别去赌场了，你永远赢不了“凯利公式”！但你可以用它来炒股赚回你在赌场输的钱，下面让我们来看一看在赌场上无往不利的凯利公式，以及怎样把凯利公式用在炒股上。
赌徒迷信的是运气，赌场相信的是数学
赌王何鸿燊接手葡京赌场时，业务蒸蒸日上，但理性的赌王仍然忐忑，请教“赌神”叶汉：“如果这些赌客总是输，长此以往，他们不来了怎么办？”
叶汉笑道：“一次赌徒，一世赌徒，他们担心的是赌场不在怎么办。”
叶汉说的只是心理层面，现代赌场程序方面的设计，比叶汉当年要缜密得多，赌场集中了概率、级数、极限方面的数学经验。
一个普通赌徒，只要长久赌下去，最终一定会血本无归，所谓的各种致胜绝技，除了电影里的周星星，现实里的周星驰都不信。
赌徒永远不明白，与自己对赌的不是运气，也不是庄家，他们是在与狄利克雷、伯努利、高斯、纳什、凯利这样的大师对决数学，赢的胜率能有多大？
1、看得到的是概率，看不见的是陷阱
我们先说一个最简单的赌博游戏：赌运气猜硬币。
规则是这样的，掷硬币，正面赢反面输，赢了可以拿走一倍的钱，输了会赔掉本金，你玩不玩？你可能觉得，唉，这游戏不错，公平！恰好运气也不错，第一把赢了100元！你高兴坏了，这时候庄家跟你说，你看你也赢了这么多，我呢，辛辛苦苦搭个场子，最后什么都没捞着，要不这样，你赢了，就给我留下2％，就算是救济救济老哥，给捧捧场！你一听，2％，才这么点，拿去吧，不差钱！好了，这事就这么定下来了。
然而你做梦都想不到的是：就是这小小的2％，最后却让你输得倾家荡产、家破人亡。
这小小的2个点的赢的概率貌似不起眼，但配上“大数法则”，就成为了赌场赚钱的利器！“大数法则”是数学家伯努利提出来的，说的是假设n(a)是n次独立重复实验中发生a的次数，p是每次实验发生a的概率，当n足够大的时候，对任意正数，有lim{[|(n(a)/n)|p]<}=1，公式这么复杂，99%的赌徒都看不懂，看不懂没关系，我们只看结果，最终庄家赢到的钱=0.02*a。
庄家赚的钱最终只跟玩家下注大小有关！这也就是我们常说的“流水”，只要玩家不停地玩，庄家就会不停地赚！而不管玩家是输是赢，庄家始终是赢的！为什么赌场有“最小投注额”，因为扩大“流水”才能将利润最大化！
所以别以为自己有多聪明，你要庆幸自己玩得不够久而已，十赌九输正源于此。
2、只要进了赌场，你就是一个穷鬼
我们再进一步，就算双方的概率均等，你仍然是一个输家，这里涉及到“无限财富”和“赌徒输光定律”，这个定理在现实生活中有许多应用，如“姓氏消亡”“线粒体夏娃假说”，在概率均等的情况下，谁的资本大，谁的赢率高。
你和我对赌，你我各有5块钱，输光为止。那么你赢的概率是50%，输的概率也是50%。
你和我对赌，你有5块钱，我有10块钱，输光为止，那么你赢的概率就只有33.3%，而输的概率有66.7%（这里涉及到高斯的概率论和泰勒的级数论），后面隐藏的就是赌场大BOSS凯利公式，后面小节里将详加表述。
对于小散户，赌场一般可以认为财富是无限多的，你赢不垮它，它却能吃了你。在赌场老板的眼里，世界只有两种人：一种现在是穷鬼，一种未来是穷鬼。
“无限财富定律”也解释了赌场设置最大投注额原因。不是老板好心保护赌徒免遭破产，只是老板为了保护自己设置的安全屏障，想象下万一哪天比尔盖茨去赌场找乐子，一次性砸个几百亿进去，那赌场老板真的要哭了，虽然这种事情不太可能发生，但也不能不防，所以赌场根据自己的财富能力设计最高投注额，也就是为了抵抗“无限财富定理”！
3、赌场大BOSS凯利公式：先告诉你怎么下注
凯利公式在高级赌徒的世界里大名鼎鼎，那什么是凯利公式，我们先看一个例子：
有一个简单2赔1的赌局，扔硬币下注，硬币为正面则得2元，如果为反面则输掉1元，你的总资产为100元，每一次的押注都可投入任意金额。
你会怎么赌呢？
如果你是冒险主义者，你可能会想，要玩就玩票大的，一次性把100元全压上，幸运的话，一次正面就可以获得200元，又是一段值得炫耀的赌史；可是，如果输了得把100元资产拱手献给对方，你就一无所有，好不容易来趟拉斯维加斯，这肯定不是明策。
如果你是保守主义者，你可以会想，谨慎点，百分之一慢慢来。你每次只下注1元，正面赢2元，反面输1元。玩了20把突然觉得，对方下注10元一次就赢得20元，自己一次才赢2元、10次才能赢得20元，后悔已经错过几个亿！
100太多1块太少，该投入多少比例下注？普通赌徒看似无解，但凯利公式告诉你答案是25%！
让我们来看看凯利公式的庐山真面目：
f*=（bp-q）/b
在公式中，各参数意义为：
f*=应投注的资本比值
p=获胜的概率（也就是抛硬币正面的概率）
q=失败的概率，即1-p（也就是硬币反面的概率）
b=赔率，等于期望盈利可能亏损（也就是盈亏比）
公式上面的分子bp-q代表“赢面”，数学中叫“期望值”。
什么才是不多不少的合适赌注呢？凯利告诉我们要通过选择最佳投注比例，才能长期获得最高盈利。回到前面提到的例子中，硬币抛出正反面的概率都是50%，所以p、q获胜失败的概率都为0.5，而赔率＝期望盈利可能亏损=2元盈利1元亏损，赔率就是2，我们要求的答案是f，也就是(bp-q)b=(2*50%-50%)2=25%。
拿出资金的25%来进行下注，才能使赌局收益最大化。
赌场操盘者的每一次下注的时候，都会谨记数学原则，而作为普通赌徒，除了心中默念“菩萨保佑”外，哪里知道这后面的数理知识。
所以，就算你赢得了财神爷的支持，但你也永远赢不了“凯利公式”。
4、除了100%赢，任何时候都不应下注
所有的赌场游戏，几乎都是对赌徒不公平的游戏。
但这种不公平并非是庄家出老千，现代赌场光明正大地依靠数学规则赚取利润，从某种意义上来讲，赌场是最透明公开的场所，如果不是这样，进出赌场不知有多少狂命之徒，何鸿燊早怕九条命都不够。
凯利公式不是凭空设想出来的，这个数学模型已经在华尔街得到验证，除了在赌场被奉为正神，也被称为“资金管理神器”，是比尔格罗斯等投资大佬的心头之爱，巴菲特依靠这个公式也赚了不少银子。回归到赌场讨论这个公式，根据f=(bp-q)/b公式结论，期望值(bp-q)为负时，赌徒不具备任何优势，也不应下任何赌注。这种赌博游戏，要下负赌注，也就是说你不如自己开个赌场当庄家。
的确，世界上有为数不多的“赌神”，他们当中有信息论的发明者香农，数学家爱德华索普，路径理论的创始人蒙特卡罗等，他们通过一系列复杂的计算和艰深的数学理论，把某些赌戏的赢率扳回到50％以上，例如21点靠强大的心算能力可以把概率拉上去。但就凭你读书时上课打瞌睡输了只知道倍投翻本的可怜知识，以及九九乘法表的那点算力，还是先老实读完以下3条准则。
1、期望值（bp-q）为0时，赌局为公平游戏，这时不应下任何赌注。
2、期望值（bp-q）为负时，赌徒不具备任何优势，也不应下任何赌注。
3、期望值（bp-q）为正时，这时按照凯利公式投注赚钱最快，风险最小。
其实最终结论只有一个：除了100%赢，任何时候都不应下全部赌注，即使赢的概率高达99.9%。
结语
赢得胜利的唯一法则：不赌
没有谁能说服一个堕落的赌徒，因为这是人格的缺陷。
但如果你还是一个具有理性精神的人，别再迷恋所谓的运气。
赌徒能够依靠的是祖宗保佑，而赌场后面的大佬是高斯、凯利、伯努利这样的大神。
你怎么可能赢得了庄家？
论理性，没有人能比赌场老板更理性。
论数学，没有人能比赌场老板请的专家更精通数学。
论赌本，没有人能比赌场老板的本钱更多。
如果你想真正赢得这场赌局，法则只有一个：不赌。
凯利公式这么厉害，既然在赌场上赢不了凯利公式，那么是否用凯利公式在投资中赢利呢？凯利公式到底在投资中起到了哪些作用，又有哪些可以研究发掘的领域呢？
凯利公式：
1、最佳收益率仓位
很多人对投资收益率与仓位的关系有一个模糊的概念：大概仓位越高，收益率越高；因此很多人在股市中喜欢满仓，甚至融资。到底收益率与仓位有什么关系呢？先看下面一个例子。
例如有这样一种机会，有一半概率赚一倍，有一半概率亏50%，这种机会是否值得投资呢？
计算一下期望E=0.5*2+0.5*0.5=1.25，大于1，应该是值得投资的。
先把模型简化一下，对这种机会投资两次，一次赚100%，一次亏50%。
假设本金有100，每次拿出10%的资金投入，第一次赚了10。第二次再拿10%的资金投入，亏损5.5，最终104.5，收益率4.5%；如果每次拿出20%的资金投入，那么收益率为14%。
似乎看来，仓位越高收益越大。为了提高资金的利用率，全部投入。这样计算一下，第一次赚了100，第二次亏了100，收益率为0%。怎么收益率没有提高，反而大幅降低了呢？
我们将仓位和计算收益率的关系画成曲线，如下图所示。这条曲线与直觉是有差异的。显然不是仓位越大收益越高。在超过一个临界点之后，仓位的升高造成了收益的降低。甚至在仓位超过100%之后（未考虑融资成本），收益率竟然是负的！
而这个最大值怎么得到呢？之前有一个叫凯利的人已经研究过了，只要给出胜率和赔率，就能计算出这个最大值：
f=p/a-q/b
p:赢的概率q：输的概率（1-p）a：输的损失率b：赢的收益率
把上文的情形带入计算，得到f=0.5。对这种机会，始终投入50%的仓位将获得最大的收益！如果仓位低于该值，收益率会降低，如果仓位高于该值，收益率也会降低，甚至可能出现亏损！也就是说即使是一个赚钱的买卖，仓位控制不当还是会赔钱。
2、黄金准则
通过凯利公式可以推导出如下两条黄金准则：
1）对于期望≤0的品种，无论如何配置仓位都不能取得正收益；所以赌博、彩票等期望为负的品种没有参与价值。
对于反驳说某某买彩票中大奖的人，需要明白实力与运气的区别。运气是无法通过学习提高的。MichaelMauboussin在《实力、运气与成功》[4]中有详细讨论。也可以读读巴菲特1984年在哥伦比亚大学的著名演讲《格雷厄姆-多德都市的超级投资者们》
在股市中，无数人用烂了的技术指标（KJD/MACD）的期望应该接近于0；
关于“猜大小赌局”流传着一个赌徒必胜方法：押100猜大，赢了继续押100猜大，输了赌注翻倍后继续押大，只要赢一次，就会把所有输掉的钱赢回；只要赢了，重新押100猜大。
自己先想想哪里有漏洞，再看专家解答：《赌徒「必胜方法」对不对？》，
对于参与的投资品种或策略，必须确保期望收益率为正，否则长期必输！
2）仓位对于收益率具有重要意义
即使投资品种的期望收益率为正，但如果仓位不合适，资产的期望收益率仍可能为负的！
我们知道，现金不产生任何收益，但是在上面的例子中，为什么把一部分的资金以现金的方式拿在手中，反而能够促使资金总额实现增长？这表面上，似乎是现金导致了资金的增长。是不是有点费解？以投资股票为例，因为现金和股票的比例f是一个固定的比例，如果股票价格升高，则总资金中投在股票上的金额所占的比例也升高，这时为了保持f固定不变，就需要卖出一部分股票变成现金；如果股价价格下降，则总资金中投在股票上的金额所占的比例也下降，为了保持f固定不变，就拿出一部分现金用于买入股票。所以，这里的赌注和现金就好象两个水池，比例f就好像它们之间的一个自动化的水泵，赌注上的资金多了，水泵就自动把资金往现金这个池子里面送；现金上的资金多了，水泵就自动把资金往赌注这个池子里面送。这样送来送去，在不做任何预测的情况下，却自动实现了“低买高卖”的效果。这正是对“重操作、不预测”的一个极好的注解。
因此对于股票投资，不要认为50%仓位就是保守策略，牺牲了收益率。实际上仓位过高收益率反而降低。
对于可能归零的品种，不管这个概率有多小，最有策略是永不满仓。
融资买入单一品种，再加上有强制平仓等等限制，有一定的概率爆仓，这种策略波动率极高（获得超高收益的概率增加了，巨幅亏损的概率也增加了），长期下来收益率最终会归零。
3、波动性
对于上述例子中的机会，仓位0.2和0.8，每次投资的期望收益率都是3.9%。那么这两种仓位配置有什么区别呢？
聪明的人马上就会想到，当然选择0.2仓位，因为可以多出60%仓位买货币基金也能提高收益啊。这当然是一方面。下面我们将会从波动性的角度来研究。上述的例子太过简单，只模拟了两次投资情形。下面我们模拟100次投资的情形，如果初始资金为1，仓位0.2，经过100次之后资金规模有多大呢？理论计算应该为47倍。通过软件模拟收益率曲线如图2所示，这次运气比较好，收益为83倍。
虽然输赢的概率都是50%，但实际上投100次输赢的频率并不是严格的50次，因此结果也是不确定的。我们假设有50个人都按照上述0.2仓位进行投资，由于大家的运气不同，最终的投资收益也不一样。如果把大家的收益率曲线都画出来，将得到一簇曲线：
可以看出大家的运气有很大的不同。运气差的收益只有七倍，运气好的收益有两千多倍。
如果50个人按照0.8的仓位进行投资呢？结果如图4所示。虽然期望收益率是一样的，但有人收益千万倍，有人却亏损了99.9%！
可能有人通过这种策略赚了1万倍，参考图4还是有几个人能做到的。然后他们会坚信自己投资策略的正确性，并四处宣扬这种策略。正如全美猜硬币大赛胜出的那几个人一样。然而其它人按照这种策略进行实践的时候，效果却不理想，大部分人收益平平，还有少数人巨亏。
可以看出，随着仓位的增大，收益率是先增大后减小，而结果的随机性一直在增大。随机性越大，运气就显得越重要。
波动率大小与什么有关呢？简单分析就可以知道，由赢时的期望收益与输时的期望收益比值有关。对于图3，该比值为1.2/0.9=1.33，即对于100次投资机会，两个人仅仅有一次运气不同，最终收益会差别33%。对于图4，该比值为1.8/0.6=3，一次坏运气，资产就缩水2/3.
我们把波动性看作风险之一。过高的波动性会带来结果的不可控，并且引申出其它风险。关于风险会在4.3节介绍。对于图4的投资策略，结果的离散性非常大，期望收益率显得微不足道，运气显得更加重要，结果难以预先把握。这种策略更接近于赌博，而非投资。当仓位为100%的时候，收益率曲线就完全与抛硬币猜大小相同了，这时就完全变成了赌博。
虽然上面的例子是50%的仓位对应的期望收益率最高（为6.1%），但此时的波动率是非常大的，超出了很多人的承受能力。大多数人能容忍的波动性是非常有限的，因此合适的仓位比最佳收益率仓位要低得多。
对于投资指数基金，全仓etf还没有动态平衡策略（一半etf，一半现金）收益高。指数波动率越高，动态平衡策略的收益越高。
4、现实问题
让我们回到现实的投资上来。在现实世界里，概率和赔率都很难确定，如何计算最佳仓位呢？
虽然对概率和赔率的准确值难以确定，但会有自己评估的一个范围。对于标的研究的越透彻，我们对概率和赔率评估可以越准确。
一种评估自己的方法就是看看自己的历史交易记录，每只标的的实际情况与当初自己的评估（一定是当时的记录，而非回忆）进行比较。如果有几十或者上百个标的的记录分析，就可以对自己的评估和现实情况进行分析。对概率和赔率的判断是偏保守还是激进，过去评估的准确性有多高，一致性如何，以及如何调整当前的评估方法。
随着仓位的提高，收益率存在最大值，但波动率却逐渐增加。因此对于实际的仓位配置应偏保守为宜，这样即使评估出现偏差，往往是期望收益率的下降。而如果仓位比较激进，出现偏差会导致结果的很大不确定性，期望收益率甚至为负。
单一个股是有归零风险的，到底仓位多少合适因人而异。Graham说过，对于普通人来说，过于集中是赌博，而对于Warren来说不存在这个问题。我的观点基本一致，投资高手当然可以集中一些，但对于普通人来说，个股的确定性太低了，必须充分分散。设想一个极端，即使你对股票一窍不通，只要足够分散（购买指数ETF），就会获得平均收益，甚至能排到中等偏上的位置。市场中的专业投资者非常多，普通人想在个股研究上超越他们及其困难。退而求其次，放弃暴利的幻想，充分分散，通过资产配置和情绪管理，才是合适的选择。
5、多种资产配置
之前探讨的都是单一资产情形，类似股市里只有一只股票，来研究这只股票和现金的比例关系。实际情况是市场里有几千只股票，而且还有债券市场等。
凯里公式可以推导出同时有多个投资机会时的资产配置策略。但推到过程复杂，需要的参数太多。基本结论是如果有多个彼此独立的投资机会，那么每个机会的最优仓位比没有其它机会时低（可以将其它机会看做机会成本），而总仓位会比单个机会的最优仓位高，最终收益率也会比单个机会高。