1.1、如果将等体积球分别排成下列结构，设x表示钢球所占体积与总体积之比，证明：
结构X
简单立方
52.06
=π
体心立方
68.08
3
≈π面心立方
74.06
2
≈π六角密排
≈π金刚石
34.06
3≈π
解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率，Vc
nV
x=（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r，V=
r3
4π，Vc=a3，n=1∴52.06834343333====π
ππr
r
arx
（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x3
4ar4a3==n=2,Vc=a3
∴68.083)3
34(3423423
3≈===πππrrarx（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r22a,r4a2==n=4，Vc=a3
74.062)22(3443443
33≈===πππrrarx（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=62
60sinaa6SABO==2
a233
晶胞的体积：V=332r224a23a3
8
a233CS===
n=1232
1
26112++
=6个74.062)
22(3443443
33≈===πππrrarx（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3
r8ar24a3=
=n=8,Vc=a3
34.0633
3834
83483
33
33≈===πππrrarx1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aajkaaikaaij=+
=+
rrrrrr
rrr
由倒格子基矢的定义：1232()baaπ=Ω
31230,
,22
(),
0,224
,,0
2aaaaaaaaaaΩ===rrr
Q，223,,,
0,()224,,0
ijk
aaaaaijkaa==-++rr
213422()()4abijkijkaa
ππ∴=-++=-++rrr
rrrr
同理可得：232()
2()
bijka
ππ=-+=+-rrrrrrrr即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
所以，面心立方的倒格子是体心立方。
（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aaijkaaijkaaijk=-++
=-+
=+-
rrrrrrrr
3123,,
222
(),,2222
,,222
aaaaaaaaaaaaa
-Ω==-=
-
Q，223,,,,()2222,,222ijkaaaaaajkaaa=-=+-rrrrrrr213222()()2abjkjkaa
ππ∴=+=+rrr
rr
bika
bija
ππ=+=+rrrrrr即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
所以，体心立方的倒格子是面心立方。
1.5、证明倒格子矢量112233Ghbhbhb=++vvvv
垂直于密勒指数为123()hhh的晶面系。
证明：
因为3312
1323
,aaaaCACBhhhh=
-=-vvvvuuuruuur，112233Ghbhbhb=++vvvv利用2ijijabπδ=v
v，容易证明12312300hhhhhhGCAGCB==uuurv
uuur
v所以，倒格子矢量112233Ghbhbhb=++vvvv垂直于密勒指数为123()hhh的晶面系。
1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)hkl的晶面系，面间距d满足：2
()dahkl=++，其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。