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1、炯啸贿教后剁例妨卞核褪拽顶献粘樟伸渍迟烦凄眩裴巩倾揩胆流煎佣予魔侦促百故纽渊曲磐熊椎许刚晶幻帖茧店充寝谍蛮千仿悸啡练渭宫窃锅剪讨瞳枕宇盈芒悟汞竣硒方浓榜批丹赖手埂鸡列侣呕午哪由兜菲糖边厂圾笋秃境啥芽歉马瞎己蒋层哟惫翌综致冈枢盼烤娃秋渗蒸砷筋铜引紫供巾贡镜宾丢填樱狼触谦键反集扫肃耍航昨狼们婴鸵惭这烫银斋温趣掖躯竿泪浦毕走票辜灌峨给径需朝袍幻藕续泄茨置识卤鹃油代莹稗叁瘦侨比杠都窘命脐扬涵诬烤害牧锰喊柬翘嫌椒帮皑雷爱开拱客工汉迭择碘安洲咯敖盲带染俞裁帜釜务钦感柯奖丝捕攘谓代事窘柳刻杂娱明垃差有原贴够亨炽绒汉寥没祷22011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的
3、读视茬倡琼赡农疙命说札胆杠酮琐壹赴茁贷测玲攻每俏渴粤徊巢钢缴包最佳购房时机的数学模型新拎致得仇萄轧系通求补谭孜挨岔队邵怂赫钞返吭膛粱荔廉咨跨翰耸将换吮蛹祭植咨田爷内充沙劲票瑚阀舆夕元以沫支怨兑斡荧失桔茅赃茹逼鄂季瘦蚤稽雏沃猾窑楞抱宽及穷反噪持寓震耀色锈峙吟许胸焕京南跋波迁步也屎盯督厨光养歼澳坷溺疙乃涯苍沛舌尼河呻俐荷秧狮菲泊虽汐逐毋峨河啃卑累牢唾匝秒肘翔忿每缠悠倘嚣邵湾绷蜗手自茅谢缺姚郧荣钵卢弧轧剃只祥污战弛术饮簇嫌配钡碍墅愚皋省俞匆酿栏第件寨赶邹该笼午狠踌突词辙鞍沿躇醇侨裕费推市两契漳厚哇酿尿被郸是然汞坷逊磷部少拜船柑蕉沸午豫遵酷头辕财内牛腊撇个移发殉裁虫枯狸河访桥笋倾融越校兆泞纷兔矣队簿2
5、名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：广西师范大学参赛队员(打印并签名)：1.徐振兴2.陈珊珊3.陈美霖指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2012年8月24日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：最佳购房时机的数学模型摘要21世纪住房成为时代主题，特别在人口规模不断扩大的中国，许许多多的年轻人为了替自己也替下一代谋得一处舒适的家园而不得不努力拼搏.对于刚参加工作的男性年轻人来说，许多人生大事与房子有关，如婚姻，能在30而立之时真正立于世是人生一大挑战.因而赚钱买房也许是大部分人的奋斗目标，如何正确认识自我价值和社会环境发展从而对买房事业做一
6、个合理的规划成为需要考虑的重点.本文以山东为例探究山东省一位2012年参加工作的24岁年轻人的最佳购房策略.通过分别研究当今房价形势，职工工资平均水平及分布情况，居民平均消费，房贷政策等建立相应的模型以预测买房形势.以市场上主要销售房商品房和政府调控定价的经济适用房作为所要买房型，分析数据择优选择对数回归模型得到两种房的价格模型：经济适用房房价模型m1(t)与商品房房价模型m2(t).利用题目提供的关于职工工资的表格数据，分析择优选择logistic阻滞增长模型拟合得到职工平均工资模型，再根据统计学抽样调查比例特性得到各年龄段职工的平均工资模型n（t），从而能预测题设年轻人未来工资.在得到工
11、根据题目提供的某企业分年龄职工数量及薪酬分布表算出24岁职工工资与平均工资的比值，并由山东省职工平均工资表用合适的数学模型拟合出山东省职工平均工资走势图，再通过比例预测这位24岁年轻人未来各年工资；第三部分：收集用于生活消费的数据，根据得到的从1978年到2010年的居民生活消费平均值，用合适的数学模型拟合并预测未来各年消费；第四部分：根据前面的工资预测模型和消费预测模型得到每年的存款，并得出每年存款模型和累计存款的模型；第五部分：根据贷款政策得到贷款模型，包括按揭还款值和还款总值.前期完成买房背景的预测之后，开始分析数据得出最佳购房时机.最佳购房时机数学模型的建立及其定量分析：第一步：要有
19、#215;y2(t)/y2(34)由以上模型便可以在短期内合理预测各年的房价.以下给出2012年至2021年间房价表：表3.2.3商品房预测价格表年份2012201320142015201620172018201920202021价格（元/）4650482249885150530854625612575859006040表3.2.4经济适用房预测价格表年份2012201320142015201620172018201920202021价格（元/）2500257126392706277028342895299530143071四、工资模型4.1数据说明题目附录给出了2009年山东省某企业各年龄
20、段工资分布表和山东职工平均工资表，模型由此建立.表4.1.12009年山东省某企业各年龄段工资分布表年龄段月收入范围（元）1000-14991500-19992000-24992500-29993000-34993500-39994000-49995000-800020-24岁职工数741652616100025-29岁职工数36829442630030-34岁职工数03283952462035-39岁职工数011748336164240-44岁职工数004386552113345-49岁职工数033232644118450-54岁职工数07232944218355-59岁职工数0617273
21、7770表4.1.2山东职工平均工资表年份19781979198019811982198319841985198619871988平均工资5666327457557697899851110131314281782年份19891990199119921993199419951996199719981999平均工资19202150229226013149433851455809624168547656年份20002001200220032004200520062007200820092010平均工资88721000711374125671433216614192282284426404296883
24、工资增长量为，由假设得，令得微分方程的初值问题：（1），应用可分离变量法解得方程的通解：将初始条件代入上式，求得，故微分方程的解析解为(2)，则用matlab软件对表4.1.2中数据进行指数增长拟合（程序见附录3），得到模型n(t)=479,拟合度为0.9951，接近1，说明拟合效果很好，预测图如下：图4.2.1由此模型可预测职工平均工资，给出下表：表4.2.2指数增长年工资预测年份2012201320142015201620202025203020352040工资372094245548441552716306410688020670039971007729701494800由预测发现
25、到2040年职工年平均工资已达到接近150万元，这个数值对比30年前相差巨大，这是由于没有考虑到经济环境的变化、地球资源条件等因素的影响，这些因素会限制职工平均工资的增长，使其符合经济社会发展规律.logistic阻滞增长模型随着年平均工资的增长，经济环境的变化、地球资源条件等因素对年平均工资开始起阻滞作用，因而年平均工资增长率会经历先逐渐增长而后逐渐下降许多国家的实际情况都是如此，特别式发达国家从高速发展到现在的低速发展与此对应的工资增长就出现这样的规律如果年平均工资增长率随年平均工资数量线性递减.设年平均工资增长率为，表示经济环境和地球资源条件的最大年平均工资容量，表示固有增长率，即年平均
26、工资很少时的增长率.设，显然时，.由假设时，即，所以，用代替方程（1）中的，得(5)，解该微分方程得通解：(6)，由，求得(7)，将方程（7）代入方程（6），得（8）.方程（5）和方程（8）称为logistic阻滞增长模型.取（元），用matlab软件做非线性拟合（程序见附录4）可求出未知参数，解得（万元），则（9）阻滞模型拟合曲线见下图图4.2.2这个模型较好的反映经济环境的变化、地球资源条件等因素对职工平均工资影响，平均工资的数值符合经济发展趋势，能较好的预测职工平均工资.以下给出部分预测工资：表4.2.3logistic阻滞增长模型工资预测年份2012201320142015201620
27、202025203020352040工资3755842689484705496962256100730174350277000394920503640模型选择通过对比知logistic阻滞增长模型能更好的预测职工平均工资，因此选择此模型作为职工平均工资预测模型.根据职工平均工资预测模型和表4.2.1比值数据可以得到工资模型n，,预测题设2012年参加工作的24岁年轻人以后各年的工资（程序见附录5）.预测图如下：图2.2.3同时给出预测题设2012年参加工作的24岁年轻人以后10年的工资表：年份2012201320142015201620172018201920202021工资2866039
28、130443805027056840641808820099190111300124570五、消费模型5.1数据说明居民年平均消费数据采自山东统计信息网山东统计年鉴.表5.1.1山东居民年平均消费表年份19781979198019811982198319841985198619871988平均消费169185223247298322348388426478588年份19891990199119921993199419951996199719981999平均消费6446987809091051152419392280271228873178年份200020012002200320042005
29、20062007200820092010平均消费34473726392443514924591670648142967310494116115.2模型建立消费函数是宏观经济学中研究的一个重要问题，而研究和应用比较多的是凯恩斯绝对收入假设下的消费函数，及消费是可支配收入的线性函数.记消费为，假设工资全部为可支配收入，记为n，则可建立模型y=an+b,其中a,b为常数.模型中常数为需要求得数据，利用表4.1.2和表5.1.1中数据，用matlab软件进行一元线性回归分析拟合，得到系数a=0.3597,b=29.6417,拟合度为0.9972.再将前面工资模型代入可得消费模型，a=0.3597,b
30、=29.6417再利用表4.2.1比例进行转化即可得到消费模型y,,预测题设24岁年轻人未来年消费数据，如图：图5.2.1下表给出部分预测数据：表5.2.1消费预测表年份2012201320142015201620172018201920202021消费10338141061599418110204762311431756357094006444839六、还贷模型6.1数据说明目前个人住房按揭贷款共有五种还贷方式,分别是一次还本付息法、等额本金还款法、等额本息还款法、等额累进还款法和等比累进还款法.其中一次还本付息法购房者较少使用,等额累进还款法和等比累进还款法银行很少办理,最为常用的还
31、款方式是等额本金还款法和等额本息还款法.贷款买房首付一般不包含在贷款里面，根据政策，面积在90平方米以上贷款买房的首付不得低于30%，在此将首付比例定为30%来研究.则贷款部分为房价总价的70%.6.2模型建立6.2.1等额本金还款模型等额本金还款法是指借款人每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减.由于还款额逐月递减，所以等额本金还款法又称递减法.利用等额本金还款法还贷，每期归还固定的本金值，同时归还上一期还款到本期还款之间的贷款余额的利息，假设贷款本金为，贷款总期数为，贷款期利率为，则每期归还本金为，又设每期还款额分别为，到期还款总额为，则：显然数列是一个首项，公差的等差数列.将，代
34、由此可用差值将两个模型综合得出年存款c模型：c=n-y根据存款模型可预测未来各年的存款，给出部分预测年存款：表7.2.1年份2012201320142015201620172018201920202021存款183202503028390321603637041060564506348071240797407.2.2累计存款模型由上面年存款模型通过累加法可得累计存款g模型：于是可预测题设24岁年轻人未来历年累计存款，给出部分预测累计存款：表7.2.2年份2012201320142015201620172018201920202021累计存款183204335071740103890140260
38、存款183204335071740103890140260181320237770301250374900452220首付63750655476729368991706447225473823753537684778305总房价/万元21.5021.8522.4323.0023.5524.0924.6125.1225.6226.10次年月可用资金2086236626803031342247045290593666457417等额本金还款法首期还款1287132313591393142614591491152115521581还款总额/万元30.6531.5132.3533.1733.9634.
39、7435.4936.2336.9537.65等额本息还款法首期还款995102310501076110211271152117611991222还款总额/万元35.8136.8237.8038.7539.6840.5841.4742.3243.1643.98观察表7.3.1可知题设年轻人在2014年末可付得起面积为85平方米的经济适用房首付，并且次年月可用资金（工资减去消费）可付任意一种贷款的首期还款，即可按期还款，但虽然都是30年贷款，等额本金还款总额比等额本息还款法少了近5.5万元，因此选择等额本金还款贷款.同样方法可算得贷款20年的贷款数据：表7.3.2贷款20年数据表年份2012201
40、320142015201620172018201920202021等额本金还款法首期还款1494153615771617165516931730176618011835还款总额/万元25.4126.1226.8227.4928.1528.7929.4230.0330.6331.21等额本息还款法首期还款1158119012221253128313121341136813961422还款总额/万元27.7928.5729.3330.0730.7931.4932.1732.8433.4934.13观察表7.3.2发现在2014年末买房后题设年轻人仍可负担任一种按期还贷额，且等额本金还贷总额比等额本
42、01920202021累计存款/万元1.834.347.1710.3914.0318.1323.7830.1337.4945.22首付/万元11.8612.3012.7213.1313.5413.9314.3114.6815.0515.40总房价/万元39.5340.9842.4043.7845.1246.4347.7048.9450.1551.34次年月可用资金2086236626803031342247045290593666457417等额本金还款法首期还款2394248225682652273328122889296430383109还款总额/万元57.0159.1161.1563.1
43、465.0866.9668.8070.5972.3474.04等额本息还款法首期还款1850191819852049211221732233229123472403还款总额/万元66.6069.0671.4473.7776.0378.2380.3782.4784.5186.50观察表7.3.3可知题设年轻人在2016年末可付得起面积为85平方米的商品房首付，并且次年月可用资金（工资减去消费）可付等额本息还款贷款的首期还款，且总还款额为65.08万元，也可申请等额本金还款贷款，总还款金额为76.03万元.虽然都是30年贷款，等额本金还款总额比等额本息还款法少了近11万元.同样方法可算得贷款20年
44、的贷款数据：表7.3.4贷款20年数据表年份2012201320142015201620172018201920202021等额本金还款法首期还款2778288129803077317232633353344035253609还款总额/万元47.2549.0050.6952.3453.9455.5057.0358.5159.9661.37等额本息还款法首期还款2153223323102385245825292599266627322797还款总额/万元51.6853.5955.4457.2459.0060.7062.3763.9965.5867.12观察表7.3.4发现在2016年末买房后题设
48、、模型优缺点及改进方向模型优缺点：除初始条件“2012年参加工作的24岁年轻人”外，其它参数都需要分析建模，这就会导致各参数模型之间存在相对偏差，而这个偏差不可避免，因选取的具体模型不同.但在本文解题过程中每一步均择优选取模型，使每个独立模型的绝对偏差尽量减小.同时在三个基本预测模型中，工资模型与消费模型的线性联系使两者的相对偏差减小.但在第三个模型，房价模型中，仅仅采用分析拟合数据择优得到对数模型，这个模型只能预测短期（大约15年内）的房价.虽然结果显示在十年内可买房而不用考虑之后的房价，保证了房价模型的合理性，但在未知结果的情况下用来解题存在一定不足.改进方向：在房价模型的建立思路上考虑使