名的中学生数学奥林匹克竞赛中也没有巴勒斯坦学生的参与。
加内姆博士决定通过自己的努力来促进巴黎斯坦人在数学教育和研究领域获得更多的机会，他因此于2015年在法国成立了非营利性质的花拉子米-诺特研究所（以下简称AKNI）。
花拉子米-诺特，这个名字非常有意思。花拉子米生活在公元八世纪到九世纪，是一位波斯数学家、天文学家及地理学家。他的《代数学》一书是历史上第一本关于一次方程及一元二次方程的系统性著作，花拉子米因此被认为是代数学的创始人。艾米·诺特生活在十九世纪末到二十世纪中，她是一位德国数学家和物理学家。诺特因为代数不变量理论、诺特环、域以及诺特定理等贡献被人们誉为现代代数的奠基人。
两位数学家虽然相隔了千年，但他们都是代数学领域的集大成者。同时，虽然花拉子米是波斯人，但他长年生活在巴格达，对阿拉伯世界在中世纪对数学的传承和发展起了关键性作用。而诺特出生于一个犹太家庭，因为自身的努力才成为了哥廷根学派的重要一员，后来因为纳粹政府上台诺特不得不离开德国，前往美国。
加内姆博士为AKNI邀请到了四位菲尔茨奖得主作为科学顾问，并为研究所拟定了以下目标：
在AKNI的框架下，加内姆开展了“IMO巴勒斯坦项目”，旨在让巴勒斯坦尽快加入IMO这个大家庭。虽然申请加入IMO在程序上并不难，但IMO对成员国的资格和派队参赛等方面其实还是有着不少（潜在）要求的。
首先，申请国应该举办全国性的数学奥林匹克竞赛，这个比赛在国内类似于高联或CMO，在比利时即VWO或OMB。这个比赛一般由2-3轮组成。
其次，申请国一般应该组织为IMO准备的数学夏令营或训练营，类似于国内以前的冬令营及现在的国家集训队，在比利时类似于为数不多的周末集训。实际上，各个国家在采取的集训方式、时长和集训难度上差别很大。
第三，申请国应该组织IMO代表队的选拔，即所谓的TST。这个具体到各个国家，其规则就更加五花八门了。
根据这几个基本要求，加内姆博士和AKNI从2016年开始组织巴勒斯坦数学夏令营。
2016年第一届数学夏令营在伯利恒举行，夏令营为期十天。每周有5天组织教学，教学内容包括初级的组合学、代数、逻辑、算术和几何；2天组织文化和社会活动，包括参观伯利恒的博物馆，参加音乐会和体育运动等。
加内姆本人和法国青年队的领队MatthieuLequesne担任夏令营的教师，另有2名巴勒斯坦数学硕士作为助教。首届夏令营的营员一共有11名，包括7名男生和4名女生，营员中既有穆斯林也有基督徒，他们主要来自于8年级和9年级。
在2016年成功举办首届数学夏令营的基础上，加内姆博士和AKNI在2017年又举办了两届夏令营，并在2018年和2019年连续各举办了一届夏令营，夏令营的地址在巴勒斯坦的伯利恒和拜特贾拉。
在全国性的数学竞赛方面，以AKNI为主办单位，2017年巴勒斯坦数学奥林匹克竞赛于5月6日举行，共有来自巴勒斯坦公立和私立学校共计493名参赛者，其中有26名中学生获奖。2018年巴勒斯坦数学奥林匹克竞赛的规模和上一年基本上相当，参赛者有453名，男性和女性比例各约50%，当年的比赛在巴勒斯坦的四个比赛中心进行。2019年的巴勒斯坦数学奥林匹克竞赛一共有20名获奖者，他们获得了AKNI的资助，得以参加8月份举行的为期两周的数学夏令营。
就在加内姆博士和AKNI组织的IMO巴勒斯坦项目进行得如火如荼的时候，新冠疫情发生了。在随后的两年中，由于疫情以及其它方面的原因，巴勒斯坦数学奥林匹克竞赛和数学夏令营基本上处于停摆的状态。2020年，AKNI决定将重点转为在线教学，但似乎在资金筹措方面碰到了较大的困难。
2021年，一个名叫萨米德·哈贾吉拉（SamedAlHajajla）的年轻人开始扛起了巴勒斯坦数学奥林匹克的大旗。
哈贾吉拉2017年进入巴勒斯坦的Al-Quds开放大学学习计算机信息系统，在此之前他就已经是一个计算机迷，并且积极参与了巴勒斯坦信息学奥林匹克竞赛的组织工作。2019年，大二的哈贾吉拉开始担任巴勒斯坦IOI副领队，也就是从那一年开始，他发现了阿布萨德在信息学和数学上的天份。
阿布萨德来自伯利恒，从2020年到2022年连续三年代表巴勒斯坦参加IOI，并在2022年印尼日惹的第34届IOI上获得了一枚铜牌。阿布萨德成为了巴勒斯坦从2017年开始参加IOI以来第一位获得了奖牌的选手。
2021年哈贾吉拉向IMO提出申请，巴勒斯坦顺利成为了IMO成员国，哈贾吉拉成了巴勒斯坦IMO联络人，并担任巴勒斯坦队的副领队。哈贾吉拉随机在社交媒体上发起捐款，希望得到大家的帮助，使得阿布萨德可以参加2022年在挪威奥斯陆举行的第63届IMO，这也是在疫情开始两年后，IMO第一次回到线下。
2022年7月，第63届IMO在奥斯陆举行，阿布萨德成为第一位参加IMO的巴勒斯坦选手。在开幕式上，阿布萨德展现巴勒斯坦国旗，赢得了台下参赛者雷鸣般的掌声。
阿布萨德也不负众望，在接下来的比赛中在第一题上获得满分，第二题和第五题上分别获得1分和6分，从而以14分的成绩获得荣誉奖。
阿布萨德（左）和哈贾吉拉（右）在赛后。
2022年巴勒斯坦队在IMO上的首次成功亮相给予了哈贾吉拉很强的信心，他在一个名为Meshka的网站上给巴勒斯坦学生们提供在线学习、讨论数学和信息学的机会。
2023年，哈贾吉拉再次在社交媒体上发起捐款，希望能够筹措到足够的资金使得巴勒斯坦能够派出一支代表队而不是仅仅一名选手参加今年7月在日本千叶举行的第64届IMO。
不过很遗憾，不清楚是哪个环节出了问题，巴勒斯坦队未能连续第二年出现在IMO的舞台上。这也是目前我们打开IMO官网，只能发现阿布萨德一名选手参赛记录的原因。
花拉子米是波斯人，但他在巴格达成为了阿拉伯数学世界中的先驱；诺特是犹太人，她在德国成为了女性在数学上作出同等贡献的最杰出的代表性人物之一。数学不仅仅是人类文明中的一个重要组成部分，它更是跨越人类种族、宗教和文化背景的最为有效、且最为基本的要素。
希望题图中在隔离墙下前行的那些巴勒斯坦奥数孩子们安好！也希望笔者一直欣赏的以色列奥数女生NogahFriedman安好！
“文以载数创作奖”【1】是面向台湾地区大专校院的数学科普活动之一。该活动鼓励学生构思将理性的数学与感性的文字结合，创作与数学有关的各类文学作品，藉以推动学生阅读课外书籍、探索数学知识，并将其转化为文学作品，以激发学生对数学的兴趣及创意联想。
第一届技专校院“文以载数创作奖”于2015年由台湾“中国科技大学”举办，2016年开始转由台湾“国立勤益科技大学”举办，最近几年该活动得到了“科技部科教发展及国际合作司”大众科学教育计画的支持和赞助。
第二年的5月份，活动公布当年“文以载数创作奖”的获奖名单。组委会在两类作品中分别评选出9个作品，按照评分标准分列“特优”1名、“优等”2名和“佳作”6名，分别奖励5000元、3000元和600元新台币。
《有人說這是最單純的語言》
高二初夏，講台上老師寫下y=2x與y=2x。那時昏昏欲睡的我，無關痛癢的聽著，直到老師畫出他們交會兩次後分離，老師說了一句：從此不再相見。
那時剛開學，蟬聲不止，一個黝黑寡言的人望著我，順著那道目光我誠誠懇懇的「瞪」回去，反正不是第一次被當成我「看」人用「瞪」的。然後就沒有然後了，隔天就是開學，一成不變的選幹部、排座位……他逐漸模糊在我的記憶裡。
我當上了衛生股長，不是我特別愛乾淨，懶病無藥醫的我不意外只是單純不想做掃地工作，打算直接當幹部免去麻煩，擔心叫錯名字而尷尬癌爆發的我，馬上要求同學在自己的座號旁邊簽上自己的名字，認字跡我就可以認人，直至我看見一個不同於其他鬼畫符的字體，稱不上漂亮，不過就是中規中矩的雌雄莫辨的字跡。誰？我知道是男的，但是誰？
數學課上，老師詢問了有誰願意當小老師的意願，直接說明希望是數學成績不要太差的同學，因為是第一天，沒有人直覺就認為自己的數學比其他人好，但一直劃破領空黑乎乎的手就這樣舉了起來，我還想說誰這麼無恥的時候，老師鬆了一口氣的說：好的，謝謝這位同學，你叫什麼名字？
那個雌雄莫辨的字跡的本人，變成了數學小老師。
「讓我們翻開課本第一章數與式，小時候你們學過那些數，包括正負數、根號、分數、小數都包含在……」那堂課我唯一記住的是，歸謬法，我記著很久，因為他特別像我的矛盾。提出相反的假設，假裝自己並沒有很在意那個雌雄莫辨的小老師；進行合理的推論，我真的沒有在看，即使走過去與他請教數學依舊面色如常；得到矛盾的結果，我們的互動，我相信全班甚至他都看到猜到了。由此反推，我好像喜歡他了。
隨著老師要我們填一些基本調查的單子，我知道他以前是美術班的，拉過八年的小提琴，寫著歐陽詢的楷書。一日清早看見他在我家門前跑過，他清爽的與我打招呼，我亂糟糟的頭髮，惺忪的素顏，機靈的馬上一臉古怪的好似：先生你搭訕嗎？隔天上學時，他一句：欸，我昨天跑馬拉松的時候好像有看到你欸。「你認錯了吧，我不是那個時間出門的。」隨著我們的交集越來越多，期中考到了，我化學直接考爆。當我正擔心要重修時，他滿臉燦爛的向我走過來：這次老師出得太簡單，我班排一。我灰敗的臉色讓他下午抱著外套，給那個我曾經跟他說過像是lim(x→0)[x/(1–cosx)]的討厭鬼，搞了半天結果不存在，只能怨恨老師的浪費考試時間。
那是x=1，y=2x與y=2x第一次交會。
時光匆匆，隨著99課綱的最後一章sin2θ+cos2θ=12，tan2θ+12=sec2θ，12+cot2θ=csc2θ，高中結束了。
於是我開始面臨大家眼中前程似錦的大學生活，但由於我的成績，生活機能考量，最後和他念了同一間學校，卻是相差甚遠的科系，系館也離的遠。正當我準備開始新生活時，開學的第一個禮拜，我聽見有男聲呼喚我的名字，熟悉但我想不起來是誰。如今想起那個轉頭似乎配著老師演繹證明題時的最後一句：「得證」。
兜兜轉轉我似乎發覺x開始=2的影子出現，我一邊貪戀他的每個早安晚安，一邊惴惴不安的擔心2真的被代入之後我們就漸行漸遠。不過，隨著第一學期的第一個比起夜衝夜唱更真實存在於大學生活的證明——期中考，他的語氣越來越敷衍，越來越多的「喔」、「是喔」、「你開心就好」。我開始明白，2被代入了。
日升月沉，國慶日、耶誕晚會、元旦、寒假、年假、清明年假，國定年假提醒了時間的流動，只有那時我似乎才重新有了心跳，心跳就像秒針敲打著倒數的青春。我分不清交叉線、平行線與漸進線的際遇哪個比較令人難過，但我知道那些文字不足以表達的感情，最終都讓我又在文字中尋得慰藉。有些人一旦錯過就不再。
“追求的终极永远是朦胧的。”
我也只粗略研究了一两个官方文件，仗着瓶子里多了几滴水，便晃荡了起来，希望能够和其他家长一起解开剑桥大学数学专业（MathematicalTripos）学年考试成绩的计算方法之谜。
在探究具体的计算方法之前，我们先看看对学生成绩最常见的两种评价方法。
第一种方法，就是直接使用考试分数。比如总分100分，考试得到80分；或者总分750分，考试得到620分。
对于总分不同的考试，我们通常将分数归一成百分制，以方便比较。比如在总分750分的考试中得到620分，归一成百分制就相当于82.7分。因此，对于上述两个考分，620/750的成绩要略好于80/100。
不过，直接使用考试分数有个明显的弱点，那就是考分受到考题难度的影响较大，无法客观地进行跨年度或者跨学校评价。比如有一年考试，一半以上的学生都考了75分以上；而第二年的考试题目太难，只有10%的学生得到了75分以上的分数。在这种情况下，直接从分数上推断第二年某个学生的成绩不如第一年的某个学生，这种做法就不够客观了。
因此，人们往往也会使用第二种方法，即使用排名百分比。比如第一年虽然有人考了80分，但这个学生在全部学生中只排在top45%；而第二年该学生只考了70分，其排名却高达top20%。显然，相对而言，第二年这个学生的成绩反而进步了。
那么，使用排名百分比的方法是否就一定比直接使用考分的方法更客观、更准确呢？也不见得，尤其在考分分布不均匀的情况下。
举一个较为极端的例子，第一年10个人考试，8个人的考分都在20分以下，1个人得了30分，另一个人得了90分；第二年10个人考试，考分均匀地分布在0、10、20、…、80、90分上。
在这两年中，第一年的第2名考分只有30分，第二年的第2名却考了80分，同样排名第二，但第二年的学生成绩显然要更有说服力一些。
剑桥大学数学专业对学生考试成绩的评价便采取了上述两个方法相结合的方法。
下面，我们以两张真实的成绩单为例。
第一张来自新加坡奥数大神JeckLim2019年PartII（即数学本科三年级）的成绩单【1】。JeckLim在2009–2013年间曾四度参加IMO，共获得3金1银1铜。
第二张来自泰国小伙子Jirayus_Jinapong今年PartII的成绩单【2】。Jirayus_Jinapong于2018年和2019年两度参加IMO，共获得1金1银。
这两张成绩单内容非常简明，主要提供了三个关键信息。
一是我们平时常说的成绩等级。这两张成绩单的成绩等级都是一等，即ClassI，俗称first。因为这是本科三年级考试的成绩等级，所以也被视为剑桥大学本科毕业的学位等级。
二是百分制成绩。第一张成绩单上的百分制成绩是96/100，第二张成绩单上的百分制成绩是77/100。
三是排名。第一张成绩单上的排名是4/235，即在235名学生中排名第4；第二张成绩单上的排名是35/235，即在235名学生中排名第35。很巧，2019年和2023年本科三年级数学专业的学生人数都是235名。
在百分制成绩和排名之间，有一大段格式化的文字对成绩等级或学位等级的划分给出了说明。
简单来说，英国大学的成绩等级或学位等级一般分为“一等”，“二等一”，“二等二”，和“三等”四个级别。成绩等级给不同大学、甚至不同专业之间学生成绩的比较提供了一种相对客观和准确的标准。
按照这段格式化的文字，四个成绩等级的划分主要基于百分制成绩的高低：
百分制成绩不低于70分时，成绩等级为一等；
百分制成绩介于60分和70分之间时，成绩等级为二等一；
百分制成绩介于50分和60分之间时，成绩等级为二等二；
百分制成绩不低于40分时，成绩等级为三等；
（百分制成绩低于40分时，成绩等级为不及格）
我们在本文的后续内容中可以发现，在剑桥大学数学系成绩等级的划分实际上是基于排名百分比。
考试，对于PartIA（数学专业一年级）而言，第一学年结束时有四门考试，每门考试涵盖两门功课的内容。PartIB和PartII在考试门数和计分规则上有不同规定。
小题（SectionIquestions），考试中相对简单的问题，每道题满分10分。
大题（SectionIIquestions），考试中相对复杂的问题，每道题满分20分。
原始分数（m），指的是所有考试中计分范围内每道题的卷面得分之和。对于PartIA（数学专业一年级）而言，每门考试中最多可以有5道大题和4道小题纳入计分范围。所有四门考试加起来最多有20道大题和16道小题纳入计分，其卷面分数之和即原始分数m。
质量分（Qualitymark），为了鼓励答题完成度，对完成度较高的题目给予的额外分数。具体来说，
对于每道小题，如果得到的原始分不低于7分，则奖励一个β类质量分。
对于每道大题，如果得到的原始分不低于15分，则奖励一个α类质量分；如果得到的原始分低于15分、但不低于10分，则奖励一个β类质量分。
当考试结束以后，阅卷老师首先批改卷面上答案，给出所答题目的原始分数以及可能的质量分，然后根据答题数目以及原始分数，确定哪些答题纳入计分。
举例来说，A在某门考试中答了3道小题和6道大题，3道小题的卷面得分分别为8，5，和7；6道大题的卷面得分分别为10，18，16，12，13和20。
这样，所有小题都纳入计分，卷面分总和20分，外加2个β类质量分；
6道大题中得分最高的5道纳入计分，卷面分总和79分，外加3个α类质量分和2个β类质量分；
这门考试总的原始分数为99分，外加3个α类质量分和4个β类质量分。
阅卷老师完成所有阅卷后，将每个学生四门考试总的原始分数m以及α类质量分和β类质量分的个数汇总，并根据这三个数据对学生进行大致的成绩等级预估。
根据数学系教务委员会的成绩等级分档原则，排名后5-10%的学生将获得三等或者不及格；排名前90-95%的学生都将获得二等以上的成绩等级。在获得二等以上成绩等级的学生中，前30%将获得一等，前40-45%将获得二等一，而其余大约25%将获得二等二。
根据这个比例，以及边界附近学生的实际原始分数及质量分，教务委员会按照以下公式计算每档成绩等级之间的边界分数：
一等和二等一的边界分数：30α+5β+m；
二等一和二等二的边界分数：15α+5β+m；
二等二和三等的边界分数：15α+5β+m；
三等和不及格的边界分数：2α+β+m（对于PartIA）或者15α+5β+m（对于PartIB和PartII）。
下一步，计算成绩单上的百分制成绩及排名，这需要先计算每个学生的奖励分数。
奖励分数（M，meritmark），奖励分数的计算公式和成绩等级边界分数的计算公式类似：
（公式1）预估为一等，或者预估为二等一且得到α类质量分的个数不少于8：M=30α+5β+m–120；
（公式2）其他：M=15α+5β+m。
公式里，α指的是得到α类质量分的个数，β指的是得到β类质量分的个数，m指的是原始分数。
由此可见：
1.为了鼓励答题完成度，对于二等一的学生来说，当完成度较高的大题数量不少于8道时，一个α类质量分就将带来30分的额外奖分；而完成度较高的大题数量少于8道时，一个α质量分就只能带来15分的额外奖分。
2.对于二等一的学生来说，如果完成度较高的大题数量恰好为8道，那么两个公式得出的结果是相同的。这是因为在两个公式中每个α类质量分的分值相差为30–15=15分，所以在公式设计上，通过在公式1中减去120分（正好相当于8道题的额外奖分分差），使得两个公式结果相等。
计算得到奖励分数后，教务委员会根据奖励分数的高低对学生进行排名，这个排名就是成绩单上的最终排名。
成绩单上的百分制成绩通过以下步骤得到：
1.将用于成绩等级划分的四个边界所对应的奖励分数，分别标定为百分制成绩69.5%，59.5%，49.5%和39.5%。
2.找出所有学生中绝对排名第5的奖励成绩，将这个成绩标定为百分制成绩95%。
3.在每一个成绩等级区间，通过上下两个边界的奖励成绩和相应的百分制成绩进行分段线性拟合，并通过得到的线性关系将每个学生的奖励成绩转换成百分制成绩。
比如，在一等的区间，根据标定在69.5%和95%两个点上的奖励成绩，建立起百分制成绩和奖励成绩的对应的线性关系，然后将位于这个区间内所有学生的奖励成绩转换为百分制成绩。对于绝对排名1-4名的学生，同样使用这个线性关系进行外推计算，如果出现百分制成绩超过100%的情况，则将其修正为100%。
再比如，在二等一的区间，根据标定在59.5%和69.5%两个点上的奖励成绩，建立起百分制成绩和奖励成绩的线性关系，然后将位于这个区间内所有学生的奖励成绩转换为百分制成绩。
有几点值得说明一下：
1.先按照指导比例，根据学生的分数分布决定成绩等级的边界和区间，然后在每个区间内进行线性变换。这个做法等同于先根据排名百分比划出等级，再在每个等级内将实际考分的高低反映出来。因此我们说，剑桥大学的这一套成绩计算方法综合了直接使用考分和使用排名百分比两种方法的优点。
2.为什么一等区间的定标选择要排名第5的学生，而不是选择排第1的学生呢？这么做的好处在于可以避免因为出现一个“天才”学生而压低了对其他学生评价的可能。
考虑如下情况，如果一等区间一共76名学生，其奖励分数分别为：
1100，475，474，473，472，……，401，400。
按照现在的方法，将第5名的472定标为95%，最后1名的400定标为69.5%，那么转换后的百分制成绩将分别为：
100%，96.1%，95.7%，95.4%，95.0%，……，69.9%，69.5%。
其中第1名的奖励分数转换后大大超出100%，但根据方法，这个分数被修正为100%。结果非常合理。
如果将第1名的1100定标为100%，最后1名的400定标为69.5%，建立线性关系后得到的百分制成绩将分别为：
100%，72.8%，72.7%，72.7%，72.6%，……，69.5%，69.5%。
可以看到，在这个极端例子中，“天才”的一枝独秀把其他学生的成绩压缩到了一个只有3%大小的区间。这显然是不够合理的。
那么，1100分的奖励分数在现实中是否可能出现呢？完全可能。理论上，四门考试中计分的题目一共有16道小题和20道大题，原始分数满分是560分，外加20个α类质量分和16个β类质量分，根据公式2，其奖励分数满分将为1120分。
现在回头来看看前面的两个真实的例子。
第一张成绩单上百分制成绩为96/100，排名为4/235。因为JeckLim排在第4名，他身后的那位同学是定标成绩95%，所以换算后，JeckLim的百分制成绩在96%左右。
第二张成绩单上百分制成绩为77/100，排名为35/235。按照一等区间的大小，235名学生中大约有70名一等，Jirayus_Jinapong恰好排在一半的位置。但从百分制成绩上来看，和区间上限100%相比，77%更加接近于区间下限69.5%，因为在同一区间中奖励分数和百分制成绩的转换是线性的，这说明虽然成绩等级都是一等，但有一半学生的奖励分数集中在靠下的1/4（=7/30）区间中，而另一半学生的奖励分数则分散在靠上的3/4（23/30）区间中。