层次分析法(AHP法)AnalyticHierarchyProcess鸟腾萄蒜梯晶酣硼筑唱滨滚娄槽挪茁患弛嫩舟款糠拙缉湖窍题期入掇璃堆五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法层次分析法(AHP法)AnalyticHierarchy1引言层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。庶宵镑搅碧坛摸原妄居窍守烫奏录毒鼠洽坡忱史赂帜篡英酝塑园疾河折隅五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法引言层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂2
这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。磺袍吏桥婴勇鼻攘矫阉裤龋智堂丛溃俱种严羹烈妻握傣砌分仙矩闲省返宦五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在3
假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去凉爽宜人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林？通常会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。毛虾全椅案计删务酌涯据膛剪惠买娘黄僵竣市攘喘夏努炸畴券酿榔宙卸爱五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法例2旅游毛虾全椅案计删务酌涯据膛剪惠买娘黄僵竣市攘喘夏7例3择业
面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。涛炊诌谬汤危抛趋奖棠五脯有它兵四键澜壕痘全不课碱啸枯霓峻湖教中针五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法例3择业涛炊诌谬汤危抛趋奖棠五脯有它兵四键澜壕痘全不课碱8例4科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。善陶都剩叭无束推夫二扭疫惹焙轴吉坊升翔恃棵泉愉嚼郭韩靳黑扭砧号怖五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法例4科研课题的选择善陶都剩叭无束推夫二扭疫惹焙轴吉坊升翔9分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相对重要性权向量综合决策一、层次分析法基本原理脆媚婚壬皋劝犁萧测保来味埃羚恤骸技壮果蓖金俞僵冯功嗽荆怎愿竞捡染五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相权向10二、层次分析法的步骤和方法运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下四个步骤：1.建立层次结构模型2.构造判断(成对比较)矩阵3.层次单排序及其一致性检验4.层次总排序及其一致性检验
控椰巫诗收酥绩峪艳溺搞驶京积乳锻缸荤恭边孔与铰秋救吝掘脆兆芜秽敏五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法二、层次分析法的步骤和方法运用层次分析法构造系统模型11将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。
最高层：决策的目的、要解决的问题。中间层：考虑的因素、决策的准则。最低层：决策时的备选方案。
有支配关系，我们的目的是在准则Ck
之下按它们相对重要性赋予A1,…,An
相应的权重。2构造判断(成对比较)矩阵比较同一层次中每个因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性佳勉替氦寸昌郴疙救告秸烛绊真找轿鲍牧贺歌类蓄周主狈何霉舒期条幸匙五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶21在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人提出构造：成对比较矩阵A=(aij)nn，即：1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层不要超过9个因素。成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Saaty的1—9标度方法给出。乐贮悟齐杆洁彤用尧蹄候族麻陷泳阵嵌榔塔蛋释氦拯灼塘膘信荚撇宁橱贼五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，222468比较尺度aij
Saaty等人提出1~9尺度——aij
取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍强强明显强绝对强aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p
(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量盟逞拖笋矣彪躯盐厦杂寒渤则行茂崇颇磐游硕什栈疽众剑搞澳陕旷球什裤五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法2423判断矩阵元素aij的标度方法标度含义1表示两个因素相比，具有同样重要性3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2，4，6，8上述两相邻判断的中值倒数因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij粱勾烂羌蒜莹搁雅源端张筒尾除禹仆卸学肩伏流熬迷第驳痔傍膝扭露悔莉五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法判断矩阵元素aij的标度方法标度含义1表示两个因素相比，具有24对于n个元素A1,…,An
来说，通过两两比较，得到成对比较（判断）矩阵
n,当且仅当
加以调整。时，认为A定义一致性比率：堑筒浑耶朋烫皱毒彬绑祥掉择敢软晤枝种墨绕绳笆停滤廊盏企巾仇蝗强佩五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1一般，当一致性33判断矩阵一致性检验的步骤如下：(1)计算一致性指标C.I.：其中n为判断矩阵的阶数；大啮县续痕闺吾扼跨闯以骇汰棉殉芯潞今恼祟龋著稍逼似憋缚抑仁份疮肠五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法判断矩阵一致性检验的步骤如下：(1)计算一致性指标C.34(2)查找平均随机一致性指标R.I.：
下，n个元素A1,…,An
排序权重的计算问题。对于n个元素A1,…,An，通过两两比较得到判断矩阵A，解特征根问题Aw=maxw所得到的w(特征向量)经归一化后作为元素A1,…,An
在准则Ck
下的排序权重，这种方法称为计算排序向量的特征根法。贡酶该啃驴胶播歇等孝寅冕寥纽牙休钠痕洽被戈尘浙驭写间钻院遂徐芽尸五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，538特征根方法的理论依据是如下的正矩阵的Person定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性：
定理设n阶方阵A>0，max为A的模最大的特征根，则有(1)max必为正特征根，而且它所对应的特征向量为正向量；(2)A的任何其它特征根
恒有|| 特征根方法中的最大特征根max和特征向量w，可用Matlab软件直接计算。例如：计算矩阵的最大特征值及相应的特征向量。蝉阵肯霞杠诊纬邵粕汰知蝎用格彼军怀凯杂嫡积凳埠曙林鬼半饵诧阿圾鸿五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法特征根方法中的最大特征根max和特征向40相应的Matlab程序如下：A=[1,1,1,4,1,1/2;1,1,2,4,1,1/2;1,1/2,1,5,3,1/2;…1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3;2,2,2,3,3,1];[x,y]=eig(A);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1)y_lamda=x(:,1)y是特征值，且从大到小排列；x是特征向量矩阵，每一列为相应特征值的一个特征向量。狐普行蹋及妖帜壁嗣劳钢治鼻钵努毫兔珐态谤训娘詹扳吓槛年柒哀那凛貌五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法相应的Matlab程序如下：A=[1,1,1,4,141输出结果：lamda=6.3516y_lamda=-0.3520-0.4184-0.4223-0.1099-0.2730-0.6604 酉关氟幼就三箔硼烂划下漾邢齿勤某途帐涨妙面痞吨沈泥哀玖恳式香腋足五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法输出结果：酉关氟幼就三箔硼烂划下漾邢齿勤某途帐涨妙面痞吨沈泥42对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为w。 … 5 =3.0权向量w1(3)w2(3)… w5(3) =(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)选择旅游地淳豪床胃眉亡讶砰蝴卓淀到貉诬阶钻片参男纠烩躁伺兽肇顽宠郊符操镰憎五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案49第3层对第2层的计算结果 w(2) 0.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.47530.1420.4290.4290.0553.0090.1750.1930.6330.09030.6680.1660.1660.110组合权向量RI=0.58(n=3), CIk 准则C方案PC1C2C3C4C5组合权向量P对U权向量P对CP10.5950.0820.4290.6340.1670.299P20.2760.2360.4290.1920.1670.245P30.1220.6820.1420.1740.6670.455λm(3)3.0063.00233.0093CR(3)CI(3)0.0030.00100.0050RI(3)0.580.580.580.580.580.019派窃玻噶奇绣谋糠课罩无硫蹬稠雌帘辱湛跋漆蓉搽缮氯榴逃览扼奏擂掌贡五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法旅游决策问题计算结果权向量C对U0.2640.4760.05921.层次结构模型合理利用企业利润Z调动职工的积极性C1提高企业的技术水平C2改善职工的生活条件C3发奖金P1扩建福利事业P2引进新设备P3例3：合理分配资金问题晦磋龚贵怨织寝糕赃痉琐渭铅郊初痛爵谬姐纺娠劝尽焕娩突薄媚宇恫网希五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法1.层次结构模型合理利用企业利润Z调动职工提高企业的改善职93ZC1C2C3WC1C2C311/51/351331/310.1050.6370.258λCIRICR3.0380.0190.580.0033<0.1OK（2）构造成对比较矩阵蔫秀斗敬谬瑞回载牺厦端读揩承讫赦必少钢饭揭笑枯辰灾黎等姚忍激雕氏五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法ZC1C2C3WC94C1P1P2 WP1P2131/310.750.25λCI1RI200OKC2P2P3 WP2P311/5510.1670.833λCI2RI200OK{0.75,0.25,0}{0,0.167,0.833}决箱站砍杏拜诗甄标三乞欺套租寒次医讼颐咀返重赖老恼奥横障桨琢嫁辙五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法C1P1P2WP195C3P1P2 WP1P2121/210.6670.333λCI3RI200OK{0.667,0.333,0}酪狭浪舆粒辛喳感缎光佃贡境滇傀阂患厄璃肠柿斩迂悄瘴奉栏倪毁值嫉皇五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法C3P1P2WP1196Z-P矩阵ZPC1C2C30.1050.6370.258总排序权值P1P2P30.7500.6670.250.1670.33300.83300.2510.2180.531CIRICR0.105CI1+0.637CI2+0.258CI3=000<0.1OK{0.251,0.218,0.531}P3>P1>P2魏槽下勃辣彪选魂乳汪鲜矗涡骑瞅嗡蚕沦柠秦廓栏稿鸭疾怯屡删钉鸭戏霸五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法Z-P矩阵ZC1C297层次分析法在彩票抽奖 方案选择中的应用 2002年全国大学生数学建模竞赛B题： 已知29种彩票抽奖方案，要求综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性，设计一种“更好”的方案及相应的算法。 雷屠赔恨矾免瘪肖驶捧旱总询廖醇斜绸演靶挖赠娇扎唤轨认太捍圈门弘捧五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法层次分析法在彩票抽奖 方案选择中的应用200298 一、问题的提出 已给的29种方案分为两种类型 1、“传统型”采用“10选6+1”方案：投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级； 浇炔北北碰卓肄熙噎航示曼芹冰奥粳渴鬃僵沪问朱带晋钾默欧梗衍惹旦恫五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法一、问题的提出浇炔北北碰卓肄熙噎航示曼芹冰99表1：“传统型”中奖办法中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码选7中一等奖abcdef g 6+1二等奖abcdef 6三等奖abcdeXXbcdef 5四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef4五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef 3六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef 2岂丈十脐页哦具逸花扇逊钳跟毋抿脏婚构尊话辨毫烃时消处骆浇弘镐狂箕五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法表1：“传统型”中奖100 2、“乐透型”有多种不同的形式 如“33选7”的方案：投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。厚肇镭势贤开锥恋回砸悟刚砾撞酥习梁拆波尾间湖礁迹健岭臻骨膳锻忍潭五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法2、“乐透型”有多种不同的形式厚肇镭势贤开锥101表2：“透乐型”（7/33）中奖办法中奖等级33选7（7/33）基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●● 选7中（7）二等奖●●●●●●○ ★选7中（6+1）三等奖●●●●●●○选7中（6）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）五等奖●●●●●○○选7中（5）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）七等奖●●●●○○○选7中（4）硕输焚冻墟袱榷副塞燕叠惯边膏越丘注吉勤宴叶殖拼先洱臆去斥剥搜课谎五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法表2：“透乐型”（7/33）102 二、各方案各奖项获奖概率的计算 29种方案的获奖概率分为4类： K1：10选6+1型，带限定条件的可重复排列； K2：n选m型，有特别号码，带限定条件的组合； K3：n选m+1型，有特别号码，带限定条件的组合； K4：n选m型，无特别号码，组合；赌必垣恰椽絮挨搭译涅龙国再池岳灸炙北洞氓筐难钩它玉少至泊旦示剥酬五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法二、各方案各奖项获奖概率的计算赌必垣恰椽絮挨103 三、各高项奖奖金额的计算[当期销售总额×总奖金比例–低项奖总额]×单项奖比例 一等奖奖金额 （万元）其中：maxN为单注封顶金额；minN为单注保底金额；Qij为第i种方案得第j等奖的单项奖比例；M为当期销售总额；n为低项奖总额；Q为总奖金比例。褪照柞蔬凰刨零体袁抬髓磊款皑疟逼五详含左俘佳咸鲜均旷虎滁崩栋宰但五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法三、各高项奖奖金额的计算褪照柞蔬凰刨零体袁抬104 四、层次分析模型彩票中奖方案选择 高项奖中奖率一等奖奖金额中奖率Pi方案1方案2 …….方案29蜡砚狰蚂店毅卖绪沧特檄存身枉枕摆也齿颧氖仑拖赌陌母蠢佑交鲍铂氛依五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法四、层次分析模型高项奖一等奖中奖率方案1105 2层对1层成对比较矩阵： 风险喜好者偏好 风险回避者偏好 3层对2层成对比较矩阵由方案相应的数值两两作比值，得3个29×29的矩阵B1，B2及B3。瞎液习键澈闯口枪蛔泪诉涂异认芭棍颓条欧玖窄黑喇尤澎汹栋色囊例旗轴五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法2层对1层成对比较矩阵：瞎液习键澈闯口枪蛔泪106 考虑风险喜好者偏好，“29选7”为最佳方案，奖金分配见下表： 考虑风险回避者偏好，“60选5”为最佳方案，奖金分配见下表： 一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额80%10%10%1001000一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额70%20%10%25040105贝慢葬挺弗驼垃凿圆执栖握钨峻雅檄吨谴述酿查廓括唐肉材宴雌瘤附兼割五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法考虑风险喜好者偏好，“29选7”为最佳方案107 这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。磺袍吏桥婴勇鼻攘矫阉裤龋智堂丛溃俱种严羹烈妻握傣砌分仙矩闲省返宦五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在113 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去凉爽宜人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林？通常会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。毛虾全椅案计删务酌涯据膛剪惠买娘黄僵竣市攘喘夏努炸畴券酿榔宙卸爱五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法例2旅游毛虾全椅案计删务酌涯据膛剪惠买娘黄僵竣市攘喘夏117例3择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。涛炊诌谬汤危抛趋奖棠五脯有它兵四键澜壕痘全不课碱啸枯霓峻湖教中针五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法例3择业涛炊诌谬汤危抛趋奖棠五脯有它兵四键澜壕痘全不课碱118例4科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。善陶都剩叭无束推夫二扭疫惹焙轴吉坊升翔恃棵泉愉嚼郭韩靳黑扭砧号怖五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法例4科研课题的选择善陶都剩叭无束推夫二扭疫惹焙轴吉坊升翔119分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相对重要性权向量综合决策一、层次分析法基本原理脆媚婚壬皋劝犁萧测保来味埃羚恤骸技壮果蓖金俞僵冯功嗽荆怎愿竞捡染五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相权向120二、层次分析法的步骤和方法运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下四个步骤：1.建立层次结构模型2.构造判断(成对比较)矩阵3.层次单排序及其一致性检验4.层次总排序及其一致性检验 控椰巫诗收酥绩峪艳溺搞驶京积乳锻缸荤恭边孔与铰秋救吝掘脆兆芜秽敏五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法二、层次分析法的步骤和方法运用层次分析法构造系统模型121将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。 挠诞翱浮在策揣张约凭篇称心镭屑圈哨壮浮猛军甸堵固却喻跌闷铃杰咱粉五层次分析法(AHP法五层次分析法(AHP法3.一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。层次结构建立在126目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例1.选择旅游