解题神器一扫就出答案规范解题,胜利在望.docx

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已知椭圆过点2,332,－1,3154，求该椭圆的方程.

错解设该椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),

由题意过点2,332,－1,3154，代入得

4a2+3322b2=1,

(－1)2a2+31542b2=1,即a=4,

b=3,

所以椭圆的标准方程为x216+y29=1.

错因分析看答案并没有察觉什么问题，但这位同学的解题过程完全是错的。他第一步就发生了错误，并不是每一个椭圆的标准方程都是x2a2+y2b2=1，而且题目中也没有任何一个信息能反映出该椭圆的焦点在哪里？

正确解法解法一：①若焦点在x轴上，那么椭圆的标准方程可设为x2a2+y2b2=1(a>b>0),

②若焦点在y轴上，那么椭圆的标准方程可设为y2a2+x2b2=1(a>b>0),

3322a2+4b2=1,

31542a2+1b2=1,即a=3,

b=4,不符舍.

综上椭圆的标准方程为x216+y29=1.

解法二：设该椭圆的方程为x2m+y2n=1(m>0,n>0,m≠n),

4m+3322n=1,

(－1)2m+31542n=1,即m=16,

n=9,

防错机制在求椭圆的标准方程时要留神六个字“定型，定位，定量”，不能盲目的认为椭圆的标准方程就是x2a2+y2b2=1。在没手段定位，也是无法确定焦点坐标时，我们可以设为一般式x2m+y2n=1(m>0,n>0,m≠n)。

设双曲线x2a2－y2b2=1(0错解由题意设直线l的方程为xa+yb=1，

即bx+ay－ab=0,

原点到直线l的距离为d=|－ab|a2+b2=34c.

又c2=a2+b2,

所以4ab=3c2,

故e=2或e=233.

错因分析这位同学看题目很不留心，条件并没有完全用上。我们都知道在椭圆中a最大，在双曲线中c最大。在双曲线中a与b之间并没有大小关系，一旦给出大小关系，那么必定限制了这个双曲线，也就是在本道题目中的离心率就会有范围。

正确解法由题意设直线l的方程为xa+yb=1，即bx+ay－ab=0,

∴4ab=3c2,

∴e2=4或e2=43.

而0∴a22,

∴e=2.

在平面直角坐标系中，经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q．设椭圆与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别是A,B，是否存在常数k，使向量OP+OQ与AB共线？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

错解假设存在，由题意直线l的方程为y=kx+2,

由x22+y2=1,

y=kx+2,得

12+k2x2+22kx+1=0.*

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

∴OP+OQ=(x1+x2,y1+y2).

在*中x1+x2=－42k1+2k2,x1x2=21+2k2,

y1+y2=k(x1+x2)+22=－42k21+2k2+22,

AB=(－2,1).

∵向量OP+OQ与AB共线,

∴x1+x2=－2(y1+y2),

即－42k1+2k2=－2－42k21+2k2+22,

得k=22.

正确解法假设存在，由题意直线l的方程为y=kx+2,

Δ=(22k)2－412+k2>0,

得k22.

得k=22不符舍.

防错机制我们在做直线与圆锥曲线位置关系的题目中要更加留神首先得志这种位置关系再使用韦达定理，通过确定的练习相信会养成这个良好的习惯。

牛刀小试

1.若椭圆x25+y2m=1的离心率e=105，那么m的值是.

2.如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x=4，右焦点F到它的距离为2.

（1）求椭圆的标准方程;

（2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程.

3.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴的一个端点到右焦点的距离为2．

（1）求椭圆C的方程;

（2）若F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，能否在椭圆C上找到一点P，使点P到右准线的距离PQ是PF1和PF2的等比中项？若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由．