中国科普作家协会侯晓婷李春兰2020-08-0519:14
题记
一、刘薰宇简介
刘薰宇，贵州贵阳人，又名心如，中国民主同盟成员，中国共产党党员。1919年毕业于北京高等师范学校数理系，1928—1930年留学法国巴黎大学，受过法国数学教育的熏陶。曾任教（职）于河南省立第一师范学校、湖南常德第二师范学校、浙江上虞春晖中学、上海大学附属中学、上海立达学园、暨南大学、大夏大学、同济大学、国立西南联合大学等。抗日战争时期任贵阳高中校长。贵州解放后，贵阳高中与贵阳中学、中山中学、贵阳师范学院附属中学等合并为贵阳第一中学，刘薰宇为第一任校长。其还担任过开明书店编辑，负责数理教材的编辑工作。与他人一起创办了《中学生》《新少年》等青少年期刊。1950年调入人民教育出版社担任副总编辑，负责全国中学数理科统编教材工作，审定了当时我国全部中小学使用的数学教材，并亲自参加编写。
刘薰宇的数学科普著作更是令人喜闻乐见。他身为人师，在中学执教期间开始进行数学科普的研究。陆续出版了《数学趣味》《马先生谈算学》《数学的园地》《因数与因式》《实用微积分》等数学科普著作，这些著作不仅影响了那个时代的人，对当今读者来说也是不容错过的数学科普经典。可喜的是，2019年10月，团结出版社将《数学趣味》《马先生谈算学》《数学的园地》改编出版，命名为“给孩子的数学三书——原来数学可以这样学”，使当今的读者阅读体味到“数学可以这样有意思地去学”，以纠读者固有的“数学是一门枯燥乏味的学科”的认识。
刘薰宇为我国文化教育事业鞠躬尽瘁，于1967年辞世。在临终前也没忘记自己是一位教科书的编著者。
刘薰宇先生逝世的前一两年，正值“文化大革命”初期，他一边在挨批判，一边却在病榻上撰写了他最后一本数论著作《因式分解》。[3]
刘薰宇是一位有强烈爱国情感的人。一次醉倒被抬回家，事后经了解缘由，才知当日在龙岗饮酒，“刘薰宇大骂蒋介石不打日本人，却大杀新四军(即皖南事变)，狂愤极了，痛饮发患”[4]。
二、《数学趣味》出版背景
（二）出版原因
三、《数学趣味》内容简介
（一）历史名题为引
《从数学问题说到我们的思想》和《韩信点兵》分别以《孙子算经》中的“鸡兔同笼”和“韩信点兵”问题为引，带领读者走进数学世界。
1.《从数学问题说到我们的思想》
该文通过对报刊中刊登的对“鸡兔同笼”问题的一个巧妙解法与教科书中的解法比较，揭示数学抽象（一般性）在数学中的重要性。
报刊中给出的“鸡兔同笼”问题的巧妙解法为：
一共十二个头，三十只脚，……究竟有几个鸡，几个兔。那书上的算法很简便，将一共的脚的数目三十折半，得十五，从这十五减去一共的头的数目十二，剩的是三，这就是那笼子里面的兔的个数；……剩下的九便是要求的鸡的数目。[5]40
教科书中解法为：
头数一十二用二去乘，得二十四。从三十头减去他，得六。因为兔是四只脚，鸡是两只，所以，每只兔比每只鸡多出来的脚的数目是四减去二，也就是二。用这二去除上面所得的六，恰好商三，这就是兔的只数。有了兔的只数，要求鸡的，用总头数减去兔子的只数就能得到。[5]41
报刊中的解法并未编排在教科书中，刘薰宇在此给出了原因，并举了“百僧吃白馒头”和“方桌与桌角”等问题，这些问题只能用教科书中的解法来解答，从而让读者感知教科书中的较繁复、较一般性解法的重要性。
为了阐述数学抽象（一般性）的重要性，他又列举了关于勾股定理的不同描述所带来的不同发展，即中国古代《周髀算经》中的“勾三股四弦五”和古希腊的“直角三角形的斜边平方等于它两边的平方的和”。两种描述看似本质相同，但所含的一般性却不同。“勾三股四弦五”形式的定理很难确定钝角三角形或锐角三角形的三边存在怎样的三个简单数字关系。而“直角三角形的斜边平方等于它两边的平方的和”，在几何和数论方面都有发展：几何中推广到“钝角三角形”“锐角三角形”三边关系的定理；在数论中发展到“费马大定理”。
根据刘薰宇用大量事实的阐述，读者可以感知到“一般性方法”的获得或对这样方法追求的可贵，它适用的是一类问题，而不是一个问题。他强调人们要耐心地去搜寻材料，要静下心去发现它们普遍的法则，依据的事实越多，去掉的特殊性就越多，共通性就越普遍，即可抽象出一般性法则。追求一般性法则是大势所趋，越是应用广泛的法则，越是受人崇拜。
总是不明白为什么可以用脚的个数除以脚的个数，其实不过是纸上谈兵，并不真的将一双脚去怎样弄别的双脚，所以变成整个的兔或鸡都没什么关系；正和上面所说将兔子或鸡劈成两半一样，并非真用刀去劈，不过心里想想而已，所以劈了过后还活得转来，一点不伤于畜道。[5]42
其实，刘薰宇关于劈“半个鸡”的思路就是从“数学化”的角度看问题，将“鸡兔同笼”不只是看作一个问题，而是一类问题；不只是一个具体问题，而是一个抽象的数学模型。所以，“鸡兔同笼”问题也不限于指真实的鸡和兔同笼，自然就不会受限于是不是“半个”了。这种观点应该也为不少读者揭开了心中的迷雾。
2.《韩信点兵》
刘薰宇在文中引出：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”原书跟着题目就有下面一段“答曰二十三。”[5]205这个问题看似难算，但刘薰宇告诉读者，我国古时候流传着一种算法，名字很多，宋代周密称其为“鬼谷算”“隔墙算”，杨辉称其为“剪管术”，而“韩信点兵”这个名字流传最广。然后，他问读者这个算法采用了何种原理，来引发读者思考。
刘薰宇通过运用倍数定理、清代黄中宪“求一术通解”的知识将这类问题的解答总结为四步：求衍术、求乘率、求用数、求本数。并对杨辉“剪管术”的同类题“七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本数几何？”进行了求解。同时，他也用通俗的语言解说了该算法原理中每一步的正确性，例如：“我们先记起算术里面关于倍数的两个定理：①某数的倍数还是某数的倍数——这正如我的哥哥的哥哥还是我的哥哥一般。②某数的若干倍数的和，还是某数的倍数——这正如我的几个哥哥坐在一淘③，他们仍然是我的哥哥一般。”[5]205
（二）趣味故事为引
《王老头子的汤团》《数的启示》和《假使我们有十二个手指》均是以趣味故事为引，读者可以在故事情境中不知不觉走进数学世界。
1.《王老头子的汤团》
该文是由纪念一位卖汤团的老人引发的对“积弹法”公式的证明。卖汤团的老人每天卖一盘方方正正、尖峭峭的汤团，正是数学中金字塔的形状。故将金字塔拓展为四类堆积方法，如图3至图6所示。图3各层都是正三角形，图4各层都是正方形，图5各层都是矩形，且这三类顶都是“尖”的，图6各层都为矩形的顶是“平”的。用数学术语表达即为，第一个是正三角锥；第二个是正方锥；第三个侧面是等腰三角形，正面是等腰梯形；第四个侧面和正面都是等腰梯形。这类题目国内外都有解法，国外叫积弹、拟形数或拟形级数，国内叫垛积。
刘薰宇通过简要介绍运用“积弹法”公式求解金字塔问题即汤团的个数后，侧重讲解如何用归纳法证明四种堆积情况所用的不同的“积弹法”公式，以及怎样证明归纳法中第一步所要假定的公式。文中对归纳法第一步所要假定的公式的证明中用到了法国大数家巴士卡尔的“差级数”。
2.《数的启示》
该文是刘薰宇避开城市的喧嚣回到乡下老家居住时，回忆起童年时期与妹妹倚靠着母亲数数的故事，有感而发。由数的本身、数的变化的多样性引发关于人生的哲思。
刘薰宇忆起童年时从未能数到100的恐惧到对1000是10个100的认识的兴奋；从祖父教他“三字经”“一而十，十而百，百而千，千而万……”使其数不清数而头昏，到上了小学学习了加减乘除后将人不能把数完全数清的恐惧深埋掉。
通过对孩童时期的回忆，他意识到人头脑中的数不过在10位左右，超过这个数，在人的感知里是和无限大没什么差别的。有些数我们可以用各种方法研究它，但它的面目我们却看不清，这令人感到特别奇特。例如，1906年，M.莫尔黑德（M.Morehead）发现不是质数，可以被整除。究竟是一个什么样的数？原则上，利用乘法运算法肯定可以写出这个具体的数。但实际上，人们是做不到的，因为这个数字的位数该有位，要比的位数还要多。假定对个宽1毫米的数排列，这个数排起来就有千米长，绕地球赤道会有圈；要把这个真实的数字写出来，假定一秒钟写一个数字，每天写10个小时，一年360天不间断地写，需要年，将此数分段由全世界个人同时来写，也需要13万年才能写完。如此大的数，多么令人惊异啊！
除了数本身令人惊异，刘薰宇指出数的变化同样令人吃惊。这类的例子很多，13万年也写不完的。他举了一个自己上学时同学们因吃饭选座位引发争执，当时由这个争执提出一个问题供大家讨论：“八个人围了一张八仙桌，调换着次序坐，究竟有多少法呢？”[5]35大家各抒己见，但没有敢说到100次以上的。可最后经过计算发现竟然是40320种。8人在该校4年，假定一年365天（考虑四年一闰）每天8人都在一起围着八仙桌吃三餐，也只坐了其中的4383种，不及40320的1/9。
刘薰宇对此叹言，相对于数本身及数的变化而言，我们是何等渺小和微弱！人们在争、在选择，究竟在争选什么呢？人们常常把“人是理性动物”挂在嘴边，这个理性真的是数学上的理性吗？8人围坐八仙桌吃饭的例子已说明此理性非彼理性。刘薰宇感叹道：“数是这样启示我，要支离破碎地去追逐它，对它是无法理解的，真要理解，另有一条路。在我们的生活上，好像也正有这样的明朗的星光照耀着！”[5]39
3.《假使我们有十二个手指》
该文是以“马浪荡改行”的故事为引，引发关于进制丰富而又奇特的思考。
文中刘薰宇回忆道：上海曾风行过一种书报，这书报上每期刊载一页“马浪荡改行”。马浪荡是一个浪荡子，干过很多行当，但每个行当均以失败告终。有一次这人当了拍卖行的伙计，他接待了一位每只手都有六根手指头的买客，伸手表示他为某件东西出十元钱，可马浪荡见着十二根手指头，便以为他说的是十二元，高高兴兴地卖了，并记下账来。到收钱的时候，那人只出十元，马浪荡的老板照账硬要十二元，争执得不可开交。最后，马浪荡赔了两元了事，他又一次失败了。
借此故事，刘薰宇不仅给出了二进制、三进制、十进制、十二进制、二十进制间转化的例子，而且扩展到任一进制间转化的一般性公式。刘薰宇带着读者走进了十二进制的数学世界，首先介绍了十二进制运算法则的不同，包括乘法运算中的“乘法口诀表”的不同，还给出了类似十进制“九九乘法表”的新乘法口诀表，起名为“依依乘法表”，还讲解了“四则问题中数字计算的问题”及“整数的性质中倍数的性质”等问题。
（三）数学游戏为引
《恨点不到头》《堆罗汉》《八仙过海》和《棕榄谜》以游戏为切入点，进而揭示游戏背后使人取胜的数学原理。读者从中可以感受数学的魅力，激发对数学的兴趣。
1.《恨点不到头》
该文以“掷状元红”游戏为例，并运用类比推理、由特殊到一般及化归的思想方法，揭秘“掷状元红”游戏的奥秘，并警示人们在日常生活中不要被眼前的事实欺骗，而将真实掩盖。也要注意“观察和实验”的重要性，不要只靠现成的理论演绎。
“掷状元红”游戏规则：六颗骰子掷到碗里，只要出现一个红（指四），就得一个秀才签，两个红可以得一个举人，以此类推。有几个特殊的：若出现五颗六和一颗五，这就叫“恨点不到头”，可得一个状元签；若是“六颗骰子均为六”叫“全色”，比“恨点不到头”赢得多；若出现“五颗红一颗五”叫“火烧梅花”，可以拿走别人已经获得的状元签。所以六比“恨点不到头”好，红又比六好。谁都希望红多，希望全六，但它们很难出现。
针对游戏中出现上述情形比较困难的情况，刘薰宇给出了原因解说——或然率（概率）的问题，通过计算，按照从特殊到一般的顺序逐层深入地详细解说“恨点不到头”游戏中每颗骰子出现任一数字的或然率是均等的，出现一颗红的或然率是，并不比出现其他难；出现五颗六，或五颗红的或然率也和出现其他的数字一样均为；而全六或全红的或然率极低，只有。从计算结果可以知道全色比五出现的概率小，所以游戏中出现很难是很合理的。
至于人们认为这个客观结论与主观经验似乎不大一致，刘薰宇解说道：那是因为我们将注意力集中到红色，所以就觉得红色的出现分外困难。倘若耐下心把游戏过程中各个数出现的数目记下来，再进行统计，就会发现，这个经验一定和平常得到的相去悬殊，而和计算的结果相近。对此，他警示道：我们在生活中不知不觉已养成容易动感情和不能排除偏见的习惯，若将这种习惯带入到科学的领域是会失败的。并又以彩票和看神医为例，说明偏见和感情好比一副有色眼镜，使人无法看清楚外面的世界。踏进科学领域的第一步就是观察和实验。虽然这并不容易，毕竟观察和实验只在很窄的范围内可行，但只要坚持去做，是比原理演绎得到的结果更有意义的，因为原理很有可能是一副“有色眼镜”。
2.《八仙过海》
该文运用类比推理及由特殊到一般的思想方法破解“八仙过海”游戏的奥秘——排列法中的一种形式，并将中国的传统文化搬进了教科书，打破了当时教科书中全部引用外国教科书内容的局面。
“八仙过海”游戏即一个人将八枚钱分上下两排排在桌子上，叫另一个人记准其中一枚后将钱收起，重新排，仍是上下两排，又叫这个人看定前次记准的那枚钱在哪一排后再将钱收起，再重新排成两排，这回再叫这个人看，并且说出自己记准的那枚钱在这三次排法中的上下，比如说“上下下”，则会猜出这个人所记准的那枚钱是下一排的第二个。
刘薰宇采用由特殊到一般的方法解说了能猜中的原因，揭示其中所蕴含的数学原理——顺列法（排列），并给出了“八仙过海”科学玩法的5个条件：①八枚钱；②分上下两排摆；③前后共排三次；④收钱的顺序是照直行由上而下，从第一行起；⑤摆钱的顺序是照着横排由左向右从下一排起。①随②③变，④是可以调换顺序的，也就是我们可以由下向上收，或从末一行起，⑤可以从右向左第一排起，不过这样一来，形式会有一些变化。
当然，刘薰宇也指出了对于这个游戏并不限于八枚钱、两排、三列，依据“八仙过海”游戏的原理，你想分排几次，用（y是钱数，x是次数，a是排数）心上一算就知道了。并通过举例，由浅入深，详细讲解了顺列法的两个法则。
对此原理，刘薰宇风趣言道：即使是请几位神仙下凡，而你依照前面所说过的条件④⑤那样去操作，神仙有再高明的道法也无济于事，因为孙悟空的筋斗云是逃脱不了如来佛那可伸缩的手心的。
3.《堆罗汉》
该文是以读者熟悉的“堆罗汉”游戏为引，运用数形结合及特殊到一般的思想方法，得出等差数列前n项及其每项的平方和与立方和的公式：①②③并用数学归纳法进行了证明。同时，他也将数学归纳法与一般归纳法进行了比较，厘清了二者的区别，指出前者是后者的特例而已。
刘薰宇也指出数学上常用的是演绎法，教科书中给出这类级数公式算术上的证明方法也是演绎法求出来的。他认为，一般情况下，演绎法不如归纳法可靠、稳妥，因为演绎法的基础是建立在一些普遍法则上的，如果这些法则当中有一个或几个出了问题，那整个问题就全盘动摇了。其实，在人们认识和改造世界的过程中，归纳法和演绎法是两种基本的逻辑思维方法，二者是辩证统一的：归纳推理要以演绎推理为指导，否则就会失去目标；演绎推理要以归纳的结论为根据，否则就会失去前提。我们在学习过程中要正确看待这两种方法，既不片面夸大，也不刻意否定。
刘薰宇也总结了自己证明这三个公式的步骤，并将其归纳为四个步骤。另外，他也强调，我们必须承认“科学只能诊断事实，不能否定事实”，并以中西医为例来阐述这一观点，指出科学精神最根本的是不武断、不盲从，科学的态度是要虚心地使用科学的方法。
4.《棕榄谜》
（四）数学的认识
《数学是什么》和《数学所能给与人们的》是关于数学认识的阐述，希望将数学变得普及化和哲理化。
1.《数学是什么》
该文首先阐述了不同人给数学下的不同定义，探讨数学究竟是什么。例如，罗素认为：“数学是我们永远不知道我们在说什么，或我们说的是否是真实的学科。”古希腊的亚里士多德认为：“数学是计量的科学。”
关于数学的定义有很多，而刘薰宇认为“数学是使用符号来研究‘关系’的科学”，又可以说是“符号的游戏”。因为“整数到分数，正数到负数，乘方到使用指数，我们都可以看到符号的创立和许多关系的产生。到一个定点距离相等的一个完全的曲线叫圆，这是一个定义，也只是‘圆’这个符号的规定”[5]86等。刘薰宇解释：符号使用得越多，所得的关系越不容易具体化来供人们使用。随着数学的发展和对数学的深入学习，人们见到的符号和关系会越多，那些符号与关系有时都很难说得清楚，不失为一种符号的“游戏”。历史上，不同的数学家、哲学家都给数学下过定义，刘薰宇给数学下的这个定义，是数学发展史上诸多数学定义中的一种。它们都是对数学本质特征的揭示，只是所站角度不同而已。
2.《数学所能给与人们的》
谁都不能否认数学所给予人们的“用处”。该文主要是对人们常说的数学到底有什么用的解答，除阐述数学在天文学、哲学、建筑和艺术等方面的功绩外，刘薰宇重点指出了数学与人生有直接的关联。
对于这个精神世界，刘薰宇给出了形象的阐释：
活在直线世界的人有前后一条出路，活在平面世界的人则有前后左右两条路，立体世界的人则有前后、左右、上下三条路。愚蠢的人争尺寸地盘而患得患失，不知精神的生活可以不限于六合以内，不伤一人，不和任何人相角逐，在立体的世界以外，开拓了第四、第……条路来。不占有而享受，精神界的领域很广！这就是数学所给与人们的。[5]26-27
四、《数学趣味》的特点
数学科普并没有固定的形式，用文学的形式普及数学是其形式之一。刘薰宇的科普著作《数学趣味》的一大特点是以趣味丰富、通俗易懂的语言写枯燥的算理。具体来说，该书的特点可概述为以下四点：
第一，题材来自生活或历史经典问题，破除了人们对数学的错误认识。
第二，善于用通俗的语言及“搭桥铺路”方法进行问题的讲解，引领读者进入数学王国。
刘薰宇以通俗的语言“搭桥铺路”，由浅入深、由表及里的举例，激发读者的学习兴趣。通过思考，体味知识的发生、发展过程，真正发展数学思维，提高数学修养。对于难以理解的数学概念、性质、定理等内容，他常常用浅显易懂、生动形象的日常例子进行引入、讲解，这样的例子往往令读者久久回味，很难忘记。我国数学家徐利治先生曾说：“刘薰宇先生的《数学趣味》使我对数学产生了浓厚的兴趣。此书是中华人民共和国成立前开明书店出版的，初中时，我读了这本书，明白了数学归纳法是怎么回事。”[7]
第三，在无形中流露出思考问题的方法，潜移默化地影响读者思考。
第四，数学思维方法的渗透与德育思想并驾齐驱，体现全人教育。
总之，《数学趣味》融知识性、趣味性、故事性和可读性于一体。它虽没有文学作品那跌宕起伏的情节和充满诗情画意的文字，但它给读者带来了“理性思维和推理”的乐趣，使读者不再觉得数学枯燥乏味。
刘薰宇是中国数学科普著作的开创者之一，毕生着力于我国的数学教育事业。他以趣味丰富的文字书写枯燥的算理赢得了广大读者的喜爱。丰子恺在《数学趣味》的序言中就提道“假如从前有这样的数学书，也许我不会抛荒数学”。该书影响了那个时代的人们，相信新版的《数学趣味》定会使当今中学生、数学教育工作者及科普著作的编撰者陶熔鼓铸。
注：
①一淘：一起。
基金项目：
内蒙古自治区高等学校科学研究项目（教育厅人文社科重点项目）“民国时期数学课外读物的教育价值研究”（NJSZ17028）；内蒙古自治区研究生教育创新计划资助项目（S20191240Z）；内蒙古师范大学研究生科研创新基金资助项目（CXJJS19097）；内蒙古师范大学通识教育课程项目“数学文化”（291142）。
参考文献
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[3]刘君卫，凌燕萍.怀念我家乡献身教科书事业的三位前辈[J].贵阳文史，2001(02)：44.
[4]中国人民政治协商会议贵阳市委员会文史资料委员会.贵阳文史资料选辑：第29-30辑[M].政协贵阳市委员会文史资料委员会，1990.
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[8]李毓佩.数学科普学[M].武汉：湖北科学技术出版社，2019.
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[10]张堂琦.白马湖作家群论稿[M].上海：复旦大学出版社，2014：261.
作者简介
侯晓婷
侯晓婷，内蒙古师范大学数学科学学院硕士研究生。主要从事数学史与数学教育研究。
李春兰
李春兰，博士，内蒙古师范大学数学科学学院副教授、硕士研究生导师。主要从事数学史与数学教育研究。