解题神器一扫就出答案202303201.docx

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化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最根本的思维策略。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达成解决的一种方法。一般总是将繁杂问题通过变换转化为简朴问题；将难解的问题通过变换转化为轻易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的根本功能是：生疏化成熟谙，繁杂化成简朴，抽象化成直观，含混化成明朗。而数形结合，分类议论，函数思想等思想方法，都是转化与化归的概括表达，转化与化归是数学思想方法的灵魂。

学习数学离不开解题，数学的思想方法在解题过程得已表达。如何在数学解题过程中表达，运用转化和化归的思想方法以找到解决问题之途径或优化我们的解题的过程呢？下就此发表一点个人的浅见：

一、以数形结合实现化归

数形结合是一种重要的数学思想，更是实现化归的一种重要方法。恰当地应用数形结合思想解决数学问题，可以使繁杂问题简朴化、抽象问题概括化，进而优化解题途径，达成事半功倍的效果。而运用数形结合的方法，可扶助学生深化思维，扩展学识，提高解题效率。

例1设集合M＝{（x，y）|x2＋y2＝1，x∈R，y∈R}，N＝{（x，y）|x2－y＝0，x∈R，y∈R}，那么集合M∩N中元素的个数为（）。

A.1B.2C.3D.4

此题高明运用数形结合，把解方程组的问题化归为图像交点的个数问题，通过作函数草图，问题轻松解决。真是：此法只应天上有，人间哪得几回闻。令人慨叹不已，回味无穷。

二、整体代入实现化归

整体代入是一种务必的数学化归方法。运用整体代入解题，可使我们不纠缠于局部细节，而能拓宽思路，开阔视野，洞察问题中整体与局部的关系，起到一举解决问题的作用。

例2已知x=√3-1，求的值。

析：如采用直接代入的方法，诚然，也能计算出最终的值，然而，终不免繁琐。而采用整体思想，高明化归。把纯计算类问题化归为分式的化简问题，就一切都显得轻松自由了。试演如下：

由于x=√3-1，（x+1）2=（√3）2，所以x2+2x=2。

因此，原式＝=-1。

多么神秘，只两步便得出结果！让人不由沉醉在数学的巧妙中，一切俱忘。

三、变换主次元实现化归

例3设，其中a∈R，n∈N+

且n≥2，假设x∈[-∞，1]时，f（x）有意义，求a的取值范围。

本例是90年全国高考题，由于展现三个变元a，n，x而使不少考生晕头转向。处理多元变量问题，可适选中取某一个变量为主元，其他的量视为常量，从而实现布局上的转化。在本例中，由于要求a的取值范围，所以可视a为主元。

略解；依题意，1+2x+…+（n-1）x+xna＞0

……

此题通过变换主次元的手段，高明化归。直令人目驰神眩，不得不为这种化腐朽为神秘的手法而深深折服。

四、用换元实现化归

换元法是化归思想方法中较为常用且很重要的解题方法，其实质是借助数学对象的互化（主要是形态的变化），使条件和结论的联系由暗到明，从而达成解决问题的目的。

例4（江苏卷）设a为实数，设函数f（x）＝a√1-x2+√1+x+

√1-x的最大值为g（a）。

（1）设t=√1+x+√1-x，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；

（2）求g（a）；

（3）求得志g（a）＝g（）的全体实数a。

析：（Ⅰ）方法一：∵t=√1+x+√1-x，∴要使t有意义，务必1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1。

t2=2+2√1+x2（[2，4]，且t＞0）①

∴t的取值范围是［√2，２］。

由①得√1-x2=t2-1

∴m（t）=a(t2-1)+t=at2+t-a，t∈[√2，2]

方法二：设x=sin2θ，。

√1-sin2θ+√1-sin2θ=|sinθ+cosθ|+|sinθ+cosθ|=sinθ+

cosθ-sinθ+cosθ=2cosθ

由于，所以，即t∈［√2，2］，

f（x）＝acos2θ+t。

法三：令√1+x=m（m＞0），√1-x=n（n＞0）那么t=m+n，m2+n2=2，由数形结合可得t∈［√2，２］。从而求出m（t）的解析式。

（Ⅱ）、（Ⅲ）略。

此题外观看是与无理函数有关的一个综合性的分步设问的问题，主要测验函数、方程等根本学识，试题的设置事实上也给出了处理布局较繁杂函数f（x）的根本思路，只要经过换元很轻易转化为常规的二次函数问题，其中的分类议论对学生思维的周密性测验得力，具有很大的区分度。

此题（1）中三种思路分别利用代数换元、三角换元以及数形结合将问题举行了转化与化归从而求得了t的取值范围以及m（t）的解析式。其化归手法之神秘，让人迷醉，不能自拔。

总之，在课堂教学中，应通过种种训练引导学生多侧面，多角度，多渠道地斟酌问题，坚持把学到的化归方法用到解题中去。能有效地训练学生思