一元二次方程的求根公式只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0（a≠0）。
方程定义
若是，再对它进行整理。如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。里面要有等号，且分母里不含未知数。
b^2-4ac求解任何一元二次方程，都可以直接用求根公式x=(-b±√b^2-4ac)/2a。其中是根的判别式。也可以用其他特殊方法求根。1-1一元二次方程
方程形式
一般式
y=ax2+bx+c（a、b、c是实数，a≠0）
配方式
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
两根式
a(x-x1)(x-x2)=0
解题方法
公式法
x=(-b±√b^2-4ac)/2a求根公式
十字相乘法
x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
解法
分解因式法
如
1.解方程：x2+2x+1=0
解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)2=0
解得：x1=x2=-1
2.解方程x（x+1）-2（x+1）=0
解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0
即x-2=0或x+1=0
∴x1=2，x2=-1
3.解方程x2-4=0
解：（x+2）（x-2）=0
x+2=0或x-2=0
∴x1=-2，x2=2
十字相乘法公式：
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例：
1.ab+2b+a-b-2
=ab+a+b2-b-2
=a(b+1)+(b-2)(b+1)
=(b+1)(a+b-2)
（可解全部一元二次方程）求根公式
首先要通过Δ=b2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b2-4ac<0时x无实数根（初中）
2.当Δ=b2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2
3.当Δ=b2-4ac>0时x有两个不相同的实数根
当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b2－4ac）}/2a
来求得方程的根
配方法
（可解全部一元二次方程）
如：解方程：x2+2x－3=0
解：把常数项移项得：x2+2x=3
等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x2+2x+1=4
因式分解得：（x+1)2=4
解得：x1=-3,x2=2
用配方法的小口诀：
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当
开方法
（可解部分一元二次方程）
如：x2-24=1
解：x2=25
x=±5
∴x1=5x2=-5
均值代换法
ax2+bx+c=0
同时除以a，得到x2+bx/a+c/a=0
设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m(m≥0)
根据x1·x2=c/a
求得m。
再求得x1,x2。
如：x2-70x+825=0
均值为35，设x1=35+m，x2=35-m(m≥0)
x1·x2=825
所以m=20
所以x1=55，x2=15。
一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）（韦达定理）
一般式：ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系：
x1+x2=-b/a
x1·x2=c/a
简单解法
1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）
2．看是否可以直接开方解
3．使用公式法求解
4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。如果要参加竞赛，可按如下顺序：
A.因式分解B.韦达定理C.判别式D.公式法E.配方法F.开平方G.求根公式H.表示法
课外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadraticequationofonevariable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。一般形式为ax^2+bx+c=0,(a≠0)。在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数，使x1+x2=b,x1·x2=1,x2-bx+1=0...
他们再做出解答。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax^2=b。
在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax^2=bx、ax^2=c、ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于2x+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
发展
求解一元三次方程的问题
求解一元二次方程是最基础和最简单的数学问题，而求解一元三次方程就是比较复杂的数学问题了。意大利数学家帕西奥利（LucaPacioli，1445年～1514年或1517年）于1494年在威尼斯发表了文艺复兴时期最伟大的数学著作《Summadearithmetica，geometrica，proportionietproportionalita》，他在书中记录了对一元三次方程解法的艰辛探索，并下结论认为在当时的数学，求解一元三次方程是根本不可能的。
帕西奥利曾于1501年至1502年间来到博洛尼亚大学任教，期间与同在博洛尼亚大学的费罗讨论过许多数学问题，人们并不知晓他们是否也曾讨论过一元三次方程问题，但是在帕西奥利离开博洛尼亚后不久，费罗就至少解决了一元三次方程在一种情况下（x3+mx=n）的解，这在求解一元三次方程的道路上是一个突破性的成功。
然而费罗并没有马上发表自己的成果，而是对解法保密，这很大程度上是因为他拒绝公开交流他的思想，他更愿意与他的朋友和学生交流，而不是将它们写下来出版，因此费罗的手稿并没有流传至今。尽管如此，他曾有过一本笔记簿，记录了他所有的重要发现，其中包括一元三次方程的解法。在他1526年去世后，这本笔记簿由他的女婿HannivalNave继承了，Nave也是一个数学家，他替代费罗继续在博洛尼亚大学授课。同时被传授这一解法的还有费罗的学生菲奥尔。
一元三次方程解法的进展在费罗去世后充满了戏剧性，先是菲奥尔在得到秘传后吹嘘自己能够解所有的一元三次方程，其实他只会费罗传授他的x3+mx=n，而另一位意大利塔塔利亚（尼科洛·冯塔纳的绰号，意大利语“口吃者”的意思，1499年～1557年12月13日）在1534年宣称自己发现了形如x3+mx2=n的方程的解，两人相约在米兰进行公开比赛。
1535年就在比赛前夕，塔塔利亚苦思冥想出来其他多种形式的一元三次方程解，从而轻而易举地赢得了比赛，并在1541年终于完全解决了一元三次方程的求解问题。与费罗相同的是，塔塔利亚同样选择保守解法的秘密。同样研究一元三次方程的意大利医生、哲学家和数学家卡尔丹在允诺不公开的条件下，1539年从塔塔利亚那里得到了他的解法，在其基础上也发现了所有一元三次方程的解法。
而在1543年，卡尔丹和他的学生费拉里（LudovicoFerrari，1522年2月2日～1565年10月5日）曾前往博洛尼亚，从费罗的女婿Nave处得知，其实费罗早于塔塔利亚已经发现了一元三次方程的解法，他便摒弃了给塔塔利亚的承诺，将他拓展的解法在1545年的著作《大术》（又译《数学大典》，ArsMagns）中发表，他在书中称，是费罗第一个发现了一元三次方程的解法，而他所给出的解法其实就是费罗的解法。
由于卡尔丹的失信，激怒了塔塔利亚，两人互相在书信中指责对方，并进行公开论战，最终卡尔丹派人秘密刺杀了塔塔利亚。
塔塔利亚消逝了，由于卡尔丹最早发表了求解一元三次方程的方法，因而该解法至今仍被称为“卡尔丹公式”。卡尔丹是第一个把负数写在二次根号内的数学家，并由此引进了虚数的概念，后来经过许多数学家的努力，发展成了复数的理论。从这个意义上，卡尔丹公式对数学的发展作出了巨大贡献，史称卡尔丹公式是伟大的公式。
解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题，虚数概念的引进、复数理论的建立，就是起源于解三次方程问题。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但是使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。80年代，中国的一名中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式——盛金公式，并建立了简明的、直观的、实用的新判别法——盛金判别法，同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题，且很有趣味。
盛金公式与判别法及定理形成了一套完整的、简明的、实用的、具有数学美的解三次方程的理论体系，范盛金创造出的这套万能的系统方法，对研究解高次方程问题及提高解三次方程的效率作出了贡献。
求解一元四次方程问题卡尔丹在1545年的著作《大术》（又译《数学大典》，ArsMagns）中同时发表的还有费拉里的一元四次方程一般解法。费拉里是卡尔达诺的学生。解一元四次方程的公式称为费拉里公式。
求解一元五次方程问题16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡尔丹等人，发现了一元三次方程求根公式。这个公式公布没两年，卡尔丹的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。
当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。大约三百年之后，在1825年，挪威学者阿贝尔（Abel）终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。
这就是著名的阿贝尔定理。由于受阿贝尔定理的影响，世界上绝大多数的数学家早已放弃了对一元五次方程求根公式的探索。但如今，由于社会的发展，仍然有一群爱好数学的知识分子，在不断的寻求突破！
参考资料
1．一元二次方程讲解．道客巴巴[引用日期2013-05-1]
2．一元二次方程，初中数学【2013-0120】
12月5日，吴立建名师工作室送教泰顺三中。活动中，泰顺三中邱柳青老师和名师工作室的干海通老师分别执教风格各异的数学研讨课《一元二次方程》和《几何图形》。...