和实数区间[0,1]构成一一对应的具有连续统的势的集
谓词Q(x)=xx，和集合B={x|Q(x)}〉要判定Q(B)的真值:
如果Q(B)为真，那么B∈B，但得到Q(B)假如果Q(B)为假，那么BB，但得到Q(B)真
定理1:对于任意集合A和B，A=B当且仅当AB且BA特别的，对于任意集合A，有AA
证明:
A=Bx(x∈Ax∈B)......外延公理x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈A))x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B→x∈A)(AB)∧(BA)定理2:设A,B,C为任意集合，若(AB)∧(BC)，则有AC
利用逻辑蕴涵式I6:(A→B)∧(B→C)╞A→C来证明
定理3:对于任意集合A，AU
因为x∈U是恒真的，所以x(x∈A→x∈U)也是恒真的
定理4:对于任何集合A，A
因为x∈是恒假的，所以x(x∈→x∈A)是恒真的
定理5:空集是唯一的
假设有两个空集1和2，根据定理4，有12，而且21再根据定理1，1=2定理6:设A为一有限集合，|A|=n，那么A的子集个数为2n次幂
A的子集有::Cn0=1个只有包含A中1个元素的子集:Cn1个只有包含A中2个元素的子集:Cn2个......包含A中所有元素的子集:A本身，Cnn=1个总和:Cn0+Cn1+...+Cnn=2n个例:{1,2}的子集:,{1},{2},{1,2}真子集(propersubset)如果AB且A=B，记做:AB空集是所有非空集合的真子集
判断题:
∈{}∈{}如果A∈B且B∈C，那么A∈C四、集合运算集合基本运算集合运算指以集合作为运算对象，结果还是集合的运算
并运算:∪(union)定义:A∪B={x|x∈A∨x∈B}{1,2}∪{1,3,4}={1,2,3,4}交运算:∩(intersection)定义:A∩B={x|x∈A∧x∈B}{1,2}∩{2,3}={2}差运算-(difference)定义:A-B={x|x∈A∧xB}{1,2,3}-{2,3,4}={1}补运算~(complement)定义:A~=U-A={x|xA}{0,1,2,3,4}~={5,6,7,...}(U=N)交和并运算性质A∪A=A;A∩A=A交换律:A∪B=B∪A;A∩B=B∩A结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩CA∪=A;A∪U=U;A∩=;A∩U=A分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∩(A∪B)=A，A∪(A∩B)=A差和补运算性质A-A=，A-=A，A-U=A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)利用德摩根律得证A~~=A，U~=，~=UA∪A~=U，A∩A~=(A∪B)~=A~∩B~，(A∩B)~=A~∪B~A-B=A∩B~集合运算和子集关系AA∪BA∩BAA-BAABA-B=A∪B=BA∩B=A如果AB，则有B~A~利用运算性质证明对于任意集合A,B，如果有A∪B=U且A∩B=，那么A=B~
证明1:按照A=B的定义
证明2:按照运算性质的等式
A=A∩U=A∩(B∪B~)=(A∩B)∪(A∩B~)=∪(A∩B~)=(B∩B~)∪(A∩B~)......分配律，提出B~=(B∪A)∩B~=U∩B~幂集(powerset)运算对任意集合A，ρ(A)称作A的幂集，定义为:
ρ(A)={x|xA}A的所有子集作为元素构成的集合(族)
因为A，AA;所以必有∈ρ(A)，A∈ρ(A)
例:ρ({1,2})={,{1},{2},{1,2}}幂集的基数:|ρ(A)|=2|A|
设A,B为任意集合:AB当且仅当ρ(A)ρ(B)证明必要性:(AB)→(ρ(A)ρ(B))设AB，又设任意X∈ρ(A)，有XA因为AB，所以XB有X∈ρ(B)根据子集定义，ρ(A)ρ(B)证明充分性:(ρ(A)ρ(B))→(AB)
〉设ρ(A)ρ(B)，假设AB不成立〉则存在a∈A，但是aB〉也就是{a}∈ρ(A)，但是{a}ρ(B)〉这个与ρ(A)ρ(B)矛盾〉所以AB得证五、集合族及运算集合族与标志集集合族和标志集例子集合族的运算广义并:集合族中所有集合的并集
∪C={x|S(S∈C∧x∈S)}广义交:集合族中所有集合的交集
∩C={x|s(S∈C→x∈S)}如果C恰含两个集合A,B
则∪C=A∪B，∩C=A∩B有标志集的表示方法:C={Ad|d∈D}
∪C=∪d∈DAd，∩C=∩d∈DAd集合族运算例子C={{0},{0,1},{0,1,2},...}∪C=N∩C={0}C={{1},{1,2},{1,3,5}}∪C={1,2,3,5}∩C={1}集合族运算性质任意集合A和集合族C，有
A∩(∪C)=∪{A∩S:S∈C}A∪(∩C)=∩{A∪S:S∈C}A-(∩C)=∪{A-S:S∈C}A-(∪C)=∩{A-S:S∈C}(∪C)~=∩{S~:S∈C}(∩C)~=∪{S~:S∈C}证明:A-(∪C)=∩{A-S:S∈C}x∈A-(∪C)<=>x∈A∧xUC<=>x∈A∧(S(S∈C∧x∈S))<=>x∈A∧S(SC∨xS)<=>S((x∈A∧SC)∨(x∈A∧xS))<=>S((xA∨S∈C)→(x∈A-S))<=>S(((xA)→(x∈A-S))∧((S∈C)→(x∈A-S)))<=>S((S∈C)→(x∈A-S))<=>x∈∩{A-S:S∈C}幂集与集合族运算证明:对任意集合A，∪ρ(A)=A
x∈∪ρ(A)<=>S(S∈ρ(A)∧x∈S)<=>S(SA∧x∈S)<=>S(x∈A)<=>x∈A六、归纳定义集合的归纳定义〉集合定义的另两种方式:列举法、描述法〉归纳定义(inductivedefinition)基础条款:规定某些元素为待定义集合成员，集合其它元素可以从基本元素出发逐步确定
归纳条款:规定由已确定的集合元素去进一步确定其它元素的规则
终极条款:规定待定义集合只含有基础条款和归纳条款所确定的成员
〉基础条款和归纳条款称作“完备性条款”，必须保证毫无遗漏产生集合中所有成员
〉终极条款又称“纯粹性条款”，保证集合中仅包含满足完备性条款的那些对象
(归纳基础)针对归纳定义的基础条款，证明基础条款中的所有元素均使P(x0)真
(归纳推理)证明归纳条款是“保持性质P的”
即在假设归纳条款中已确定元素x使P(x)真的前提下，证明用归纳条款中的操作g所生成的g(x)依然有性质P，即P(g(x))为真
L[(A)]=L[A]+1=R[A]+1=R[(A)]L[(A→B)]=L[A]+L[B]+1=R[A]+R[B]+1=R[(A→B)]
所以对于一切命题公式，左括号数量等于右括号数量
归纳基础:证明P(0)为真
归纳过程:对于任意k≥0假设P(k)为真时，推出P(k+1)也为真
结论:所有自然数n都使P(n)为真
证明对任意自然数有(0+1+2+…+n)2=03+13+23+…+n3归纳基础:当n=0，02=03
归纳过程:
设当n=k时，(0+1+2+...+k)2=03+13+23+...+k3成立，当n=k+1时，(0+1+2+...+k+(k+1))2=03+13+23+...+k3+(k+1)2+2(0+1+2+...+k)(k+1)=03+13+23+...+k3+(k+1)2+k(k+1)2=03+13+23+...+k3+(k+1)3归纳完成，命题得证※数学归纳法的变种数学归纳法例子证明:3分币和5分币可以组成8分以上任何币值
证明:8=3+5;9=3+3+3;10=5+5
假设k可以用3分和5分币组成，需要证明k+3时命题真，这是显然的，只要再加一个3分币即可
假设我们已经完成下面的推理:
归纳基础:P(0)真;归纳推理:k(P(k)→P(k+1))但是还并非所有自然数都有性质P将这些不满足性质P的自然数构成一个非空自然数子集，这样，子集中必定有一个最小的自然数，设为m显然m>0，记做n+1，这样n一定具有性质P，即P(n)为真n(P(n)∧P(n+1))╞╡k(P(k)∨P(k+1))╞╡k(P(k)→P(k+1))假设推理结果与已经完成的归纳推理矛盾，所以假设错误即数学归纳法成立，所有自然数都有性质P