正文前，转一个新闻,201位数开23次方根是不是很神奇，其实不神奇
11月4日消息，谷歌Doodle今天又换上了新装，今天的谷歌Doodle是一个计算机的面板样式，如此设计是为了纪念印度天才数学家夏琨塔拉戴维（ShakuntalaDevi）84岁诞辰。夏琨塔拉戴维（ShakuntalaDevi）又被称为“人脑计算机”
谷歌Doodle纪念夏琨塔拉戴维84岁诞辰
今天的谷歌Doodle设计比较简单，整体设计就好似计算器的显示屏部分，显示屏内容显示为一个女子的头像和Google字母字样。该女子就是印度天才数学家夏琨塔拉戴维（ShakuntalaDevi）。谷歌Doodle以此形式纪念夏琨塔拉戴维（ShakuntalaDevi）诞辰84岁。
关于夏琨塔拉戴维（ShakuntalaDevi）
夏琨塔拉戴维（ShakuntalaDevi）诞生于1929年11月4日，曾是神童和著名心算家，有“人脑计算机”的美称，因其不可思议的计算能力而被列入1982年版的《吉尼斯世界纪录》。
夏琨塔拉戴维（ShakuntalaDevi）其人
夏琨塔拉戴维（ShakuntalaDevi）计算能力非常强，她曾在28秒内，计算出两个任意13位数的乘积，如7686369774870x2465099745779，有兴趣的网友可以自己尝试自己算算。
此外，夏琨塔拉戴维（ShakuntalaDevi）还曾在50秒内心算出一个201位数的23次方根，即“9167486769200391580986
6092758538016248310668014430862240712651642793465704086709659327920576748
080679002278301635492485238033574531693511190359657754734007568168830562
0821016129132845564805780158806771”的23次方根。
怎样，你看到这串长长的数字，有头晕眼花吗？
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《天才与锻炼————从沙昆塔拉快速计算所想到的轰动听闻的消息》
我不否认沙昆塔拉这样的计算才能.对我来说，不要说运算了，就是记忆一个六、七位数都记不住.但我总觉得多讲科学化比多讲神秘化好些，科学化的东西学得会，神秘化的东西学不会，故意神秘化就更不好了.有时传播神秘化的东西比传播科学更容易些.在科学落后的地方，一些简单的问题就能迷惑人.在科学进步的地方，一些较复杂的问题也能迷惑人.看看沙昆塔拉能在一个科学发达的国家引起轰动，就知道我们该多么警惕了，该多么珍视在实践中考验过的科学成果了，该多么慎重地对待一些未到实践中去过而夸夸其谈的科学能人了.
天才与锻炼
——从沙昆塔拉快速计算所想到的轰动听闻的消息
提问者写下一个201位的数：916，748，679，200，391，580，986，609，275，853，801，624，831，066，801，443，086，224，071，265，164，279，346，570，408，670，965，932，792，057，674，808，067，900，227，830，163，549，248，523，803，357，453，169，351，119，035，965，775，473，400，756，816，883，056，208，210，161，291，328，455，648，057，801，588，067，711
解答者马上回答：这数的23次方根等于9位数546，372，891.
面对这样的问题怎么办？
看到上述消息，可能有以下几种态度：一是惊叹，望尘莫及，钦佩之至，钦佩之余也就罢了.二是不屑一顾，我是高等数学专家，岂能为这些区区计算而浪费精力.三是我掌握着快速电子计算机，软件有千千万，她一次胜了我算个啥！老实说，有上述这些思想是会妨碍进步的.第一种态度是没出息，不想和高手较量较量.第二种态度是自命不凡.实际上连计算也怕的人，能在高等数学上成为权威吗？即使能成，也是“下笔虽有千言，胸中实无一策”，瞧不起应用，又对应用一无所能的人.第三种是固步自封，不想做机器的主人.动脑筋是推进科学发展的动力之一，而勤奋、有机会就锻炼是增长我们能耐的好方法.人寿几何！我并不是说碰到所有的问题都想，而是说要经常动脑筋，来考验自己.
从开立方说起
我国有一位少年，能在一分钟内开6位数的立方.少年能想得出这个方法是值得称道的，但美中不足之处在于他没有把方法讲出来，因而搞得神秘化了.当然也考试了人们，为什么少年能想得出的方法，一些成年人就想不出来，反而推波助澜造成过分的宣扬？
这问题对我是一个偶遇：在飞机上我的一位助手借了邻座一位香港同胞的杂志看，我从旁看到一个数59，319，希望求这数的立方根.我脱口而出答数是39.他问为什么，我说，前二位不是说明答数的首位是3吗？尾数是9不是说明答数的末位应当是9吗？因此答数不该是39吗？
然后，我告诉他，我的完整想法是：把六位数开立方，从前三位决定答数的第一位，答数的第二位根据原数的末位而定：2、8互换，3、7互换，其它照旧(这是因为1、2、3、4、5、6、7、8、9立方的末位分别为1、8、7、4、5、6、3、2、9).例如314，432的立方根是68，前三位决定6，末位是2，它决定答数的末位是8.
沙昆塔拉可以脱口而出地回答188，132，517的立方根是573.当然188决定了首位5，末位7决定了3，但读者试想一下，中间的7怎样算？
归纳起来可以看出有两个方法：一个由头到尾，一个由尾到头.
习题：求90，224，199的五次方根.
我们怎样看出答数倒数第二位是错的
这一点比较难些，要运用一个结果：即a^23的最后两位数和a^3的最后两位数是完全相同的.
91^3的最后两位数是71而不是11，而71^3的最后两位数才是11，因此答数中的9应当改为7.先不管出现这个差错的原因是什么，我们这里已经做了一个很好的习题.想不到竟是Univac1180把题目出错了，这事我们后面再讲它.
附记我们来证明a^23的最后两位数和a^3的最后两位数相同.当a=2或5时，容易直接验算.今假定a不能被2和5除尽，我们只要证明a^20的末两位是01就够了.首先因a是奇数，a^2-1总能被8除尽，所以a^20-1当然也能被8除尽.其次，因
a^4-1=(a-1)(a+1)[(a-2)(a+2)+5]，
a不是5的倍数，所以a-2，a-1，a+1，a+2中肯定有一个是5的倍数.即b=a^4-1是5的倍数，而
a^20-1=(b+1)^5-1=b^5+5b^4+10b^3+10b^2+5b.
因而a^20-1是25的倍数.从而a^20-1是100的倍数.具备些数论知识的人也可从费尔马定理推出来.
我们怎样算
我们用的原则是：如果解答是L位整数，我们只要用前L位(有时只要L-1位)或后L位就够了.用后L位的方法见附录二，先说前一方法.以前
当那位教授说要开201位数的23方时，以23除201余17，就能预测答数是9位数.当教授写到第六、七位时，我们就在Sharp506上按这六位和七位数，乘以1016，然后按开方钮算出
(9.16748×1016)^(1/23)=5.46372873，
(9.167486×1016)^(1/23)=5.46372892，
这样我们定出了答数的前七位：5，463，728，后二位已由上节的方法决定了，因此答数应该是546，372，871.其实，更进一步考虑，只需利用这个201位数的前八位数字就能在计算器上得到它的23次方根(证明见下面的附记)：
但不幸的是，把这个数乘23次方，结果与原来给的数不相符(见附录一).与原题比较，发现原题不但尾巴错了，而且在第八和第九位之间少了一个6.竟想不到Univac1180把题目出错了，也许是出题的人故意这样做的.为什么沙昆塔拉这次没能发现这个错误？看来她可能也是根据前八位算出了结果，而没对解答进行验算.
我们的习题没有白做，答数错了我们发现了，连题目出错了我们也纠正了.
结论是：在教授写到91，674，867时，我们在计算器上按上这八个数字。再乘1016，然后按钮开23方就可算出答案，总共约用20″就够了，也就是比那个教授写完这个数还要快3分40秒，比沙昆塔拉快了4分半钟.
既然已经知道答数是九位数，或者说在要求答数有九位有效数字时，我们就只需把前八位或九位数字输入计算机就够了，而无需把201位数全部输入机器，进行一些多余的计算.
附记以a表示那个201位数，b也表示一个201位数，它的前L位与a相同，后面各位都是零.由中值公式，可知存在一个ξ(b＜ξ＜a)使
当取L=8时，上式小于1/2，由b1/23的前九位(第十位四舍五入)就可给出a^(1/23).
虚构
下面讲一个虚构的故事，在沙昆塔拉计算表演后，有一天教授要给学生们出一道计算题.一位助手取来了题目.是一个871位数开97方，要求答案有9位有效数字.教授开始在黑板上抄这个数：456，378，192，765，431，892，634，578，932，246，653，811，594，667，891，992，354，467，768，892，……当抄到二百多位后，教授的手已经发酸了.“唉！”他叹了一口气，把举着的手放下甩了一下.这时一位学生噗嗤一声笑了起来，对教授说，当您写出八位数字后，我已把答案算出来了，它是588，415，036.那位助手也跟着笑了.他说，本来后面这些数字是随便写的，它们并不影响答数.这时教授恍然大悟，“哈哈，我常给你们讲有效数字，现在我却把这个概念忘了.”
多余的话
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附上表格今年春节就有的表演了，笑嘻嘻！按图索骥，秒算开立方，依次类推，你也能变成“最强大脑”了，简直酷炫