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2014.02.27
这个已销售多年的彩票究竟哪里出了问题？而对于彩票这样一种几乎是完全看运气的游戏，又真的有稳赚不赔的方法吗？那就来看看这对夫妇是怎么捡漏发大财的吧。
选择2个和开奖号码相同的数字，赢2美元。选择3个和开奖号码相同的数字，赢5美元。选择4个和开奖号码相同的数字，赢150美元。选择5个和开奖号码相同的数字，赢4,000美元。当选择的6个数字和开奖号码完全相同时，则获得头奖（JACKPOT）。头奖是一个滚动的奖池，也就是说，头奖的金额是不固定的，初始金额为50万美元。如果某一期没有人中头奖，那么奖金将在下一次开奖时增加，增加的数量和销售额有关，大约是这期销售额的60%。
如果连续数期都没有人能中头奖，经过这几期的积累，头奖（JACKPOT）金额会到达一个很庞大的数字，通常超过200万美元。这时候彩票的销售商就会启动一个特殊的开奖周期，这个周期被称作“ROLLDOWN”。ROLLDOWN周期结束后，不管有没有人赢得头奖，头奖的奖金都会重新变为50万美元。这个周期有另一个重大的变化，那就是小奖的奖金会相应地变高：
选择2个和开奖号码相同的数字，奖金仍然是2美元。选择3个和开奖号码相同的数字，赢50美元。选择4个和开奖号码相同的数字，赢1,500美元。选择5个和开奖号码相同的数字，赢40,000美元。当6个数字和开奖号码完全相同时，就能获得至少200万美元的超级大奖。表面上看，这个规则非常合理和人性化：当由于无人能中头奖导致奖金积累过多时，把奖金分配给其它小奖，让大多数人受益。但就是这样的一个规则，存在一个天大的漏洞，恰巧被那对夫妇发现，从而发了大财。这个漏洞到底在哪里呢？
如果除去ROLLDOWN，这个彩票和我们平时看到的彩票没有任何区别。所以，问题一定出在ROLLDOWN上。
ROLLDOWN的特点是：最小的奖金和最大的奖金依然按照普通规则没有变化，但是另外三个奖级的奖金和之前相比翻了10倍。我们不妨分别算一下在普通规则和ROLLDOWN规则中中奖金额的期望。
对于最小的奖来说，要求奖券上的数字恰好有两个号码和开奖号码相同。如果中了这个奖，说明奖券上有两个号码是6个开奖号码之一，且有四个号码是剩余40个没有开出的号码之一。此时中奖的概率为：
以此类推，我们还可以算出中其它几个等级奖金的概率：
而除去这些中奖的情况，不中奖的概率为：
设某个普通的开奖周期中JACKPOT的奖金为100万美元，此时每张彩票获得奖金的期望为：
也就是说，彩票销售商平均每张彩票可以赚到1.20美元。但是对于ROLLDOWN周期，按头奖为200万美元计，每张彩票的奖金期望就是：
此时购买彩票的人每张彩票平均可以赚得2.46美元！
对于每次只买一张或少数几张彩票的彩民，这样的改变其实没有什么影响：购买一张彩票命中3个号码或以上的概率实在太低，即使期望上升了，大部分此类彩民依然赢不到奖金。
但是对于那些留意到这个规律的“有心人”来说，事情就变得不一样了。他们的做法是，在每个ROLLDOWN的周期，一口气购买10万美元以上的彩票。这样的购买行为就具有了统计学意义——此时可以用每张彩票的期望乘以彩票的数量来近似地表示他们获得的利益：以10万美元计，每个ROLLDOWN周期他们平均能够获得12.3万美元的奖金。
另一方面，对彩票销售商来说，其实也并没有造成多大损失。这个彩票发售的区域马萨诸塞州，这个州总共有600万人，假设其中10%的人在参与这个彩票游戏，即60万人，那么每个普通周期彩票销售商的平均收入为600,000×1.20=720,000美元。这样在每个ROLLDOWN周期的前19个周期，可以获得的收入就是720,000×19=13,680,000美元。而在ROLLDOWN周期，如果没有这对夫妇的参与，销售商也会赔600,000×2.46=1,476,000美元。相比之下，这对夫妇所赚走的只是一个零头了罢了。
换句话说，在没有“捡漏者”参与的情况下，WinFal的彩票销售商每20个周期可以赚得13,680,000-1,476,000=12,204,000美元。既然一直在赚钱，他们自然想不到这个彩票有漏洞了，更别说有人利用它发了财。
不过要说的是，彩票是一个非常依赖运气的游戏。即使找到了漏洞，这也不是一个稳赚不赔的交易——只要不能几乎把所有可能的号码都买光，就依然有赔钱的风险。问题是这个风险有多大呢？
我们可以把这对夫妇在每次ROLLDOWN周期买的每一张彩票的净利益作为一个随机变量，这样假设他们每次随机地购买10万美元的彩票（即5万张），就可以获得一系列随机变量X1、X2、…、X50000，它们相互独立且服从同一分布。
根据中心极限定理，我们可以知道，它们相加所得的随机变量服从如下的正态分布：
经计算可知：
这样，我们就能算出赔钱的概率为：
所以即使利用了这个漏洞，每次投入10万美元，仍然有21.1%的可能会赔钱。
不过一次性购买更多的彩票可以减少赔钱的可能性——如果一次购买100万张彩票，赔钱的概率就仅剩0.02%！但是这需要许多的初始资金，而且如此大规模的动作也很容易就被发现，因此这对夫妇选择的10万美元应该是比较适当的购买额了，由此推断，他们一定研究了很久，非常仔细地考虑了每个细节。
在中国，体育彩票和福利彩票这两大彩票是最广为人知的。而它们的奖池金额都设有上限，这也是为了防止获得奖金的期望大于0后出现漏洞。
而且，包括之前提到的WinFal在内，所有这些彩票的奖池金额累计都与销售额有关。还有就是，如果有多个人同时中了大奖，奖金一般都会被平分。这些在一定程度上，都防止了赔本情况的出现——奖池的资金来自销售所得，销售商总会留下一部分利润，只是多少问题而已。WinFal出现的漏洞，其实正是因为盲目地提高了不被平分的小奖奖金导致的。
总而言之，无论什么彩票，都是一种概率的游戏。如果能掌握了其中的原理，并多多加以琢磨，发现其中的漏洞也不是什么难事。实际上确实存在许多博彩组织，专门寻找彩票中的这种漏洞，以此获利。由此看来，仅仅把彩票当做投机者的游戏，或许并不准确，很多概率学家也在虎视眈眈呢！
编辑注：本文在“这是稳赚不赔的吗？”部分，将21.1%错算成了11.2%。在微博上经呆呆_陈江和祥子_Wu指出后，重新做了计算，现已改正，特此说明。感谢两位读者指出错误，同时对给大家造成的误导和不便，表示抱歉。有损形象了，如果下次再出现这样的低级错误，我就去切腹，以死谢罪……