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2017.10.29
抽象和推理是数学的显著特征，与这两个特征关联的思想也就成为数学的核心思想。虽然抽象与推理密不可分，但是，而这对于数学发展的功能和作用各有侧重：通过“抽象”把外部世界引入数学，通过“推理”促进了数学本身的发展。数学推理模式本质上有两种，即演绎推理与归纳推理。本章将讨论推理的含义、推理的基础、演绎推理与归纳推理以及数学推理的教学等问题。
一、如何理解推理的含义？
（一）思维模式下对推理的理解
一般在传统思维模式意义下，哲学对推理的理解为：推理是从一个或几个判断推出一个新的判断的思维形式。任何推理都有两个组成部分：一个是推理所依据的判断叫做前提；另一个是推出的新判断叫做结论。正确的推理要求前提真实，运用符号形式逻辑规律的推理形式，以期得到真实的结论。常见的推理有归纳推理，演绎推理和类比推理。
(二)推理模式下对推理的理解
对于数学而言，本质上有两种推理模式，一种是演绎推理，一种是归纳推理。这里所说的是推理模式而不是思维模式，与上述哲学在思维模式意义下推理的一般理解是不同的。
事实上，这两种推理模式不仅仅在数学、在自然科学，甚至在社会科学以及人们的日常生活中都是最基本的。正如爱因斯坦曾经说过的：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。在我看来，中国的贤哲没有走上这两步，那是用不着惊奇的。令人惊奇的倒是这些发现（在中国）全都做出来了。”
所谓基本推理是指由一个命题或者几个命题出发，得到另一个命题的思维路径，其中所谓的命题是指一种可以肯定或者否定的语句。这样我们可以把基本推理理解为：由一个或者几个“是非判断”到另一个“是非判断”的思维路径。这样，基本推理就是数学证明过程中的基本元素。
二、如何理解推理的基础？
一个数学论证过程是由一系列基本推理构成的，因此，讨论基本推理是分析数学论证过程的基础。基本推理中所涉及的基本概念包括语言、命题和定义，其中，语言是推理的工具，命题是推理的对象，定义是命题的基础。
（一）推理的工具：语言
语言是传递信息的工具，这就要涉及信息的发布者和信息的接受者，发布者往往都是个体的、而接受者往往都是群体的。发布信息需要思维，接受信息也需要思维，如果信息发布的不确切，那么，根据接受者思维的不同，信息传递的结果也可能不同。我们知道，在这个世界上有许多事情，往往会因为对于语言理解的不同（可能涉及到性格、修养、以及语言背后的文化）使人很难相互理解，包括人与人之间的、群体与群体之间的、甚至包括国家与国家之间的。但是，数学是一门科学，是不能因人而异的，无论是定义、命题的阐述，还是公理、论证的述说，都是不应当让接受者产生歧义的，在一般情况下，一个数学结论、一个推理模式确立之后，就可以超出语言的限制，就像欧几里德的几何所讨论的那样，已经远远超出了希腊语的限制，并且没有因为语言的原因使人们产生理解上的不同。因此，这就要求在数学的阐述中，语句的表达必须非常简洁、准确，甚至可以符号化。
所谓语句是指：表达一个完整思想的语言单位。如果不涉及论证过程，数学上的语句通常以命题的形式出现。
（二）推理的对象：命题
所谓命题是指：或者可以通过分析，或者可以通过经验证实的语句，也就是说，命题是一种可以进行是非判断的语句。
数学命题的核心是叙述研究对象之间的关系，即把关系概念应用于对象概念。当我们用一些符号来表示集合、元素以及它们之间的关系之后，我们就可以讨论命题了。在一般意义上，命题是一种能够进行肯定或者否定判断的语句。数学推理过程中的命题必须简捷准确，不能引发歧义。
因为对于每个命题都存在两种可能的判断，即“肯定”判断或者“否定”判断，因此我们要知道什么是判断？所谓判断是指通过经验直觉或者推理分析得到肯定或者否定结论的思维形态。每一个数学命题都是一个系词结构，被“是”或者“不是”这样的系词分为两个部分，前半部分为“所指项”，后半部分为“命题项”，相当于汉语语法中的主词和谓词。为了数学推理的确定性，我们规定：数学命题中的所指项必须定义明确。当我们用符号表示了之后，即指“所指项”必须是定义非常明确的一个元素或者一个集合，因此，定义是非常重要的，它是命题的基础。
（三）命题的基础：定义
准确的定义对于命题的判断是非常重要的，在这个意义上，定义是命题的基础。也就是说，如果要判断某个命题“A→P”时，首先应当清楚所指项A的所指是什么。因此，在进行命题的判断前，必须明确命题中所指项的定义。那么，什么是定义呢？
数学定义大概分为两种：一种是名义定义，一种是实质定义。所谓名义定义是对某些事物标明符号，或者是对某类事物指明称谓。前者例如希尔伯特关于点和直线的定义就曾表述为：用大写字母A表示点，用小写字母a表示直线。这样的定义不涉及所要研究对象的具体含义，甚至可以不考虑定义中“所指”的存在性。
所谓实质定义是指揭示所研究问题对象内涵的逻辑方法，通过对许多所要研究问题的对象进行具体分析，归纳出共性、抽象出定义。
进一步我们可以给出定义与命题之间的关系：定义的功能是为了明确讨论问题的对象，命题的功能是为了表述所讨论问题的实质，论证的功能是分析条件和结果之间的关系。
另外，数学推理过程中需要把握三个基本原则，即同一律、矛盾律和排中律。
一、如何理解演绎推理的一般含义？
哲学上，演绎推理是从一般原理推导出个别结论的思维方法，即从一般性较大的前提，推导出一般性较小结论的推理方法。其特点是在推理合乎逻辑的条件下，真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎推理是由一般到特殊的思维方法，是一种必然性推理。
我们初步定义数学中的演绎推理为：按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理。又因为数学的结论大体上可以分为命题结论和运算结论，那么针对数学的演绎推理而言，大体就可以分成两个部分：命题推理和运算推理。
演绎推理对思维的逻辑表述，有一种明确的前提和严谨程序的要求，因此它是数学求解和论证的重要方法。演绎推理是逻辑证明的工具，运用演绎推理，只要依据是已知的事实或真命题，推得的结果就必定是确定的。
一般认为，演绎推理在数学中有多种形式(如联合推理、选言推理、假言推理等)，但数学中最常用的是直言三段论式的演绎推理。数学中常称之为“三段论”式的演绎推理。
二、如何理解直言三段论——具有传递关系的推理？
三段论是古希腊学者特别是亚里士多德总结出来的一种推理模式，这个推理模式后来被中世纪的经院主义奉为是至高无上的学说。在今天的形式逻辑学中，三段论也仍然保持着相当重要的地位，可以称其为思维推理的典范，相当于欧几里得几何学在科学中的地位。
三段论是一个包括大前提、小前提和结论三个部分的论证形式，这是一个基本推理的模式。其基本模式为：
大前提：一切M都是(或不是)P，
小前提：S是M，
结论：S是(或不是)P。
全称肯定型专业术语为AAA型。亚里士多德给出的例子是：凡人都有死。苏格拉底是人。所以苏格拉底有死。
上述三句话分别就是大前提、小前提、结论。如果用A表示人的集合，用x表示苏格拉底，用P表示死这样的事情，则上面的推理形式可以为
其中／代表“所以”的意思，即／的前面是条件，／的后面是结论。
数学的推理与证明过程，就是一连串的三段论式推理的有序组合。在实际运用中，由于对某些命题(或判断)的已知性，可以省略其大前提或小前提。例如前面的例子中，因为都已知直角皆相等，所以就可省略大前提。但是在数学的证明过程中却一定要慎重使用这种推理形式，在数学的证明过程中一定要对大前提和小前提进行明确说明，否则可能会出现错误。
全称否定型专业术语为EAE型。亚里士多德给出的例子是：没有一条鱼是有理性的。所有的鲨鱼都是鱼。所以没有一条鲨鱼是有理性的。
这的推断在本质上是与全称肯定型是一致的，只不过是用了否定的形式。如果用A表示所有的鱼，用P表示理性，则A～P述说了大前提；进一步用x表示鲨鱼，那么，这个三段论形式为
此处的三段是全称否定、全称肯定、全称否定，这个型的拉丁文称谓是Celarent，其中三个元音为E,A,E。
因此，三段论的这两个特称型的核心是为了换一个称谓，就数学而言，如果是为了得到肯定的结论，那么这种论证是没有用处的，因为对于数学，一个结论在“有些”情况下成立是没有意义的。比如，对于哥德巴赫猜想，容易验证小于100的偶数都可以表示为两个素数和的形式，于是由特称肯定型可以得到推论：“所有100以下的偶数都可以表示为两个素数的和。有些偶数是100以下的。所以有些偶数可以表示为两个素数的和。”显然，对于数学来说，这样的结论是一点意义都没有的。
但是，为了得到数学的否定结果，特称否定型的论证形式却是强有力的，因为对于科学而言，为了驳倒一个论断只需要举出一个反例就可以了。比如三等分角的问题，虽然我们只讨论了60度角这一种情况，但我们可以从这种情况出发进行下面的推论：“60度角是不能三等分的。有些角是60度角。所以有些角是不能三等分的。”进而得到结论：三等分角是不可能的。虽然在上述三段论的大前提中，我们用一个元素代替了集合，但这种形式在数学中是更加有效的。
这样就可以得到结论：对于数学的推理而言，全称肯定、全称否定、特称否定这三种形式的直言三段论是有效的，也是经常被使用的。
通过上面的讨论，我们就可以利用集合的语言对直言三段论表述如下：直言三段论表述的是集合之间的包含关系，这种关系具有传递性。其中关于“包含关系具有传递性”这个命题，应当是人们在长期的日常生活和生产实践中总结出来的公理，人们从远古的时候就会知道：一个人属于家庭，家庭属于族群，那么，这个人属于族群。这个命题的正确性是不需要证明的，并且，“具有传递性”这个命题应当作为人们可能进行逻辑推理的基础。
对于直言三段论、至少对于数学论证中的直言三段论而言，下面的命题是正确的：凡是可以构成直言三段论的论述，对应的集合之间存在传递关系。如果这个命题是正确的，我们在数学的教学过程中就比较容易把握数学论证的本质了。直言三段论的本质是命题的可传递性，或者说，命题所对应的集合之间可以形成包含关系。虽然直言三段论推理的形式是可以多种多样的，但其本质可传递性是不能变的，反之，只要把握了传递性就把握了直言三段论推理。
一、如何理解归纳推理？
归纳推理是由已知为真的命题做前提，引出可能真实命题做结论的推理。它是一种由特殊到一般的思维方式，即通过对某类事物中的若干特殊情形的分析，推出一般结论的推理方法。虽然这种推理不是证明，但这种推理依然是具有逻辑性的，我们称这种推理模式为归纳推理。可以描述归纳推理的定义：按照某些法则所进行的、前提与结论之间有或然联系的推理。
归纳推理的前提与结论之间具有必要条件关系。首先，归纳推理的前提必须是真实的、可靠的，否则，归纳也就失去了意义。前提的真实性对于归纳推理来说是必要的。人们根据考察对象涉及的是某类事物的一部分还是全体，又把具有递推关系的归纳推理分为不完全归纳推理和完全归纳推理。
（一）不完全归纳推理
不完全归纳推理是根据某类事物的部分对象具有的(或不具有)某种属性，推出该事物的全体具有(或不具有)这种属性的思维方式。
不完全归纳推理又称经验归纳法，由于它考察的是部分对象而得出关于事物的一般结论，因此它常常具有猜测、想象的成份，前提与结论之间的联系就不一定真实、可靠。不完全归纳推理尽管可能出现错误，但它仍是一个十分有用的发现、创新的思维方法。数学的发展离不开猜想，而猜想的前提就是对数学对象的不完全归纳，在这种意义上可以认为不完全归纳引出的数学猜想往往成为数学家前进的“航标”。例如，哥德巴赫猜想这个不完全归纳得出的猜想至今仍吸引着许多世界级的大数学家。
不完全归纳推理在数学中不仅受到数学家的重视，而且初等数学的教材中某些从具体数的演算概括出来的运算律，用的也是不完全归纳推理。在数学中，不完全归纳又可分为枚举归纳和因果关系归纳两种思维方法。枚举归纳是指寻找几个特殊的对象进行试验，然后归纳出共同特征，最后提出一种比较合理的猜想的推理方法。
（二）完全归纳推理
完全归纳推理是从某类事物每个对象都具有(或不具有)某种属性，推出这类事物的全体具有(或不具有)某种属性的思维方法。由于这类方法考察了某类事物的全部对象，所以得出的结论必定是正确。它是一种非常简单的推理方法：令A是一个包含有限元素的集合，如果验证了每一个元素都具有性质P，则认为这个集合中的所有元素都具有性质P。
这个论证方法的正确性是不言而喻的，因为每一个元素都已经被验证过了，当然结论是成立的。但是，在实际应用的过程中，问题并不是那么简单。归纳法最初也是由亚里士多德提出的，虽然他对于这种论证的方法并不重视，后来逻辑学家改称这种方法为完全归纳法，用来区别两千年后由培根（F.bacon,1561-1626）所创立的归纳法。在初中数学的教学内容中，完全归纳法是一种经常被使用的证明方法，其核心思想是：问题分类，逐类研究。一般可以分为穷举法和类分法两种。
1．穷举法
穷举法是数学中常用的一种完全归纳法。它是对具有有限个对象的某类事物进行研究时，把所有的对象的属性分别讨论，从肯定它们都具有某一属性得到这类事物都具有这一属性(全称判断)的归纳推理。一个比穷举法更一般的方法被称为简单枚举法。
2．类分法
在数学中由于考察的对象大多数是无穷多的，穷举法有时很难运用，于是在考察中需要先对研究的对象按前提中可能存在的情况进行分类，再按类分别证明。如果每类均得证，则结论(全称判断)就得到了。对于飞速发展的现代社会而言，掌握分类并进而进行归纳的能力对于我们处理纷繁复杂的各种信息是尤为重要的。
二、合情推理应该怎样理解？
合情推理一词源于英语Plausiblereasoning，有人也译为似真推理。对于数学而言，合情推理作为一种合乎情理、好像为真的推理，是不能作为数学的理论表现形式的，但是作为一种数学的解题思维方式、作为一种数学思维的方法，在数学中却有不可取代的作用。
（一）合情推理在数学中的意义
数学是一个逻辑推理构成的体系，在思维进程的意义上它是从一般到特殊的推理论证。对前提的确认，通过逻辑推理带来对结论的确认，每一步推理都是可靠的、无可置疑的，因而这种逻辑推理确认了逻辑上可靠的数学知识，同时也建立了严格的数学体系。实际上，这种数学的逻辑构造只是数学建构后的表现形式，而在形成这种演绎形式之前，数学的理论必有一个探索发现的过程。这个探索发现的过程作为一种思维方式，作为一种数学发现的方法，是非逻辑演绎的，是一种合乎情理的、似真的推理过程，即合情推理。
作为数学中的创造性思维，它面临的是一个前人没有论证过的问题。因此按照合乎情理的方向，按照自己认为可能是正确的方向去进行推理，探索可能得到的结论，探索可能运用的方法，是合情推理发挥作用的地方。对于一个想把数学作为终身事业的学生而言，它必须学会逻辑论证推理。因为这是他未来的工作，也是数学科学思维发展中的一个特征。数学家为了取得成就，也必须学会合情推理，因为这是他创造性工作赖以进行的那种推理。
作为数学的学习，如果我们要求学生运用自己掌握的数学知识去解决问题，那么作为学生的个体经验，他必然有一个自我形式的合情推理过程，即按照自己认为可能合乎情理、可能正确的方向来试一下，尝试一下自己的方法、想法是否正确。从这种意义上来说，对于数学学习者，对于数学的解题过程而言，合情推理就是一个必须学会运用的思维方式。
合情推理实际上强调了一种思维的主动性、情感性和试错性。所谓主动性是说，合情推理不受数学自身严格演绎推理的束缚，可以向自己认为合乎情理的方向主动思考，尽管这种思考可能与数学本身的要求有差距。所谓情感性是说，合情推理可以按照自己认为似真的方向进行探索。这实际上只是一种探索性的思考，尽管这种思考可能与数学的真正演绎证明有一些差异。所谓试错性是说，合情推理是一个学习、论证的试错过程，正是通过不断的主观积极的试错才使问题得到最终的解决。
数学中合情推理的方式是各式各样的，在这些合情推理中最常用的是类比推理和归纳推理两种。
（二）类比推理
类比推理是指根据两个不同对象的某些方面(如特征、属性、关系等)相同或相似，推导出或猜出它们在其它方面可能具有相同或相似的思维形式。它是思维进程中由特殊到特殊的推理方式。波利亚在论及合情推理中的类比推理时，特别强调了两点：其一，类比是某种类型的相似性，这种相似性是某些方面的一致性，这种一致性有时是很模糊的。其二，要把关于对象某些方面一致性的模糊认识说清楚，即把相似之处化为明朗的确定的概念。
在数学发展中，类比推理曾给数学家许多发现问题、解决问题的指引。例如，数学史上著名的费马定理：xn＋yn=zn，当n大于2时没有整数解。就是在与古希腊x2＋y2=z2这样毕达哥拉斯三元数组的类比中发现的问题。古希腊人发现在毕达哥拉斯三元数组中，只要把n从2换成3，寻找整数解的工作就从相对简单变得令人难以想象。
一般来说，类比推理给人的启示有时是巨大的，在数学史中可以找出许多这样的例证。在初等数学的教学中，类比推理也被经常地使用。我们可以粗略地把它分为如下几种：
1．从个别到一般的推广
例如，在中小学中数的运算和式的运算中有许多相似之处，图形的全等与图形的相似之间也有相类似之处，整数的指数幂和分数指数的幂函数也有类推之处。
2．某些特征的类比推理
例如，平面上的一个三角形可以与空间的一个四面体类比。在平面上，两条直线不能围成一个有限图形，然而三条却可以围成一个三角形。在空间，三张平面不能围成一个有限图形，然而四张平面却可以围成一个四面体。如果我们在平面与空间中，以最少的元素围成一个图形的条件来比较，可以发现，三角形与平面的关系同四面体与空间的关系是相似的。因此，我们可以看到两者在构造上可以作某些类比。
我们还可以把平面上的平行四边形和空间中的平行六面体看作是相类比的图形。平行四边形的两条对角线互相平分，即交于中点。相类似的是平行六面体的四条对角线交于一点，而且互相平分。
3．方法上的类比推理
利用不同方法之间的相似，可以进行类比推理。对一种方法的理解和运用可以加强对另一种新方法的理解和运用。
例如，分配律a(b＋c)=ab＋ac，对数和式的运算都适用，它也可以适用于数列的极限运算：
相类似的，一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法也有可以类推之处。下面是一个利用不等式的类比解题方法。
波利亚在论及类比合情推理的作用时，认为它可以在三个方面发挥作用：(1)可以提出新问题和获得新发现；(2)可以在求解问题中得到应用；(3)可以用来对猜测进行检验。应当指出的是，类比推理只是一种合情推理，它不能提供严格准确的数学逻辑证明。它获得的结论的正确与否，还必须经过严格的证明。因此类比推理是一种创造性、启发性较强而可靠性较弱的方法。数学史上也有许多类比推理失败的例子。
我们可以把类比推理在数学中的作用表示如下图8.3-1所示：
（三）合情推理中的归纳
合情推理中所说的归纳是归纳推理思维方式中的不完全归纳推理，又称之为经验归纳法或称之为实验归纳法。这是一种从个别到一般，从经验事实或实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的方法。
正是由于合情推理中的归纳推理是从个别事实中看到真理的端倪、受到启发，提出假说和猜想，因此合情推理中的归纳推理才成为一种重要的数学发现的方法，成为合情推理中的重要方法。
如果我们把合情推理中的归纳推理称作经验归纳法，就可以发现：许多数学史上的成就，都是由于数学家运用了自己经验的归纳，凭观察、猜测大胆地提出了问题，并最终给出了巧妙的证明。高斯就曾说过他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续。事实上，人们确实可以借助经验归纳法从大量的个别案例中发现数学真理，引出数学命题。当然，此时获得的数学命题还只是一种猜想，它是有争议的、暂时的，要使它成为普通的数学命题，还要借助逻辑论证推理给出严格、无误的证明。
1．用经验归纳法发现问题的结论
对于数学问题而言，运用经验归纳法可以由一个特殊的事实来猜测可能存在的结论。这种经验归纳法可以引导人们发现问题的结论，不过这种方法作为一种合情推理，结论最后的获得还需要严格的证明。
如果从中小学数学教育的角度看，学生自己提出的合情推理，即使被证明是错误的，那么他们也获得了自己的数学体验、数学兴趣和数学实验的过程。
2．用经验归纳发现解决数学问题的路径
在经验归纳的合情推理中，可以由一个特殊处理问题的数学公式、数学方法或解题思路中归纳推导出对一般问题的处理公式、方法或思路。
虽然由归纳得出的结论后来被欧拉证明是错误的，但是费马数的形式结构，却被高斯把它与解决正十七边形作图问题联系了起来。显然，在这里数学大师们是很自然地运用合情推理——用原来的特殊数学形式来解决自己一般数学问题的证明。
在合情推理中，类比推理与归纳推理差异是明显的。归纳推理是从特殊到一般的推理，是一种纵向思维；类比推理则是借助两个系统某些部分的相似性或一致性进行的横向思维。在实际问题中，两种推理形式互相促进，成为合情推理中相互配合、相互利用的重要的数学发现的方法。而作为合情推理，作出创造性思维有时需要不同思维方式的相互配合。
（四）数学猜想——介于归纳与演绎之间
数学猜想，是指人们根据已知的某些数学知识和某些事实，对数学的某些理论、方法等提出一些猜测性的推断。由于它没有严谨的理论依据，因此数学猜想的真伪性难以判断。但是，数学的进步却离不开数学猜想。数学猜想是数学发展的一种思维方式，数学猜想有时引导了数学前进的方向。数学猜想对数学某些理论的存在性、规律性和方法性提出的一种推测。这种推测是对数学的一种探索和研究，因此它是一种数学发现的思维方式。同时，由于它是在前人没有研究和没有得出结论的领域中提出自己的推断，因此它又是一种创造性思维的方法。只不过，这种创造性思维的方式，还要依据理论的论证，还要进行艰苦的工作才能最后确定这种推断的真伪性。
1．由归纳提出数学猜想
由某类数学对象中的个别对象具有的属性，进而猜想该类对象全体都具有这种属性，这是不完全归纳的基本思维方法。利用不完全归纳的思维方法提出数学猜想是构成创造性思维的一个重要方面，许多数学史上著名的数学猜想都是由此而产生的。
例如，著名的华林猜想就是通过不完全归纳提出来的。
这些数都可以表成不多于4个整数的平方和。1770年，华林猜想：任一正整数必能表为不多于4个整数的平方和。这是由不完全归纳提出的一种猜想，在后来的数学发展中拉格朗日、欧拉证明了上述华林猜想的正确性。
2．由类比产生的数学猜想
类比是产生数学猜想的一个重要思维方法，许多数学家通过类比获得了一种灵感、一种直觉，进而提出数学猜想。
当然，一个伟大的数学猜想吸引着众多数学爱好者的努力探索，有的数学家甚至为之付出一生的心血，但是，我们要清楚的知道，一个数学猜想的证明历程并不是容易的事情。
(五)关于演绎推理与归纳推理的关系的理解
演绎推理的定义：按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理。归纳推理的定义：按照某些法则所进行的、前提与结论之间有或然联系的推理。比较可以看到，归纳推理比演绎推理要灵活得多，这是因为：在推理过程中，“法则”是必要的，但不需要事先规定；前提与结果之间的“联系”是必要的，但这种联系是或然的而不是必然的。正因为归纳推理具有这种灵活性，才可能从事物（事情和实物）的现实出发，对事物的过去或者未来进行推断。虽然通过推断得到的结论不一定是必然的，但却是实用的，因为在日常生活和生产实践中，人们对事情决策所遵循的原则并不要求必然成立，只是希望在大多数情况下成立。人们在决策的过程中可以不顾及或然率很小的情况，正如人们不会因为有地震而不建高楼，也不会因为有交通事故而不购买汽车。
对于数学而言，如果说演绎推理是为了证明的推理，那么归纳推理就是为了推断的推理，把这两种推理模式结合起来，就得到了数学的推理的全部过程：从条件出发，借助归纳推理“推断”数学结果的可能性，借助演绎推理“验证”数学结果的必然性；或者进行一个相反的推理过程：从结果出发，借助归纳推理“推断”数学条件的可能性，借助演绎推理“验证”数学条件的必要性。