现在的论坛质量比以前差了，大部分都是来解题问答的，而且层次较低。以前论坛中，Qullien很令人印象深刻，但愿他能在国外闯出一片天空。现在基础数学版代数&数论子版中那几个讨论代数几何的还不错。不期望目前论坛出现很多高层次高手，高层次高手应该站在好课题上高观点讨论数学，出现这样的网友，看他们的言论非常过瘾。以研究为目的的数学人，必须心中要有至少一个很棒的问题在手，而不是一味地读太多的书和深究一些价值不大的概念细节。
下面发一下自己对数学的人与事的个人看法。
格洛腾迪克的结构数学和希尔伯特的公理化数学看似相同，实则不同。公理化重在处理逻辑，而结构化重在处理构造。所以结构数学的计算技术得到强化。在数学中，个人以为构造比逻辑重要和有效得多。抽象代数最有价值部分是群的计算，尤其有限单群，其次环域分解，即什么样扩张域能使某个特定环的分解变成唯一的。代数几何的最好部分就是上同调群的构造和计算。个人认为格氏代数几何虽然应用于拓扑和数论，但还是其数论的效用显著，几乎是为现代数论定身制作的。尽管同调群计算可以应用于拓扑，但对拓扑的深层次问题的解决帮助不大，主要是庞加莱的同调和同伦技术不能处理这些深层问题，对此庞加莱本人十分清楚。
中国人长于代数计算尤其数论，而短于几何分析，这是从古代流传下的传统，现在这种影响还是十分强大。陈邱二人在华人传统上进行了很大冲击，后来一些在国外的华人师从他们的道路。看不惯国人对陈邱二人数学学术影响力和地位的过分拔高。他们二人对数学整体的理解，个人不完全赞同。尤其不喜欢邱（和威腾）对数学和物理关系的看法。牛顿把自己的名著定为力学的数学原理而不是数学的物理原理是有绝对感觉的。对物理和数学关系的看法，牛顿、庞加莱这些人才会有深刻体会。目前数学和物理关系正反映了现代数学缺陷，特别量子领域与康托尔连续统和拓扑结构有密切关系。现代理论物理已经沦为数学游戏（一个真正的物理家应该理论和实验通吃），而邱的数学寄希望通过理论物理来解决，非常不好。物理只提供实例，数学的基本构造必须源于自身。
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37主题23好友7207积分助教
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我的本意就是有数学天赋的人要尽快进入研究状态，在研究中学习。伽罗华研究他的方程时，我怀疑他是否学过微积分，反正也用不上。阿贝尔没问题。不知道阿贝尔学过高斯的微分几何了没有。怀疑。
plp归来
现在的论文发表体系肯定产生大量价值较小甚至垃圾论文，真正重要的论文只是极少数，里程碑或重大影响的论文很可能数年才会出现几篇。首先，我们应该容许这些低质量论文存在，它们维护了整个数学组织的正常运转，数学家们也要谋生计，同时，小问题的出现激发众多数学研究人员保持研究活力，有时它们是为大问题蓄势。尽管几率比较低，但某些低质量论文中也包含一种潜在解决大问题的思想，只是作者天赋不够，无力发展，如果有幸被高人发现，则可以派上用场。如果一个学术杂志专门登突破性论文，它就开不下去了。其次，作为有理想研究人员要知道，没必要过多读和过分重视论文，尽量挑感兴趣又重要的论文读，凭自己的积累和直觉从大量论文中发现它们，这不是件轻松的活。
to洛奇:质疑就是正确评价别人的东西，并不是否定别人的东西和对别人的不尊重。并不是人人都有能力去质疑，否则不理性。其条件与你的实力有关，与年龄无关，很多人年少成才，比如20左右，因为他们那时已经具备质疑的实力，最后也早早取得成就。但是绝大多数人实力都达不到要求，无论你是一般大学生或研究生，当然学习的份就多。就个人一般观点而言，达到博士阶段，或多或少应该有此能力，否则太水。对于过人之人，没有年龄和阶段限制。不主张一般人去做没有实力的质疑，但强大天赋的人在研究解题中须不断去质疑，不要太过限制自己。
一些人理解歪了，如果一个论坛没有有趣而深刻的见解出现和讨论一些较深的和最前沿的问题，而只有较低的问答层次，这样的数学论坛就没趣了。深刻见解和最前沿问题讨论会激发一些潜在的真正数学研究者。每个人学习数学的目的不一样，每个人对数学的激情不一样，每个人的数学内容的喜好不一样，每个人的数学积累和天赋不一样。这些不一样会让你期待不同的数学讨论。对于一般人，了解简单数学就够了，过深的数学对他们是有害的。对于一般数学应用者，过深的数学研究也是有害的，理解能用上派场的内容就够了，不要什么都追根究底，除非你的课题深度真的需要。只有真正有能力和天赋的研究者才合适滑入数学深渊。不是所有的数学内容适合科普和放在较低层次去讨论，比如Hodgestructure、Mirrorsymmetry、Gromov–Witteninvariant和Indextheory，你要读懂，必须有很深很全面的数学背景。只有达到一定的背景，讨论才可相互理解。
难道你没有看出来本人正是表达和你一样的意思吗？这个问题，那个著名的Quillen网友就极力推崇当代牛人而看轻1900年以前的数学家，当时我就不同意他的这个观点，当然我从他的代数几何讨论方面获益非浅，还得感谢他让我早早意识到代数几何的精彩，你不走进去并在研究中应用，你就根本不能体会格洛腾迪克的博大精深远胜于他同时代之人和他思想的威力和缺陷。但是现在很多人过分抬高他，也是不健康。格洛腾迪克是注定的历史里程碑，现在更正我以前说的，个人认为他比希尔伯特强，但还是比不上黎曼，庞加莱和高斯。牛顿时代到1900年，是数学史上第一黄金时代，比现在强很多，但是现在的难度非那时可比，现在难度大太多了。现在数学面临的大问题和现在数学家还未意识到潜在更大的问题，需要比庞加莱更强的超级数学天赋携带者出现才能解决，数学上丰碑都是以非凡思想和构造出现为震撼标识。上个世纪迎来了格洛腾迪克，这个世纪需要一个更强的，尤其是拓扑方面和硬分析方面。
对大数学家而已，分支不是大问题。真正的差异是他们感兴趣的课题和想问题的风格。你是代数式思考方式还是几何式思考方式，当然少数数学家两个方面都强，比如高斯，但是总有一个为主的，高斯喜爱代数超过几何。黎曼和庞加莱是典型的几何思维，比如黎曼猜想就反映了他的几何直觉，庞加莱就更不用说了。伽罗华，阿贝尔和格洛腾迪克是典型的代数思维。判断一个数学家的思维方式，看他喜不喜欢在他论述中画图或叙述一个具体图形就可以判定了。
to洛奇后人看前人，都觉得前人的东西容易，我们的后人也会这样看我们，确实后人在大多数情况下是这样的，基于知识的积累，后人一般比前人牛，这道理谁都懂。但牛不等于这些牛人的功绩彪炳历史，在历史上比前人有更高的地位，难道你能说庞加莱、黎曼、高斯等很多历史成就就比现在的大多数牛人差吗？就个人观点而言，现在没有一个人能在历史成就上比得上这三人，格洛腾迪克也不能。评价历史我们后人更容易客观看待我们和前人的功绩的历史价值，其结果是后人一定会把我们对当代人的自吹自擂的吹水成分大大压缩，其结果是现在没几牛人能上历史排行榜。所以最牛的人不等于历史排行榜。以历史的眼光看人和成就更客观，但是当代人根本很难客观，都想把自己吹上历史的排行榜，以让后人记住自己，但是后人不是傻子，后人有自己的判断标准，当代人不可能替后人定标准。
代数几何萌芽从意大利学派算起比较合适，法国Bourbaki学派是它辉煌的开始，格洛腾迪克使它达到目前的顶峰。代数几何不能说不抽象到目前的极端，数学人也因此把它抬高到极端。algebraicvarieties，sheafs，schemes，algebraicspaces,algebraicstacks，topos，sites，motif（ormotives），highercategory，higherK-theory，Grothendieck–Riemann–Rochtheorem，intersectiontheory以及涉及Weilconjectures，Hodgeconjecture和motives到Galoistheory的长征。这些东西实在抽象炫目得很。
抽象与具体一般人都认为抽象比具体有价值得多，所以不断忙于抽象再抽象，把别人的东西抽象推广到自己的特例，自己就比别人贡献更大。这是很好笑的。不少抽象显得非常稀疏化和平凡化。什么是表示理论？如果只是一些假大空的抽象，这些抽象的东西只能用来说话，没有计算技术来表达，就没有太多的深刻技术含量，只有能用有效计算技术来定义或分类或区别一个或一堆数学对象从其他不同的想要区分的数学对象时，这种抽象才深刻，所以表示理论是抽象数学要达到的目标，现在无论代数几何和抽象拓扑都差得远。表示理论是很难的，一般抽象至多是框架，框架易搭建，但建筑施工困难。所以俄罗斯学派的表示理论观点是非常重要的，是务实不务虚的。表示论就是从抽象再到具体的过程，用具体的计算工具去处理抽象。一般的具体就比抽象不值钱吗？实际上，抽象时也排除了很多具体对象，让它们处于例外情形。某些情形下，我们处理一个具体对象，最后会得到一个更大的数学内容和抽象（比如费马最后定理导致一连串的抽象进展），按这些抽象家的说法，把他们给抽象进去了，他们的抽象理论成了specialcase。所以不要看不起具体数学。
一个强的研究者，应该可以从简单中看到复杂，从复杂中看到简单，从具体走向抽象，从抽象在回到具体。如果一个数学研究者没有较强的计算能力，一般来讲，是不完美的。如果一个数学研究者只会傻算而不懂数学构造优先，那不会有大出息。如果一个构造不合理，算出来了也达不到要求。要算，但要先搞清楚为什么要算。
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////plp归来你说的计算再高深的理论都是围绕高代和数分展开的，这两门课学好，计算就学好了，你的具体可能换成特殊好一些点
金币707威望130发消息55楼发表于2011-4-2818:40:53|只看该作者我认为从思想上看，人们都一样，只是每个时代的知识所具有的思维特色不同，例如functors的同调群消失就如同求函数的零点，基变换就相当于我们学的数的交换性，代数D模借鉴了函数求值域的思想。数学知识是多的，但思想是少的。
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////toLavita所有数学家都可以比较的，至少你可以把他们划分为几个不同的粗糙等级，不同等级的数学家的成就与境界是有很大差距的，比如你不能把几个华裔数学家列入高斯、格洛腾迪克一个等级吧。至于同等级内有一定争议可以理解，等到研究程度深入和数学未来发展的不断呈现，就可能看出不同了。庞加莱的automorphicform（Fuchsiangroup）和微分方程的研究也是不错的。
toplp归来计算主要内容围绕高等代数与数学分析这种看法我以为是不妥的。新的计算构造及特征要由具体的数学问题在数学研究者的解题过程中经过一定寻找后自然呈现出来，我们不能武断确定它一定要由现在的高等代数与数学分析中的计算技术构造或组合出来，你不能事先设定这个判断，因为完全可以有大大不同于现在的计算技术出现（也许一般研究者不能脱离这个框框，但超级研究者会突破它），当然也可以是现在的计算技术小修改或附加一些小构造。如果这样看待计算构造，就等于在研究中捆住自己的手脚，限制自由。新的计算构造可能来自旧计算构造的扩张或抽象扩张，更主要的需求来自几何新构造的要求。旧计算构造的扩张或抽象扩张最终也必须反映到恰当的几何构造和变换中，否则无效。个人认为，旧的计算构造已经不能满足拓扑学的潜在大构造的需要。一般数学计算技术有数的基本四则运算、线性向量、笛卡尔空间，抽象数学计算技术有整体数学对象的全局基本四则运算（群、环、域）、模（module）直和、moduli空间。这就是思想相同而思维方式不同的结果。但二者还是有明显细节不同的，整体的东西比个体难处理，要照顾的方面很多，经常要添加一些辅助小构造才能处理。
如果一个数学研究者真真切切地意识到数学研究是一种艺术创作美（对称美、非对称美、简洁美（尽量简化复杂的东西）、普适美（让构造能对付所有范围内的情形））而不是工程制造，那么他一定会有艺术的敏感性去意识到数学构造的可能性。每个艺术创作者有不同的风格和思想呈现相同的对象，数学研究者也一样。一个有非常抱负的研究者最终会攻击数学中的大问题，无论是现存的或自己提出的。
数学乱弹一。
数学乱弹二。
千禧年数学难题
本帖最后由wcboy于2012-8-2009:45编辑
数学家和物理
逻辑和哲学的缺陷
几何与几何人物几何不如数论，代数和分析等那样细化，多样，抽象和机械化。显然历史上绝大多数数学家对数和抽象数的兴趣远大过对图形。数间关系很容易衍生推进，绝大多数数学家的数的敏感性高于图形洞察力。数比较抽象，而图形是形象的。数学家比较崇尚抽象美。3维空间以下的几何图形所有数学家甚至一般人可以不费力想象，但4维空间以上图形就只有真正的少数几何学家能看出图形门道。这种门道不是高维代数或分析方程或抽象群这样简单到数学家都能知道的东西。在几何中，代数抽象远不如几何形象重要。如果一个数学家不会在脑袋里想象一个几何图形并看清楚它，他是不可能看到重要的几何构造的。正是这个缺陷阻碍了几何学家在高维图形上取得真正有效的进步。几何构造比代数少多了，但远比代数构造难度大太多。一个几何重大构造需要一系列重大代数构造来联合表示。这就是在20世纪以前绝大多数数学家只喜欢3维空间中的1维和2维图形的原因，这也是当代数学家对高维代数及微分拓扑绝望的原因。能够看见高维几何结构并有效分析的人一定是超级数学天赋携带者。现代几何拓扑真正在等待一个不世出的巨匠给人展示如何看高维图形。
在Cartan以后，个人比较欣赏的几何拓扑贡献来自于EdwardWitten，HasslerWhitney，JohnMilnor，HeinzHopf，VaughanJones和WilliamThurston。尤其Witten和Whitney。目前物理学家对高维空间的驱动需求远超数学家。数学家卡死在3维和4维流形上，以SimonDonaldson为顶。
物理，实验和数学
物理理论必须反应实际世界的运行。这是否是说物理模型完全由实验决定？那么历史上最成功的理论物理英雄是如何看待实验和数学在理论物理中的作用的？我们必须信任实验吗？第一，不少人为拼数据作假；第二，精细而复杂的物理实验完全可能出错而很难发现；第三，有些实验是不可能做的；第四，有些实验都不知道往哪个方向入手；第五，即使实验出来了也不知道怎么处理。因此，要完全依靠物理实验来建立物理模型是不现实的，极其困难的前沿实验不能完全被信任。最厉害的物理大师有选择地捕捉到有价值的实验。Einstein对物理实验就是有选择信任的，比如狭义相对论只选择相信光速实验，而广义相对论基本与实验无关。Dirac的相对性量子模型则完全是数学美学的结果。很多物理学家强调数学美学在物理的极端重要性，比如Weinberg。目前的M理论就不是由实验建立的。尽管标准模型能解释很多东西，但是物理学家完全靠实验来建立统一广义相对论和量子力学的模型基本上是不可能的，因为实验室的高能限制是非常明显的。实验不可能获取大爆炸的高能条件，即使满足弦论最低要求能量条件都几乎不可能。
自然界中同时存在两个正确而互相矛盾的物理模型，这不是自然界的错，而是物理学家迷失了重大拼图片。引力能否量子化，暗物质与能量能否解释，黑洞内部能否探查和多宇宙的存在性，实验基本不能达到目标。这些丢失的拼图唯有靠数学尤其是几何才能找到。物理模型的冲突在于我们几何理论的重大拼图的迷失，在连续的统一场中如何实现规范场的离散的几何量子化和拓扑化是关键。如果新几何不能完全弄出来，物理学家不可能从理论上解决他们的主要问题。因此，要么数学家弄出来，要么最强的物理学家同时变成最强的数学家。没有数学创造力和领悟力的物理学家在解决最基本的物理冲突中只能靠边站，发灌水论文。只有整个物理模型建立在几何解释之上，理论物理才能摆脱它的唯象论成分而达到一个统一理论。也就是说，物理必须与几何统一，实验只提供具体参数。不是所有的实验都是有价值的，不是所有的实验的价值是可辨认的。实验不是检验现实世界的唯一途径。有些现实世界是永远不能被有限实验检验的。在未来，所有理论物理学家都必须是数学家，而数学家不必是理论物理学家。
一个学科只有与数学结合越紧密，则越像一门科学，比如物理，计算机。像生物学那种几乎没有数学深度和门槛的学科，只是唯象论的经验，完全是一个劳动密集型的手工作坊，所以很容易靠枚举型实验发非常多的灌水论文，甚至随便都是“创新突破”一个生物学分支。所谓的交叉科学多半都是忽悠人的学科，它们是大工程而不是科学，数学门槛极低，当然对那些从事的人来说，他们是不会承认数学门槛低的，在他们眼里方程和分析就是高深了。
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基础研究，工程科技，经济发展和研究强国
现在基础研究被泛化了，很多工程技术的东西都被冠以基础研究。基础研究主要往理论上靠，研究目标就是要去掉唯象论和经验而被数学化。同一个实验既可以支持理论发展也可以支持工程发展，实验是中立的，因此实验本身不能算基础研究。很多应用数学工具建模的学科与数学没有紧密联系，它们只能是工程技术。只有那些被数学化而变成不可分离的部分时，学科的基础化就越高。
基础研究就是一个学科数学化的过程，其学科本身对数学发展不可缺少。因此金融数学，生物甚至化学都不能是基础研究。只有数学和理论物理（而不是实验物理）是真正的基础研究，想一想理论物理中实验只是其一部分作用，剩下的都是数学。说到底，只有数学才算终极基础研究，因为理论物理最终会变成几何的一部分。基础研究的目的是理解自然和宇宙，而不是直接去获得经济好处。进行有效基础研究的两个必要条件：对自然秘密的浓厚兴趣，自然赋予的天赋探究才能。现实是很多没有数学含量的东西都往基础研究上靠，想沾光基础研究以引起世人注意来为自己拉经费和赞助。事实上，数学的研究费用很少，比起其他，可以忽略不计。
一个国家经济强大和先进，主要是它的工程科技的强大，而非基础研究的强大。一个基础研究世界第一的国家，其工程科技不一定世界第一，尽管工程科技要靠基础研究，但它可以应用那些已经存在的基础理论。一个国家认为经济强大了，就能达到世界领先的基础研究，那是幻想。一个其精英人物从来没有思想自由和对自然渴望探究的基因和传统的国度不可能在基础研究中有太大的作为。即使美国，日本经济上强大，其数学研究比法国，德国，前苏联不如。一个基础研究强国必须要有几个主要的一流强校和机构和自由思想的体制和崇尚科技的民众，比如普林斯顿高等研究院IAS，巴黎高等科学研究所IHES，剑桥，普林斯顿等。所谓一流强校，必须拥有一流当打之年的学术大师作为招牌。所以基础研究强国主要是比人才，没有几个超级和一流大师撑场，所谓研究强国一流强校就是空谈和笑谈而已。美国经济这么强大，其本土也没有超级数学巨匠出现过，尽管一流人物不少。Grothendieck们只出现在法国。法国，德国，英国是历史最强的基础研究强国是因为他们人的基因和传统。即使它们退出政经舞台，它们的基础研究仍然不是他国所比。
以前经济不发达，基础研究搞不上去有借口，现在经济进入大国行列，基础研究还是搞不上去，仍然有借口，就是不愿承认自己不行。Abel很穷没有固定工作还要养他的弟弟妹妹，Galois身处动荡时代，Gelfand身处前苏联，为什么他们能作出成就？现在国内很多人手握有研究巨资和一大帮助手还是无能，同时众多身处底层的研究人员还认为是自己的平穷拖累了自己的研究前途。为什么所有的人都不从自身上找问题而喜欢从外部找替罪羊，国人基因使然。如果你穷抱怨，那么你可以不结婚，不要小孩，不要做房奴。如果不放弃，那么说明基础研究在你那里不重要，你的兴趣并不大。如果你手握巨资或者不发愁的工资，你还抱怨，那只能是无能。人不承认自己无能是因为想要更多特权和享受名声。金钱至上和学而优则仕是国人基因和传统，这样的人群无法在基础研究中有大贡献。基础研究是普世的，而不是特色的。
国内的数学家懂高深物理吗？国内的理论物理学家懂高深数学吗？国内物理人只会方程解析，国内数学人爱好数论。国内就根本没有同时对物理和数学深度理解的基础研究人。这样的环境能出一流人物吗？超级人物就更不用幻想了。为什么国内人要强调基础研究的多人合作？因为掩盖无奈。基础研究不是靠人海战术取胜，一个超级人才强过一大帮一流人才。独立研究是第一，合作是添加剂而已，可有可无。如果你强，合作者拖后腿，而且还有优先权之争。独立研究大问题是基础研究的最高境界。一个国家的基础研究很弱而研究人员普遍眼界很低的情况下，从基础研究强国引进人才是非常明智的，这是因为不能直接拥有一流大师就退而其次拥有大师的门徒而间接获取大师的思想和风格。问题是没有自由学术土壤和制度去清理那些特色的传统垃圾，引进也会被同化，比如学术欺诈，造假，抄袭泛滥。一个对知识产权不尊重的国度，基础研究也是不会被国人尊重的。
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////华裔(意指华人数学家和理论物理学家)
华裔数学家中比较引人注目的无非陈省身、丘成桐、周纬良，陶哲轩、华罗庚、陈锦润和新近的张益唐，物理也不少，主要是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文和崔琦等。其中比较值得称赞的是杨振宁、陈省身、周纬良和丘成桐，尤其前三位。在数论中，两个方面比较重要，一个是素数分布pattern，一个是有理点在丢番图方程分布pattern或solution（算术几何）。素数分布最重要的是黎曼猜想，如果有比黎曼猜想更重要的，那一定是所有素数的生成公式或通用过程。任意长的素数等差数列，孪生素数和哥德巴赫的价值就差很多。个人认为孪生素数比哥德巴赫要好。如果获得所有维数下丢番图方程的完整的通用分类和解法，那么其重要性不比黎曼猜想差，但个人不相信存在通用解法。一个特殊情形就差很多了。另一方面，如果解丢番图方程和黎曼猜想中得到重要通用数学结构将是了不起的，比如算术曲线计数问题和模形式方面的问题。尽管这些人能在数学物理上留下一些脚注，但个人认为陶哲轩、张益唐、华罗庚和陈锦润并不是多重要的数学家，尤其跟陈省身和周纬良比。
俄罗斯理论物理学家LevDavidovichLandau和奥地利理论物理学家WolfgangErnstPauli曾经感叹自己生不逢时，没有赶上20世纪物理的黄金时代，而生在白银时代，否则自己可以做和爱因斯坦和玻尔一样的贡献。也许数学家有这种想法的少些。就我看来，就算把他们放在那个时代，他们也不一定能弄出来。好像前人断了他们的机会，实际上，理论物理和数学的大机会从来没断过，只是他们看不到和想不到，在他们那时，爱因斯坦就在琢磨统一场，尽管爱因斯坦能力不够，但那些认为自己的机会被抢的人从来就没想到过甚至嘲笑老爱落伍了，最终证明老爱没有落伍而是他们自己落伍了，老爱之所以成为老爱，就是他能看到别人看不到，能想别人不敢想，考虑的大问题太超前了。只是他们不承认天赋和洞察力的差距而已。他们为什么不把自己变成Witten，Klein，Kaluza和Grothendick呢？终归还是能力不够，视野不够。
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////数学观念和计算技术
数学观念造就数学大局观和idea，计算技术制造具体的数学技巧。很多人看不起计算技巧，并且不愿意亲自动手计算一个具体的构造例子和物理计算，认为是脏活。尤其受Grothendick高度抽象大局观的空前成功之后，轻视计算的观点变本加厉，除了物理学家，数论家和偏微分方程家他们非计算不可，其他大部分人尽可能地避开计算。这种观念不是完全对的。很多东西只有通过具体计算以后才会真正认识，某些计算也会引导出深入的数学大局观。当然，更主要的，没有大局观的计算没有意义，很多人的计算都是没有大局观的碰运气式的。
数学计算有两种类型，一种是试图使用和组合已有的计算技巧来解决数学问题，大多数数学研究者是这种类型。另一种是创造新的计算技术来解决问题，只有极少数人是这种类型。大多数人喜欢使用旧计算技术，是因为天赋限制和惰性习惯，不能进行观念思考，这种情形是不可能取得深刻而重大数学进展的。重大数学进展是需要观念先行的。同时真正深刻的数学进展是与新计算技术连在一起的。比如微积分，Galois的群的置换技术，复数计算技术，拓扑中的同调与上同调技术，同伦技术。大观念与新计算构造是相辅相成。没有新计算技术，大观念要么是不能达成的，要么是空架子而不深刻或深入，所以需要基于计算构造的表示论。发明新计算构造需要很高数学洞察力，一般数学研究者根本做不到。
很多重大数学问题是非要爆算不可的，即数学观念先行也不可避免爆算。本人很欣赏那些有大局观又能爆算的数学人。个人认为Grothendick的较软的计算能力阻碍了他的很多深入机会。
精彩的计算
计算本身就是数学的核心灵魂，没有计算的数学走不了多远，就变成耍嘴皮的哲学和文学了。历史上有几个精彩的计算篇章，并产生了几个令人叹为观止的计算天才。在微积分时代，无穷级数和物理的计算竞赛导致了微积分的诞生，催生了一大批历史超级数学家和一流数学家，还有更多的二三流数学家。Euler，Bernoulli家族，Newton，Leibniz，Lagrange，Laplace，Fourier，Eisenstein，Cauchy，Poisson，Gauss，Ramanujan，Dirichlet等等。其中Ramanujan，Euler，Eisenstein和Gauss的计算能力尤为让人叹为观止。无穷级数的计算竞赛是历史上最惊人的计算。下一个惊人的计算是Galois和Abel在五次方程可解性上的计算，最终导致现代群论的诞生。有限群的计算竞争达到最高潮，这绝对是人类仅次于无穷级数计算竞赛的一次精彩计算。Poincare在天体力学的单人独力精彩的微分方程计算最终导致了现代拓扑学的诞生。
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////实际上寻找素数规律的计算也是数学史上精彩的计算。这主要指黎曼猜想的最终形成和基于素数互反律的形成。早期在这上面进行工作的人必须进行大量的手工计算和进行数字观察实验才能提炼出规律，这在没有计算机时代是极端困难的工作。观察大量数字并找出隐藏很深的规律需要极端高的数感，只有惊人的计算天赋才能完成。Ramanujan和Eisenstein在级数上的工作跟modularform和有限群分类和stringtheory都发生了联系，主要体现为最大魔群的月光猜想（monstrousmoonshine）与超弦的时空维数的联系。这是一个非常美的和值得称赞的数学结果。当然，本人不认同Gauss对Eisenstein的过誉评价，这可能与Gauss的数论价值取向有关。
正是庞加莱坚持牛顿时空观来研究天体力学，阻碍了他接受狭义相对论，但却同时导致了现代拓扑的诞生又催生了基于混沌的动力学的研究，庞加莱在天体物理上也刻下了自己的丰碑。这是不是看起来很矛盾呢，很不可思议呢？
物理与几何的统一是我个人的看法，没有知名数学家和物理学家这么认为，Witten也不例外。但是很多物理学家确实提到物理的几何化，这不仅仅是超弦学家，杨振宁和爱因斯坦也是如此认为，请查看杨的关于爱因斯坦对二十一世纪理论物理学的影响的谈话就知道了，在此谈话中，尽管杨褒爱贬庞，但还是事实地陈述了庞的狭义相对论的贡献。
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////首先谈谈我对Poincare、Hilbert和Einstein等人的看法吧。
我的发言就是这样的，不知道哪里给了Poincare过高的赞誉或贬低了Einstein的贡献。我看到的是物理人对Poincare的贬和对Einstein的神捧（应该是基于对Poincare数学才能的嫉妒和尽可能地降低数学在物理中的影响，这和Einstein的看法正相反），更多不明事理的把该Poincare的credit都算到Einstein头上，典型的就是认为狭义相对论原理都算在Einstein头上。现在物理和数学是分开的，作为数学人，至少应该不偏不倚地地评价Poincare，而不是站到物理人的角度抬高Einstein。
不知道你所说的大统一终极理论是什么。超弦或M理论所追求的大统一是统一相对论和量子论，也就是引力和其他作用力。难道你认为它们不应该统一吗？整个时空或我们的宇宙就活在一个统一场中，作为统一场，所有交互作用它们在原理上应该而且必须统一，统一不了，那是我们知识的缺陷所致。它们统一了，并非所这个统一理论能解决一切问题。这就是物理学家所要表达的意思。个人认为，二者的统一也不能解决引力量子化问题，个人认为引力不能完全量子化。尽管我不完全赞同超弦理论的所有东西，但其中有很多合理的东西，这不是轻易被否定的。至于它到底有多合理，就交给未来发展来回答吧。即使一个不完备的物理模型，也是有它的价值，这和民科的东西是不能混淆的。比如GeoffreyF.Chew在stringtheory之前所做的S-matrixapproach也是有价值的，这和民科有本质不同。
数学环境
对于数学菲尔兹来说，今年不过又是一个平庸之年而已。像J.H.Conway那样的比菲尔兹差么？很多（其实是绝大多数飞奖）数学全面性，创造性数学技术和看数学整体的方式都不如他。女性获奖不过是一个找机会给女性颁奖罢了。真正值得敬佩的女数学家只有一个，那就是EmmyNoether女神，历史上比她强的男人没几个，那都是数学巨兽，艾米她本身也是巨兽。后来者也只有那只不知死活的代数几何巨兽能与之比。平庸的菲尔兹在他们前不算啥，尽管如此那也不是中国数学人所能比的。
说了这么，到底就是国内数学教育环境对那些漏网数学奇才又没办法进出国培训名校的（其实进不进无所谓），最佳出路是想尽办法出国，去享受名师或名师高徒的培训，这样才能达到高级别，一个数学奇才数学环境恶劣又没名师指点，是难幻想靠自我培训出名的，对普通数学人就更不可能了，还是安心当数学老师为好，除非高斯、阿贝尔和代数几何巨兽，印度病人级别，中国没可能有这样的人物（有了才能说还要看在现实中存活度）。对了，印度三哥的数感是比中国人强的，阿拉伯数字也是他们弄的。还是布尔巴基说实话，数学是纯粹为了人类心智的荣光（说为名，钱，房，权和美女了吗？实在，纯粹，真，感动，书中没有黄金屋，书中没有颜如玉，那些都不是数学）。所以俄罗斯可以有佩尔曼那样的纯粹人，伊朗女人也可以得奖，阿三哥更不赖。汗。
数学研究态度
数论为什么会被那麽多数学人喜爱呢？主要是爽，没那多废话，不会计算，没有数感，就不要入错行。数论又不爽的吗？有，一下就看懂了，民科都敢勇敢地挑战数学家，摘明珠，还要你承认。
数学前沿研究
另外，前沿问题的解决决不能平凡化，比如Robinson的Non-standardanalysis完全就是平凡化，在普通数学分析吊上一个无穷外壳，实际没有任何有意义的思想和构造，也不解决真正几何问题和insight，这就是民科行为发生在专业数学人上的例子，另一个例子是模糊数学。一个通用理论构造必须要带来不平凡的东西，一个有意义的计算构造一定要解决一个具体的计算难题。