1、奥运会奖牌预测与体育强国的评价摘要本文首先基于马尔可夫思想建立了奖牌数预测模型，然后基于模糊综合评价法建立了体育强国评价模型，具体如下：模型一：通过分析，我们认为奥运奖牌数的变化是一个马尔科夫过程，并据此建立了奖牌数预测模型。在求解转移概率矩阵时，我们建立了以预测值和实际值之间误差量最小为目标的规划模型，借助历年奥运奖牌的数据，运用LINGO软件求得了最优转移概率矩阵。最后代入奖牌数预测模型求得了第30届奥运会中国的奖牌数在87枚左右，加上误差项后预测奖牌数为8193枚之间。模型二：建立了基于模糊综合评价法的体育强国评价模型，根据所搜集的数据我们选定了奥运会奖牌数比例、其他世界大赛排
2、名情况、预期寿命指数、人文发展指数四项指标作为体育实力的衡量标准，得出了10个国家的综合评价得分和排名，比较中国，美国和俄罗斯三个国家的结果如下：国家得分名次美国83.782俄罗斯83.153中国67.4510我们发现中国离世界体育强国还是有一定差距的，同时也说明了中国体育在大众体育方面需大力提高。最后，我们提出了以上两个模型的优缺点，并且提出了基于聚类分析思想的改进模型，提出了具体的求解步骤。关键词马尔可夫奖牌数预测体育强国模糊综合评价法指标聚类一、问题背景自1979年我国正式恢复了国际奥委会的合法席位。1984年参加了在美国洛杉矶举行的第23届夏
3、季奥运会，一举获得15枚金牌，实现了奥运金牌“零”的突破。自此，我国踏上了与世界各民族人民共同推动奥林匹克运动发展的征程。在刚刚结束的北京奥运会上，中国体育代表团取得了51金21银28铜的好成绩，高居金牌榜首位，奖牌榜第二。那么，如何保持并加强这个发展趋势，使我国延续着强势项目夺金多，弱势项目有重大突破的良好势头，从而真正成为世界竞技体育格局第一集团的成员是需要认真研究的奥运发展战略的大问题。因此，预测未来奥运会成绩是当今世界各国体育工作者所研究的热点问题之一,它关系到各国体育战略发展目标的建立与决策管理。奥运战略是以在奥运会上夺取优异成绩为国争光为目标的长远稳定的谋划和方略。奥运金牌虽然
4、不是奥运战略的全部，但它确实是奥运战略中一个十分客观、具体和及其重要的组成部分。一个国家的题与发展是由很多因素决定的，包括经济发展水平、体育投入、体育体制、体育科技等。因此，建立模型预测奥运会成绩有利于确定正确的奥运战略及指导实施该项战略各项措施的落实；建立衡量国家体育实力的模型有利于指导我国体育事业的发展，使我国继续保持体育强国的地位。二、问题重述2008年8月24日第29届奥运会在中国北京已经落下帷幕，经过中国体育健儿的顽强拼搏和努力，在本届奥运会上中国体育代表团共获得51金21银28铜的好成绩。其中男子项目共获得24金10银8铜，女子项目获得27金11银19铜。在本次奥运会上，中国体
5、育延续着强势项目夺金多，弱势项目有重大突破的良好势头，具体见北京奥运会官方发布数据：北京奥运会结束的四年之后第30届奥运会将在英国伦敦举行。（1）请你设计一个数学模型预测中国队在第30届奥运会将获得多少枚奖牌。附录中给出了88年，92年，96年，00年，04年各国家和地区所获金、银，铜牌数目。（2）你认为衡量一个国家的体育实力应该以什么为标准，试建立相应的模型，并且从网上收集数据对模型进行求解。三、问题假设1、假设第30届奥运会如期举行，不会因为日期影响到各国奖牌数；2、不考虑政治因素对各参赛国的影响；3、假设奥运会各大项的设置不变，各小项的竞赛规则基本不变；4、假设各国奥运会
6、奖牌数具有无后效性，即得奖情况只与其前一届得奖情况有关。四、符号说明符号符号说明i国家或地区编号(1,2,10)i=Lt届次编号(1,2,7t=L()int国家或地区第届获奖牌数it()Nt()iwt()Wt第t届奥运会奖牌总数国家或地区第届获奖牌数占总数的比例it各国家或地区第t届奖牌数结构向量,ijPp()ivt转移概率矩阵，转移概率矩阵元素奖牌数比例的误差项()int去除东道主效应后的奖牌数()nt%O，iOU，uV，v()gi奖牌数量的修正项对象集，研究对象(国家)因素集，评价因素(指标)评价集，评价等级各国综合评价得分由
8、用今年的数据来预测下届奥运会奖牌数。5.2问题2的分析评价一个国家的体育实力会有多种标准，我们不可能仅只使用其中的某一种来进行衡量，因此在评价中就会涉及到评价标准的权重问题。其次，我们认为评价国家体育实力的各项标准都是模糊的，应当运用模糊数学中的综合评价法来进行分析。由此我们认为，对于各个评价标准都应当使用模糊评价，并基于隶属度函数得出各个国家的各个标准对应每个评价等级的隶属度，从而判断出不同国家的相对体育实力。六、模型建立和求解6.1模型一：奖牌数预测模型6.1.1模型建立基于前面的分析，我们根据第24届至第29届奥运会奖牌榜情况，选取多次出现在奖牌榜前15名的9个国家，将
9、剩余的国家或地区归为一个地区，这样就选出了10各国家或地区作为研究对象，记国家或地区的编号为i(1,2,10)i=L，记届次编号为t。具体的选取过程我们将在模型求解时详细说明。(1,2,6)t=LiwtWt.Wtijp10.(1)jwt=+=1011ijjp=i.)(1)iiwt+=+(1)Wt+51mintf=.ST101ijjij=.P(1对于选取的10个国家或地区，记国家或地区i在第j()t次奥运会上所得奖牌数为，该届奥运会总奖牌数为，即；由此可以得到该国家或地区在此次奥运会上所得奖牌数占总奖牌数的比例，记为，则()int()Nt10i=1()iNtn=()iwt()()()i1,
10、2,6t=L(1)我们再构造向量表示各国家或地区获得奖牌数比例情况的结构向量。由马氏链的基本方程可得，下届奥运会各国家或地区奖牌数比例的：1210()(),(),()wtwtwt=L(1)()WtP+=1,2,6t=L(2)其中，为我们需要在求解时确定的状态转移概率矩阵。P关于矩阵元素的确定，由马氏链的基本性质有：，1()ijwtpji1,2,10i=L(3),1,2,10i=L(4)对(3)式引入误差变量vt，使得实际值(1)+(ivt+(1)iwt+与预测值之间满足关系：wt。因此，(2)式也可也为：.(1)iwt+1()(1)WtPVt=+1,2,6t=
11、L(5)我们建立以误差变量最小为目标，关于转移概率矩阵的规划模型：P(1)()(1)()TWtWtPWtWtP=+.+.(6)11,2,01,2,pipj=LL6.1.2模型求解针对(6)式的模型，我们先选取合适的研究对象i，再根据以往数据计算各国家奖牌数占总奖牌数的比例，用LINGO软件解(6)式的最优解，再利用(2)式即可求得奖牌数比例的预测值。()iwtP.()iwt()iwt1、选取所要研究的国家或地区我们根据第24届至第29届奥运会奖牌榜情况，选取多次出现在奖牌榜前15名的9个国家，并重点参考近两届的排名情况。其基本情况如表1所示：（俄罗斯数据的第25届为独联体
12、的数据，第24届为前苏联的数据，德国第24届的数据为民主德国和联邦德国的奖牌数和）表1研究对象在奖牌榜的排名情况届次国家第29届第28届第27届第26届第25届第24届中国1234411美国211123俄罗斯332211德国565337英国41010361312法国1076599意大利98761110澳大利亚64471015日本8515231714按照上表，我们依次对中国、美国、俄罗斯等国家编号i，将剩余的国家和地区的综合编号，这样我们就确定了所要研究的10
13、个国家或地区。10i=2、计算各国家奖牌数比例在计算奖牌数比例时我们不得不考虑到“东道主效应”3。竞技体育中的“东道主效应”是指运动员在自己的家乡参加比赛要比在其他地方参加比赛能取得更好的成绩。邓运龙统计了19922000年这3届奥运会中，东道主举办当届、上一届、再上一届和后一届获得金牌、奖牌排名情况，论证了夏季奥运会确实存在着东道主效应3。对于“东道主效应”的测算有很多方式，我们选用参考文献3中简单平均法综合所有各届奥运会东道主效应，所得结果是：金牌数的东道主效应增幅为11.31%，整体实力的东道主效应增幅为11.71%。而第30届奥运会时中国队是客场作战，因此我们需要在每届奥运会中去除
14、东道主效应对奖牌数的影响。选取东道主效应指数0.1171=，则去除东道主效应后东道主奖牌数()()1iintnt。在我们研究的数据中有东道主效应的国家有第26届的美国，第27届的澳大利亚，第29届的中国，奖牌数分别为101，58，100枚，按()()1iintnt=+折合后奖牌数分别为91，52，90枚，将其折合后统计每届中各国奖牌数为：表2去除东道主效应后的奖牌数表届次编号国家()i第24届第25届第26届第27届第28届第29届1中国2854505963902美国9410891971031103俄罗斯13211263889272
15、4德国14282655748415英国2420152830476法国1629373833407意大利1419353432288澳大利亚1427415249469日本14221418372510其他261343421446442449总奖牌数739816832917929948根据上表中各国家或地区奖牌数与总奖牌数，由(1)式()int()Nt()()()iintwtNt=，计算得到各国家或地区奖牌数比例表：表3各国家或地区奖牌数占总奖牌数的比例表届次编号国家
16、()i第24届第25届第26届第27届第28届第29届1中国0.0380.0660.0600.0640.0680.0942美国0.1270.1320.1090.1060.1110.1163俄罗斯0.1790.1370.0760.0960.0990.0764德国0.1920.1000.0780.0620.0520.0435英国0.0320.0250.0180.0310.0320.0506法国0.0220.0360.0450.0410.0360.0427意大利0.0190.0230.042
17、0.0370.0340.0308澳大利亚0.0190.0330.0490.0570.0530.0499日本0.0190.0270.0170.0200.0400.02610其他0.3530.4200.5060.4860.4760.4743、转移概率矩阵的求解P我们选取分别第24届到28届的数据预测第25届到29届数据，其中：；再利用第25届到29届实际数据表示出误()iwt.(1)iwt+1)101.(1)()ijjwtwtp=+=(iwt+差变量，其中：(1)ivt+(1)ivt+=.(1)(1)iiwtwt+.+。利用LINGO软件求解
18、(6)式模型得到状态转移概率如表4所示：表4各国家或地区奖牌数比例转移概率表中国美国俄罗斯德国英国法国意大利澳大利亚日本其他中国0.001000000000.999美国0000000001俄罗斯00.24100.1600.0690.076000.454德国00.1120.530.31300.01000.0340英国0.5490.131000.0690000.2520法国0000000001意大利000.84700.15300000澳大利亚00
19、0.48200.1710000.3470日本0.6180000.38200000其他0.0950.15500.0450.030.0730.0680.1090.0150.414、第30届奥运会奖牌数预测用第29届奥运会中各国家或地区构成数据向量(6)(0.094,0.116,0.076,W=0.043,0.050,0.042,0.030,0.049,0.026,0.474).(1)()WtWtP+=，结合表4所示的概率转移矩阵，由公式(2)：，可得出第30届奥运会各国家或地区奖牌数比例，再根据各届的奖牌总数假设下届的奖牌总数为980枚，最后求得第
20、30届奥运会各国家或地区奖牌比例和数量情况如表5所示：P表530届奥运会各国家或地区奖牌比例和数量国家中国美国俄罗斯德国英国法国意大利澳大利亚日本其他奖牌比例0.09570.11120.07710.05090.04370.04350.04100.05570.04110.5203奖牌数量8710170464039375137472由上表可以看出中国将仍然保持良好状态，在没有东道主效应时可以拿到87枚左右的奖牌，而美国则基本保持在101枚左右的状态，其他国家或地区的奖牌数量总和将可能增加到472枚。6.1.3结果检验根据模型的求解方法，我们求
21、得第25届到29届中我们选取的10个研究对象的实际奖牌数和预测奖牌数的比较表6：表6预测奖牌数目和实际数目的比较表国家编号12345678910平均相对误差25届实际值541081128220291927223437.96%预测值5110110485213331312233726届实际值50906365153735411442116.56%预测值56957561283533392339527届实际值59978857283834521844610.58%预测值6399935535403751304
23、2模型二：体育实力评价模型在建立体育实力评价模型时，我们先选取研究对象，再基于模糊综合评价模型建立各个因素指标对评判指标的隶属度进而进行加权评判得到体育实力的综合得分。6.2.1模型建立3基于前面的分析，我们运用模糊综合评价法建立体育实力评价模型来衡量个国家或地区体育实力情况。1、对象集、因素集、评价集的确定对象集：我们选取中国、美国、俄罗斯、德国、英国、法国、意大利、澳大利亚、日本、韩国十个奥运会奖牌榜中排名靠前的国家作为研究对象，最后来评价各国体育综合实力的相对情况。记研究对象的集合为1210,OOOO=L；因素集：根据我们分析衡量一个国家体育实力的标准有个，分别作为模糊综
25、和评价论域之间模糊关系的评价矩阵：1112131415212223242512345nnnnnrrrrrrrrrrRrrrrr.=.%LLLLL其中表示从因素着眼某事物能被评为等级的隶属程度，也就是说为因素对等级的隶属度。(,)ijijrRuv=%iuiujvijrjv设为因素集中因素的最小值，为因素集中因素的最大值。当指标iciiuidiuiuiic大于d时确定该国家对指标来讲，评价为优的隶属度为1；当指标值iui小于时，评价为不及格的隶属度为1。下面确定评价为良、中、及格的隶属度为1的指标，为此须将10个国家对所有指标的观测值从小到大平均分为三类，记为：1111121,iLzzz=L
26、2221222,iLzzz=L3331323,iLzzz=L接下来求三个类、的平均值1L2L3L111111ijjzi=、222121ijjzi=、33131ijjzi=(7)令1iixc=15,iix，21ix=u，32ix=，43ix=5v，5ixd=，以下限值1ix和上限值5ix作为边界，凡是指标者完全属于（不及格），者则完全属于（优）。把1ix5iux1vx区间划分为五个等级，以最能表示某级特性的点（平均值点）的隶属度为1，而边界交点概念最模糊，隶属度为0.5，构造指标五个等级隶属函数如下：152121()()/(),0iiiiiuxvuuxxxuxx.=.，当，当
27、，其他121124323()/(),()()/(),0iiiiiiiiuxxxuxxvuuxxxuxx.=.，当，当，其他2322334343()/(),()()/(),0iiiiiiiiuxxxuxxvuuxxxuxx.=.，当，当，其他(8)3433425454()/(),()()/(),0iiiiiiiiuxxxuxxvuuxxxuxx.=.，当，当，其他514541()()/(),0iiiiiuxvuuxxxuxx.=.，当，当，其他他们的图形如图1所示：图1隶属函数图由此便可以构造出模糊隶属度综合评价矩阵R。4、计算每个对象的综合评价结果
28、一旦隶属度综合评价矩阵R%确定以后，就可以通过如下计算公式：BAR=o%求出综合评价结果B，这里“o”表示模糊评价矩阵乘积运算。由上面建立综合评价矩阵的计算可得到第i个国家关于这个指标对五个等级的隶属度矩阵n()iR()()()()()1,11,21,31,41,5()()()()()2,12,22,32,42,5()()()()()(),1,2,3,4,5iiiiiiiiiiiiiiiinnnnnrrrrrrrrrrRrrrrr.=.%LLLLL于是可由()()iBAR=o进行综合模糊评价，即可求得国家的综合评价i()1(,iBb=2345,)bbbb。设，将51iib=()iB%归
29、一化处理可得()351241234,(,ibbbbbBbbbb.=.%5)b。显然等级的分数重心依次为：95，85，75，65，55，于是可用12345,vvvvv1234()9585756555gibbbbb=+计算出国家的综合评价得分。i6.2.2模型求解根据5.2中对体育实力衡量的指标，结合我们所搜集的收集的数据我们选取所研究的中国、美国、俄罗斯、德国、英国、法国、意大利、澳大利亚、日本、韩国十个国家。奥运奖牌和其他各项赛事的得奖情况最能反映一个国家体育的综合实力，预期寿命指数则能反映出各国家人民的健康水平，人文发展指数可以从一定程度上反映出一个国家全民体育的发展情况。因此
30、，我们选取奥运会奖牌数比例、其他世界大赛排名情况、预期寿命指数、人文发展指数作为体育实力的四项衡量指标。1、数据处理奥运奖牌数比例我们选取第24届直第29届奥运会各国的奖牌数占奖牌总数比例的平均值1,11,21,10,L作为衡量奥运奖牌数比例指标的数据，按照式：1,1,101,1iijj=对各数据做归一化，得到各国奥运奖牌数比例表：表7各国奥运奖牌数比例表国家中国英国意大利日本美国韩国法国俄罗斯德国澳大利亚1i0.1140.05320.05250.04220.20260.05910.06260.18830.15010.0754其他世界大赛排名情况我们从年在各项
32、按照式：4,4,104,1iijj=对各数据做归一化得到归一化的预期寿命指数表：表9归一化的预期寿命指数表国家中国英国意大利日本美国韩国法国俄罗斯德国澳大利亚4i0.09040.10300.10530.10870.10070.10070.10530.07670.10300.1064人文发展指数对所研究的10个国家的人文发展指数3,13,23,10,L，按照式：3,3,103,1iijj=对各数据做归一化得到归一化人文发展指数表：表10归一化人文发展指数表国家中国英国意大利日本美国韩国法国俄罗斯德国澳大利亚3i0.08800.10160.1005
33、0.09950.10160.10260.10260.10050.09950.10372、确定因素集的权重分配向量在四个因素权重的确定时，我们认为奥运奖牌和其他各项赛事的得奖情况最能反映一个国家体育的综合实力，而奥运会奖牌比其他各项赛事更能直接反映实力，因此我们给这两项指标分别附权值10.4a=3a=、20.3a=；预期寿命指数则能反映出各国家人民的健康水平，我们附权值0.2；人文发展指数可以从一定程度上反映出一个国家全民体育的发展情况，我们给它附权值40.1a=。由此，我们得到了因素集的权重分配向量(0.4,0.3,0.2,0.1)A=。3、模糊评价矩阵R的确定我们以奥运奖牌数比例
34、为例计算隶属函数。根据表7有，奖牌数比例的最小值为0.0422，最大值为0.2026，因此10.0422ic=，10.2026id=10.0422L=；将除去最大值剩余的9个数从小到大排序，并平均分为三组：,0.0525,0.0532，20.0591,0.0626,0.0754L=10.0493=20.0657=110.0422x=210.0493x=0.04220.04930.08700.09000.07670.08930.08800.0957X=(1)00.5676000000R=%()()iiBAR=o%411iia=1()9585gibb=，30.1140,0.1501,0.1883L
35、=30.1508=310.0657x=410.1508x=0.06570.15080.20260.09840.10710.11380.10220.10570.10870.10090.10230.1037.0.4324000010.08740.91260001.()iR%()gi()1(,iBb=%2345,bbbb()iB%B%2345756555bbb+，求个组的平均值的为：，。由此，我们得到隶属函数的界限：，510.2026x=同理，我们可以得到四项指标的隶属函数界限矩阵：我们再以四项指标中中国的数据带入函数式(8)，可以得到中国关于四项指标的模糊评价矩阵同理，我们可以得到10个
36、国家的模糊评价矩阵，具体数值见附录表1。4、各国综合评价的结果的计算由式得到综合评价矩阵)B%，由于我们取定权重满足关系：，因此不用在对做归一化，直接有()1234(,ibbbb=5)b。我们的出10个国家的综合评价矩阵，具体数值见附录表2。在用式可以计算出各国的综合评价得分，如下表所示：表11各国的综合评价得分表国家中国英国意大利日本美国韩国法国俄罗斯德国澳大利亚得分67.471.674.367.883.872.479.783.285.281.76.2.3结果分析根据表11的得分我们给出了中国和其他9个体育强国的相对排名情况，如表12所示：表12综合
37、评价结果排名国家得分名次德国85.151美国83.782俄罗斯83.153澳大利亚81.704法国79.715意大利74.266韩国72.367英国71.618日本67.829中国67.4510由表我们看到中国的排名为最后一名，并且得分仅为67.45，这说明中国离世界体育强国还有一定的差距。根据中国对于四项指标的模糊评价矩阵可以看出，中国出奥运会的其他大赛的成绩指数和人文发展指数对于最低等级的隶属度为1，说明中国在体育赛事综合发展方面尚需提高，人文发展即社会体育需大力发展，奖牌数比例和预期寿命指数也基本属于中等水平。因此大力发展社会
38、体育和学校体育，从而进一步提高竞技体育的水平和全民的体育健康水平，这是推动我国体育向世界体育强国发展的必要途径。七、模型评价和推广7.1模型评价7.1.1模型优点1、在模型一中，我们从概率上考虑奖牌的转移情况，并基于此建立了马尔可夫模型来预测2012年中国夺得奖牌数。2、利用以往几届奥运会金牌转移数据，基于误差最小的目标函数建立规划模型来求解奖牌的转移概率矩阵，使转移矩阵的确定科学，合理。3、在模型二中，我们基于模糊评价方法确立每个评价标准对评价集的隶属度，量化了评价指标，使综合评价的结果更真实可信。7.1.2模型缺点模型中由于各种奖牌之间存在关联和数据的随机波动性较大，我
39、们没有预测30届奥运会上各种奖牌的获得量。7.2模型推广：在模型一中，我们认为奖牌是一个马尔可夫过程，预测一个国家获得奖牌的情况只与当前情况有关，即国家的奖牌获得具有无后效性。为了体现各国在单项方面的实力，我们建立基于聚类思想对不同国家获得奖牌实力进行划分，进而对各类不同的实力的项目用相应合理的预测方法进行预测。我们建立模型如下：一、对各国家在奥运会上得分进行量化国家k在第i次奥运会第j个项目取得金牌枚，银牌枚，铜牌ri枚。确立金银铜牌的权重分别为3，2，1。则国家在第i次奥运会上1(,)rijk2(,)rijk3(,j)kk第ji()i个项目的得分为。由于通过统计和国家在各个项目
40、上的得奖牌数，即通过可计算历年来诸国家在任意项目上的得分。其中123(,)3(,)2(,)(,)rijkrijkrijkrijk=+41(,)(,)jijrijkrijk=i(0D1i=n)n(1)iD.1kni=.+表示各届奥运会得分对总得分的权重,其中i越大,X取值越大,即最近的得分最能反映总实力。在统计上面某届奥运会的奖牌时我们同样基于模型一中去除东道主效应的方法，把该年奖牌数除以1+=即可消除东道主效应。二、运用聚类分析的方法对各国家的体育实力进行分类由上面计算的各国家在奥运会上各个项目的总得分，这里我们选用欧氏距离定义及度量类（项目）间的距离。具体步骤如下：1、计算n个项目两
41、两间的距离，得项目间的距离矩阵；)2、初始（第一步：）个样品各自成一类，类的个数k，第类ni()(1,iiGXi=L(2,)in=L。此时类间的距离就是项目间的距离。然后对项目执行并类过程的步骤3和4；3、对步骤2得到的距离矩阵，合并类间的距离最小的两类为一新类。此时类的总个数k减少1类，即；4、计算新类与其他类的距离，得新的距离矩阵()iD。得合并后的总个数k仍大；5、重复步骤3和4；直到类的总个数为1时转到步骤5；6、画谱系图；7、根据分类的情况，决定分类的个数及各类的成员。这里我们把所有的个比赛项目分为三大类，分别为：优势项目，不稳定项目，和弱势项目。不稳定项目即该项目在历年的比赛呈现很明显的实力变化趋势。n三、对分类后的项目奖牌数进行预测在进行了项目的分类后，我们通过历年的数据不难得出结论，对于中国传统的优势项目（如乒乓球，举重）等历年得奖牌数都比较稳定，不会有大的变化。对于历年来取得战绩不好的弱势项目（如游泳，田径等）历年来奖牌数也比较稳定，这是由于一个项目的成绩的提高是一个长期的过程，