世界上有一些通过伟大数学家的不懈努力得到证明的“大定理”。我们现在之所以能像这样感受数学的乐趣，也得益于过去的数学家们不断积累的伟大发现。关于这一点，科学家兼数学家牛顿在给科学家罗伯特·胡克的信中曾这样写道：“如果说我看得比别人更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”现在，我们要用过去的数学家们所发现的一些伟大定理，去证明一些无聊的命题。即便你再渺小，也不要害怕站在巨人的肩膀上！
1使用四色定理
根据四色定理，包含4个区域的地图只需要4种颜色就可以完成涂色。
四色定理是指“在给平面地图涂色时，若要满足相邻区域必须涂上不同颜色的要求，只要使用4种颜色就够了”。那么，根据四色定理可知，只要用4种颜色就可以对包含4个区域的地图完成涂色了！
话说，给包含4个区域的地图涂色只需要3种颜色就够了吧。
关于四色定理，再多说几句。
四色定理最早是在1852年作为四色问题提出的。当时，伦敦一个名叫弗朗西斯·格斯里的学生在给地图涂色时发现只要用4种颜色就够了，于是将这件事告诉了他的弟弟弗雷德里克·格斯里。
更令人惊讶的是证明的方法。最早提出的证明方法是将地图区域的排列方式分为大约1400种，然后用计算机对所有这些情况分别尝试能否用4种颜色进行涂色。这是一种非常简单粗暴的方法。
这样的大定理却用来证明“给包含4个区域的地图涂色用4种颜色就够了”这种废话，这其中的落差还真是有趣。
以前应该没人如此糟蹋过四色定理吧？肯定没有。
2使用费马大定理
设n为大于等于3的正整数，假设
为有理数，则其可用正整数p、q表示为以下形式：
根据费马大定理，不存在满足上述条件的正整数p和q，由此产生了矛盾。由反证法可证得
为无理数。
这好像是打败了魔王之后，再回到新手村砍史莱姆的那种快感。
费马大定理是指，当n≥3时，“不存在满足
的正整数组(a,b,c,n)”，这是在数学界非常有名的一个定理。
在上面的证明中，(p,p,q)就相当于费马大定理中的(a,b,c)。
当初费马发现这个定理时，曾在书页一角写道：“我确信已发现了一种美妙的证法，但这里空白太小写不下。”但他在有生之年并未给出这一定理的证明。没有人知道费马当初到底有没有想出这一定理的证法，但此后很多数学家相继尝试证明，终于在300多年后的1995年，由安德鲁·怀尔斯完成了对该定理的证明。
用写在页角的一句话，就“耍了”后世数学家们300多年，真是可怕，但也令人着迷。
费马应该怎么也想不到，自己发现的大定理会被用来证明如此无聊的命题。
话说，用同样的方法并不能证明
是无理数。
因为满足
的正整数组是存在的，比如：
等等。
3使用费马小定理
根据费马小定理，有
因此3是奇数。
为了证明3是奇数，竟然要借助鬼才费马的力量，如此大费周章，我看得差点笑喷了。在教室或者地铁里看书的各位朋友可要当心了。
下面我们就来好好看看这个证明。首先讲一讲费马小定理吧。
【费马小定理】
若p是质数，且整数a不是p的倍数，则有
p=2时，若a不是2的倍数，则
成立。3不是2的倍数，因此当a=3时，有3≡1(mod2），即3是奇数。
咦？不对啊……
再仔细看看这个证明：要证明“3是奇数”，前提却是“3不是2的倍数”。这样证明“3是奇数”是不恰当的，落入了循环论证的陷阱。
循环论证是指在证明某个命题时，却以该命题作为证明的前提。数学是一种逻辑体系，循环论证的证明是不会被认可的。
证明3是奇数竟然失败了，太可惜了……
但是，使用费马小定理证明3是奇数的想法十分优秀。
理由就是，这个想法很棒！（这也是循环论证。）
4使用布雷特施奈德公式
根据布雷特施奈德公式，边长为1的正方形的面积S为
布雷特施奈德公式是求任意四边形面积的公式，只要知道四边的边长a,b,c,d，以及一组对角之和θ，设半周长
，则有
要用这个公式求边长为1的正方形的面积，只要令a=b=c=d=1，θ=180°即可。
哎呀，这不是脱裤子放屁吗？
不过，把简单的数代入公式验证是否成立，其实也是一项重要的工作。
上文转自图灵新知，节选自《数学不只有一个答案》，[遇见数学]已获转发许可。
作者：[日]数学爱好者协会会长一君
数学不只有一个答案，数学追求的也不仅仅是答案。
试着从不同的角度和不同的难度来思考同一个数学问题，得到不同的思路和不同的解答，这样的大脑锻炼对提升数学思维和综合应用能力都大有裨益……关键是，这实在太有趣了！