开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇概率计算，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、当遗传类型为常染色体遗传时
1.一种常染色体遗传病的遗传
解析白化病为常染色体隐性遗传病，由题意可知该夫妇均为携带者（Aa×Aa），因此再生一个患病孩子（aa）的概率是1/4。
第③问中性别在后，表明性别不确定，而生下女孩的概率是1/2，因此再生一患病女孩的概率等于生下患病孩子的概率（1/4）乘以生下女孩的概率（1/2）为1/8。
2.两种常染色体遗传病的遗传
例2一个患多指症的女子与一个正常的男性生下了一个患白化病的男孩，请问该夫妇：①再生一个女孩两病皆患的概率是多少？②再生一个两病皆患女孩的概率是多少？
解析多指症为常染色体显性遗传病，白化病为常染色体隐性遗传病，由题意可知该夫妇的基因型为：SsAa和ssAa。分别考虑两对性状：Ss×ssSs（多指）的概率是1/2；Aa×Aaaa（白化病）的概率是1/4。
第①问性别在前，因此计算与性别无关，再生一女孩两病皆患的概率为：患多指症的概率（1/2）乘以患白化病的概率（1/4）等于1/8。
第②问性别在后，表明性别不确定，因此再生一个两病皆患女孩的概率为：患多指症的概率（1/2）乘以患白化病的概率（1/4）再乘以生下女孩的概率（1/2）等于1/16。
二、当遗传类型为伴X遗传时
1.一种伴X遗传病的遗传
例3一对患抗维生素D佝偻症的夫妇生下一个正常的孩子，请问该夫妇：①再生一患病孩子的概率是多少？②再生一女孩患病的概率是多少？③再生一患病女孩的概率是多少？
解析抗维生素D佝偻症为伴X显性遗传病，与性别有关，对男女的影响不同。由题意可知该夫妇的基因型为：XDXd和XDY。因此其后代为XDXD（患病女孩）∶XDXd（患病女孩）∶XDY（患病男孩）∶XdY（正常男孩）=1∶1∶1∶1。所以再生一患病孩子的概率为3/4。
第②问性别在前，表明只研究女孩，而后代中只要生下女孩必患病，因此再生一女孩患病的概率为1。
第③问中性别在后，表明性别不确定，故在所有子代中研究生下患病女孩的概率为1/2。
2.两种伴X遗传病的遗传
例4母亲正常，父亲是红绿色盲患者，生下一个男孩是血友病患者，一个女儿是红绿色盲患者，如果不考虑交叉互换，请问该夫妇：①再生一个女孩患病的概率是多少？②再生一个患病女孩的概率是多少？
解析色盲症和血友病均为伴X隐性遗传病，由题意可知该夫妇的基因型为：XBhXbH和XbHY。
因此其后代为XBhXbH（正常女孩）∶XbHXbH（色盲女孩）∶XbHY（色盲男孩）∶XBhY（血友男孩）=1∶1∶1∶1。
第①问性别在前，表明只研究女孩，因此再生一女孩患病的概率为1/2。
第②问性别在后，表明性别不确定，故在所有子代中研究生下患病女孩的概率为1/4。
三、当遗传类型为常染色体遗传和伴X遗传相结合时
例5父亲是红绿色盲患者，母亲正常，生了一个既患白化病又患色盲症的男孩，请问该夫妇：①再生一个女孩两病皆患的概率是多少？②再生一个两病皆患女孩的概率是多少？
解析白化病为常染色体隐性遗传病，色盲症为伴X隐性遗传病，由题意可知该夫妇的基因型为：AaXBXb和AaXbY。分别考虑两对性状：Aa×Aaaa（白化病）的概率是1/4；XBXb×XbYXBXb（正常女孩）∶XbXb（患病女孩）∶XBY（正常男孩）∶XbY（患病男孩）=1∶1∶1∶1。
第①问性别在前，因此白化病的概率计算与性别无关，而色盲症只考虑女孩；所以再生一女孩两病皆患的概率为：患白化病的概率（1/4）乘以女孩中患色盲症的概率（1/2）等于1/8。
第②问性别在后，表明性别不确定，因此再生一个两病皆患女孩的概率为：患白化病的概率（1/4）乘以色盲中患病女孩的概率（1/4）等于1/16。
1.一对表现正常的夫妇，男方的父亲是白化病患者，女方的父母均正常，但女方的弟弟是白化病患者。这对夫妇生出白化病女孩的概率是（）
A.1/8B.1/4
C.1/12D.1/6
2.人的血友病属于伴性遗传，苯丙酮尿症属于常染色体遗传。一对表现型正常的夫妇生下一个既患血友病又患苯丙酮尿症的男孩。如果他们再生一个女孩，表现型正常的概率是（）
A.9/16B.3/4
C.3/16D.1/4
3.人类的钟摆型眼球震颤是由X染色体上显性基因控制，半乳糖血症是由常染色体上的隐性基因控制。一个患钟摆型眼球震颤的女性和一正常男性婚配，生了一个患半乳糖血症的男孩（眼球正常），他们生的第二个孩子是两病皆患的女孩的几率是（）
A.1/2B.1/4
C.1/8D.1/16
4.某家庭多指（显性致病基因P控制）遗传情况如下图。
[3][4][2][6][1][5]
（1）若1、2再生一个孩子，该孩子患多指的可能性是。
（2）图中6和一个与自己基因型相同的男性结婚，生患病女孩的可能性是。
（3）图中4手指正常但患先天性聋哑（隐形致病基因d控制），这对夫妇再生一个聋哑女的可能性是。
5.下图是患甲病（显性基因A，隐性基因a）和乙病（显性基因B，隐性基因b）两种遗传的系谱图，据图回答问题：
[1][2][3][4][5][6][1][2][3][4][5][正常女][正常男][甲病男][甲病女][乙病男][两种病男]
（1）甲病致病基因位于染色体上，为性基因。
（2）从系谱图上可以看出甲病的遗传特点是。子代患病，则亲代之一必；若Ⅱ5与另一正常人结婚，其中子女患甲病的概率为。
（3）假设Ⅱ1，不是乙病基因的携带者，则乙病的致病基因位于染色体上，为性基因，乙病的特点是遗传。Ⅰ2的基因型为，Ⅲ2的基因型为。假设Ⅲ1与Ⅲ5结婚生了一个男孩，则该男孩患一种病的概率为，所以我国婚姻法禁止近亲间的婚配。
重庆市江津中学孙华权402260
概率是对某一可能发生事件的估计，是指总事件与特定事件的比例，其范围介于0和1之间。由于学生有关概率及概率计算的知识不够，学生对遗传学题中的有关概率计算掌握起来比较困难，笔者通过近几年来的教学，根据遗传的基本定律和有关概率的数学知识，对遗传学题中概率计算的六种类型，进行解题思路的分析讲解，收到了很好的的教学效果。
一、某一事件出现的概率计算法
例题1：杂合子（Aa）自交，求自交后代某一个体是杂合体的概率。
解析：对此问题首先必须明确该个体是已知表现型还是未知表现型。⑴若该个体表现型为显性性状，它的基因型有两种可能：AA和Aa。且比例为1∶2，所以它为杂合子的概率为2/3。⑵若该个体为未知表现型，那么该个体基因型为AA、Aa和aa，且比例为1∶2∶1，因此它为杂合子的概率为1/2。正确答案：2/3或1/2。
二、亲代的基因型在未肯定的情况下，其后代某一性状发生的概率计算法
例题2：一对夫妇均正常，且他们的双亲也都正常，但双方都有一白化病的兄弟，求他们婚后生白化病孩子的概率是多少？
解析：⑴首先确定该夫妇的基因型及其概率？由前面例题1的分析可推知该夫妇均为Aa的概率为2/3，AA的概率为1/3。⑵假设该夫妇为Aa，后代患病的概率为1/4。⑶最后将该夫妇均为Aa的概率（2/3×2/3）与假设该夫妇均为Aa情况下生白化病患者的概率1/4相乘，其乘积1/9，即为该夫妇后代中出现白化病患者的概率。正确答案：1/9。
三、利用不完全数学归纳法
例题3：自交系第一代基因型为Aa的玉米，自花传粉，逐代自交，到自交系第n代时，其杂合子的几率为。
解析：
第一代Aa
第二代1AA2Aa1aa杂合体几率为1/2
第三代纯1AA2Aa1aa纯杂合体几率为（1/2）2
第n代杂合体几率为（1/2）n-1
正确答案：杂合体几率为（1/2）n-1
四、利用棋盘法
例题4、人类多指基因（T）是正常指（t）的显性，白化基因（a）是正常（A）的隐性，都在常染色体上，而且都是独立遗传。一个家庭中，父亲是多指，母亲正常，他们有一个白化病和正常指的的孩子，则生下一个孩子只患有一种病和患有两种病以及患病的概率分别是（）
A、1/2，1/8，5/8B、3/4，1/4，5/8C、1/4，1/4，1/2D、1/4，1/8，1/2
解析：据题意分析，先推导出双亲的基因型为TtAa（父），ttAa（母）。然后画棋盘如下：
TATatAta
TtAA
TtAa
ttAA
ttAa
Ttaa
ttaa
tA
ta
正确答案：A。
五、利用加法原理和乘法原理的概率计算法
例题5（同上例题4）：解析：⑴据题意分析，先推导出双亲的基因型为TtAa（父亲），ttAa（母亲）。据单基因分析法（每对基因单独分析），若他们再生育后代，则Tt×tt1/2Tt，即多指的概率是1/2；Aa×Aa1/4aa，即白化病的概率是1/4。⑵生下一个孩子同时患两种病的概率：P多指（1/2Tt）又白化（1/4aa）=1/2×1/4=1/8（乘法原理）。⑶生下一个孩子只患一种病的概率=1/2+1/4—1/8×2=1/2或1/2×3/4+1/4×1/2=1/2（加法原理和乘法原理）。⑷生下一个孩子患病的概率=1/2+1/4—1/8×1=5/8（加法原理和乘法原理）。
六、数学中集合的方法
例题6、一对夫妇的子代患遗传病甲的概率是a，不患遗传病甲的概率是b；患遗传病乙的概率是c，不患遗传病乙的概率是d。那么下列表示这对夫妇生出只患甲、乙两种病之一的概率的表达式正确的是：
A、ad＋bcB、1－ac－bdC、a＋c－2acD、b＋d－2bd
解析：该题若用遗传病系谱图来解比较困难，若从数学的集合角度入手，用作图法分析则会化难为易。下面我们先做出图1来验证A表达式，其中大
圆表示整个后代，左小圆表示患甲病，右小圆表示患乙病，
则两小圆的交集部分表示患甲、乙两种病（ac）两小圆除去交
集部分表示只患甲病（ad）或乙病（bc），则只患一种病的概率
关键词：遗传概率的计算法、加法定理、乘法定理
《高中生物》遗传部分是全书的一个重点和难点，同时也是历年高考、会考的热点。注重遗传分析的方法和正确理解遗传概率的提问是解决这一难题的关键和突破口。
在高中阶段所计算的遗传概率基本上是属于孟德称规律的遗传概率。而遗传概率的计算主要依据概率的两个基本定理，即加法定理和乘法定理。
1、加法定理
两个互斥事件中，出现任一事件的概率是它们各自概率之和，所谓互斥事件即指两者不能同时出现的事件。如A事件的发生就不能出现B事件，而B事件的发生同时也不能出现A事件，那么A事件或B事件的概率即为二者概率之和，即：P（A+B）=P（A）+（B）。如基因型为Aa的个体，在形成配子时，按照孟氏规律A和a分离，进入特定配子的基因非A即a，机会均等各为1/2的概率。它们是两个互斥事件，形成A或a型配子的概率是P（A+a）=P（A）+P（a）=1/2+1/2=1
2、乘法定理
两个独立的事件，同时或相继发生的概率是各自概率的乘积，设一事件的概率为P（A），另一事件的概率为P（B），A事件和B事件同时发生的概率为P（AB）=P（A）*P（B），如基因型为Aa的个体自交或者杂交，据孟氏规律形成A与a两种类型的配子，且它们的概率各为1/2。那么雌雄配子各自做为独立事件相遇形成各种基因的概率为：
P（AA）=P（A）*P（A）=（1/2）*（*1/2）=1/4
P（aa）=P（a）*P（a）=（1/2）*（1/2）=1/4
P（Aa）=P（A）*P（a）=（1/2）*（1/2）=1/4
P（aA）=P（a）*P（A）=（1/2）*（1/2）=1/4
而P（Aa）=P（Aa）+P（aA）=1/4+1/4=1/2
一、遗传分析的方法
掌握了正确的遗传分析的方法，对于遗传概率的计算找到了突破口和正确的思路。同时也是确保计算概率正确的关键。
A、直接法
此方法就是直接根据题意要求，进行遗传分析，运用加、乘法定理，直接计算出所要求的遗传概率。
例：具有两对相对性状的一个纯合显性亲本和一个杂合亲本杂交。其子代中具有与两个亲本基因型都不相同的个体所占几率？
解析：据题意，可假设控制这两对相对性状的两对等对基因是（Y，y）和（R，r），所以亲本的基因型为：YYRR和YyRr。据孟氏规律，纯合显性亲本只产生一种类型的配子，其概率P1（YR）=P（Y）*P（R）=1*1=1杂合亲本所产配子类型四种，其各自概率为别为：
P2（YR）=P（Y）*P（R）=（1/2）*（1/2）=1/4
P2（Yr）=P（Y）*P（r）=（1/2）*（1/2）=1/4
P2（yR）=P（y）*P（R）=（1/2）*（1/2）=1/4
P2（yr）=P（y）*P（r）=（1/2）*（1/2）=1/4
因此子代基因型的概率为：
P（YYRr）=P1（YR）*P2（Yr）=1*（1/4）=1/4
P（YYRR）=P1（YR）*P2（YR）=1*（1/4）=1/4
P（YyRR）=P1（YR）*P2（yR）=1*（1/4）=1/4
P（YyRr）=P1（YR）*P2（yr）=1*（1/4）=1/4
由上可知，不同于亲本的基因型概率是：
P（YYRr）+P（YyRR）=1/4+1/4=1/2
B、显性法
此方法是在人类遗传系分析中常用的一种方法。根据家系谱图的特点和显性遗传的特点，首先判断出该家系的遗传属于哪类显性遗传（常杂色体的显性遗传，伴X的显性遗传），再由患病的个体开始，结合该个体的父母及子女的表现型或性别写出他们（她们）相应的基因型或者可能的基因型。最后由直接法计算出所要求的概率。
例：图1人类家系谱中，如果Ⅲ2与Ⅲ3个体再生一个孩子是患病男孩的可能性大小？
图1
（1）由Ⅲ4和Ⅲ5生出Ⅳ2，根据“有中生无”可确定是显性遗传病。
（2）在显性遗传前提下，世代中出现的Ⅱ2和Ⅲ1符合“父病女正”可确定是常染色体遗传病。因此该系谱所示遗传病为常杂色的显性遗传。假设显性致病基因为D。正常基因为d，则可写出Ⅲ3的基因型为dd，Ⅲ2为Dd，据孟氏规律Ⅲ2产生两种配子，即D和d，其概率为：P2（D）=1/2P2（d）=1/2，Ⅲ3个体产生一种配子，概率为：P3（d）=1
因此所生子女患病的基因型为：P（Dd）=P2（D）*P3（d）=（1/2）*1=1/2，而常杂色体的显隐性遗传特点之一是：男女患病机会相等各为1/2。所以这对妇夫再生一个孩子为患病男孩的可能性为：（1/2）*（1/2）=1/4。
C、隐性法
此方法也是人类遗传系谱分析中常用的一种方法。根据家系系谱图的特点和隐性遗传的特点，首先判断出该家系遗传属于哪类遗传（常染色体的隐性遗传，伴X的隐性遗传），然后由患病的个体开始，得出他们（她们）父母可能的基因型，再由直接法计算出所求的概率。
图2
例：图2为血友家系系谱图。设该病受一对等位基本控制，显性基因H，隐性基因h，若13号个体与一个正常男性结婚。头胎生一个患病男孩的几率？
解析：据题意可知，血友病遗传属伴X隐性遗传，由系谱图可得患病个体为1，11和14号个体，从11和14号两患病个体开始，结合他们父母的表现型及性别直接写出14号个体的基因型为：XhY，8号个体基因型为：XHY，7号个体基因型为经XHXh。据孟氏规律和伴性遗传理论，13号个体表现正常且为女性。因此其基因型可能为XHXh和XHXH而各自概率：
P（XHXh）=P（XH）*P（Xh）=1*（1/2）=1/2
P（XHXH）=P（XH）*P（XH）=1*（1/2）=1/2
其中XHXh产生配子时P（XH）=1/2，由于该基因型概率P（XHXh）=1/2，所以产生含致病基因Xh配子的概率应为P（Xh）=（1/2）*（1/2）=1/4，XHXH形成配子时，不能产生含致病基因Xh的配子，其概率应为P（Xh）=（1/2）*0=0，而与13号个体婚配的正常男性基因型为XHY，产生含Y的配子概率为P（Y）=1/2，因此XHXh*YHY生患病男孩概率P1（XhY）=P（Xh）*P（Y）=（1/4）*（1/2）=1/8，而XHXH*XHY生患病男孩概率则为：P2（XhY）=P（Xh）*P（Y）=0*（1/2）=0，对于13号个体而言基因型XHXh和XHXH不能同时出现，它们为互斥事件。用加法定理可得。患病男孩的几率应是：P（XhY）=P1（XhY）+P2（XhY）=1/8+0=1/8
二、正确理解遗传概率的提问
在注意遗传分析方法的同时，还要正确理解遗传概率的提问，这直接涉及到概率计算的正确性。
例：用纯合的高茎豌豆与纯合矮茎豌豆杂交得F1，F1自交得F2，F2高茎豌豆自交后代中矮茎豌豆占：
A.3/8B.1/4C.1/6D.1/8
解析：首先用直接法对该题进行遗传分析，假设控制高茎与矮茎这一对相对性状的等位基因为D和d，并得出其遗传图解如图3：
在遗传学教学过程中，概率问题是一个颇为棘手的问题，特别是亲本自由子代基因型频率和形状分离比的计算，更让学生困惑不解。什么情况下亲本自由需要乘以2？如何确定自由亲本基因型的系数？基因位于X染色体上该如何计算？等一系列的问题。本人根据多年的教学经验，把亲本自由子代概率及性状分离比的计算方法与步骤归纳整理如下，供大家参考。
一、基因位于常染色体上
二、基因位于X染色体上
例：果蝇的红眼和白眼是X染色体上的一对等位基因控制的相对性状，用一对红眼雌、雄果蝇，子一代中出现白眼果蝇。让子一代果蝇自由，理论上子二代果蝇中XBXb的比例、红眼与白眼的性状分离比分别是多少？
方法1：根据子一代的雌雄个体的基因型频率，分别求出子一代雌雄个体的基因频率，根据雌雄配子结合的结合均等，分别求出雌雄后代中出现的比例或子代的性状分离比。
分析：由红眼雌雄果蝇子一代出现白眼果蝇，可知红眼（A）对白眼（a）为显性，又因为控制眼色的基因在X染色体上，可知亲本的基因型分别是XAXa，XAY，F1代地基因型为XAXA，XAXa，XAY，XaY。
即F2中红眼：白眼=13：3
通过对上述两个例题的分析可知，在自由的群体中，若基因位于常染色体上，采用亲本的基因频率求子代的基因型频率及性状分离比较简单易行。若基因位于X染色体上，用亲本亲本基因频率计算子代的基因频率虽然简单，但在计算中容易把某种基因型在雄性或雌性中的频率，误当做在整个群体中的频率，得出错误的计算结果，因此计算时应特别注意。
（作者单位：山东省郯城第一中学）
1模型原型
【例1】（2012·江苏卷）人类遗传病调查中发现两个家系中都有甲遗传病（基因为H、h）和乙遗传病（基因为T、t）患者，系谱图如图1所示。以往研究表明在正常人群中Hh基因型频率为10-4。请回答下列问题（所有概率用分数表示）：
如果Ⅱ7与Ⅱ8再生育一个女儿，则女儿患甲病的概率为。
答案：1/60000。
解析：根据系谱图中正常的Ⅰ1和Ⅰ2的后代中有一个女患者Ⅱ2，说明甲病为常染色体隐性遗传。Ⅱ7的基因型为H，其中HH占1/3，Hh占2/3。根据题意，正常人群中Hh的基因型频率为10-4，也就是Ⅱ8基因型为H-的概率。故女儿患甲病的概率=2/3×10-4×1/4=1/60000。
2模型拓展
【例2】（2013·安徽卷）图1是一个常染色体遗传病的家系系谱。致病基因（a）是由正常基因（A）序列中一个碱基对的替换而形成的。
一个处于平衡状态的群体中a基因的频率为q。如果Ⅱ2与一个正常男性随机婚配，他们第一个孩子患病的概率为。如果第一个孩子是患者，他们第二个孩子正常的概率为。
答案：q/3（1+q）3/4
解析：Ⅱ2的基因型是A_，其中Aa占2/3，AA占1/3。一个处于平衡状态的群体中a基因的频率为q，则AA的频率为（1-q）2，Aa的频率为2（1-q）q。正常男性中Aa的概率为Aa/（AA+Aa）=2（1-q）q/[（1-q）2+2（1-q）q]=2q/（1+q），则他们第一个孩子患病的概率为2/3×2q/（1+q）×1/4=q/[3（1+q）]。如果第一个孩子是患者，则Ⅱ2与正常男性的基因型均为Aa，他们第二个孩子正常的概率为3/4。
3模型演练
图3为患甲病（显性基因A，隐性基因a）和乙病（显性基因B，隐性基因b）两种遗传病的系谱，Ⅱ3和Ⅱ8两者的家庭均无乙病史。
假设某地区人群中每10000人当中有1900个甲病患者，若Ⅲ12与该地一女子结婚，则他们生育一个患甲病男孩的概率为。
答案：1/60000
解析：某地区人群中每10000人当中有1900个甲病患者，不患甲病的是10000-1900=8100，所以aa的概率是8100/10000=0.81，由此算出a的基因频率是0.9，的基因频率是0.1。Ⅲ12的基因型是A_，其中Aa占2/3，AA占1/3。
方法一（配子法）：Ⅲ12产生配子的种类及比例是A占2/3，a占1/3;自然人群中A占0.1，a占0.9。所以若Ⅲ12与该地一女子结婚后代不患病的概率是aa=1/3×0.9=0.3，后代患病的概率是1-0.3=0.7，故后代患病男孩的概率是0.7×1/2=0.35。本文由wWW.dyLw.NeT提供，第一论文网专业教育教学论文和以及服务，欢迎光临dYLw.nET
为了能够了解导体内电荷的分布概况，利用麦克斯韦方程组中电场积分式，令其电场强度与闭环回路（或封闭空间）的积分和为零的理念，建立坐标模型和数学模型进行运算求得分布概率结果所采用的一种方法。
【关键词】麦克斯韦方程积分式导体内电场强度处处为零电荷分布概率
导体中电荷的分布与改变和外布电场的强弱与变化是一对统一的理论体系。电荷的分布是产生电场分布的根源，而电场反过来左右电荷的分布，是一对立的统一体。因此对电荷分布的研究与对电场的分析具有相同的重要意义。
当导体中存储电荷处于稳定时，导体内部处处电场力的和应为零。否则有任何电场的存在都会引起电荷的移动（重新分布）。我们利用麦克斯韦方程组中电场积分式令其等于零，即
来建立数学模型或公式计算出电荷的分布概率。
1为了更好地理解这种方法先阐述几个基本概念
1.1测试电荷点
测试电荷点q是指在带电导体内静态下，测量某点处电场大小、方向的电荷。其电量小到不影响此处的电场状态。其方向是q为正时顺势而下（电场箭头的方向）；q为负时逆势而上（电场箭头的反方向）。
1.2库仑定律
。其中Q1、Q2为两个电荷体的电荷量；l为Q1Q2之间距离；k为库仑常数。
1.3麦克斯韦方程积分式
或原式是说明在任何平面环路和电场积分与本环内磁场变化率的关系或任何封闭的空间电场通量与所含电荷量的关系。我们利用电场的积分式并令其在导体中某点等于零（导体是有限的封闭空间），根据库仑定律
；f（ρ）为分布体密度函数、
；f（σ）为分布面密度函数、
；f（x）为分布线密度函数。并且导体内处处应为零，计算出电荷的分布概率。
1.4容余电荷
导体本身是存有正负电荷元素，而容余电荷是在正负电荷失去平衡或电势不为零时产生出电场的多余电荷。所以容余电荷或者是正电荷或者是负电荷。
2为了验证一下应用效果下面举几个简单的例子
2.1例1：一根极细而有限长带电导线轴向的电荷分布概率
如图1，在一根长度为b容余电荷量为Qs的细导线上，在无任何电磁干扰的理想环境下，忽略其径向因素，只考虑轴向电荷分布概率。为了运算方便和结果比较，将b分别分为3段、4段、5段、6段、7段、19段。每段平均分为2个长，每2个之间分别设定电荷点Q1、Q2、Q3等，其电量分别是其所处2个所储电量和Qi=2σi（i=1、2、3…n），
（σi线密度；n为分段数）。每两个电荷点之间设定测量点q1、q2等，根据库仑定律和麦克斯韦方程组中电场积分式，可以看出实际上每处测试点左边电场强度与右边的和为零时，任何轴向闭环积分和必定为零。因此建立各测试点电场强度为零的数学模型即方程组与Qs函数关系式。
2.1.1当b分为3段时数学模型如下：
因在同一介质中库仑比例系数K为同一值，约去k、q、求得方程组的解
2.1.2如图2，当b分为4段时数学模型如下：
约去k、q、求得方程组的解
2.1.3如图3，当b分为5段时数学模型如下：
2.1.4如图4，当b分为6段时数学模型如下：
2.1.5如图5，当b分为7段时数学模型如下：
图6、图7为正、负电荷7段的分布概率。
2.1.6如图8，当b分为19段时求得方程组的解如下：
2.2例2：一根极细一端有端头一端无限长的带电导线在端头处的电荷分布概率
如图9，在无任何电磁干扰的理想环境下，导线上储存有电荷Qs。忽略其径向分布情况，只考虑轴向分布概率。
设端点为A，从点A向另一端划分出若干个极小间距，在每两个中间设定点电荷Q1Q2Q3等每个Q代表这两个的电量和Qi=2σi（i=1、2、3…）。在每两个Q中间设定点测试点q1q2q3等，在只考虑轴向时，每个测试点左右侧的电场强度和应为零。即轴向环路必为零。
根据库仑定律在q1点处建立数学模型：
（i=1、2、3…）（约去k、q、）得
而且Qs越大
越大Q1与Q2差值也越大。从例1的运算结果得知两个端头的电荷密度向中心是逐渐递减的。类似于本例题A端向另一端的电荷密度同样也是递减的。只不过将例1中b的长度无限延长了一端。
2.3例3：一个无根大的理想带电平面中心范围的电荷分布概率
如图10，在无任何电磁干扰的理想环境下，在一个无根大的理想平面上分布有密度为σi的容余电荷，处于静态时在中心范围内确定任意两个点A、B，沿AB两点画一条向两边无限延长的直线。根据麦克斯韦积分式沿此直线轴向闭环与电场强度积分应为零。设分别以AB为圆心
为半径画两个圆，由于非常小可以把两个圆看成两个点电荷。根据库仑定律，则AB中间点的电场强度应为：
其中：q为测试电荷点；σi为单位面积电荷密度；r为直线及其延长线的距离；σAi为A边直线上电荷密度；σBi为B边直线上电荷密度；A-B为A到B的距离；k为库仑常数。
\算（1）式得：
由于无限大平面中的电荷是连续分布的、无间断点。由例1得知σAi=σBi，因此σA=σB。
充分性：由于AB点可任意确定中心范围的每个点和各个方向。因此，中心范围的电荷密度值是一样的。
必要性：在平面上AB中间点处的电场强度会不会受到除此直线以外任何其它电荷的影响呢？肯定是不会的。因任何一处除直线以外电荷的作用，都可以找到以AB中间点为圆点的对称点处电荷的作用，大小相同、方向与前一处电荷作用向反。在AB中间点处影响力为零。
3结论
经过几个简单例子运算结果和分析得知：
（1）对一根长度有限的带电细导线电荷密度计算通过表1看出：
a.有限长线段电荷分布概率是两边密度大于中心。
b.有限长线段电荷分布概率是两边对称的。
c.与储存电荷Qs有关系；与b的长度有关系。
d.越小分段越多越精准化两端电荷密度值越高，中间越平缓。
此外，在电荷进行交流时变时，两头的电荷量和电场变化最大，其磁场变化也最大，非常适合电磁信号的发射。如过去军用便携式步话机的天线就采用叉开线段状导体。并且接收信号天线的采集信号点都处于端头。
（2）对一根一端有端头一端无限长的带电细导线计算得知，在端头处的电荷密度最高。而且带电量Qs越大会更高。而避雷针接入大地的原理，就是利用地球巨大的Qs使针头的电荷密度及其电场强度远远大于其它地方，从而起到引雷电入地的作用。
（3）无限大理想平面带电导体中，在无任何电磁干扰下，中心范围电荷密度值处处相同。这与带电平板电容中心区域电场强度值处处一样是一致的。
从上述的运算结果和现实生活中应用的吻合程度，说明此方法是能够表述导体中静态电荷的分布概率。
有不对之处请多提建议。
参考文献
[1]迪派克（Dipak，L.S）唯迪斯（Valdis，V.L）著；沈远茂等译.应用电磁学与电磁兼容[M].北京：机械工业出版社，2009.
[2]汪泉弟，张淮清.电磁场[M].北京：科学出版社，2013.
[3]张洪欣，沈远茂，韩宇南.电磁场与电磁波[M].北京：清华大学出版社，2013.
本文作者：李菲1，2，3侯再红1吴毅1作者单位：1中国科学院安徽光学精密机械研究所大气成分与光学重点实验室2中国科学技术大学物理学院光学与光学工程系3电子工程学院光电系脉冲功率激光技术国家重点实验室
光强概率分布
通常认为在弱湍流条件下，光强起伏的概率密度满足对数正态分布，而在中、强湍流条件下则服从Gamma－Gamma分布［9］。对于通信距离几千米以内的无线光通信系统，考虑到孔径平均效应，光强起伏一般都看作弱起伏，服从对数正态分布。饶瑞中等［11］曾提出：根据湍流大气中激光对数强度的最低几阶中心矩，可以建立一种能准确地描述实际概率分布的最大似然概率分布模型。通常，实验数据的高阶矩的精度是较低的，只有较低级次的矩比较可靠。它应满足归一化条件，即μ0等于1。由归一化条件和4个矩方程构成5个未知系数λ0、λ1、λ2、λ3和λ4的非线性积分方程组。借助于五阶矩μ5和六阶矩μ6，再根据（9）式的形式推断它在无穷大时以指数趋于零，使用分部积分法可以得到λi的方程组，解得此方程组后系数λ0可以通过数值积分求得。
实验结果
结论
【关键词】风险分析；蒙特卡洛模拟；投资决策
1概述
在实际工作中，用解析法对工程项目进行风险分析有时会遇到困难。例如，有时往往没有足够的根据来对项目盈利能力指标的概率分布类型做出明确的判断，或者这种分布无法用典型的概率分布来描述。在这种情况下，如果能知道影响项目盈利能力指标的不确定因素的概率分布，就可以采用模拟的方法来对工程项目进行风险分析。
建设项目经济评价是项目建议书和可行性研究报告的重要组成部分，通过对项目的财务可行性和经济合理性进行量化计算、分析论证，为项目的科学决策提供依据。同时也是BOT、TOT等新型特许经营投融资模式下投资者进行项目投资决策的依据。在项目经济评价中采用的基础数据如建设投资、成本费用、产品（服务）价格、建设工期等大部分来自对未来情况的预测与估计，由此得出的评价指标及做出的决策往往具有一定程度的风险。为了向项目投资决策提供可靠和全面的依据，在经济评价中除了要计算和分析基本方案的经济指标外，还需要进行不确定性分析和风险分析，并提出规避风险的对策。
蒙特卡洛法是一种通过对随机变量的统计试验、随机模拟以求解各类技术问题近似解的数学方法，其特点是用数学方法在计算机上模拟实际概率过程，然后加以统计处理，解决具有不确定性的复杂问题。解决经济上的随机概率问题，蒙特卡洛法被公认为是一种经济而有效的方法，在投资项目风险分析中很有实用价值。本文试以某建筑企业一期工程为例，利用计算机编制程序，尝试蒙特卡洛模拟技术在建筑工程项目风险分析中的应用。
2项目概况
某建筑企业一期工程项目采用BOT模式，目前仍在进行设计及招投标阶段。按照初步设计概算结果，该建筑企业一期工程建设投资213．75万元，流动资金515．37万元，年经营成本3066．50万元。
根据项目实施计划，本工程建设期为3年，各年度投资使用比例为22％：42％：36％；生产运营期按照经济使用年限设定为20年，固定资产残值率为4％；年销售收入预计为6570万元，经济评价不计算增值税，只计取城市建设维护税、教育费附加和防洪基金；基准收益率按目前建筑行业内部收益率标准取4％，以财务内部收益率大于基准收益率为项目可行。按照以上基础数据进行财务分析，得税前财务内部收益率为5．38％、投资回收期（含建设期）4.77年，财务净现值（i=4％）为5234万元，均能满足财务最低要求，从财务分析的角度认为项目是可行的。
3模拟过程
蒙特卡洛模拟法的实施步骤一般是：确定风险变量，分析每一变量可能变化的范围并确定这些变化的概率分布，构造风险变量的概率分布模型；通过模拟试验，为各风险变量抽取随机数，并将随机数按照概率分布模型转化为变量的抽样值；将抽样值组成一组经济评价基础数据，计算出评价指标值；最后重复进行试验，进行若干次模拟后整理试验结果所得项目评价指标值的期望值、方差、标准差和它的概率分布及累计概率，绘制累计概率图，即可求出项目可行或不可行的概率。
3.1确定风险变量的概率分布。
在工程项目经济评价中，通常采用历史数据推定法或专家调查法（常用德尔菲法）确定变量的概率分布。对此建筑工程进行模拟，采用专家调查的方法测算确定风险变量的分布模型。
3.1.1建设投资的概率分布。建设投资的概率分布采用三角形分布，邀请专家根据项目初步设计概算情况对项目投资进行预测，估计项目投资的最乐观值、最大可能值、最悲观值，求取专家意见的平均值，并计算标准差和离散系数，离散系数满足专家一致性要求时，经测算估计最后确定三角形分布模型，结果为：乐观值34181万元，最大可能值采用概算值40213．75万元，悲观值44235万元。
3.1.2经营成本和销售收入的概率分布。经营成本和销售收入的概率分布均采用正态分布，邀请专家对经营成本和销售收入的期望值、分布范围和范围内概率进行估计。选取三位专家对经营成本的估计结果进行计算示例如下：第一位专家认为经营成本的期望值为3000万元，在2760―3240万元范围内的概率为90％，即在2760～3240万元范围外的概率为10％，小于2760万元（或大于3240万元）的概率为5％，即比期望值3000万元减少240万元的概率为5％，查标准正态分布概率表或通过计算机程序计算得离差为－1．645，即相当于期望值偏离了－1．645e，于是标准差e=240／1．645=146万元。同理计算其他专家对经营成本的期望值与标准差的估计值，结果见表1。专家估计结果标准差的平均值为164万元，方差为247，离散系数为，满足专家一致性要求，从而确定经营成本的概率分布服从N(3037，1642)的正态分布。
采用同样的方法，经专家估计确定经营收入的概率分布服从N(6570，3802)的正态分布，过程从略。
3.2抽取随机数，产生变量抽样值
本文的模拟过程完全由计算机程序完成，随机数采用编程语言提供的随机数函数获取。
对建设投资、经营成本和销售收入分别获取随机数，以此随机数作为变量的概率值，并根据相应的概率分布模型转化为各随机变量的抽样值，转化过程如下：
3.2.1建设投资服从三角分布，直接利用概率的数学含义即三角形面积求取随机变量。
3.2.2经营成本和销售收入服从正态分布，正态图上阴影部分的面积为随机数产生的概率值，由概率值查标准正态分布概率表或通过计算机程序计算得出抽样值距期望值的离差，可以确定随机变量的抽样值：抽样值(x)=期望值±离差×标准差。
3.3计算抽样的评价指标值
确定出一组建设投资、经营成本和销售收入等随机变量的抽样值后，以这组抽样值为经济评价的基础数据，流动资金按照经营成本的抽样值与期望值之比进行调整，计算项目经济评价指标值。常用的评价指标有财务净现值、内部收益率、投资回收期等，一般采用财务内部收益率，在计算期内按照以下公式采用计算机试算内插法求解FIRR：
NPV=
其中流入资金CI包括销售收入和计算期末回收残值、回收流动资金；流出资金CO包括建设投资、销售税金、经营成本等。
3.4模拟结果及试验次数对结果的影响分析
重复以上随机试验，使模拟结果达到预定次数后，以每一次试验发生的频数作为概率，按内部收益率由小到大进行排序，整理全部试验结果的期望值、方差、标准差，并计算累计概率，即可求取财务内部收益率小于基准收益率的累计概率，从而确定项目可行或不可行的概率。对该工程进行试验次数为2000次的一次模拟，整理模拟结果，得内部收益率的平均值为5.64％，方差为1.93，离散系数为24.63％。按内部收益率由小到大进行排序计算，可确定内部收益率低于基准收益率4％的累计概率为12．75％，即内部收益率大于或等于4％的概率为87．25％，可见此工程项目的财务风险较小。
4计算机模拟程序
采用蒙特卡洛模拟法进行风险分析，计算过程重复性强、工作量大，一般利用计算机程序完成。为了将蒙特卡洛模拟技术引入污水处理项目经济评价风险分析中，笔者采用可视化编程语言VisualFoxpro编制了计算程序。
在建筑工程项目可行性研究报告经济评价工作中，对风险分析有着较高要求，对项目进行风险概率分析的更是重要，而采用蒙特卡洛模拟技术进行模拟分析是重要手段。本文通过对某建筑工程作为算例，编制计算机程序进行蒙特卡洛模拟分析，得出项目可行或不可行的概率，为建设方提供决策依据，并为项目可行性研究工作进行风险分析提供案例，同时为BOT、TOT等新型特许经营投融资模式进行项目投资决策的风险分析提供参考。
参考文献：
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关键词：古典概率样本空间巧解
在解答古典概率题时，首先要计算样本空间Ω的样本点数即基本事件数n和某一事件A的有利事件数m，这样就可以计算出事件A发生的概率为P(A)=。这个看似简单的公式，但我们往往会计算很复杂，而且在计算中常常会用到排列组合的公式计算，就会使一些问题的计算量很大，容易计算错误，而功亏一篑。
那么我们能不能用一些简单的方法来解决这个矛盾呢？答案是肯定的。只要我们在分析问题时能选取适当的样本空间，就可以巧解这一类问题。我们通过以下几个问题来进行探讨：
例一将1,2,…，n这n个数字任意排列，试求：
（1）2在1前面的概率；
（2）1,2,3依次出现的概率。
解：（1）方法一.n个数字作为样本空间的基本事件的考虑对象，则n个数任意排列，有n！种排法，即样本空间的样本点数为n！。2一定排在1之前这个事件的有利事件数为C2n（n-2）！种排法，所以所求概率为:
方法二注意到题中的要求是求2排在1前面的概率，所以我们只关心的是1和2这两个数字的排法，1和2两个数字任意排，有两种排法，则样本空间Ω={(1,2)，（2,1）｝，即Ω包含两个样本点。设A=｛2在1前面｝，于是A={(2,1)}只包含一个样本点，所以所求概率为:
P（A）=
(2)方法一.考虑n个数字任意排列的情况，n个数字任意排列有n！种不同排法，所以样本空间的样本点数为n！，而对于事件A={1,2,3依次出现}的有利事件数可以这样来计算：“1,2,3依次出现”可以依次出现在n个位置的三个位置上，所以有C3n种站位方法，这三个位置被1,2,3依次占据后，其余n-3个数字可按任意次序在余下的n-3各位置上站位，有（n-3）！种排法。因此，事件A的有利事件数为C3n（n-3）！，因而“1,2,3依次出现”的概率为：
方法二我们不用考虑n个数字的排列，因为我们只需考虑1,2,3这三个数字的排列情况，所以我们可以选取适当的样本空间，这时我们只以1,2,3做考虑对象，所以1,2,3任意排列有3！种不同排法。即：Ω=｛（1,2,3），（1,3,2），（2,3,1），（2,1,3），（3,1,2），（3,2,1）｝，样本空间中包含6个样点。如果A={1,2,3依次出现｝，
那么A仅包含了1个样本点，即A={(1,2,3）｝，所以事件A={1,2,3依次出现}的概率为：
P(A)=
由本例我们可以看到：有关这类数字的排列而产生的概率的问题，只要我们能根据具体情况，适当选取样本空间，就可以通过简单的计算来解答，从而避免了复杂的排列组合计算。
例二．袋中有a个黑球，b个白球，现将球随机地一个一个不放回地摸出来，求第K次摸出的球是黑球的概率（1Ka+b）。
解：方法一将球看成是各不相同，因为取球是不放回的，所以应考虑排列。每K个排列好的球构成一个基本事件，此时样本空间所包含的样本点数为Aka+b.设Ak=｛第K次摸出黑球｝这相当于在第K个位置上放一个黑球（有C1a=a种放法），在其余K-1个位置上摆放从余下的a+b-1个球中任取K-1个球，所以事件Ak包含的有利事件数为aA，于是事件Ak的概率为：
方法二设Ak={第K次摸出黑球}。因为我们只考虑的是最后摸出的一个球是白球还是黑球，所以，考虑样本空间时只对最后一个球进行考虑。这样我们可以选取适当的样本空间。首先把a+b个球加以编号，前a个球为黑球，后b个球为白球，设Wi表示第K次摸出第i号球，则样本空间Ω={w1，w2，…wa+b}，即样本空间的样本点数为a+b。容易知道每一个球都等可能的在第K次被摸到，所以Ak={第K次摸出黑球}的样本点为Ak={w1，w2，…wa}，因此，Ak的有利事件数为a。故由古典概率的计算公式可求出事件Ak的概率为：
比较本例的两种解法可以发现，方法二中样本空间的取法最小，再小就不能保证等可能性了。方法一中选取的样本空间较大，没有方法二直观、简单。
例三n个老同学随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：
（1）A={甲、乙坐在一起，且乙在甲的左边}；
（2）B={甲、乙、丙坐在一起}。
解：方法一围成圆圈的椅子不编号，n个人围圆桌而坐的不同方法为n个不同的元素排列圆圈的排列数，即样本空间的样本点的总数为：n==（n-1）！
（1）因为乙坐在甲的左边，将甲、乙两人看成一人，所以事件A的有利事件数就是（n-1）个不同元素排成圆圈的排列数，即=（n-2）！所以事件A的概率为：
（2）类似地，将甲、乙、丙看成一人，这时有=（n-3）！种排法。当n4时，甲、乙、丙3人共有3！种不同的排法。由乘法原则可知B的有利事件数为（n-3）！3！，所以事件B的概率为：
特别地，当n=3时，甲、乙、丙总是在一起的有：
P(B)=1
方法二（1）将椅子编号，任何人坐了不同编号的椅子都看成是不同的排法，所以样本空间Ω的样本点数为n!。甲有n种不同的坐法，乙坐在甲的左边，其余的人共有（n-2）！种坐法。所以事件A的有利事件数为n（n-2）！，故事件A的概率为：
（2）当n≥4时，甲有n种坐法，乙、丙与甲相邻而坐占了2个位子，其余的人共有（n-3）！种坐法；而乙和丙可能在甲的两边，有2种坐法；可能都在甲的右边，有2种坐法，；也可能都在甲的左边，也有2种坐法。所以甲、乙、丙的相对位子共有6种，因此事件B的有利事件数为6n（n-3）！。故事件B的概率为：
特别地，当n=3时，事件B是必然事件，故P（B）=1
方法三（1）我们只需考虑甲、乙两人的座位关系，所以我们可以选取适当的样本空间，不妨假设甲已坐定，这时乙的坐法有（n-1）种。这（n-1）个位置都是等可能的，即这时的样本空间Ω的样点总数为n-1.而A=｛甲、乙坐在一起，且乙在甲的左边｝的有利事件数只有一种，所以事件A的概率为：
（2）类似地，甲坐定后，乙、丙共有（n-1）（n-2）种坐法，所以这时样本空间的样本点数的总数为（n-1）（n-2）。而B=｛甲、乙、丙坐在一起｝的有利事件数为6，所以事件B的概率为：
特别地，当n=3时，P（B）=1
从本例可看出，用计算排列的方法来做是比较复杂的。但是当我们选取适当的样本空间后，不用排列组合而十分简便地得到结果。
例四任取一个正整数，求该数的平方的个位数是1的概率。
本例在学生解答时常常把正整数全体取为样本空间，而这样的样本空间是无限的，就谈不上等可能性了，所以如果把全体正整数取为样本空间我们就不能用古典概率来计算，因此，我们只能选取适当的样本空间。我们首先考虑，一个正整数的平方的个位数只取决于该整数的个位数，它们可以是0，1,2，…，9这十个字中的任一个。所以我们就可以把样本空间取为Ω=｛0，1,2，…，9｝，设A=｛任取一个正整数，该数的平分的个位数是1｝，而在｛0，1,2，…，9｝这十个数字中，显然只有1和9这两个数字的平方的个位数是1，所以事件A的有利事件数为2，即A=｛1,9｝。故所求的事件A的概率为：
本例说明对一些特别的问题，如果我们不会选取适当的样本空间，不仅计算困难，而且是不能用古典概率的方法来解决。而当我们选取适当的样本空间后，就使问题的解答简单、直观。
如果我们对这种方法理解和熟悉后，我们在计算条件概率时是可以运用这种思想的。在事件A发生的前提下，选取B的适当样本空间，并在这个适当的样本空间中计算B发生的概率，从而计算出P（BA）。这种方法常常叫做缩减样本空间法。
例五在1,2,3,4,5这五个数码中，每次取一个数码，取后不放回，连取两次。求在第一次取到偶数的条件下，第二次取到奇数的概率。
首先我们来对问题进行分析：用（i，j,）表示第一次取出数码i且第二次取出数码j，则随机试验所产生的样本空间为：
Ω=｛（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）｝
如果把“第一次取得偶数”记为事件A，这个条件作为随机试验的先决条件，这时样本空间为：
ΩA=｛（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，5）｝
这个空间我们就常常叫做“缩减的样本空间”，它是把Ω中第1数是奇数的12个样本点除去后，剩下的8个样本点所构成的新样本空间（不考虑第2个号码是奇数还是偶数）。因此，我们仅考虑第一次抽样的随机试验所组成的样本空间Ω=｛1,2,3,4,5｝，则第一次抽去一个偶数后，其样本空间缩减为ΩA=｛i，1,3,5｝，其中i取偶数2或4.空间Ω可以用条件概率公式来计算概率，缩减的样本空间可以用古典概率公式直接计算概率。
解：方法一设A=｛第1次取出偶数｝
B=｛第2次取出奇数｝
因为两次取数的随机试验所构成的样本空间Ω的样点的总数为A25个，其中事件A的有利事件数为C12C14
所以，
又在Ω中第一次取出偶数且第二次取出奇数的样点的点数为C12C13，所以
由条件概率公式可得：
方法二我们缩减样本空间考虑时，ΩA所包含的样本点数为C12C14(或A25-C13C14)个，其中第2个数码是奇数的样本点数为C12C13(或A25-C13C14-A22)个。故由古典概率计算公式可得：
方法三我们首先考虑第一次抽样时的样本空间，这时的样本空间Ω=｛1,2,3,4,5｝，如果第一次抽取一个偶数后，样本空间缩减为：
ΩA=｛i，1,3,5｝，其中i取2或4。在缩减的样本空间ΩA中，第二次抽取到奇数的样本点为1,3,5,即有利事件数为3。由古典概率公式可得：
P（BA）=
本例中的方法一是条件概率公式直接计算，较方法二、方法三计算量大，对方法二、方法三来说，都采用了缩减样本空间法。但应注意这两种方法是从不同的角度进行缩减。这种解法所选取的原样本空间不同，就如前面所介绍选取适当样本空间那样。方法二是考虑两次取数的试验所产生的样本空间（称之为细分），方法三是考虑一次取数的试验所产生的样本空间（称之为粗分）。这两种解法想比较，方法二容易被接受，但样本点数较多时，计算较麻烦。方法三不容易掌握，但计算简洁。
例六袋中装有2n-1个白球，2n个黑球，一次取出n个球，发现都是同一种颜色的，求这种颜色是黑色的概率。
解：方法一我们以袋中2n-1个白球和2n个黑球为考虑的对象。这时从4n-1个球里一次取出n个球有Cn4n-1种不同的取法，所以样本空间Ω的样本点数为Cn4n-1
设A=｛取出的n个球是同色球｝B=｛取出的n个球是黑色球｝
由古典概率计算公式可得：
P（A）=P（AB）=
所以由条件概率公式计算可得：
方法二设A=｛取出的n个球是同色球｝，B=｛取出的n个球是黑色球｝，现在仅考虑A的前提条件下，我们可知A的缩减样本空间ΩA仅为Cn2n+Cn2n个样本点，这时B包含的样本点数为Cn2n个。所以，所求的概率为：
通过以上的例子我们可以看到，在古典概率计算中，只要我们充分掌握了对古典概率的要求，在解题时只要能选取适当的样本空间，复杂的排列组合计算也是可以避免的。当然，以上的例子是笔者经过有意识的选择的，但这种注意样本空间选取的思想是很有用的，掌握它也不困难，但却往往不被人所重视。因此笔者想以此文提出，希望能引起重视，并能对关心古典概率的人们有所帮助。
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[4]《概率论与数理统计中的典型例题分析与习题》.高等教育出版社龙永红主编
一、什么是概率
对于概率的定义，教材中是这样阐述的：随机事件发生的可能性有大小.一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率（probability）.
概率是度量事件发生可能性大小的属性.如果用A表示一个事件，那么我们就用P（A）表示事件A发生的概率.
由于必然事件在每次试验中必定发生，或者说它发生的可能性是百分之百，它的概率是1.不可能事件发生的可能性是0，所以它的概率是0.而任一事件A发生的可能性不会小于0，也不会大于百分之百，即有0≤P（A）≤1.
对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性.它反映这个随机事件发生的可能性大小.事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.
二、概率教学的重要途径――实验
1.概率实验的内涵
概率教学应该通过真实数据、活动和直观模拟创造情景，使学生感悟蕴涵的概率背景，重视模拟和实验，淡化术语，避免单纯从计算的角度引导学生去从事概率的学习.
在教学中多结合实例，让学生亲自经历随机现象的探索过程，亲自动手进行实验，集体合作，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较，获得一定的活动经验，促进对概率意义的理解和掌握，教师要注重创设情境，让学生在解决实际问题的过程中逐步理解概率.在教学过程中，并非一味简单地讲述书本知识，而适时、恰当地设计、引导学生主动参与课堂、课后的概率实验，以实验结果来论述问题，体现以学生为主，以应用为本的教学理念，使抽象的数学教学进行得生动活泼，从而取得让学生终身难忘的教学效果.
2.概率实验的价值
第一，通过概率实验，有助于学生体会随机现象的特点.在进行实验及对实验数据的分析中，学生将逐渐体会到随机现象的不确定性，以及大量重复实验所呈现的规律性.
第二，通过概率实验，可以估计一些随机事件的概率.在实际生活中，大量随机事件发生的概率是不能依靠计算得到的，此时人们可以通过做实验，将大量重复实验时的频率作为事件发生的概率的估计值.
第三，通过概率实验，有助于学生澄清一些错误认识.学生学习概率时，虽然有一些生活经验基础，但也有局限性和困惑，对后者不是靠训练就可改变的，必须结合学生的生活经验，让学生亲自动手操作，将学生的感性经验向理性思考发展.
三、需要注意的问题
1.要重视教材的基础作用
教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“蓝本”，教学中必须按课程标准对概率内容的要求，以课本的例、习题为素材，举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下工夫，力求对教材内容融会贯通.
2.要注意联系实际
4.要注意概率计算拓展的深度
在概率计算教学中，许多教师对这部分知识进行了拓展，但拓展时一定要把握好深度，所使用的方法必须在计算概率的基本方法（如完全枚举法、画树状图或列表等）范围内.
5.要注意概率计算拓展的宽度
关键词：概率统计工科教学教学策略实践性环节
中图分类号：G642
文献标识码：A
江苏科技大学（张家港）以培养技术型应用性人才为办学目标。校区的生源以本二为主，随着扩招，学生的数学基础与能力方面比以往有较大下降，发现学生对此课普遍感到学习困难，难以入门，其中一个重要原因是学生对于这门课程缺乏兴趣，当前在概率论与数理统计教学中存在诸多问题有待解决，有必要对传统的教学模式和教学内容进行改革和创新。
概率统计是工科学校大部分专业开设的基础课，它是研究随机现象的一门学科，在自然科学、金融、工程技术、医药等各个领域都有着广泛应用。不可否认，由于数学概念的理解难度，使得学生学起来显得困难，加上数学课程本身的特点，很多学生有畏惧心理，导致教师教学的困难，笔者通过讲授该课程4年，通过教学实践分析校区概率统计课程教学现状，指出其中存在的问题，提出对本课程教学方法策略的思考。
1提高课堂效果的方法
1.1了解学生学习困难
学生对数学类课程学习兴趣不高。经过笔者深入学生中了解到这样的问题“学习数学有什么用”等问题，说明学生对这门课不太了解。因此在讲授第一次课的时候，不必要急于讲授新课内容，首先要将这门课程的整体的框架介绍下，并且介绍一些与实际生活有趣的概率方面的内容，比如：投掷硬币问题，下赌注问题，生日问题等。适当介绍下概率统计的发展史和中外数学家事迹，这样可以激发学生学习的兴趣，也可以活跃课堂气氛。
1.2讲一些小故事，激发学生学习兴趣
1.3联系生活，教育警示学生
概率统计相比高等数学和线性代数更贴近生活，如果能合理恰当的运用到教学中去，那会对教学效果和质量起到促进作用。课堂上询问学生买彩票的问题，发现有一部分学生热衷于买彩票，并且很希望中大奖。针对这种情况，在讲授古典概型计算的时候就可以分别计算出中奖和不中奖的概率值来，从而使他们知道原来中大奖的概率是非常小，几乎接近与零。
并且教育他们买彩票的时候需要摆正心态，期望值放低，更不能沉迷其中。
2采用更加灵活的考核方式
2.1课堂形式多样化
传统的课堂教学是以老师讲课为主，学生听讲为辅。现阶段学生思维活跃，学生有迫切的需要和老师互动交流。鉴于此，概率统计课堂应该是讲练结合，提问回答，互动性强的形式。可以穿插学生之间的小组讨论，开设小型的研讨班等多种互动形式。对于不同专业的学生，结合不同学科特点要构建与本专业相对应的概率应用例子。
2.2考试方式灵活
3概率统计的教学实践
3.1增加计算机实验实践性环节
校区概率统计师资都为数学教研室全体老师，都是青年教师，他们在教学经验等方面有待提高，比如在概率统计教学中应该适当使用计算机软件教学。概率论中最常用的一个软件SAS，它可以对离散型，连续型随机变量的分布律、概率密度函数以及事件的概率计算，也可以产生常用分布的曲线图；SPSS则在统计中使用广泛，它主要是做大量复杂的数据统计和分析；而Matlab软件在概率统计中的应用及其广泛，它既可以再概率论中进行数值计算，例如计算随机变量的期望和方差、计算几何概率事件；也可以画图，也可以处理统计中的参数估计、假设检验等内容，并且使用起来很方便，这样就可以极大地避免大量繁杂的数据的整理和分析，提高教学效率，增强学生的学习兴趣。适当增加计算机实验学时，对学生的动手能力、分析数据能力、应用概率统计知识解决实际问题能力有很大帮助。让学生感受到概率统计的魅力，课时安排在每一章结束后根据需要安排一到两次上机实验。
3.2Matlab软件的使用
Matlab软件提供了统计工具箱，里面有大量的概率统计函数可直接调用，显示出强大的数值计算和分析功能，这从根本上简化了在有限的学时内完成概率统计教学任务，降低了计算过程的复杂性、提高了教学效率。
例：设随机变量X的分布律为：
3.3教学方法中融入数学建模思想
总之，概率统计教学应该有自己的特色，应该采取有针对性的教学方法和措施，使学生建立想学习，勇于探索的精神和自信心，培养学生理论知识和实践并重的能力，创新精神，实现校区培养应用技术型人才的目标。
[1]成萍,包素华.关于概率统计教学改革的探讨[J].衡水学院学报,2005,7(3).
[2]盛骤,谢式千.概率论与数理统计(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2010.
【关键词】风电；投资风险；CIM模型；层次分析法
风电在我国得到广泛的发展应用，但在某些省份一度出现风电项目投资过热现象，因此在风电项目投资时应对其进行风险分析再决策。与传统能源发电投资相比，风电项目投资在技术、资金、政策环境上面临更多的风险[1-2]。国内外学者对风电项目投资风险评估的研究很多，主要方法有基于生命周期理论、基于实物期权理论、蒙特卡罗仿真法、基于CVaR（条件风险价值）法等[3-6]。本文选用CIM模型结合层次分析法对风电项目投资风险进行分析，CIM模型在工程项目风险管理决策中有很多应用，该模型可以有效地对复杂风险变量概率分布进行综合叠加。
1.CIM模型
CIM模型又称概率分布的叠加模型或“记忆模型”，该方法以直方图替代了变量的概率分布，用和替代了概率函数的积分。CIM模型分为“并联响应模型”和“串联响应模型”，按变量的物理关系分别进行变量概率分布的“并”或“串”联组合与叠加。在风电项目投资、建设、运用全过程中，各级风险因素的出现具有不同的随机概率，因此适用于CIM模型的并联响应方法。
假设活动A有n个风险因素存在，只要其中任意一个风险出现，活动A都会收到影响，则风险因素B1，……，Bn的概率分布组合称为“并联响应模型”，这种并联概率曲线的叠加称为“概率乘法”。在实际计算中概率乘法是由一系列的两个概率分布连乘组成的，即先将两个风险因素的概率曲线相乘，然后再与第三者相乘，继续下去，最终确定活动全过程的风险概率曲线。
假设风险B1与风险B2进行并联概率叠加，它们的概率分布叠加利用等宽度概率区间的直方图进行叠加。其计算公式可以表示为：
式中，B1，B2为两个风险因素，di为概率区间的组中值，n为分组数。
依据上述计算法将B12和B3进行并联概率叠加，得出B123的概率分布。依次进行计算叠加，当n个风险因素叠加完后就得到了活动P的概率分布。
根据CIM模型对风险叠加的方法与顺序，针对风电项目投资风险的特点，对其进行评估的过程如图1所示。
图1CIM模型并联叠加图
2.风电项目投资风险的CIM评估模型
2.1建立风电项目投资风险评估指标体系
建立风电项目投资风险评估指标体系是风电项目投资风险评估的基础，根据大量调查和专家咨询，本文提出风电项目投资风险评估指标体系如表1。
2.2基于CIM模型的风电项目投资风险评估
风电项目投资风险评估指标体系具有结构多层次、因素多方面、评估模糊性等特点，对各类风险因素的直接量化比较困难，因此选用层次分析法确定评估指标权重，用模糊评价确定最末层风险因素的概率分布。
（1）建立风险因素集合通过风险识别将风电项目投资的各个层次上的风险列出，建立风电项目投资风险因素集B。
（2）建立风险因素权重集合每个因素对风险的影响程度是不同的，为了反映各因素的重要程度，对每个因素要赋予一定的权重，运用层次分析法建立起对应于B的权重集合U。
（3）建立风险因素评价集风险因素评价集是评价者对评价风险因素可能做出的各种评价结果组成的集合，用V表示，本文采用评价集V={风险高，风险较高，风险适中，风险较低，风险低}。
（4）确定最末层风险因素的概率分布向专家发放调查问卷，让每位专家对每一最末层风险因素i给予评价j。根据下式计算每个末层风险因素的概率分布。
（1）
式中：Nj为把风险因素i归为同一风险档次j的专家人数；N为专家的总数。
（5）运用CIM的并联响应模型，逐层求出各级风险因素的概率分布。
（6）根据各级风险因素的权重，最后得到风电项目投资风险的概率分布。
3.CIM评估模型实证分析
锡盟苏丹特右旗朱日和风电场一期（49.5MW）工程位于锡林郭勒盟苏尼特右旗朱日和镇西北12km处，风电场规划容量200兆瓦，一期建设49.5兆瓦。朱日和风电场一期49.5兆瓦风电机组工程以220千伏电压等级接入系统，在风电场建设一座220千伏升压站，将风力发电机电力汇集后以一回220千伏线路接入温都尔220千伏变电站。
根据项目开发方案，采用专家调查法，对项目中的风险因素进行评价。
（1）风险因素集合表分为4个一级风险因素和18个二级风险因素，如表1所列。
（2）基于层次分析法计算一级风险因素的权重，计算过程及计算结果如表2。每个一级风险因素集中的各二级风险因素权重相同。
（3）针对本风电项目的特点从专家库中抽取10名不同专业的专家，专家对项目最末层风险因素作出风险等级的判定，本文采用评价集V={风险高，风险较高，风险适中，风险较低，风险低}，根据专家对每个二级风险因素i的评价j，由式（1）计算每个二级风险因素的概率分布Pij，计算结构如表3所示。
（4）运用CIM并联响应模型，计算各主风险因素的概率分布。以环境风险B4为例，计算其风险等级概率分布。首先计算B41、B42组合概率P（B41，B42），计算过程如表4，
依次运用并联响应模型计算得P（B1），P（B2），P（B3），P（B4），概率分布如表5。
（5）有上述数据综合计算得出本风电场投资总风险概率分布，计算过程如表6所示。
由表6可知，本风电投资项目风险较低的可能性最大，概率为44.36%，其次为风险低概率为43.41%，表明该风电项目投资风险程度较低，应当尽快立项建设该风电场。
4.结论
本文建立了以建设风险、经济风险、管理风险、环境风险为主要风险类别及18个风险因素构成的风电项目投资评估指标体系，该评估体系涵盖了影响风电项目投资的主要风险因素。采用层次分析法分析计算出一级风险因素的权重，再结合CIM法对各指标定量分析计算出各级风险因素概率分布。将各级风险因素的概率分布并联叠加后得出项目总风险概率分布，从而确定出风电项目风险概率。在此基础上，并进行了实证分析，结果表明该实例项目具有较低的风险，可以进行投资。
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