2023年高考数学全真模拟卷一（全国卷）
理科数学
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
1.已知集合/={小1巾-2|=0},5={x|(x+l)(3-x)>0},则/口8=()
A.{0,3}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2)
2.若z=l-i,则|z2+3-2i|=()
A.y[sB.5C.3D.3亚
3.2022年卡塔尔世界杯（FIFAWorldCupOatar2022）是
11月20日到12月18日间在卡塔尔国内5个城市的8
座球场举行，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办，由于夏
季炎热，2022年卡塔尔世界杯放在冬季进行，如图是卡塔
尔2022年天气情况，下列对1—11月份说法错误的是（
A.有5个月平均气温在3（TC以上
B.有4个月平均降水量为0mm
C.7月份平均气温最高
D.3月份平均降水量最高
4.某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究.经大量实验和反
复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M与该品种水果中氢离子的浓度N有关，
酿醋成功指数M与浓度N满足"=2.8-IgN.已知该兴趣小组同学通过数据分析估计
出某水果酿醋成功指数为2.9,则该水果中氢离子的浓度约为（顺z1.259）（）
A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8
5.数列｛%｝是等比数列，首项为4,公比为分则是“数列｛见｝递减”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
试卷第1页，共4页
6.若双曲线彳2-，=1的一个焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为（）
A.vB.—C.2D.J2
22
7.岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称
为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼''之一
世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳
楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部
水平的直线ZC,如图，测得NDAC=30。,2DBC=45°
/8=14米，则岳阳楼的高度CO约为（）（参考数据：-J11.414>V3-1,732）
A.18米B.19米C.20米D.21米
8.如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）
A.1B.1C.y
332
B
9.在“8C中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,2aco^—=a+c,
2
则为（）
A.钝角三角形B.正三角形C.直角三角形
10.高一（D班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们
站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同
学矮的概率为（）
A.—B.-C.1
38448
11.在三棱锥S-N8C中，NSAC=NSBC=Z,ZACB=—,/C=8C=1.若三棱锥
23
S-N8C的体积为1,则该三棱锥外接球的表面积为（）
37兀
A.13万B.——C.49万D.52%
3
12.已知”"，6=噌，c=l啥.则（）
A.a>b>cB.h>c>aC.c>b>aD.b>a>c
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.曲线/（x）=/+x在x=1处的切线方程为.
14.已知向量G=（l,m）出=（-1,小），若（21-彼）J.5,则忖=.
15.已知直线/与椭圆g+4=l（a>b>0）相切于第一象限的点尸卜。,人），且直线/与
试卷第2页，共4页
X轴、y轴分别交于点a8,当^AOB（O为坐标原点）的面积最小时，/片「鸟=60,（耳,马
是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率是.
TT7T7T
16.已知函数/（x）=COS（
7TTT
（X）图象的对称轴，且/,（X）在（=，￡）上单调，则3的最大值为
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第
1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求
作答）
（一）必考题：共60分
17.2020年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情扩散，
做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40
人.这100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占历.
（1）试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率；
（2）请将下面的列联表补充完整，并依据a=0.05的独立性检验，分析确诊为新冠肺炎与
年龄是否有关.
确诊为新冠肺炎（单位：人）未确诊为新冠肺炎（单位：人）合计
50岁及以上40
50岁以下
合计10100
附表及公式:
a0.10.050.010.0050.001
Xa2.7063.8416.6357.87910.828
%2=7~\（h_7T>其中”=a+6+c+d-
[a+h）[c+d）（a+c）（h+d）
18.已知等差数列｛勺｝的前"项和为S"，且。5=9,国=64.
（1）求数列｛4｝的通项公式；
（2）若数列也｝满足“=」一（〃eN*）,求数列｛”,｝的前〃项和7；.
试卷第3页，共4页
19.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面尸81■平面/8CD
APC￡>为等边三角形，AB=AD=^CD=\,
NBAD=ZADC=90°,M是棱上一点，且两=2语.
(1)求证：4P〃平面MBD；
(2)求二面角M-BD-C的余弦值.
20.已知抛物线C:/=2px(其中p>6-40)的焦点为尸，点”、N分别为抛物线
C上两个动点，满足以MN为直径的圆过点尸，设点E为的中点，当MNLE尸时，
点E的坐标为(3-2应,()).
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线MF、NF与抛物线的另一个交点分别为A、B,点P、。分别为/M、BN的
中点，证明：直线尸。过定点.
21.已知函数〃x)=M(x+l)i=，*R.
(1)当a=2时，讨论函数“X)的单调性；
(2)若函数g(x)=(x+l)〃x)在(0,+8)上不单调,求实数a的取值范围.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做
的第一题计分.
［选修4-4：坐标系与参数方程］
22.在直角坐标系XQV中，直线/的参数方程为｛:，:黑。为参数).以坐标原点为极点，
X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为。.一
(1)求直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)求C的上的动点到/的距离的取值范围.
［选修4-5：不等式选讲］
23.已知：=m>0.
(1)若机=2,求不等式/(x)>2的解集；
⑵g(x)=/(x)-|x-a|,若g(x)的图象与x轴围成的三角形面积不大于54,求机的取
值范围.
试卷第4页，共4页
2023年高考数学全真模拟卷一(全国卷)
第I卷(选择题)
一、单选题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求)
1.已知集合/={x|xlnk-2|=0},5={x|(x+l)(3-x)>0},则()
【答案】B
【分析】直接解出/={01,3},5={x|-l 【详解】由题可得/={Tx=0或ln|x-2|=0}={0,l,3}, B=1x|(x+l)(x-3)<0|=卜卜［ 所以zn8={o,l},故选：B. 2.若z=l-i,则|i+3-2i|=() A.7B.5C.3D.3板 【分析】根据复数运算，复数的模计算即可解决. 【详解】由题知，|22+3-2“=卜-21*2+3-2耳=$-41|=/7讳"=5,故选：B 3.2022年卡塔尔世界杯(FIFAWorldCupQatar2022)是第二十二届国际足联世界杯 8座球场举行，这是世界杯第一次在阿拉伯地区举办，由于夏季炎热，2022年卡塔尔 世界杯放在冬季进行，如图是卡塔尔2022年天气情况，下列对1—11月份说法错误 的是() 试卷第1页，共17页 A.有5个月平均气温在30℃以上 【答案】D 【分析】根据给定的图表，逐项分析判断作答. 【详解】观察图表知，5月、6月、7月、8月、9月的5个月平均气温均在30C以上， A正确； 6月、7月、8月、9月的4个月平均降水量为0mm,B正确； 7月份平均气温最高，C正确； 2月份平均降水量比3月份平均降水量高，D错误.故选：D 复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数用与该品种水果中氢离子的浓度N有关， 酿醋成功指数M与浓度N满足M=2.8-lgN.已知该兴趣小组同学通过数据分析估计 出某水果酿醋成功指数为2.9,则该水果中氢离子的浓度约为(痂々1.259)() 【分析】直接由题目中关系式解氢离子的浓度即可. 【详解】由题意知：2.9=2.8-lgN,整理得[N=-0.知解得N=1(T°」，又 10如=扁"*=08,故Nw0.8.故选：D. 5.数列｛%｝是等比数列，首项为q，公比为q,则q(4-l)<0是“数列｛%｝递减''的() fa.>0[a,<0 【分析】由可(g-D<0,解得“八、或，根据等比数列的单调性的判定方 14<1(”0)的>1 法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解得到答案. ,4>0'<0. 【详解】由已知《(4-1)<0,解得'“C、或I，， 此时数列｛%｝不一定是递减数列, 试卷第2页，共17页 所以％(g-1)<0是“数列｛a,,｝递减”的非充分条件; 16T.>01^7.<0/、 若数列｛〃“｝为递减数列，可得［<4<］或｝>］，所以q(q-i)<0， 所以q何-1)<0是“数列｛｝递减”的必要条件. 所以“q(q-1)<0”是“数列｛%｝为递减数列”的必要不充分条件.故选：B. 6.若双曲线苫2-4=1的一个焦点到渐近线的距离为石，则该双曲线的离心率为() b A.vB.—C.2D.V2 【答案】C 【分析】写出双曲线的焦点，渐近线后，列方程求出6,然后根据离心率定义计算. 【详解】依题意得，双曲线的一条渐近线为bx-y=0,一个焦点为卜庐门,0),根据点 到直线的距离公式：仆°,于是0=71/=2,离心率e=￡=2.故选：C 物+1a 7.岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历 史文化名楼”之一，世称“天下第一楼因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世. 小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线/C,如图，测得ND4C=30。， ZZ55C=45°,48=14米，则岳阳楼的高度CO约为()(参考数据："=1.414、 -731.732) D.21米 【分析】在Rt/DC中用CD表示AC,Rt8OC中用CD表示BC,建立CD的方程 求解即得. 【详解】Rt/OC中，ZD/C=30",贝UNC=>AC。，Rt8OC中，ZDBC=45°,贝U BC=CD,由AC-BC=AB得岔8-8=14=8=-!^—=7(5+1)々19.124,C。约 为19米.故选：B 试卷第3页，共17页 8.如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为() 俯视图 【分析】由三视图画出三棱锥原图，利用“可得结果. 【详解】根据三视图可得几何体是有一条侧棱垂直底面的三棱锥，如图所示，DA_L平 9.在48C中，角4B,C的对边分别为a,h,c,2acos2-=a+c,则ABC为() A.钝角三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角 形 【分析】利用二倍角公式和正弦定理进行化简，结合三角形内角的范围即可得到答案 【详解】由2acos2—=a+c结合正弦定理可得2sin^-^+cos^=sin/+sinC, 即sinA+sinAcos8=sin/+sinC, 所以sin/cosB=sinC=sin(A+5)=sincos5+cos/(sinB, 所以cos/sin8=0, 因为sin8>0,所以cos/=0, 试卷第4页，共17页 TT 因为0 10.高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2 排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（） 1331 A.-----B.-C.-D.— 3844816 【分析】因为8名同学，所以任选两人，身高都不同，只需将抽取的两人安排到一组, 高的同学站后即可. 【详解】8名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有A；种站法，将8名同学分为4 组，每组2人，则有底粤4 种分法，4组人有A：种站法，故所求概率 4）jr 11.在三棱锥S-N8C中，ZSAC=2SBC=—，NACB=一4C=6C=1.若三棱锥 S-/8C的体积为1,则该三棱锥外接球的表面积为（） 37n A.13%B.-----C.494D.52乃 【分析】由条件可知/sc和8SC为以SC为斜边的直角三角形，则SC的中点。为外 接球的球心.过S做m_L平面/8C,垂足为H,由三棱锥的体积可求出高S〃=4百, 根据三角形全等可证明“在N/8C的角平分线上，即N"0=6O。，由线面垂直的定理 可知从而可计算C〃=2,勾股可知SC的长，从而计算外接球的半径和表 面积. 【详解】解：因为NS4C=NS8C=7,所以/SC和8SC为以SC为斜边的直角三角 形，贝4sc的中点。到各个顶点的距离都相等，则。为外接球的球心.即sc为直径. 过S做SH_L平面Z8C,垂足为"，连结"8,HA, U!lVS_ABC=x^-xlxlx^-=1,解得：SH=4拒. jr ./C=8C=1,NSAC=NSBC=-，SC=SC,:NSACSBC,则S/=S8 AH,BH分别为S4s8在平面ABC内的射影，所以有AH=BH, 又AC=BC,HC为公共边，所以V切BHC,则ZHCA=ZHCB，所以H在/ABC 的角平分线上，NHCA=60"， 试卷第5页，共17页 ACISA,AC1SH,SA^SH=S,所以有/C_L平面SM4,4Hu平面SH4,则有 ACIHA,因为4c=1,AHCA=60",所以C/7=2,则SC=y]SH。+CH，=2岳， 则R=Ji故外接球的表面积为S=4%/2=52万. A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c 【分析】令/(x)=x-ln(x+l),g(x)=ln(x+l)-1++,利用导数可求得了(x),g(x) 在(0,1)上的单调性，从而确定x>ln(x+l),结合石〉x,令》=上 X+110 即可得到大小关系. 【详解】令/(x)=x-ln(x+l),0 X+1X+1 \/(X)在(0,1)上单调递增，.J(x)>〃0)=0,即x>ln(x+l)； 令g(x)=In(x+l)-1+.，0 g(x)在(0,1)上单调递增，..g(x)>g(0)=0,即ln(x+l)>l—g 又当0vx<1时，y[x>x90 x+l 则当x=’时，p->—>In—>—,即故选：B. 10V10101011 第H卷(非选择题) 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.曲线/(x)=/+x在x=1处的切线方程为. 【答案】x-j+l=0 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再用点斜式计算可得； 试卷第6页，共17页 【详解】解：因为〃x）=§+x,所以/（1）=卑+1=2, e-e r（x）=士立+i,所以/，（i）=*l+i=i, ee 所以切线方程为尸2=x-l,即x-y+l=O；故答案为：x-y+l=O 14.已知向量彳=（1,加）,5=（-1,机），若（23-月）J.却则问=. 【答案】2 【分析】首先求向量2,-5的坐标，再根据向量的数量积为0,求,r=3,最后代入公 式求模. 【详解】21-彼=（3,/）,（22—彼）石=-3+机2=0,得加2=3,所以问=31+/=2. 故答案为：2. 15.已知直线/与椭圆\+彳=1（“>6>0）相切于第一象限的点尸（*。,九），且直线/与 X轴、y轴分别交于点48,当498（。为坐标原点）的面积最小时，N耳尸=60。（06 【答案】叵 5 【分析】先根据题意点尸（与，几）处的切线方程为：*+崇=1,进而得 ,故S制=:止，再结合椭圆方程与基本不等式可得1>斗，故SMS>ah, Iy（>J2xoyoab 当且仅当包=江=立时，AOB的面积最小.再结合椭圆定义与余弦定理得 ah2 \PF2\\PF]\=^-,进而根据等面积法得56堂=乎儿=与，故〃=|心进而得 €=-Vio. 【详解】解:根据题意结合椭圆性质得椭圆在点P（X。,九）处的切线方程为：今+攀=1， 由于直线与/与X轴、V轴分别交于点4,8,故/工,o1,5f0,-I （X。）[y0） 1a2b1\a2b- 所以= 2%y0 由于兴翁，所以〃士总 1a2b21a2b2、, 所以S-------=------>an 2%%2x0y0 试卷第7页，共17页 当且仅当％=为=立时，水切的面积最小. 由于/月尸鸟=60:故在△6桃中用余弦定理得： 4c2=|「用2+|/>巴卜此2仍用=存尸小"J户3在2物卜4/一3初2忖| 所以匹|附|=竽, PFsin60- 所以SF,PF2=\iII=~y-y-=普, 另一方面一%=g用￡|%=g-2考b当be 所以回=变反，即：b2=^-c2,由于〃=/一02,所以 3222 所以6=叵.故答案为：回 55 77*y/.Ji 16.已知函数/(x)=COS(cox+(p)(CO>0,|(p|<—),户-^为/(X)的零点，尸彳为 TTTT (X)图象的对称轴，且/(X)在(2，￡)上单调，则3的最大值为_____. 186 【答案】5 【分析】先根据x=-是f(x)的零点，x=是y=/(x)图像的对称轴可转化为周期 的关系，从而求得。的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对。赋值验证 找到适合的最大值即可. 【详解】由题意可得 Rr1712左+1T2k+12不5但［乙A7\ BP-=——.T=-------，解得@=24+1,(AEN+), 244co 又因为/(X)在佰,上单调， "86J b,、7r4乃712T__八 所1以<——，即 61892269 因为要求。的最大值，令3=7,因为X=是y=/(x)的对称轴， 7TT 所以——+(p=kjv,(kGZ), 4 又刨解得夕=(,所以此时〃X)=COS(7X+￡|, “X)在9m上单调递减，即〃x)在俯，，闿上单调递减,在医用上单调递 _Zo23」|_loZoJ|_Zoo 增，故/(x)在信.不单调, 同理，令G=5,/(x)=cosf5x-^j, 试卷第8页，共17页 “X)在小荒上单调递减，因为信酢墙阕， 所以“X)在信高单调递减，满足题意，所以0的最大值为5. 三、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 作答) (-)必考题：共60分 17.2020年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情扩散, 人.这100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占面. (1)试估计50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率； (2)请将下面的列联表补充完整，并依据a=0.05的独立性检验，分析确诊为新冠肺炎与 确诊为新冠肺炎(单位：人)未确诊为新冠肺炎(单位：人)合计 %2.7063.8416.6357.87910.828 2nlad-be)', /=(a+b)(c+d)(a+c)0+d)'其中"=a+6+c+"- 【答案】呜 (2)列联表见解析，认为确诊为新冠肺炎与年龄有关 【分析】(1)根据题意，可知50岁及以上的确诊人数为7人，又50岁以上的人数为 40,根据古典概型，即可求出结果； (2)由题中的数据，可以直接得出表中的数据，再利用独立性检验公式，计算出炉, 试卷第9页，共17页 可参考表中的数据可以直接判断.. （1）解：因为100人中确诊的有10人，其中50岁以下的人占点， 所以50岁以下的确诊人数为3,所以50岁及以上的确诊人数为7,因为50岁及以上的 共有40人， 7 所以50岁及以上的返乡人员因感染新型冠状病毒而引起肺炎的概率估计为二. 40 （2）解：补充列联表如下： 确诊为新冠肺炎（单位：人）未确诊为新冠肺炎（单位：人） 计 50岁及以上73340 50岁以下35760 合计1090100 零假设为，确诊为新冠肺炎与年龄无关. 100x(7x57-33x3)2 计算可得二 —4.167>3.841=x005 40x60x10x906 依据a=0.05的独立性检验，推断〃。不成立，即认为确诊为新冠肺炎与年龄有关. 18.已知等差数列｛4｝的前〃项和为$“，且应=9,国=64. （1）求数列｛凡｝的通项公式； （2）若数列也｝满足“=」一（〃eN*）,求数列抄“｝的前〃项和7；. anan+\ 【答案】⑴氏=2〃-1 (2)1=六 2〃+1 【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式可构造方程组求得4,《，进而得到, （2）由（1）可得。，采用裂项相消法可求得小 %=I+4d=9 q=1 【详解】（1）设等差数列｛”“｝的公差为d,贝小4=8%+殍d=4解得: d=2 试卷第10页，共17页 an=1+2(〃-1)=2〃-1. (2)由⑴得:，=(2〃-1)伽+1)=12〃-12〃+1)' 1驾…+_L__q= =-X 2I335572n-A2n+\J 19.如图，在四棱锥P-ZBCQ中，平面PCDJ_平面力5CQ,PC。为等边三角形, AB=AD=-CD=\,NBAD=ZADC=9曾,M是棱上一点，S.CM=2MP. ⑴求证：/尸〃平面A/8D； 【答案】(1)证明见解析 ⑵当 【分析】(1)根据空间中的线面关系即可证得; (2)通过建立空间直角坐标，将空间的角度问题转化为空间的坐标运算问题即可得到 答案. 【详解】(1)连接AC,记AC与BD的交点为H,连接MH. JDALJ1,又跑」，则芷=也 由N8力。=//OC=90。，得AB〃CD,——=—— CDHC2MC2HCMC AAP//MH,又平面MBD,P/ /P〃平面MBD. (2)记O为CD的中点，连接PO,BO. ■:PCO为等边三角形，：.POVCD, 「平面PC。_L平面ABCD,平面尸con平面ABCD=CD, PO_Z,平面ABCD. 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为x轴，建立空间直角坐标系，如下图, 试卷第11页，共17页 则0(0,T,0),P(o,o,6),羊)，80,0,0),C(O,1,O), ___(i_ BM=-1,-,—,S￡>=(-l,-l,O). 2^1~^ nBM=-x+—y+----z=0 设平面BDM的法向量〃=(x),z),则＜33 n-BD=—x—y=0 取x=l得 平面BCD的一个法向量m二(0,0』). 加.〃-x/To 设二面角M-BD-C的平面角为8,则＜^6=占出=丫. H-H5 ...二面角M-BD-C的余弦值为巫. 20.已知抛物线C:/=2px(其中p＞6-4&)的焦点为尸，点”、N分别为抛物线 C上两个动点，满足以AW为直径的圆过点F，设点E为的中点，当时, 点E的坐标为(3-2五,0). (1)求抛物线。的方程； (2)直线3、版与抛物线的另一个交点分别为A、B,点尸、。分别为/M、BN的 【答案】⑴/=4x (2)证明见解析 试卷第12页，共17页 【分析】（I）分析可知当点E为MN的中点时，尸"N为等腰直角三角形，求出点M的 横坐标，分析可得“+5=陟|=应防|,结合抛物线的定义可得出关于P的等式， 解出P的值，即可得出抛物线C的方程； （2）分析可知，直线〃尸、N尸均不与x轴重合，设直线”尸的方程为》=叩+1（加工0）, 则直线桥的方程为x=-‘y+i,将直线加尸的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达 m 定理，可求得点尸的坐标，同理可得出点。的坐标，分”=1、机2Hl两种情况讨论， 求出直线尸。的方程，并化简，即可求得直线尸。所过定点的坐标. 【详解】（1）解：因为以为直径的圆过点尸，则胸_L版， 当点E为血的中点时，MN1EF,则|W|=|N曰，此时尸MN为等腰直角三角形， 又点E、尸在x轴上，则轴，所以为=4=3-2&, p>6-4&,4>3-2正，点尸在E的右侧，所以1Mq-3+2近， 由抛物线的定义知与+勺陟|=应幽，所以，3-2近/=&卓-3+24 解得。=2,故抛物线C的方程为/=4x. （2）证明：若直线用尸与x轴重合，则直线〃尸与抛物线C只有一个交点，不合乎题意, 同理可知，直线7VF与x轴也不重合， 设直线的方程为'=殴+1（小*0）,则直线NF的方程为》=-,卜+1, [x=my+1、 联立方程jy2_4Y得夕2-4叼-4=0,A=16W2+16>0, 设、（再，乂）、』伍,乃），则乂+%=4切，弘力=-4, 所以尸（2—+1,2加），同理可得°[W+l,-3， 所以直线PQ的方程为>=二7卜-2/7）+2加，化简得 m-1v7ni-1 当x=3时，y=o,直线P。过定点（3,0）. 当加时，直线尸。的方程为x=3,直线PQ必过点（3,0）, 综上所述，所以直线P。过定点（3,0）. 试卷第13页，共17页 12 21.已知函数仆)=帅+1)-三;"心 ⑴当。=2时，讨论函数/(x)的单调性； ⑵若函数g(x)=(x+l)〃x)在(0,+句上不单调，求实数a的取值范围. 【答案】⑴函数〃x)在(7,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减 (2)(0.1) 【分析】(1)当4=2时，确定函数解析式，求出定义域，利用导数求函数/(x)的单调 性； (2)由g(x)的解析式求出导数，无法直接判断导函数的正负，构造新函数再求导，分 类讨论g(x)的单调性，求出实数a的取值范围. 【详解】⑴当"2时，函数〃x)=ln(x+l)-J^=ln(x+l)-x,定义域为(T,+s), 易知/'(X)=----1=——, ''x+lX+1 令"(x)>0,得-l 所以函数/(x)在(T,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减. (2)由题意知g(x)=(x+l)ln(x+l)-gax2-x, 则g'(x)=ln(x+l)-or,令/(x)=In(x+l)-nx,x>0, 贝!=. x+\ ①当“40时，”(x)>0,则g'(x)在(0,+e)上单调递增， 所以当x>0时，g'(x)>g'(O)=O,所以g(x)在(0,+功上单调递增，不符合题意. ②当时，6'(耳=±-4<1-040,则g'(x)在(0,+s)上单调递减， 所以当x>0时，g'(x) ⑤)当0<4<1时，由〃'(X)=-----<7=0,得》=1>0, x+la 当时，〃(x)>0,“X)在(0,1-1)上单调递增， 当时，"(x)<0,〃(x)在弓上单调递减. 易知InxWx-l,当且仅当x=l时取等号，则当x〉0时，,即 试卷第14页，共17页 Inx42(《-1). 所以当x>0时，A(x)<2Vx+1-2-ax 取r=3-i,贝〃>：-],且/(/)<^/771(2-4^/71)=0. 又心-i[>Mo)=o,所以存在“L，使得〃伉)=0， 所以当X€(0,X。)时，〃(x)>0,即g[x)>0, 当xe(xo，+oo)时，A(x)<0,即g 上单调递减，故函数g(x)在区间(0,+8)上不单调，符合题意. 综上，实数a的取值范围为(0,1). [选修4-4：坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系中，直线/的参数方程为a为参数).以坐标原点为极点， X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P2=--. 2+cos2" (2)求。的上的动点到/的距离的取值范围. 【答案】⑴x-N+4=0,x2+—=l (2)[72,3^2J 【分析】(1)对于直线/,消去参数，即可求解，对于曲线C,根据